函数与导数：函数的单调性讲义-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：函数的单调性复习讲义 函数与导数：函数的单调性复习讲义 考点目录 单调性的定义与证明 单调性的应用：利用单调性求值域 单调性的应用：利用单调性解不等式 单调性的应用：复合函数的单调性 单调性的应用：分段函数的单调性 考点一 单调性的定义与证明 【知识点解析】 1. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间． 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调递增函数，称为的单调递增区间. 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调递减函数，称为的单调递减区间. ※ 对，或在上是增函数. 对，或在上是减函数. 2.单调性的证明方法 （1）作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. （2）导数法 ①函数在上单调递增在上导数恒成立. ②函数在上单调递减在上导数恒成立. （3）作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. 【例题分析】 考向一 判断函数单调性与单调区间 1．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江温州·期中）下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·云南昆明·期中）下列函数中，既是偶函数，又在区间是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 考向二 已知函数单调性求参数范围 1．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津南开·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的最小值为 ． 4．（25-26高三上·云南保山·开学考试）定义域为的函数在单调递减，则实数k的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 . 考点二 单调性的应用：利用单调性求值域 【知识点解析】 1.单调性的应用----求最值与值域 (1) 单调性唯一类型： ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. (2) 单调性不唯一类型： ①若函数在上单调递增，在上单调递减. 则，为和中更小的那一个. ②若函数在上单调递减，在上单调递增. 则，为和中更大的那一个. ※注意先讨论函数的定义域，进而讨论函数单调性. 【例题分析】 1．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数的定义域和值域都为，则（   ） A． B．0 C．1 D． 3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邯郸·二模·多选）已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 5．（24-25高一下·广东广州·期中·多选）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 6．（2025·甘肃白银·三模·多选）已知函数，且，则下列结论正确的有（    ） A．不一定有极值 B．当时， C．当时，的极小值为0 D．当时，在区间上的最小值为 7．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知对数函数过点，则的解析式为 ，在的最大值是 ． 8．（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 . 9．（24-25高三下·北京·开学考试）若函数存在最小值，则的最大值为 . 考点三 单调性的应用：利用单调性解不等式 【知识点解析】 1.单调性的应用----解不等式 (1) 若在上单调递增，且，则. (2) 若在上单调递减，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 【例题分析】 1．（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知对于，恒有，且当时，.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河南·开学考试·多选）已知函数的图象经过点，，则（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为 8．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是的极值点 B．当时，在区间上单调递减 C．若恒成立，则 D．若关于的不等式的解集为，则 9．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数，且满足，则实数的取值范围为 10．（25-26高三上·四川广安·开学考试）若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则的对称中心为 不等式的解集为 . 11．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为 ． 12．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数 是定义在 上的偶函数，记 为函数 的导函数，且满足 ，则不等式 的解集为 ． 13．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知是定义域为的函数，且满足，则不等式的解集是 . 14．（25-26高三上·天津和平·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ． 15．（2025·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 16．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)时，对于，不等式成立，求实数的取值范围． 考点四 单调性的应用：复合函数的单调性 【知识点解析】 1.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性同增异减. (2)注意定义域问题. 2.常见初等函数的单调性 函数 单调性 指数函数 ①若，则函数在上单调递减. ②若，则函数在上单调递增. 对数函数 ①若，则函数在上单调递减. ②若，则函数在上单调递增. 幂函数 ①若，则函数在上单调递减. ②若，则函数在上单调递增. ③幂函数在上的单调性，可根据定义域与奇偶性做出判断. 二次函数 ①若，则函数在上单调递增，上单调递减. ②若，则函数在上单调递减，上单调递增. 【例题分析】 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·天津滨海新·开学考试）函数的单调递增区间为 . 8．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 考点五 分段函数的单调性 【知识点解析】 1.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在上递增，在上递增，且. (2)若函数在上递减，则在上递减，在上递减，且. 【例题分析】 1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．[0，1] 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，若在上不具有单调性，则的取值范围是 . 8．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 课后提升训练 1．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·吉林白城·开学考试）当时，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·甘肃甘南·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·重庆·开学考试）设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知，若则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·福建三明·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．时， B．是的最大值 C．是的最小值 D．时，有三个零点 10．（2025·广东梅州·模拟预测·多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·江西南昌·开学考试·多选）已知函数，则以下说法正确的是（   ） A．有对称中心 B．有对称轴 C．的极小值为 D． 12．（24-25高一上·辽宁·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·重庆·期中）函数的增区间为 ． 14．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）函数（），若在上恒成立，则的取值范围是 . 15．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 16．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若函数的值域为，则 ． 17．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，其中为常数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：函数的单调性复习讲义 函数与导数：函数的单调性复习讲义 考点目录 单调性的定义与证明 单调性的应用：利用单调性求值域 单调性的应用：利用单调性解不等式 单调性的应用：复合函数的单调性 单调性的应用：分段函数的单调性 考点一 单调性的定义与证明 【知识点解析】 1. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间． 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调递增函数，称为的单调递增区间. 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调递减函数，称为的单调递减区间. ※ 对，或在上是增函数. 对，或在上是减函数. 2.单调性的证明方法 （1）作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. （2）导数法 ①函数在上单调递增在上导数恒成立. ②函数在上单调递减在上导数恒成立. （3）作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. 【例题分析】 考向一 判断函数单调性与单调区间 1．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由“对任意的时，均有”，得函数在上单调递增， 对于A，在上不单调递增，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 2．（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 3．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 4．（24-25高一上·浙江温州·期中）下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】奇函数是C和D，ABD都是增函数， 因此只有D中函数既是奇函数又是增函数， 故选：D． 5．（24-25高一上·云南昆明·期中）下列函数中，既是偶函数，又在区间是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，为偶函数，在上单调递减，故A错误； B选项，为奇函数，故B错误； C选项，为偶函数，在上单调递增，故C正确； D选项，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 6．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 考向二 已知函数单调性求参数范围 1．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 2．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知. 当时，，所以，在上单调递增； 当时，，在上不单调； 当时，，所以，在上单调递减. 综上，. 故选：C. 3．（25-26高三上·天津南开·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，因为单调递增， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上， 所以恒成立， 在上单调递减，所以， 所以， 则实数的最小值为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·云南保山·开学考试）定义域为的函数在单调递减，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令， 根据题意在上恒成立，且在单调递减. 若,则，不符合题意； 若,则，即， 解得. 故答案为：. 5．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上是减函数且恒成立， 所以,解得,综上，实数a的取值范围为. 故答案为： 考点二 单调性的应用：利用单调性求值域 【知识点解析】 1.单调性的应用----求最值与值域 (1) 单调性唯一类型： ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. (2) 单调性不唯一类型： ①若函数在上单调递增，在上单调递减. 则，为和中更小的那一个. ②若函数在上单调递减，在上单调递增. 则，为和中更大的那一个. ※注意先讨论函数的定义域，进而讨论函数单调性. 【例题分析】 1．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】令，则， 而函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值. 故选：D 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数的定义域和值域都为，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为， 三次函数的定义域和值域都为，所以，所以， 所以， 当时，不合题意； 当时，， 单调递减； 单调递增； 所以， 所以，即得. 故选：D. 3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化简可得：， 设,则. 由对勾函数的性值可知： 函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增， 当时，在处取得最小值，当或时，， 所以的值域为， 所以函数值域为， 故选：C. 4．（2025·河北邯郸·二模·多选）已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 【答案】BC 【详解】由题意可得， 因，则，故A不正确； 由得或，由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，故B正确，C正确， ，则函数在上的最小值为，故D不正确． 故选：BC. 5．（24-25高一下·广东广州·期中·多选）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数，B正确； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 6．（2025·甘肃白银·三模·多选）已知函数，且，则下列结论正确的有（    ） A．不一定有极值 B．当时， C．当时，的极小值为0 D．当时，在区间上的最小值为 【答案】ACD 【详解】当时，，函数在上单调递减， 函数无极值，故A项正确； 当时，， 且，则故B项错误； 当时，，且， 当或时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值故C项正确； 当时，同上分析知在上为减函数，在上为增函数， 当时，在区间上有最小值， 故D项正确. 故选：ACD. 7．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知对数函数过点，则的解析式为 ，在的最大值是 ． 【答案】 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 8．（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 . 【答案】/ 【详解】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意； 若，则的定义域为， 且由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，不符合题意； 若，则的定义域为， 由题意可得，则， 此时由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，符合题意； 综上， . 故答案为： 9．（24-25高三下·北京·开学考试）若函数存在最小值，则的最大值为 . 【答案】4 【详解】对于函数，在上单调递减，上单调递增，在上的最小值为0； 对于函数，开口向上且对称轴为， 所以函数在上单调递减，上单调递增，在上的最小值为； 综上，对于：当时，在上单调递减，上单调递增， 此时恒成立，所以不存在最小值； 当时，在上单调递减，上单调递增，此时最小值为； 当时，在上单调递减，,上单调递增，且， 又， 若时，，此时最小值为； 若时，，此时最小值为； 若时，，此时最小值为； 若时，，此时最小值为； 若时，，此时不存在最小值； 综上，，故的最大值为4. 故答案为：4 考点三 单调性的应用：利用单调性解不等式 【知识点解析】 1.单调性的应用----解不等式 (1) 若在上单调递增，且，则. (2) 若在上单调递减，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 【例题分析】 1．（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 则， 所以函数为奇函数， 因为， 所以恒成立，当且仅当时， 所以函数在上单调递增， 所以解不等式，等价于解不等式， 即解不等式，即， 所以. 故选：C 2．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 3．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数的定义域为R， 则，则， 又， 故在R上单调递增， 故，即，即， 则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C 4．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，知的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增． 由，可得． ，整理得． 解得或． 故选：D． 5．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，所以函数的定义域为， 又， ， 则，所以函数关于对称， 当时，， 由于函数与在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 即，解得，或. 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C 6．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知对于，恒有，且当时，.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知对于，恒有， 令，则， 令，则，所以为奇函数. 任取，则，已知当时，，则， 又，则， ，故为上的减函数，因， 由可得， 因为上的减函数，故对于恒成立， 令，则对于恒成立. 求导得， 当时，，在上单调递增，当时，，不合题意； 当时，令，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 在处取最小值， 要使恒成立，需使，即， 解得； 当时，，因为对于恒成立，符合题意. 综上，. 故选：B. 7．（25-26高三上·河南·开学考试·多选）已知函数的图象经过点，，则（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为 【答案】AC 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由前面计算可知，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，解得，故选项D错误； 故选：AC. 8．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是的极值点 B．当时，在区间上单调递减 C．若恒成立，则 D．若关于的不等式的解集为，则 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，则， 令，得到或，若，即时，，当且仅当时取等号， 此时在定义域上单调递增，无极值点，所以A错误， 对于B，当时，， 由，得到，所以在区间上单调递减，故B正确， 对于C，因为，则， 又恒成立，当且仅当时取等号，恒成立，当且仅当时取等号， 由恒成立，得到恒成立，即恒成立， 所以，解得，所以， 则 所以，故C正确， 对于D，由，得到，令， 则，令，得到或， 当，即时，时，，时，， 即的增区间为，减区间为， 又时，，，时，， 则存在唯一，使，所以的解集为， 即的解集为，所以满足题意， 当，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 所以在定义域上单调递增，又时，，时，， 则存在唯一，使，所以的解集为， 即的解集为，所以满足题意， 当，即时，时，，时，， 即的增区间为，减区间为， 又时，，，时，， 则在上，存在唯一，使， 要使关于的不等式的解集为，则， 整理得到，解得，所以， 综上所述，关于的不等式的解集为时，，所以D正确， 故选：BCD. 9．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数，且满足，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】由，得或，解得， 即的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 且， 显然为上的增函数， ，即， 可得，解得， 同时有，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（25-26高三上·四川广安·开学考试）若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则的对称中心为 不等式的解集为 . 【答案】 【详解】设函数的对称中心为，则为奇函数， 所以，所以， 即， 整理可得， 所以恒成立，则， 即，所以， 所以函数的对称中心为， 所以，从而可化为，即， 由为上单调递减函数， 所以，即． 故的解集为． 故答案为：；. 11．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】，， ，的每一项都除以不等号方向不变，即， ，设，则， ，，， 为R上的减函数，， 等价于，为R上的减函数， 的解为，等价于， 的解集为. 故答案为： 12．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数 是定义在 上的偶函数，记 为函数 的导函数，且满足 ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则， 故，其中为常数，故， 而为偶函数，故， 所以对任意恒成立，故即， 故题设中的不等式可转化为即， 设，则， 当或时，，当时，， 故在上为减函数，在，上为增函数， 而，，故的解为， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 13．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知是定义域为的函数，且满足，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由可得， 设，则，是常数函数. 又，， ，， 则不等式(*)， 令，，求导得， 令，，则， 故函数在上单调递增，则，即得， 故函数在上单调递增，又， 则,故可得. 故不等式的解集是. 故答案为：. 14．（25-26高三上·天津和平·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由，可得，即函数的定义域为， 由，且， 则， 因函数在上递增且为正数，而函数在上递增， 故函数在上为增函数，又与均为增函数， 故函数在上为增函数， 由不等式，等价于，即， 可得，解得. 故答案为：. 15．（2025·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. （2）由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3）由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 16．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)时，对于，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得，，则， 又，则在处的切线方程为； （2），， 若，则，则，则在上单调递增； 若或，则，由得，或， 由得，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （3）时，，由（2）可知，在上单调递增， 又，则为奇函数， 故可化为，即， 故对于，恒成立，即恒成立， 因，当且仅当时等号成立，故， 则实数的取值范围为. 考点四 单调性的应用：复合函数的单调性 【知识点解析】 1.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性同增异减. (2)注意定义域问题. 2.常见初等函数的单调性 函数 单调性 指数函数 ①若，则函数在上单调递减. ②若，则函数在上单调递增. 对数函数 ①若，则函数在上单调递减. ②若，则函数在上单调递增. 幂函数 ①若，则函数在上单调递减. ②若，则函数在上单调递增. ③幂函数在上的单调性，可根据定义域与奇偶性做出判断. 二次函数 ①若，则函数在上单调递增，上单调递减. ②若，则函数在上单调递减，上单调递增. 【例题分析】 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 故，而的定义域为，它关于原点对称， 故为上的偶函数. 当时，令， 由双勾函数的单调性可得在上为增函数，且 而在上为增函数，故在上为增函数， 而在上为增函数，故在上为增函数. 因为，故，故或， 故原不等式的解集为. 故选：D. 2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且的定义域为R，所以是偶函数， 当，令，则在上单调递增， 又在上单调递增，故在上单调递增， 由偶函数的对称性，在上单调递减， 当，由，则， 当，由，则， 当一正一负，不妨令，则， 显然与矛盾， 综上，. 故选：D 3．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 5．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 6．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 7．（25-26高三上·天津滨海新·开学考试）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】因为， 所以函数的定义域为或， 令，则， 因为在单调递减， 且在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为， 故答案为：. 8．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 【答案】(或) 【详解】函数的定义域为， 令在定义域上为增函数，则在上单调递增， 由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增， 即函数单调递增区间为． 故答案为：(或) 考点五 分段函数的单调性 【知识点解析】 1.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在上递增，在上递增，且. (2)若函数在上递减，则在上递减，在上递减，且. 【例题分析】 1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 2．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，，当时，，所以在单调递减， 由题意得，解得. 故选：D. 4．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．[0，1] 【答案】B 【详解】由条件可知，在区间上单调递减，则，即， 且在分界点处满足，得， 所以. 故选：B 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 6．（2025·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 7．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，若在上不具有单调性，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为在定义域上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 又，要使在上是增函数， 则，解得； 若在上不具有单调性，则或，即的取值范围是. 故答案为： 8．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 1（答案不唯一）， 【详解】因为，则时，，在上单调递增， 此时 时，，在上单调递增，此时， 故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足， 结合，则， 故a的一个取值可为1； 时，，令， 则，解得或； 时，，令， 则，解得， 当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意； 当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意； 故实数a的取值范围是， 故答案为：1（答案不唯一）， 课后提升训练 1．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 令，即，即， 画出与图象如下图所示： 故在时的解集为； 当时，， 由与均在上单调递增， 则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：不等式的解集是. 故选：A. 2．（25-26高二上·吉林白城·开学考试）当时，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以不等式可化为， 因为在上为减函数，则当时有最小值， 所以的取值范围是. 故选：B 3．（25-26高三上·甘肃甘南·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：函数的定义域为，且，所以为偶函数，错误； 对于B：函数的定义域为，且，所以为偶函数，错误； 对于C：函数的定义域为，且，所以为奇函数． 由在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，正确； 对于D：函数的定义域为，且，所以为偶函数，错误． 故选：C． 4．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 选项A：函数，在区间上单调递减，故A不正确； 选项B：由二次函数对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减，在单调递增，故B不正确； 选项C：由正弦函数可知函数在上有增有减，故C不正确； 选项D：由，所以， 所以函数在区间上单调递增，故D正确； 故选：D. 5．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． ，则在上单调递增， 由0，可得，即． 因为在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 6．（25-26高三上·重庆·开学考试）设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由求导得：， 所以在上是增函数， 又因为， 所以是奇函数， 则， 根据在上是增函数， 所以， 故选：C 7．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 所以关于直线对称，所以， 又因为在上单调递增，所以. 故选：B 8．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知，若则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，当时，. 所以函数的草图如下：    当时，因为单调递增，所以，故A可能成立； 当时，因为单调递减，所以，故B可能成立； 如图：    当时，，故C可能成立； 当时， 若，则，不符合； 若，则有，不符合； 若，则有，不符合； 若，则，不符合. 所以当时，不可能成立. 故选：D 9．（2025·福建三明·模拟预测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．时， B．是的最大值 C．是的最小值 D．时，有三个零点 【答案】AC 【详解】由题设， 当或，则，当，则， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 当时，时，，， 所以，在区间上值域为，在区间上值域为，在区间上值域为， 所以有最小值，无最大值，B错，C对， 当，则，则，A对， 当时，区间上，即该区间上无零点， 且，则在、各有一个零点， 所以此时共有2个零点，D错. 故选：AC 10．（2025·广东梅州·模拟预测·多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】的定义域为，不是，不符合题意，故A错误； 令，则在上函数单调递增，且，而单调递减， 由复合函数的单调性知在上单调递减，故B错误； 的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确； ，所以函数的定义域为，且，函数为偶函数， 当时，，由幂函数性质知，函数为增函数，故D正确. 故选：CD 11．（25-26高三上·江西南昌·开学考试·多选）已知函数，则以下说法正确的是（   ） A．有对称中心 B．有对称轴 C．的极小值为 D． 【答案】BCD 【详解】对于AB，由题，. 注意到为与有关的变量， 而当时，， 则无对称中心，有对称轴，故A错误，B正确； 对于C，，由AB分析，只分析其在上的单调性， 当时，，又， 则，当且仅当取等号， 则在上单调递增，由对称性可得在上单调递减， 则，故C正确； 对于D，，由B分析可知，， 时，，， 结合在上单调递减，则，故D正确. 故选：BCD 12．（24-25高一上·辽宁·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可得函数在上单调递减，所以对称轴， 又当时，恒成立，所以，解得. 综上：. 故答案为： 13．（24-25高一上·重庆·期中）函数的增区间为 ． 【答案】 【详解】令，由可得或， 又为增函数，的对称轴为，开口向上， 所以函数的增区间为或， 故答案为：. 14．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）函数（），若在上恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】若在上恒成立， 则在上恒成立， 因为，所以函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以函数的最小值为， 所以，解得：， 故的取值范围是. 故答案为：. 15．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 16．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若函数的值域为，则 ． 【答案】 【详解】令，，则， 令，则或， 由，可得；由，可得. 由单调递增，可知在上，上， 同理，由单调递增，可知在上，上， 因为函数的值域为，即，需满足，解得. 故答案为：. 17．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，其中为常数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意经过点，代入可得，，解得，， 此时，，符合题意， 故； （2）由（1）可得，，函数定义域为，设， 因在定义域内为增函数，而在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数. 由可得，， 由单调性可得，，即（*）， 因，，则（*）等价于 ， 故有. 即不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $