第1章三角形（专题七：全等三角形的动点问题）导学案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学单元学案以“全等三角形的动点问题”为核心，聚焦动点情境下全等三角形的判定与性质应用。通过典型例题、变式训练、巩固练习的递进式设计，构建从基础动点轨迹到多路径运动综合分析的完整学习路径，体现知识建构的系统性和连贯性。 亮点在于“动态情境分类探究”任务设计，如例3中点P、Q的多路径运动分析，需结合运动阶段判定全等条件，培养几何直观与推理能力。通过速度变量、路径变化等情境，引导学生用数学语言表达等量关系，促进深度学习。答案解析详细规范，为教师单元复习教学提供清晰指导，支持学生自主构建动点问题解题模型。

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 第1章三角形 （专题七：全等三角形的动点问题） 【典型例题】 【例1】如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　） A. 1cm B. 2cm或 C. 2cm D. 1cm或 【例2】如图，等边△ABC的边长为8cm，点P从点C出发，以1cm/秒的速度由C向B匀速运动，点Q从点C出发，以2cm/秒的速度由C向A匀速运动，AP、BQ交于点M，当点Q到达A点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若∠AMQ＝60°时，则t的值是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 【例3】 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为_______． 【例4】如图，已知线段m，射线于点A，射线于B，P点从B点沿B—A—B运动，每秒走1m，Q点从B点沿方向运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 _______秒后，在射线上有一点C，使与全等． 【例5】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F．设点P的运动时间为t（秒）： （1）当P、Q两点相遇时，求t值； （2）在整个运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）； 【例6】如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 （1）求证： （2）写出线段的长（用含t的式子表示）， （3）连接，当线段经过点C时，求t的值 【举一反三】 【变式1】 如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（ ） A. 18 B. 88 C. 88或62 D. 18或70 【变式2】如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为________． 【变式3】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 _______________秒时，与全等． 【变式4】如图，中，，D是中点，P是上一动点，将绕点P逆时针旋转得到线段．当最小时的长为___________． 【变式5】如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． （1）当与全等时，求t的值； （2）四边形的面积为　　． 【变式6】如图，在四边形中，，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）试证明：． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有与全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，与全等． 【巩固练习】 1.如图，米，于A，于B，且米，P点从点B向点A运动，每分钟走1米，Q点从B向D运动，每分钟走2米，若P、Q两点同时开始出发，运动_____分钟后． 2.如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 ________厘米/秒时，能够使与全等． 3.如图，是四边形的对角线，的面积为12，，E是上一点，且是等边三角形，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为________． 4.已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接PA，当t的值为___________________秒时， PAB和QAD全等． 5.如图，直线经过的直角顶点C，动点D以的速度从A出发，沿移动到点B，动点E以的速度从B出发，沿移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作的垂线，垂足分别为P、Q，若，设运动时间为，则当t的值为________时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 6.如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 _____秒时，与全等． 7.已知，其中．点P以每秒2个单位长度速度，沿着路径运动同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；②当P、Q两点同时到达A点时，；③若时，与垂直；④若与全等，则或．以上说法正确的选项为______． 8.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． 　　 （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 9.如图，在四边形中，，，，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点、、同时出发，当其中一个点到达终点时，另外两个点也随之停止运动，设移动时间为． （1）如图1，连接、，当时，的值为______； （2）如图2，当以、、为顶点的三角形与全等时，求出相应和的值； （3）如图3，连接、交于点，当且时，试证明：． 10. 如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则_________，____________． （2）当时，求的长； （3）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　） A. 1cm B. 2cm或 C. 2cm D. 1cm或 【答案】D 【例2】如图，等边△ABC的边长为8cm，点P从点C出发，以1cm/秒的速度由C向B匀速运动，点Q从点C出发，以2cm/秒的速度由C向A匀速运动，AP、BQ交于点M，当点Q到达A点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若∠AMQ＝60°时，则t的值是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【例3】 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为_______． 【答案】1或3.5或12 【例4】如图，已知线段m，射线于点A，射线于B，P点从B点沿B—A—B运动，每秒走1m，Q点从B点沿方向运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 _______秒后，在射线上有一点C，使与全等． 【答案】或或 【例5】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F．设点P的运动时间为t（秒）： （1）当P、Q两点相遇时，求t值； （2）在整个运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）； 【答案】（1）运动t秒时，点P的运动路程为t，点Q的运动路程为， 当它们相遇时，则， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为秒． 【小问2详解】 由题意可知，点运动的路线长为， 当时，点P在上，． 当时，点P在上，． 【例6】如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 （1）求证： （2）写出线段的长（用含t的式子表示）， （3）连接，当线段经过点C时，求t的值 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵点P从点A出发，沿方向以的速度运动， ∴． 【小问3详解】 当线段经过点C时，如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵点Q从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴， ∴， ∴，解得：． 【举一反三】 【变式1】 如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（ ） A. 18 B. 88 C. 88或62 D. 18或70 【答案】D 【变式2】如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为________． 【答案】或 【变式3】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 _______________秒时，与全等． 【答案】0，3，9，12 【变式4】如图，中，，D是中点，P是上一动点，将绕点P逆时针旋转得到线段．当最小时的长为___________． 【答案】 【变式5】如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． （1）当与全等时，求t的值； （2）四边形的面积为　　． 【答案】（1）解：根据题意得，， 为等腰直角三角形， 而为公共边， 当为等腰直角三角形时，与全等， ， 即，解得， 即的值为； 【小问2详解】 解：过点作于，于，如图， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，过点作于，于， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形为正方形， ， ， 即， ， 四边形的面积． 故答案为． 【变式6】如图，在四边形中，，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）试证明：． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有与全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，与全等． 【答案】（1）证明：在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：设运动时间为t，点G的运动速度为v， 当时， 若， 则 ， ∴，解得：， ∴； 若，则， ∴， ∴（舍去）； 当时，若， 则， ∴， ∴ ， ∴； 若， 则， ∴， ∴ ， ∴． 答：当点G的运动速度为每秒3个单位长度或个单位长度或1个单位长度时，会有与全等． 【巩固练习】 1.如图，米，于A，于B，且米，P点从点B向点A运动，每分钟走1米，Q点从B向D运动，每分钟走2米，若P、Q两点同时开始出发，运动_____分钟后． 【答案】4 2.如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 ________厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 3.如图，是四边形的对角线，的面积为12，，E是上一点，且是等边三角形，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为________． 【答案】4 4.已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接PA，当t的值为___________________秒时， PAB和QAD全等． 【答案】0.8秒或． 5.如图，直线经过的直角顶点C，动点D以的速度从A出发，沿移动到点B，动点E以的速度从B出发，沿移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作的垂线，垂足分别为P、Q，若，设运动时间为，则当t的值为________时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或6 6.如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 _____秒时，与全等． 【答案】2或或12 7.已知，其中．点P以每秒2个单位长度速度，沿着路径运动同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；②当P、Q两点同时到达A点时，；③若时，与垂直；④若与全等，则或．以上说法正确的选项为______． 【答案】①②④ 8.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． 　　 （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP＝BQ， 在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）； 【小问2详解】 解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC； 9.如图，在四边形中，，，，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点、、同时出发，当其中一个点到达终点时，另外两个点也随之停止运动，设移动时间为． （1）如图1，连接、，当时，的值为______； （2）如图2，当以、、为顶点的三角形与全等时，求出相应和的值； （3）如图3，连接、交于点，当且时，试证明：． 【答案】（1）解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 当时，有，，即①， ②， 由①、②联立并解得：， 当时，有，，即③， ④， 由③、④联立并解得：， 综上所述，当，或，时，以、、为顶点的三角形与全等； 【小问3详解】 且时，，而， ， 点在点、之间， ，， ， 如图3中，连接交于 ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 10. 如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则_________，____________． （2）当时，求的长； （3）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， 设的长为x，则，， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 如图，过点作平行线交于， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $