第5章 概率 章末复习-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 章末复习 ■知识系统整合 样本空间 随机试鹭 样本点 随机事件 随机事件 事件 必然事件 不可能事件 随机事件与 样本空间 包含关系：A二B 相等关系：A=B 事件的交（或积）：A门B(或AB) 事件的运算 事件的并（或和）：AUB(或A+B 耳民事件 事件的差：AB 对立事件 有限性 特点 等可能性 古典 A中的样本点个数 概型 概常计算公式：代A)= 中的样本点个数 0P)1 概率及 运算 概率的基木性质 P(OEI PO0 概率加法公式：若事件A.B互斥.期PAUB=PA)+PB历 的 运算 P=1-P(A) 般概常加法公式：P代MUB=A+WBA-代A∩) 用顿率估计钱率 随机事件的独立性 若事件A,B独立，则PA∩=PA)P户B 堵点自记： 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ☑规律方法收藏 1.随机事件在现实世界中是广泛存在的，要注意结合生活实例，分析何为必然事件、不可能 事件和随机事件，要充分理解概率的意义，并学会解释生活中的一些常见的概率问题，把自 己所学的概率知识应用到实际生活中去。 (1)对随机事件的理解应包括的两个方面 ①随机事件是指一定条件下出现的某种结果，即随着条件的改变其结果也会不同，因此必须 强调同一事件在相同的条件下进行研究；②随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但 在大量重复试验中，随机事件的发生是有规律的 (2)频率与概率的联系与区别 随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值.它具有一定的稳定性，总在某 个常数附近摆动，但随着试验次数的不断增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做 这个事件的概率，概率可看作须率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可 能性的大小，在大量重复试验的前提下，可以用颜率来估计这个事件的概率。 (3)要辩证地看待“随机事件”“不可能事件”“必然事件”。一个随机事件的发生，既有随 机性（对某次试验来说），又存在着统计规律性（对大量重复试验来说），这是偶然性与必然性的 对立统一， (4)对概率的统计定义应注意的几点 ①求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验进行估计；②只有当频率在某个常数 附近摆动时，这个常数才叫做事件的概率：③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值： ④概率反映了随机事件发生的可能性的大小， (⑤)互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件是不可能同时发生的两个事件：对立事件除要求这两个事件不能同时发生外，还要 求二者必须有一个发生，因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对 立事件是互斥事件的特殊情况。 2.应用互斥事件的概率的加法公式时，要注意首先确定诺事件彼此互斥，然后分别求出各事 件发生的概率，再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互 斥的事件的和：二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(4)=1一P()求解 3.对于古典概型概率的计算，关键是分清样本点总数与事件中包含的样本点数k,有时需 用列举法把样本点一一列举出来，再利用公式P(4)=求出事件的概率.这是一个形象、直 观的好方法，但列举时必须做到不重复、不遗漏， 4.利用相互独立事件的定义（即P(4∩B)=P(4)P(B)可以判定两个事件是否相互独立，这是 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 用定量方法进行分析的定量计算，可以较为准确、果断地判断两个事件是否相互独立，因此 我们必须熟练掌握这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件之间有一定的关系， 也就是若两个事件相互独立，则一定不能互斥（对立）：反之，若两个事件互斥（对立），则不能 相互独立. 5.本章用到较多的是化归思想，而化归思想是数学中最基本的思想方法之一，在数学研究和 学习中有着广泛的应用，化归的核心是把一个生疏复杂的问题转化为熟悉的问题 学科素养培优 一、互斥事件与对立事件 互斥事件和对立事件都是反映事件的相互关系，互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式， 必须学会正确运用.应用互斥事件的概率加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是 否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和，对于较复杂事件的概率，可以转化 为求对立事件的概率.高考对互斥事件和对立事件很少单独考查，多是在具体解题过程中需 要用到互斥事件或对立事件的知识. [典例1]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下： 排队人数 0 2 5人及5人以上 概率 0.10.160.30.3 0. 0.04 ()至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？ 解记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C, “3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件 F,则事件A,B,C,D,E,F互斥， (I)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=AUBUC, 所以P(G=P(4UBUC)=P(A)+P(B)+P(C©=0.1+0.16+0.3=0,56. 故至多2人排队等候的概率是0.56 (2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H,则H=DUEUF, 所以P0=PDUEUF)=PD)+PE)+P(F=0.3+0.1+0.04=0.44. 故至少3人排队等候的概率是0.44. 解法二：记“至少3人排队等侯”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P田=1一P(G =1-0.56=0.44. 故至少3人排队等候的概率是0.44 二、古典概型 古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础.在高考题中，经常出现此种概型 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 的题目.用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的基本事件是否是等可能的，同时要弄 清事件A所包含的等可能出现的结果（基本事件）的个数， [典例2】在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中 有3个黄色、3个白色的乒乓球（各球的体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写着摸球 方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，推主送给摸球者5元钱：若摸得 非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. (I)求摸出的3个球都为白球的概案： (2)求摸出的3个球为2个黄球，1个白球的概率； (3)假定一天中有100人参与摸球游戏，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计） 能赚多少钱。 解把3个黄色乒乓球分别标记为A,B,C,3个白色乒乓球分别标记为1,2,3.从6个 球中随机摸出3个球的样本空间Q={ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,BC1,BC2, BC3,A12,A13,A23,B12,B13,B23,C12,C13,C23,123},共20个样本点，这20 个样本点发生的可能性是相等的. (1)设事件E={摸出的3个球都为白球}，则事件E包含的样本点有1个，即摸出123，则P (E)=120=0.05. (②)设事件F={摸出的3个球为2个黄球，1个白球}，则事件F包含的样本点有9个，PF) =920=0.45. (3)设事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球都为白球或摸出的3个球都为黄 球}，则事件G包含的样本点有2个，故P(G=220=0.1. 假定一天中有100人参与摸球游戏，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件“摊主送 给摸球者5元钱”发生10次，事件“摸球者付给摊主1元钱”发生90次，故可估计该摊主 一天可赚90×1一10×5=40（元），每月可赚1200元. 三、频率与概率 依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率。 频率的计算公式为f(4)=n4n,其中nu是事件A出现的颜数，n为重复试验次数. [典例3]下表分别表示从甲、乙两厂随机抽取的某批乒乓球的质量检查情况。 甲厂抽取的兵乓球的质量检查情况 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率m 乙厂抽取的乒乓球的质量检查情况 学科网书城围 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 抽取球数n 70 130 310 700 1500 2000 优等品数m 60 116 282 639 1339 1806 优等品频率mm ()分别计算两个表中乒乓球优等品的倾率（结果保留到小数点后第三位）： (②)从甲、乙两厂分别抽取一个乒乓球，质检结果为优等品的概率分别是多少？ (3)若甲、乙两厂的乒乓球价格相同，你打算从哪个厂家购货？ 解(1)表中甲厂优等品的频率依次为0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951： 表中乙厂优等品的频率依次为0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903. (2)由(1)可知，抽取的球数不同，计算得到的频率值也不同，因为表中甲厂优等品的频率在常 数0.950的附近波动，所以从甲厂抽取一个乒乓球检测时，质检结果为优等品的概率近似为 0.950:因为表中乙厂优等品的频率在常数0.900的附近波动，所以在乙厂抽取一个乒乓球 检测时，质检结果为优等品的概率近似为0.900. (③)因为概率反映了一个事件发生的可能性的大小，P>P乙表示甲厂生产优等乒乓球的可能 性更大，因此应选购甲厂生产的乒兵球. 四、事件的相互独立性 判断事件是否相互独立的方法有： (I)定义法：事件A,B相互独立=P(A∩B)=P(A)P(B). ②)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响 [典例4某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则 即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0. 5,0.2,已知各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手被淘汰的概率： (②)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率。 解设“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A,(=1,2,3,4),则P(4)=0.6,P (42)=0.4,P4)=0.5,P44)=0.2. (①)解法一：该选手被淘汰的概率为 P=P(1UA12UA1423UA443)=P()+PA)P(2)+P41)PA2)P(3)+ P(41)P42)P43)P()=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8= 0.976. 解法二：P=1-P(442444)=1-P(41)P(42)P43)P44)=1-0.6×0.4×0.5×0.2=1-0 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 Mb.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 .024=0.976. (2)解法-：所求概率P=P412UA1423UA1A2434)=P(41)P(2)+P(A1)P(42)P(3)+P (41)P42)P4)P)=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0,576. 解法二：所求概率P=1-P()-P44434)=1-(1-0.6-0.6×0.4×0.5×0.2=0 .576. 6