精品解析： 浙江省杭州市拱墅区杭州启正中学2025-2026学年九年级上学期数学开学考试题

九年级数学试卷 一、单项选择（每题3分，共10小题，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. y有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x增大而增大 3. 已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　） A. （3，6） B. （0，8） C. （0，﹣1） D. （4，0）或（2，0） 4. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 二次函数的变量x与y部分对应值如下表，那么时，对应的函数值y为（ 　） x … 1 3 5 … y … 7 0 7 … A. 0 B. 3 C. D. 5 6. 已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 设二次函数是实数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的最小值为 C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，函数的最小值为 10. 二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（ 　） A. B. C. D. 二．填空题（6小题，共18分） 11. 抛物线y=2的顶点坐标是____________ 12. 不等式的解为______． 13. 已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 14. 小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 16. 已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是______． 三、解答题（6小题，共72分） 17. 已知二次函数经过点，对称轴是直线． （1）求二次函数的解析式； （2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大． 18. 已知二次函数． （1）化成顶点式； （2）二次函数的值可以取到吗？说明理由； （3）求出抛物线与轴、轴交点坐标． 19. 已知二次函数，一次函数 （1）求函数与的交点坐标； （2）自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）当时，结合图象求y的取值范围． 21. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若， 求二次函数的表达式； 求的值． （2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 22. 启正校外小店销售一种文具，进价为元件．售价为元件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元件（且是整数），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若每件文具的售价不超过元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． （3）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围． 23. 已知二次函数． （1）若点向上平移1个单位，向左平移m个单位（）长度后，恰好落在该二次函数上，求m的值． （2）已知该函数图象经过，两个不同的点． ①当，，且时，求的取值范围． ②当，时，求证：． 24. 已知抛物线为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、单项选择（每题3分，共10小题，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B． 是二次函数，故此选项符合题意； C．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D． 不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. y有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可． 【详解】解：二次函数为， ∵， ∴函数图象开口向下，故A错误； ∵二次函数的顶点为，且开口向下， ∴y有最大值是3，故B错误； 根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误； ∵对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确； 故选：D ． 3. 已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　） A. （3，6） B. （0，8） C. （0，﹣1） D. （4，0）或（2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】y轴上的点的横坐标为0，所以把x＝0代入二次函数式即可求解． 【详解】解：当x＝0时，y＝（0﹣3）2﹣1＝8， 所以抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交点C的坐标是（0，8）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点坐标，牢记y轴上点的坐标x=0是本题的关键 4. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， 所以平移后得到的抛物线解析式为． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5. 二次函数的变量x与y部分对应值如下表，那么时，对应的函数值y为（ 　） x … 1 3 5 … y … 7 0 7 … A. 0 B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据推出二次函数的对称轴，再结合轴对称性质求出其函数值即可． 【详解】解：由表格数据可知，当时，，当时，， 二次函数的对称轴为直线， ，， 与的函数值相同， 那么时，对应的函数值y为0， 故选：A． 6. 已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质．根据题意可得对称轴为，继而利用对称性可得点关于对称轴对称的点为，后利用二次函数增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵，，在函数（m为常数）的图象上， ∵， ∴， 故选：A． 7. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案． 【详解】解：由方程组得ax2＝−a， ∵a≠0 ∴x2＝−1，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B． A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选C． 【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上． 8. 如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 9. 设二次函数是实数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的最小值为 C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，函数的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴抛物线对称轴为直线 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为． 故A正确，B错误； 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为， 故C、D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键． 10. 二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（ 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，得到二次函数的图象与二次函数的图象关于y轴对称是解题的关键．根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点的横坐标求得即可解答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的对称轴为， ∴二次函数的图象与二次函数的图象关于y轴对称， ∵二次函数的图象与x轴交点为， ∴二次函数的图象与x轴交点为， ∴方程的解是， 故选：D． 二．填空题（6小题，共18分） 11. 抛物线y=2的顶点坐标是____________ 【答案】(1，−1) 【解析】 【分析】将解析式配方为顶点式即可得到顶点坐标. 【详解】∵y=2=， ∴顶点坐标为（1，-1）， 故答案为：（1，-1）. 【点睛】此题考查抛物线的顶点坐标，抛物线解析式化为顶点式解析式，正确配方是解题的关键. 12. 不等式的解为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解不等式和不等式组，由得，则，然后分为或即可求解，掌握不等式（组）解法是解题的关键． 【详解】解： ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 13. 已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，然后根据题意得到，求解可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可． 【详解】解：在函数中，当时，， 解得（舍去），， 即小强此次成绩为10米， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 16. 已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】将b用a表示，根据b的范围求的a范围，并将b的代数式代入所求代数式中，使其仅含有未知数a的二次函数，化为顶点式即可求得其最小值，本题主要考查二次函数的最值求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 则， ∵二次函数开口向上， ∴时随着a的增大其函数值也增大， 则当时，代数式取得最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（6小题，共72分） 17. 已知二次函数经过点，对称轴是直线． （1）求二次函数的解析式； （2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解，即可得出，即可作答． （2）结合的以及对称轴是直线，得出二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而增大，即可作答． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点，对称轴是直线， ∴，， 解得，， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，对称轴是直线， ∴二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而增大． 18. 已知二次函数． （1）化成顶点式； （2）二次函数的值可以取到吗？说明理由； （3）求出抛物线与轴、轴交点坐标． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、函数值的取值范围以及抛物线与坐标轴交点坐标的求解，准确计算是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，需要通过配方法，将二次函数一般式化为顶点式； （2）先求出二次函数的最小值，再与比较，即可得解； （3）分别令和，求解方程即可． 【小问1详解】 ， 二次函数的顶点式为． 【小问2详解】 不能，理由如下： 由（1）可知，二次函数的顶点式为， 二次项系数为， 抛物线开口向上，函数有最小值， 当时，取最小值为， ， 二次函数的值不可以取到． 【小问3详解】 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为和． 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为． 19. 已知二次函数，一次函数 （1）求函数与的交点坐标； （2）自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数值大小比较，不等式的求解，理解题意准确计算为解题关键． （1）联立两个函数的解析式，求解方程组得到交点的横、纵坐标即可； （2）通过联立函数解析式并移项，转化为不等式求解即可． 【小问1详解】 解：联立与， ， 整理可得：，解得：，， 当时，代入，可得， 当时，代入，可得， 函数与的交点坐标为和； 【小问2详解】 要使一次函数的值大于二次函数的值，即， 可得不等式， 整理得：， 可得， 解得：， 当时，一次函数的值大于二次函数的值． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）当时，结合图象求y的取值范围． 【答案】（1） 函数图象如下图： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【小问1详解】 解：列表， 0 1 2 3 4 2 2 【小问2详解】 解：观察函数图象得：当时，的取值范围为． 21. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若， 求二次函数的表达式； 求的值． （2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 【答案】（1）①；②3 （2）开口向下 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②将a、b值代入中求解即可； （2）根据表格数据得到对称轴为直线，进而可得是顶点，和关于对称轴对称，则，根据二次函数的图象特征求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得， 解得， ∴二次函数的表达式是； ②∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵和时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴是顶点，和关于对称轴对称，则， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下， 即该二次函数图象的开口向下． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 22. 启正校外小店销售一种文具，进价为元件．售价为元件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元件（且是整数），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若每件文具的售价不超过元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． （3）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围． 【答案】（1）； （2）每件文具售价为元，最大利润元； （3）元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据总利润每件利润销售量，列出函数关系式即可； （）由（）得，再结合二次函数的性质即可求求解； （）由（）的关系式，然后得方程，最后结合二次函数的性质即可求的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵每件文具的售价不超过元，且是整数， ∴当时，有最大值，为（元）， 答：每件文具售价为元，最大利润元； 【小问3详解】 解：要使当天销售利润不低于元，即， 令，整理得， 解得：，， ∵， ∴当天销售单价所在的范围是． 23. 已知二次函数． （1）若点向上平移1个单位，向左平移m个单位（）长度后，恰好落在该二次函数上，求m的值． （2）已知该函数图象经过，两个不同的点． ①当，，且时，求的取值范围． ②当，时，求证：． 【答案】（1）2或6 （2）①； ②证明：， ∵，， ∴， 当时，， 则； 当时，， 则， ∴得证． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，直角坐标系下点的平移，二次函数函数值的求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键． （1）先表示出点平移之后的坐标，再将平移后的点代入二次函数解析式求解即可； （2）①将和代入函数解析式分别求解出，再解不等式求解即可； ②先求解，再根据x的范围证明即可． 【小问1详解】 解：点向上平移个单位，得到， 再向左平移个单位（），得到， ∵平移后的点落在二次函数上， ∴将，代入函数可得：， 展开式子得，即， 解得，， 因此，的值为或； 【小问2详解】 解：①已知二次函数， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 即，解得， ∴的取值范围是； ②略 24. 已知抛物线为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值8，最小值是4 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）由题意，因为，而抛物线对称轴为直线，所以抛物线的一段的最小值取在顶点处，为，而最大值与最小值的差为，所以最大值为12，代入抛物线解析式，可求出当时相应的自变量取值，从而由题意可知，需满足，，且或，由此计算求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 对称轴为直线， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， 又点为线段的中点， ，即 由对称性知， ， 代入， 得：， ； 【小问3详解】 解， 抛物线的顶点坐标， ∵， ∴抛物线的一段的最小值取在顶点处取得， 即当，， ∵抛物线的一段最大值与最小值的差为， ∴， 当时，代入得： ， 解得：， 由题意可知，需满足，，且或， 当，时，取得最大值； 当时，或当时，取得最小值， 故的最大值为8，最小值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $