导数与函数的单调性讲义-2026届高三数学一轮复习

§3.2　导数与函数的单调性 课标要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用. 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上　　　　　　　  f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上　　　　　　　  f'(x)=0 f(x)在区间(a，b)上是　　　　　　  2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的　　　　　　；  第2步，求出导数f'(x)的　　　　；  第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0.(　　) (3)在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　) (4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(　　) 2.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是(　　) A.f(x)在(-3，1)上单调递增 B.f(x)在(1，3)上单调递减 C.f(x)在(2，4)上单调递减 D.f(x)在(3，+∞)上单调递增 3.函数f(x)=xln x的单调递减区间为(　　) A. B. C.(1，+∞) D.(0，1) 4.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=x2-ax+ln x(a∈R)的单调递减区间为，则a=　　　　　.  谨防四个易误点 (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则. (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式. (3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“=”不能少.必要时还需对“=”进行检验. (4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解. 题型一　不含参函数的单调性 例1　(1)若函数f(x)=x2-3x-4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　) A.(-∞，-1)，(4，+∞) B.(-1，4) C.(0，4) D.(4，+∞) (2)若函数f(x)=，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.  思维升华　确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 跟踪训练1　(多选)函数y=x4-2x2+5的单调递减区间可以为(　　) A.(-∞，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，+∞) 题型二　含参数的函数的单调性 例2　已知函数f(x)=e2x+(a-2)ex-ax. 讨论f(x)的单调区间. 思维升华　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点. 跟踪训练2　(2024·扬州质检)已知函数f(x)=ax2-(a+4)x+2ln x，其中a>0. 讨论f(x)的单调性. 题型三　函数单调性的应用 命题点1　比较大小或解不等式 例3　(1)已知函数f(x)=ln x-，设a=f(log32)，b=f(log0.20.5)，c=f(ln 4)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a (2)(2025·成都模拟)已知函数f(x)=3x-sin x，若f(a)+f(a2-2)>0，则实数a的取值范围为　　　　　.  常见组合函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果. 典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是(　　) A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2 C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x 命题点2　根据函数单调性求参数 例4　已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0). (1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 思维升华　由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立. (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0)在该区间上存在解集. 跟踪训练3　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 (2)(2024·石家庄模拟)已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 答案精析 落实主干知识 1.单调递增　单调递减　常数函数 2.定义域　零点 自主诊断 1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.C　3.A　4.3 探究核心题型 例1　(1)C　[因为f(x)=x2-3x-4ln x，定义域为(0，+∞)， 所以f'(x)=x-3-==， 令f'(x)<0，解得0<x<4， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，4).] (2)(0，1) 解析　f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=， 令φ(x)=-ln x-1(x>0)， φ'(x)=--<0， φ(x)在(0，+∞)上单调递减， 且φ(1)=0， ∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0， 即f'(x)>0， 当x∈(1，+∞)时，φ(x)<0， 即f'(x)<0， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. ∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1). 跟踪训练1　AC　[由题意得y'=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1)， 令y'<0，解得x<-1或0<x<1， 结合选项可知函数y=x4-2x2+5的单调递减区间可以为(-∞，-1)，(0，1).] 例2　解　由题意可知f(x)的定义域为R，且f'(x)=2e2x+(a-2)ex-a =(2ex+a)(ex-1)， ①若a≥0，则2ex+a>0， 令f'(x)>0，解得x>0； 令f'(x)<0，解得x<0， 可知f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增； ②若a<0，令f'(x)=0， 解得x=ln或x=0， (ⅰ)当ln<0， 即-2<a<0时， 令f'(x)>0， 解得x>0或x<ln； 令f'(x)<0，解得ln<x<0， 可知f(x)在上单调递减，在，(0，+∞)上单调递增； (ⅱ)当ln=0，即a=-2时， 则f'(x)=2(ex-1)2≥0，可知f(x)在R上单调递增； (ⅲ)当ln>0，即a<-2时， 令f'(x)>0， 解得x<0或x>ln； 令f'(x)<0，解得0<x<ln， 可知f(x)在上单调递减，在(-∞，0)，上单调递增. 综上所述，若a≥0，f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)； 若-2<a<0，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，(0，+∞)； 若a=-2，f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若a<-2，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(-∞，0)，. 跟踪训练2　解　函数f(x)=ax2-(a+4)x+2ln x的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2ax-(a+4)+ = =， 因为a>0，由f'(x)=0， 可得x1=，x2=， ①若>，则0<a<4， 当<x<时，f'(x)<0， 即函数f(x)在上单调递减， 当0<x<或x>时，f'(x)>0， 即函数f(x)在和上单调递增； ②若a=4，对任意的x>0，f'(x)=≥0，即函数f(x)在(0，+∞)上单调递增； ③若<，则a>4， 当<x<时，f'(x)<0， 即函数f(x)在上单调递减， 当0<x<或x>时，f'(x)>0， 即函数f(x)在和上单调递增. 综上所述，当0<a<4时，函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减； 当a=4时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>4时，函数f(x)在和上单调递增， 在上单调递减. 例3　(1)A　[因为f(x)=ln x-，则x∈(0，+∞)， 所以f'(x)=-= =， 又当x∈(0，+∞)时，ex>1，-≥-， 所以f'(x)>0恒成立， 所以f(x)=ln x-在(0，+∞)上单调递增. 又0<log32<1， 0<log0.20.5=lo=log52<log32， ln 4>1， 所以ln 4>log32>log0.20.5， 则c>a>b.] (2)(-∞，-2)∪(1，+∞) 解析　函数f(x)=3x-sin x的定义域为R，且f(-x)=-3x+sin x=-f(x)， 所以f(x)=3x-sin x为奇函数， 又f'(x)=3-cos x>0， 所以f(x)=3x-sin x在R上单调递增， 不等式f(a)+f(a2-2)>0， 即f(a2-2)>-f(a)=f(-a)， 等价于a2-2>-a， 解得a>1或a<-2， 所以实数a的取值范围为(-∞，-2)∪(1，+∞). 微拓展 典例　ACD　[依题意，函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数. 对于A，g(x)=xex，g'(x)=(x+1)ex， 当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0， ∴g(x)在(-∞，-1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)=x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)=xln x，x>0， g'(x)=1+ln x， 当x∈时，g'(x)<0， ∴g(x)在上单调递减， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)=xsin x， g'(x)=sin x+xcos x， 当x∈时，g'(x)<0， ∴g(x)在上单调递减， 故D中函数不是“F函数”.] 例4　解　(1)因为f(x)在[1，4]上单调递减， 所以当x∈[1，4]时，f'(x)=-ax-2≤0恒成立， 即a≥-恒成立. 设G(x)=-，x∈[1，4]， 所以a≥G(x)max， 而G(x)=-1， 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max=-(此时x=4)， 所以a≥-， 又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪(0，+∞). (2)因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间， 则f'(x)<0在[1，4]上有解， 所以当x∈[1，4]时，a>-有解， 又当x∈[1，4]时，=-1(此时x=1)， 所以a>-1，又因为a≠0， 所以实数a的取值范围是(-1，0)∪(0，+∞). 跟踪训练3　(1)C　[依题可知，f'(x)=aex-≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0， 所以xex≥在(1，2)上恒成立， 设g(x)=xex，x∈(1，2)， 所以g'(x)=(x+1)ex>0， 所以g(x)在(1，2)上单调递增， g(x)>g(1)=e，故e≥， 即a≥=e-1， 即a的最小值为e-1.] (2)D　[构造函数f(x)=，x∈(0，+∞)， 则f'(x)=， 令f'(x)>0，得0<x<e， 令f'(x)<0，得x>e， 因此f(x)=在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减， 而a===f(4)，b===f(e)，c==f(3)， 因为4>3>e，所以f(e)>f(3)>f(4)，即b>c>a.] 学科网（北京）股份有限公司 $