精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期综合练习（2）（开学考试）数学试题

复旦大学附属中学2025-2026学年第一学期 高三年级（上）数学综合练习（2） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则__________． 2. 函数的定义域是__________． 3. 已知，且x为第三象限的角，则________． 4. 在的二项展开式中项的系数为__________． 5. 若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 6. 已知非零复数满足，则的虚部为_______． 7. 已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为__________． 8. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为3，且二面角的大小为，则______． 9. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 10. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示） 11. 已知， 恒成立，则实数的取值范围是_____. 12. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________． ①存在正整数，使得成等差数列； ②存在正整数，使得成等比数列； ③存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列； ④存在正整数，且，使得． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 15. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值． 18. 如图，已知在四棱柱中，垂直平面，分别是的中点． （1）求证：平面： （2）若底面为梯形，，，且异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 19. 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离(单位：米)内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度(单位：米).其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段(端点为)，当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点. （1）求关于的函数解析式； （2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.(精确到) 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． （1）当时，求的值； （2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 21. 设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． （1）判断是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2025-2026学年第一学期 高三年级（上）数学综合练习（2） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数值域结合交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故答案为： 2. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，解出即可得. 【详解】由题意可得，则， 即，解得. 故答案为：. 3. 已知，且x为第三象限的角，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件求得，再结合正切二倍角公式即可求解. 【详解】因为，且x为第三象限的角， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 4. 在的二项展开式中项的系数为__________． 【答案】560 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项，令，求出，即可得项的系数. 【详解】二项式展开式的通项为：， 令，则， 所以项的系数为， 故答案为：560 5. 若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，求出弧长和半径，求出扇形面积即可. 【详解】圆锥的底面半径为2，高为2，则圆锥底面周长为，母线长为， 则侧面展开扇形面积为； 故答案为：. 6. 已知非零复数满足，则的虚部为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据复数的模得到方程组，解得即可. 【详解】设，则， 因为，，所以，解得或（舍去）， 所以，则的虚部为. 故答案为： 7. 已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可构造函数，，判断其奇偶性以及单调性，由此将原不等式转化为，结合函数单调性即可求解. 【详解】由题意知是定义在上的函数，， 设，，则， 即，为奇函数， 又，故在上单调递增， 由，可得， 即，则， 故，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 8. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为3，且二面角的大小为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设分别为的中点，连接，可证得，，即可得到，进而根据向量的加减运算以及数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】设分别为的中点，连接，    在正三角形中，，且， 在正方形中，， 则为二面角的平面角，即， 故 . 故答案为：. 9. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 10. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间为t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度. 【详解】设第二次拍照飞船的实际上升了， 所以，解得：， 所以拍照时飞船的瞬时速度为：. 故答案为：. 11. 已知， 恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用可得时满足题意，然后令，由题可得，由单调性可得，最后注意到不满足不等式，据此可得答案. 【详解】对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则； 对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则. 则当时，，满足题意； 当时，令，由， 令，则在上单调递减， 又注意到，则. 下证对，，即，， 由，可得，由，可得. 则，则时，命题成立； 当，令，由， 但此时，，与题意不符，故不满足题意. 综上可得. 故答案为： 【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用思想为分离参数，将问题转化为求相关函数的最值，也可构造函数，由函数最值得到关于参数的表达式. 12. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________． ①存在正整数，使得成等差数列； ②存在正整数，使得成等比数列； ③存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列； ④存在正整数，且，使得． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由成等差数列可判断①，由数列任意连续三项为（奇数，奇数，偶数）或（奇数，偶数，奇数），结合是否成立判断②；再由递推公式可得，即可判断③，写出前16项判断是否存在整数，且，使得可判断④. 【详解】由题意可知，显然成等差数列，即①正确； 由题可知在上依次为（奇数，奇数，偶数）或（奇数，偶数，奇数）， 所以不可能满足，故不存在正整数，使得成等比数列.因此②错误； 易知， 故满足，因此有成等差数列， 即存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列.所以③正确； 由递推公式计算可得数列前16项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987, 其中， 所以存在正整数，且，使得，即④正确. 故答案为：①③④ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 14. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 15. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的对称性可知,该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积. 【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接， ∵分别为的中点，则， ∴正方体的边长为， 故，可得， 根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径， 故该半正多面体外接球的表面积为. 故选：D 16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】假设，，成等比数列，可得，在同一坐标系内作和的图象可判断①；分，和，求出的最大值和最小值可知，判断该方程是否有解可判断②. 【详解】对于①，若，，成等比数列，即，， 则，即，得， 在同一坐标系内作和的图象： 可知方程，有且只有一解， 所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题； 对于②，假设存在等差数列以及锐角α， 使成立，则必有， 当时，显然不成立； 当时，，， 所以，， 所以， 则， ，即，即， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 当时，，， 所以，， 所以， 同理， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 所以②是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：与三角有关的方程是否有解的问题，可根据代数式的特征选择合适的范围，再根据范围判断一些特定代数式的符号，从而可判断方程是否有解. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【小问1详解】 由，得，此时， ，， 所以当，即时函数取到最大值1. 【小问2详解】 当时，，则， 当为锐角时，，因此满足时，，得， 此时，即， 由余弦定理得，即， 因此的最小值为，在时取到. 18. 如图，已知在四棱柱中，垂直平面，分别是的中点． （1）求证：平面： （2）若底面为梯形，，，且异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取  的中点 ，连接 ，， 在  中，， 分别是 ， 的中点， 所以 ， 又 平面，平面， 所以 平面； 在四棱柱  中，，， 所以四边形  是平行四边形， 因此，， 又  是  的中点， 是  的中点， 所以 ，且 ， 所以四边形  是平行四边形， 所以 ， 因为 平面，平面， 所以  平面， 又 ，且 ，平面， 所以平面 平面， 又平面， 所以  平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取  的中点 ，连接 ，，利用面面平行判定定理证明平面 平面，然后利用面面平行性质可得答案； （2）建系，利用线面角的空间向量的计算公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由垂直平面，可得，又由小问1知， 由条件异面直线与所成角为，知， 又由小问1知，可得：， 即两两垂直， 故以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 由知：各点坐标分别为：，． 则， 设平面  的法向量为 ， 由 ，， 得, 取 ，则 ，，故 ， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离(单位：米)内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度(单位：米).其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段(端点为)，当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点. （1）求关于的函数解析式； （2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.(精确到) 【答案】（1）；（2）最小为. 【解析】 【分析】（1）时，设解析式为，代入可求，从而求出，求出直线的斜率即可求解. （2）根据题意，连接，仰角为，俯角为，求出、的最小值即可求解. 【详解】解：（1）时 设：，代入可得 解得， 时，，， 所以， （2）如图，设仰角为，俯角为 仰角最小为， 又， 俯角最小为 最小为 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． （1）当时，求的值； （2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）存在；或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点坐标后，根据椭圆定义可求得结果； （2）根据三角形面积可求得点到直线的距离为，利用平行直线间距离公式可求得到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标； （3）将问题转化为，结合韦达定理可表示出之间的关系，结合可构造出关于的不等式，解不等式可求得的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. 【小问2详解】 由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. 【小问3详解】 由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 21. 设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． （1）判断是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 【答案】（1） 记， 显然，则其是偶函数. 当时，，故， 所以对恒成立，具有性质. （2） （3） 对任意及， 都有， 即对任意都有. 假设存在使得不具有性质， 则存在使得. 若，则. 当时，则在中取， 对任意有， 于是， 即. 而当时，， 故有，矛盾. 当时，记，则， 由得，得， 故. 与当时同理可得矛盾. 若，则，与时同理可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质. 【解析】 【分析】（1）首先判断为偶函数，再判断出时，即可； （2）求导得，得到其单调性，再对分和以及讨论即可； （3）根据定义知，再利用反证法即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当时严格单调递增， 当时严格单调递减. 若，则，函数在上严格单调递增，恒成立， 此时函数具有性质. 若，则函数在上严格单调递减， ， 故函数不具有性质. 若，则函数在上严格单调递增， “对恒成立”等价于“对恒成立”， 而在上严格单调递减，在上严格单调递增， 故，即， 即. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用反证法得到与定义像矛盾的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $