2.3用公式法求解一元二 次方程- 同步练习2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

2.3用公式法求解一元二 次方程-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 2．（2025九上·游仙期中）在判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况时，用公式得Δ=32-4×（-2）×（-4）=-23，则此方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别为（　　） A．2，3，-4 B．-2，3，-4 C．2，-3，4 D．-2，-3，4 3．（2023九上·城厢开学考）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣ 4．（2025九上·广州月考）已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0 5．（2025九上·红桥月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A． B． C． D． 6．（2025九上·南宁月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A． B． C． D． 7．（2025九上·江油月考）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算： =ad-bc．例如： =36-45=-2 ．则关于x的方程=0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．（2024九上·孝感月考）对于一元二次方程（a≠0），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 9．（2024九上·深圳期中）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 10．（2024九上·嘉祥月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　． 11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2a(a为常数，a>0)，则BC=　 　时，AC+BC最大. 12．关于x的方程 有以下三个结论： ①当m=0时，方程只有一个实数解； ②当m≠0时，方程有两个不等的实数解； ③无论m 取何值时，方程都有一个负数解. 其中正确的是　 　. 13．（2024九上·武汉月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为　 　． 三、计算题 14．（2024九上·九龙坡期末）解一元二次方程： （1）； （2）． 15．（2024九上·渠县期末）解方程： （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 四、解答题 16．（2024九上·江岸月考）关于的一元二次方程有两个不等实根．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 17．（2024九上·岳阳期中）已知关于的一元二次方程为． （1）当为何值时，该方程有实数根； （2）当时，求出这个方程的两个根． 18．（2025九上·黄州月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 19．（2023九上·疏勒期中）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步） ∴（第三步） ∴，（第四步） （1）小明解答过程是从第　 步开始出错的，其错误原因是　 　． （2）写出此题正确的解答过程． 20．（2024九上·长顺期中）已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21．（2024九上·盘州期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最值； （2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 22．（2023九上·浑源月考）阅读与思考 请阅读下列材料，完成后面的任务： 一元二次方程根的两个性质及其应用 我们知道，一元二次方程的求根公式是，由公式可知，一元二次方程的根是由它的系数决定的，即它的根与系数有着密切的关系，那么一元二次方程的根与系数有何关系?下面介绍一元二次方程的两个根与系数关系的另外两个性质（非根与系数的关系定理，即非韦达定理）： 性质1：在一元二次方程中，若（即各项的系数和为0），则一元二次方程的两个根分别是，．下面我们给出它的证明过程： 证明：∵，∴， ∴， ∴，． 性质2：在一元二次方程中，若，则一元二次方程的两个根分别是，． 证明：……． 任务： （1）填空：下列方程的根是的是　 　，根是的是　 　．（填序号） ．；．；．；．． （2）请参考小论文中性质1的证明过程，写出性质2的证明过程． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：∵a=1，b=-4，c=5， ∴∆=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0， ∴方程没有实数根. 故答案为：C. 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可. 2．【答案】B 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：在判断一元二次方程 的根的情况时， 公式得： ， 此方程的二次项系数为、一次项系数为，常数项为． 故选：B ． 【分析】一元二次方程根的判别式为，其中二次项系数为、一次项系数为，常数项为，据此解答即可． 3．【答案】C 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0， 解得：m＞． 故选C． 【分析】根据二次方程没有实根，则判别式，解不等式即可求出答案. 4．【答案】B 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【解答】解：如图， 根据图像得：的，， ∴， ∵ ∴没有实数根. 故答案为：Ｂ. 【分析】根据图像得，，进一步得，再计算可得没有实数根. 5．【答案】D 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得， ∴k的值可以是. 故选：D． 【分析】由“一元二次方程有两个不相等的实数根“可知一元二次方程的根的判别式Δ＞0，解不等式可得，结合选项即可得出结论． 6．【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验；解分式方程 【解析】【解答】解：由条件可知：，解得， 分式方程， 去分母得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为负整数， ， ， 或或， 整数或或， 当时，，则有，产生增根，故舍去， 当或时，，满足条件 则所有满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式可得，将分式方程去分母，转换为整式方程，解方程可得，再根据题意分类讨论即可求出答案. 7．【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：依题意(k-x)x-2×(-3)=0 化简为 ∵ ∴该方程由两个不相等的实数根 故答案为：A . 【分析】根据题目的定义不难将=0 转化为关于x的方程，再利用一元二次方程根的判别式来判断方程的根的情况。 8．【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用 【解析】【解答】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性，故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴，故④正确． 故选：B． 【分析】 ① 若，则； ② 若方程有两个不相等的实数根，则，则，故方程必有两个不相等的实数根； ③ 若是方程的一个根， 则，所以或； ④ 若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得，即． 9．【答案】k＜9且k≠0． 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2−4×k×1＞0， 解得：k＜9且k≠0． ∴k的取值范围是k＜9且k≠0， 故答案为：k＜9且k≠0． 【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可. 10．【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式 【解析】【解答】解： ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0， 解得a＜3且a≠﹣1． 故答案为：a＜3且a≠﹣1． 【分析】 根据一元二次方程的定义得到：a+1≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分，解答即可． 11．【答案】​​​​​​​ 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理 【解析】【解答】解：设BC=x，AC+BC=k，则 消去 AC，得 由 得 当 时， 故答案为：. 【分析】设BC=x，利用勾股定理可知，再根据根的判别式进而即可得出答案. 12．【答案】①③ 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确； 当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程， ，方程有两个实数解，②错误； 把mx2+x-m+1=0分解为(x+1)(mx-m+1)=0 当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确； 故答案为：①③. 【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而填空. 13．【答案】或． 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组 【解析】解：因为 一元二次方程在范围内有且只有一个根， 可得，整理得：， 解得：， 又因为，解得，所以， 因为方程在的范围内有实数根， 可得或， 由，此时不等式无解， 由得出， 所以的取值范围为或， 故答案为：或． 【分析】根据一元二次方程有且仅有一个实数根，得到和二次函数的性质，解得，再结合 ，利用二次函数的性质，列出不等式组，取得不等式组的解，可得出答案． 14．【答案】（1）解： ∴，； （2）解： ，，， ∴，． 【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）根据题意配方，进而即可解方程； （2）根据公式法结合题意即可求解。 15．【答案】（1）解：， 移项得， 配方得，即， ∴， ∴，； （2）解：， ，，，， ∴， ∴，． 【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）先根据配方法的步骤将原方程转换为， 再利用直接开平方法解方程即可； （2）根据求根公式解方程即可. 16．【答案】解：∵一元二次方程有两个不等实根， ∴，即， 解得：， 把代入方程得， 解得：， 当时，方程为， 解得，． ∴的值为，另一根为． 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【分析】先利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，即，求出k的取值范围，再将代入方程得，求出k的值，最后求出方程的解即可. 17．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴当时，该方程有实数根； （2）解：当时，有， 整理得：， 解得：，． 【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，即可列出不等式进行求解； （2）将的值代入原方程并解方程即可. （1）∵方程有实数根， ∴， 即，解得， ∴当为何值时，该方程有实数根； （2）将代入原方程得，即， ∴， 即，． 18．【答案】（1）解：根据题意得， 解得：； ​​​​​​ （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案. （2）将x=m代入方程可得，再整体代入，解方程即可求出答案. （1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 19．【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式； （2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29． ∴ ∴，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式． 故答案为：一，原方程没有化简为一般形式． 【分析】 （1）根据一元二次方程的解法步骤即可求解； （2）根据一元二次方程的解法即可求解． 20．【答案】（1）解：是等腰三角形， 理由：当时，， 化简得：， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形， 理由：方程有两个相等的实数根， ， ， 是直角三角形； （3）解：是等边三角形， ， 原方程可化为：， 即：， ， ，， 即：这个一元二次方程的根为，． 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的概念 【解析】【分析】（1）根据方程的解的意义可得出，即可得出是等腰三角形； （2）根据方程的根的情况可得出根的判别式为0，可得出，即可得出是直角三角形； （3）根据等边三角形的性质可得出，可得出方程，解方程求解i可。 （1）解：是等腰三角形， 理由：当时，， 化简得：， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形， 理由：方程有两个相等的实数根， ， ， 是直角三角形； （3）解：是等边三角形， ， 原方程可化为：， 即：， ， ，， 即：这个一元二次方程的根为，． 21．【答案】（1）解： 当时，代数式取得最大值是5 （2）证明： 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用 【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用配方法的计算方法分析求解即可； （2）利用一元二次方程根的判别式及配方法的计算方法分析求解即可. 22．【答案】（1）A、B；C、D （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 即一元二次方程的两个根分别是，． 【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）当x=1时，； ； ； ； 当x=-1时，； ； ； ； ∴方程的根是的是 A、B； 根是的是C、D， 故答案为：A、B；C、D。 【分析】（1）把x=1和x=-1代入方程计算求解即可； （2）利用一元二次方程的求根公式计算求解即可。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3用公式法求解一元二 次方程-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：∵a=1，b=-4，c=5， ∴∆=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0， ∴方程没有实数根. 故答案为：C. 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可. 2．（2025九上·游仙期中）在判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况时，用公式得Δ=32-4×（-2）×（-4）=-23，则此方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别为（　　） A．2，3，-4 B．-2，3，-4 C．2，-3，4 D．-2，-3，4 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：在判断一元二次方程 的根的情况时， 公式得： ， 此方程的二次项系数为、一次项系数为，常数项为． 故选：B ． 【分析】一元二次方程根的判别式为，其中二次项系数为、一次项系数为，常数项为，据此解答即可． 3．（2023九上·城厢开学考）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣ 【答案】C 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0， 解得：m＞． 故选C． 【分析】根据二次方程没有实根，则判别式，解不等式即可求出答案. 4．（2025九上·广州月考）已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【解答】解：如图， 根据图像得：的，， ∴， ∵ ∴没有实数根. 故答案为：Ｂ. 【分析】根据图像得，，进一步得，再计算可得没有实数根. 5．（2025九上·红桥月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得， ∴k的值可以是. 故选：D． 【分析】由“一元二次方程有两个不相等的实数根“可知一元二次方程的根的判别式Δ＞0，解不等式可得，结合选项即可得出结论． 6．（2025九上·南宁月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验；解分式方程 【解析】【解答】解：由条件可知：，解得， 分式方程， 去分母得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为负整数， ， ， 或或， 整数或或， 当时，，则有，产生增根，故舍去， 当或时，，满足条件 则所有满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式可得，将分式方程去分母，转换为整式方程，解方程可得，再根据题意分类讨论即可求出答案. 7．（2025九上·江油月考）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算： =ad-bc．例如： =36-45=-2 ．则关于x的方程=0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：依题意(k-x)x-2×(-3)=0 化简为 ∵ ∴该方程由两个不相等的实数根 故答案为：A . 【分析】根据题目的定义不难将=0 转化为关于x的方程，再利用一元二次方程根的判别式来判断方程的根的情况。 8．（2024九上·孝感月考）对于一元二次方程（a≠0），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用 【解析】【解答】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性，故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴，故④正确． 故选：B． 【分析】 ① 若，则； ② 若方程有两个不相等的实数根，则，则，故方程必有两个不相等的实数根； ③ 若是方程的一个根， 则，所以或； ④ 若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得，即． 二、填空题 9．（2024九上·深圳期中）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 【答案】k＜9且k≠0． 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2−4×k×1＞0， 解得：k＜9且k≠0． ∴k的取值范围是k＜9且k≠0， 故答案为：k＜9且k≠0． 【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可. 10．（2024九上·嘉祥月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式 【解析】【解答】解： ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0， 解得a＜3且a≠﹣1． 故答案为：a＜3且a≠﹣1． 【分析】 根据一元二次方程的定义得到：a+1≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分，解答即可． 11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2a(a为常数，a>0)，则BC=　 　时，AC+BC最大. 【答案】​​​​​​​ 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理 【解析】【解答】解：设BC=x，AC+BC=k，则 消去 AC，得 由 得 当 时， 故答案为：. 【分析】设BC=x，利用勾股定理可知，再根据根的判别式进而即可得出答案. 12．关于x的方程 有以下三个结论： ①当m=0时，方程只有一个实数解； ②当m≠0时，方程有两个不等的实数解； ③无论m 取何值时，方程都有一个负数解. 其中正确的是　 　. 【答案】①③ 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确； 当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程， ，方程有两个实数解，②错误； 把mx2+x-m+1=0分解为(x+1)(mx-m+1)=0 当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确； 故答案为：①③. 【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而填空. 13．（2024九上·武汉月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为　 　． 【答案】或． 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组 【解析】解：因为 一元二次方程在范围内有且只有一个根， 可得，整理得：， 解得：， 又因为，解得，所以， 因为方程在的范围内有实数根， 可得或， 由，此时不等式无解， 由得出， 所以的取值范围为或， 故答案为：或． 【分析】根据一元二次方程有且仅有一个实数根，得到和二次函数的性质，解得，再结合 ，利用二次函数的性质，列出不等式组，取得不等式组的解，可得出答案． 三、计算题 14．（2024九上·九龙坡期末）解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解： ∴，； （2）解： ，，， ∴，． 【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）根据题意配方，进而即可解方程； （2）根据公式法结合题意即可求解。 15．（2024九上·渠县期末）解方程： （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 【答案】（1）解：， 移项得， 配方得，即， ∴， ∴，； （2）解：， ，，，， ∴， ∴，． 【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）先根据配方法的步骤将原方程转换为， 再利用直接开平方法解方程即可； （2）根据求根公式解方程即可. 四、解答题 16．（2024九上·江岸月考）关于的一元二次方程有两个不等实根．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 【答案】解：∵一元二次方程有两个不等实根， ∴，即， 解得：， 把代入方程得， 解得：， 当时，方程为， 解得，． ∴的值为，另一根为． 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【分析】先利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，即，求出k的取值范围，再将代入方程得，求出k的值，最后求出方程的解即可. 17．（2024九上·岳阳期中）已知关于的一元二次方程为． （1）当为何值时，该方程有实数根； （2）当时，求出这个方程的两个根． 【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴当时，该方程有实数根； （2）解：当时，有， 整理得：， 解得：，． 【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，即可列出不等式进行求解； （2）将的值代入原方程并解方程即可. （1）∵方程有实数根， ∴， 即，解得， ∴当为何值时，该方程有实数根； （2）将代入原方程得，即， ∴， 即，． 18．（2025九上·黄州月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）解：根据题意得， 解得：； ​​​​​​ （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案. （2）将x=m代入方程可得，再整体代入，解方程即可求出答案. （1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 19．（2023九上·疏勒期中）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步） ∴（第三步） ∴，（第四步） （1）小明解答过程是从第　 步开始出错的，其错误原因是　 　． （2）写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式； （2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29． ∴ ∴，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式． 故答案为：一，原方程没有化简为一般形式． 【分析】 （1）根据一元二次方程的解法步骤即可求解； （2）根据一元二次方程的解法即可求解． 20．（2024九上·长顺期中）已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）解：是等腰三角形， 理由：当时，， 化简得：， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形， 理由：方程有两个相等的实数根， ， ， 是直角三角形； （3）解：是等边三角形， ， 原方程可化为：， 即：， ， ，， 即：这个一元二次方程的根为，． 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的概念 【解析】【分析】（1）根据方程的解的意义可得出，即可得出是等腰三角形； （2）根据方程的根的情况可得出根的判别式为0，可得出，即可得出是直角三角形； （3）根据等边三角形的性质可得出，可得出方程，解方程求解i可。 （1）解：是等腰三角形， 理由：当时，， 化简得：， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形， 理由：方程有两个相等的实数根， ， ， 是直角三角形； （3）解：是等边三角形， ， 原方程可化为：， 即：， ， ，， 即：这个一元二次方程的根为，． 21．（2024九上·盘州期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最值； （2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）解： 当时，代数式取得最大值是5 （2）证明： 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用 【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用配方法的计算方法分析求解即可； （2）利用一元二次方程根的判别式及配方法的计算方法分析求解即可. 22．（2023九上·浑源月考）阅读与思考 请阅读下列材料，完成后面的任务： 一元二次方程根的两个性质及其应用 我们知道，一元二次方程的求根公式是，由公式可知，一元二次方程的根是由它的系数决定的，即它的根与系数有着密切的关系，那么一元二次方程的根与系数有何关系?下面介绍一元二次方程的两个根与系数关系的另外两个性质（非根与系数的关系定理，即非韦达定理）： 性质1：在一元二次方程中，若（即各项的系数和为0），则一元二次方程的两个根分别是，．下面我们给出它的证明过程： 证明：∵，∴， ∴， ∴，． 性质2：在一元二次方程中，若，则一元二次方程的两个根分别是，． 证明：……． 任务： （1）填空：下列方程的根是的是　 　，根是的是　 　．（填序号） ．；．；．；．． （2）请参考小论文中性质1的证明过程，写出性质2的证明过程． 【答案】（1）A、B；C、D （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 即一元二次方程的两个根分别是，． 【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）当x=1时，； ； ； ； 当x=-1时，； ； ； ； ∴方程的根是的是 A、B； 根是的是C、D， 故答案为：A、B；C、D。 【分析】（1）把x=1和x=-1代入方程计算求解即可； （2）利用一元二次方程的求根公式计算求解即可。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $