函数的奇偶性对称性周期性与其导函数的奇偶性对称性周期性讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕函数与导数专题，系统整合函数的奇偶性、对称性、周期性及其导函数性质的核心考点，按原函数与导函数性质的内在联系构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破性质转换难点，形成系统复习路径。 资料突出专题化与实战化特色，以10组性质判断培养学生数学思维，结合2022新高考卷等真题实例指导学生用数学眼光分析问题，设置基础判断、典例解析、综合应用分层练习，确保高效突破考点，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

高中数学精选专题-函数与导数 函数的奇偶性对称性周期性 与其导函数的奇偶性对称性周期性 湖北天门 薛德斌 判断下列说法是否正确． 已知函数在定义域内可导． 1．是奇函数是偶函数． 2．是偶函数是奇函数． 是偶函数，且在处导数存在． 3．的图象关于点中心对称的图象关于直线轴对称． 4．的图象关于直线轴对称的图象关于点中心对称． 的图象关于直线轴对称，且在处导数存在． 5．是偶函数是奇函数． 6．是奇函数是偶函数． 7．的图象关于直线轴对称的图象关于点中心对称． 8．的图象关于点中心对称的图象关于直线轴对称． 9．是周期为的函数是周期为的函数． 10．是周期为的函数是周期为的函数． 【答案】正确的有1．2．3．4．6．9． 例1.【2022年新高考全国卷ⅠT12/12】（多项选择题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 例2．（多项选择题）定义在上的非常数函数的导函数为，若为偶函数且，则下列说法中一定正确的是（ ） A．函数的图象关于直线对称 B．6是函数的一个周期 C． D．函数的图象关于直线对称 例3．【贵州省贵阳市2024届高三下学期适应性考试一T8/8】已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 高中数学精选专题-函数与导数 函数的奇偶性对称性周期性 与其导函数的奇偶性对称性周期性 湖北天门 薛德斌 已知函数在定义域内可导． 1．是奇函数是偶函数． 2． 是偶函数是奇函数． 是偶函数，且在处导数存在． 3．的图象关于点中心对称的图象关于直线轴对称． 4． 的图象关于直线轴对称的图象关于点中心对称． 的图象关于直线轴对称，且在处导数存在． 5．是偶函数的图象关于点中心对称，其中，为定义域内任一值． 例：，． 6．是奇函数是偶函数． 7．的图象关于直线轴对称的图象关于点中心对称，其中，为定义域内任一值． 例：，． 8．（1）的图象关于点中心对称的图象关于直线轴对称．（×） 例：，． 事实上，（为常数）． （2）的图象关于点中心对称的图象关于直线轴对称． 9．是周期为的函数是周期为的函数． 10．是周期为的函数是周期为的函数．（×） 例：，． 事实上，（为常数）． 例1.【2022年新高考全国卷ⅠT12/12】（多项选择题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导，所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解. 例2．（多项选择题）定义在上的非常数函数的导函数为，若为偶函数且，则下列说法中一定正确的是（ ） A．函数的图象关于直线对称 B．6是函数的一个周期 C． D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 解：对于A：因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称，所以A正确； 对于B：由得，所以，即4是函数的一个周期，若6也为函数的一个周期，则，那么，即为常数函数，不合题意，所以B错误； 对于C：由A可知，对于可令得，所以，所以C正确； 对于D：∵的图象关于直线对称，∴由，可得，即，∴函数的图象关于点中心对称，∴函数的图象关于直线对称，所以D正确． 故选ACD． 例3．【贵州省贵阳市2024届高三下学期适应性考试一T8/8】已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【要点】奇偶性＋导数＋单调性＋解不等式 解：∵函数是偶函数，∴是奇函数． 又∵函数也是偶函数，∴，∴， ∴． ∵为减函数，为增函数，∴为减函数， ∵，∴当时，，且在上可导，∴在上单调递减， 根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增． ∴，∴或， ∴不等式的解集为．故选D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $