专题10 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题10 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③；(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，连接BE．①当时，为中点， 是等腰直角三角形，， 又，，， 在和中，，； ②；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ． ③；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ；如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形∴设，则 ∴ ∴ 由题意得，∴ ∴当时，和没有交点; ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则，， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形，，，，，， 在等腰中，，当时，；当时，取得最大， ，，， 在中，，，此时面积最大，． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（2024·山东青岛·二模）如图，在中，，，是边上一点，，点分别在边上，且． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则线段之间的数量关系：______； (3)请你通过类比、猜想、归纳，写出之间数量关系的一般结论：______． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）连接，∵，，， ∴，，，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，故答案为：； （2）过点作于，于，∵，，∴， ∵，，∴和是等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴，∴，设，， ∴，，∴，∵，，， ∴四边形是矩形，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，故答案为：； （3）如图，过点作于，于， ∵，，∴，∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴，∴，设，， ∴，，∴，∴， ∵，，，∴四边形是矩形， ∴，∴，又∵， ∴，∴，∴，∴， 故答案为：． 例2（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，．∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．．又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）若点E是 的中点，则点F也是 的中点，理由见解；（2）成立，理由见解；（3）若点E是上任意一点，（2）中的结论仍然成立，理由见解． 【详解】解：（1）于点D，， ∵点E是的中点，，， ，，， 又，， ，，即点F是的中点； （2）旋转过程中，若，那么等式成立． 理由如下：，∴四边形是矩形， ，，，； （3）若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论仍然成立． 理由如下：，， ，，同理证得，则，，同理证得， 则，，即． 例3（2024·广西贺州·一模）【特例探究】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的______，说明理由． 【类比迁移】如图②，正方形的对角线上一点P，，且． （1）判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由； （2）若，，当点F与点B重合时，求的长． 【答案】【特例探究】，理由见解析；【类比迁移】（1），理由见解析；（2） 【详解】解：特例探究：四边形是正方形，，，， ，，，， 四边形的面积 正方形的面积，故答案为：； 类比迁移：（1），理由如下：如图②中，过点作于点， 于点， 四边形是正方形，， ，，，等腰直角三角形， ，，， ，，， ，，； （2）如图③，过点作于点， 于点， ，，，，， ，， ，，． 例4（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】解：（1）连接， ∵，∴菱形、都是正方形， ∴，，，， ∵，∴是中点，∴，，， 又，∴，∴，∴， 又，∴，故答案为：； （2）过作，交于M，，交于N， ∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴，，，， ∴是等边三角形，∴， ∴平行四边形是菱形，∴， ∵，，∴，∴， 又，∴，∵，∴； （3）过作于H， 设，∵，∴，∴，∴， 在中，，在中，， ∴解得或3，∴或3， 又，，∴或． 例5（24-25九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 【答案】(1)①见解析  ②(2) 【详解】（1）①证明:过点作，垂足分别为，         ∵是的平分线,∴ . 由,∴,∴, ∵,∴.∴.∴； ②，，，，            ，，，； （2）当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时， ∵,,∴.∴.∴.在中, ； ②当点在延长线上时，∵,∴. ∵, ,,∴.同理， ∴，，，∴∴ ，，，，综上所述. 例6（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）PD=PE，证明见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【详解】（1）PD=PE 证明：过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°， ∴△BPF为等边三角形，∴FP=BP，∵BP=CP，∴FP=CP ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF≌△PEC，∴PD=PE． 图① 图② 图② （2） 过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°，∴△BPF为等边三角形， ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF∽△PEC， ∴，又∵，∴，∴． （3）在图②中，连接AP，过点A作AO⊥BC于O， ∵∠B=60º，∴∠BAO=30º∵AB=8，∴BO=4， 在Rt△APO中，AP=7，∴BP=3，PC=5， 由（2）知△PDF∽△PEC，BP=BF=PF=3∴，又BD=2，∴，解得：， 同理，如备用图，BP=5，PC=3，由得：，解得：，故CE的长为 例7（2024·山东·校考一模）已知：是等边三角形，点是边上任意一点． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，点是的中点，，交延长线于点，过点作于点，且，：：求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ，，， ，，，． （2）解：是等边三角形，， ，，，，， 点是的中点，，，，， ，，， ，∽，， ，：：．，，， 如图，作，，即，，， ，即，，， ，，，． 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 又∵，∴∴四边形是矩形∴， ∵∴，∴∴ ∵设，则∵中，，， ∴，在中，∴∴ 在中，，∴，故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，是等边三角形，是边的中点，以为顶点作一个的角，角的两边分别交直线，于，两点，以点为中心旋转（的度数不变），若与垂直时（如图（1）所示）证． （1）如图（2），若与不垂直，点在边上，点在边上，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图（3），若与不垂直时，点在边上，点在边的延长线上，上述结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，不用证明． 【答案】（1）结论成立，理由详见解析；（2）上述结论不成立，，，之间的数量关系为 【详解】（1）如图（1），过点作，交于点 ∵∴ 且 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵是边的中点∴ ∵∴DE是中位线 ∴且 ∴∴ ∴ ∴ （2）如图（2），过点作交于点 ∵是等边三角形∴∴ ∵∴且 ∴且 ∵ ∴ 又∵∴∴∴ ∵且是边的中点∴且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴上述结论不成立，． 3．（2024·河南信阳·一模）数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图，小东同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线，相交于点，边与相交于点． (1)如图①，当时，线段与的数量关系是______； (2)将图①中的旋转到如图②所示的位置，请判断线段与的数量关系是否发生变化，并说明理由．(3)在（2）的情况下，若绕点旋转时，边与的交点始终在线段上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)(2)不变，见解析(3) 【详解】（1）∵，∴． ∵点C为EF中点，∴CG为中位线，∴．∵，∴． ∵点C为EF中点，∴CH为中位线，∴点H为DE中点，∴∴． ∵，∴，即； （2） 理由：如图，分别取，的中点，，连接，． ∵，，分别为，，的中点，∴，，，． 又∵，∴，，∴， ∴，∴，∴． 又∵，∴∴．由（1）可知，∴； （3）由（2）中结论知∴，∴． ∵，∴．又易知， 如（2）图，当点在点左下侧时，， 如图，当点在点右上侧时， 综上可知线段的长度为． 4．（24-25九年级下·浙江·期中）如图1，点在正方形的对角线上，正方形的边长是，的两条直角边分别交边于点．    （1）操作发现：如图2，固定点，使绕点旋转，当时，四边形是正方形． 填空：①当时，四边形的边长是_____； ②当（是正实数）时，四边形的面积是______； （2）猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点在矩形的对角线，的两条直角边分别交边于点，固定点，使绕点旋转，则______； （3）拓展探究：如图4，当四边形满足条件：，，时，点在对角线上，分别交边于点，固定点，使绕点旋转，请探究的值，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3），理由见解析 【详解】（1）① ，，，，，，，，即，，∵四边形是正方形，∴四边形的边长是． ② 当时，，，，∴四边形的面积为． （2） 如图，       过点作于点，于点，则，，又，，，．由，，得，，，，即，． （3）．理由如下： 如图，过点作交于点，交于点，则， ，，即，， ，，又，， ，．由，，得，， ，即，． 5.（24-25九年级上·江西·校考期中）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（　　） A、DP＜DQ       B、DP＝DQ      C、DP＞DQ      D、无法确定 ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为　　（直接写出结论，不必证明） （2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①B；②DP＝2DQ，理由见解析；③DP＝nDQ；（2）存在，，最小值是5，最大值为10，理由见解析． 【详解】解：（1）①DP＝DQ， 理由：如图2，连接CD，∵AC＝BC，△ABC是等腰直角三角形， ∴AD＝CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ， 在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（ASA），∴DP＝DQ； ②DP＝2DQ，理由：如图3，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为：M，N， 则∠DMP＝∠DNQ＝90°，∴∠MDP＝∠NDQ，∴△DPM∽△DQN，∴＝， ∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，∴△AMD∽△BND， ∴＝，∴＝＝＝2，∴DP＝2DQ； ③如图1，过D点作DM⊥CB于点M，作DN⊥AC于点N， ∵∠C＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP+∠QDB＝90°，可得：∠MDN＝90°，∴∠QDM＝∠NDP， 又∵∠DNP＝∠DMQ，∴Rt△DNP∽Rt△DMQ，∴＝， ∵由（1）知，△ADN∽△BDM，∴＝＝，∵AD＝nBD，∴＝＝＝n， ∴DP与DQ满足的数量关系式为：DP＝nDQ；故答案为：DP＝nDQ； （2）存在，设DQ＝x，由（1）①知，DP＝x，∴S＝x•x＝x2， ∵AB＝20，∴AC＝BC＝10，AD＝BD＝10， 当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值，S最小＝×（5）2＝25， 当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，此时，S有最大值，S最大＝×102＝50． 6．（2024·贵州铜仁·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【答案】（1）证明如下（2）（3）当点在射线上时，，当点在延长线上时， 【详解】（1）证明：连接, ,,, ,，,, , （2），理由如下：过点作于，于， ,,,和是等腰直角三角形， ,， ,; 设,,, ,四边形是矩形，,, 又，， , （3）如图，当点在射线上时，过点作于于， ,, 和是等腰直角三角形， ，， ,设, ,, ，四边形是矩形， ，又,， , 当点在的延长线上时，如图,, 和是等腰直角三角形， ，， ,设, ，， ，四边形是矩形， ， 又，， ，     综上所述：当点在射线上时，， 当点在延长线上时，． 7.（24-25九年级上·成都·开学考试）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：如图1，在中，，，点D为边中点，点E为边上的动点，过点D作交于点F． 【初步感知】（1）在点E的运动过程中，线段与始终相等，请证明； 【深入探究】（2）取线段中点P，连接交于点H，试探究线段，之间的数量关系和位置关系，请写出结论并证明； 【拓展运用】（3）在（2）的条件下，连接．当平分时，求的值． 【答案】（1），理由见解析；（2），，理由见解析；（3） 【详解】解∶（1） 理由：如图1，连接， ∵，，点D为边中点， ∴，，，， ∴，，∴，∴； （2），理由：如图2，过D作交于点Q，由（1）同理可得， ∵，，∴， 又，∴，∴， ∵，∴，又，∴， ∵E是中点，∴，∴， 又，∴，，又∴，； （3）如图3，过点A作于G，于N， 则四边形是矩形，∴，∵平分，∴， ∵，，∴， 又，∴，∴， ∵， ∴，∴，∴． 8．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）综合与实践 问题情境：在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N， 猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； 【答案】(1)四边形为矩形，理由见解析(2) 【详解】（1）解：四边形为矩形，理由如下： ∵点为的中点，点为的中点，∴．∴， ∵，∴，又∵，∴四边形为矩形． （2）解：连接．在中，，∴， ． ∵点为的中点，∴，．∴． ∵，∴，∵，∴．∴． ∵，∴．∴，即：，∴． 9．（24-25九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 【答案】(1)①见解析  ②(2) 【详解】（1）①证明:过点作，垂足分别为，       ∵是的平分线,∴ .由, ∴,∴,∵,∴. ∴.∴； ②，，，，            ，，，； （2）当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时，∵,,∴.∴.∴.    在中, ； ②当点在延长线上时，∵,∴. ∵, ,,∴.同理，∴， ，，∴∴ ，，，，综上所述. 10．（2025·四川成都·二模）【情景导入】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某校数学社团小组在探究矩形性质时发现：当动点在线段上运动时，某些线段的比例关系会呈现规律性变化． 在矩形中，连接，，；点是边边上的一点，且（为正整数），连接交于点，为边上一动点，过点作的垂线交直线于点，该小组对此展开如下探究： 【任务分层】(1)任务一：基础研究:如图1，当时，该小组发现，如果过点作矩形和边的垂线，通过构造相似，可以得到的比值，请你根据该小组的探究方法，直接写出的比值_____． (2)任务二：综合探究:①如图2，当时，该小组利用任务一中的方法，由特殊到一般探究的比值，直接写出的比值_____．（用含的代数式表示） ②当时，以，为边作矩形，若，求的长． (3)任务三：创新应用:如图4，以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，求对角线扫过的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)(2)①；② (3) 【详解】（1）解：过点作矩形和边的垂线垂足分别为，，则， ∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵过点作的垂线交直线于点，∴，∴， ∴，∴， 又，∴，∴， ∵，，∴，∴，同理可得， ∴，∴，即，∴，故答案为：； （2）①过作交延长线于点，过作，交于点，交于点，于点，∵，，∴四边形是矩形，∴， 同理可得：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，，，∴，，， ∴，，又，∴，∴， ∴，∴，又，∴， ∴，∴，∴， 与（1）同理可证：，∴，故答案为：； ②当时，以，为边作矩形， 过作，交于点，交于点，过作的延长线于点， ∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， 又，∴，∴， 延长与交于点，∵四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 又，，∴，∴， ∴，∴，∵四边形是矩形，∴， ∵，，∴，，∴四边形是矩形， ∴，同理可得是矩形，∴，∴，∴， ∵在矩形中，，，， ∴，解得：，∴， 又在矩形中，，∴，又，∴， 又在矩形中，，，∴， 当时，，∴，∴， ∴，∴，，∴， 又，∴， ∴;∴，与①同理可证：， ∴，∴，解得：，∴， ∴，∴； （3）以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，对角线扫过的图形是一个三角形，当点在点时，∵四边形是矩形，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，， 又，∴； 当点在点时，过点作于， ∵，，∴， ，∴， ∴， 又，∴， ∵，，，∴， ， ∴对角线扫过的面积为． 11．（24-25九年级上·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．    问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：． （3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）∵在等边中，，，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即，∴； （2）如图，连接，过D作于M，作于N， ∵是等边三角形，D为的中点， ∴是的平分线，，∴，， 又∵，∴，∴， ∴在与中，，∴，∴；       （3）过点分别作于，于， 在中，，是的中点，， ，，，，， 是的中点，是的中位线，是的中位线，，， 四边形为矩形，，， ，， ，，． 12．（2025·河南驻马店·三模）在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之间以及角之间的关系进行了进一步探究． 【问题发现】（1）如图1，在中，，，为的中点，，则______． 【尝试探究】（2）如图2，在中，，，为上一点，，为上一点，连接，作，交于点．请探究的值，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出面积的最小值为______，最大值为______． 【答案】（1）1（2），理由见解析（3）， 【详解】（1）解：如图，过点P分别作，垂足分别为， ∵在中，，，∴， ∵，∴，∴是等腰直角直角三角三角形， 同理是等腰直角直角三角三角形，∴， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：过点P分别作，垂足分别为， 同理（1）得四边形是矩形，则 ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，又∵，∴， ∵，∴∴，∴， ∵，∴，∴； （3）解：由（2）知，即， ∵，∴，连接， ∴当两点重合，则时，有最小值，即有最小值，此时，， ∴的最小值为，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴当两点重合时，有最大值，则有最大值，即有最大值， 此时，，∴的最大值为； ∴面积的最小值为，最大值为． 13．（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【回归教材】通过对教材的学习，小明学习到这样一个知识：如图①，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，正方形绕点旋转的过程中，边，分别交正方形的边，于点，，在旋转过程中，两个正方形重叠的面积（阴影部分）是一个正方形面积的． 【提出问题】（1）①请证明上述结论；②通过观察，小明发现线段，，之间存在一定的数量关系，请写出该关系并说明理由； 【拓展迁移】（2）如图②，在等边中，为的中点，绕点旋转，且，交线段于点，交线段于点，请判断此时线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图③，在等腰中，，，为上一点，的边交于点，边交于点，且，连接，若，，求的长． 【答案】（1）①证明见解析②，证明见解析 （2），证明见解析（3）的长为或 【详解】解：（1）①在正方形中，，， 又∵在正方形中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴； ②，理由如下： 由①可知，∴，∴； （2），理由如下：如解图①，取的中点，连接， ∵为中点，为的中点，∴，，，， ∴，，在等边中，，，∴，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴； （3）如解图②、解图③，取的中点，连接， ∴在等腰中，，，∴， ∵，∴，∴在上存在两个点满足， 且，∴或． 分情况讨论：①当时，如解图②，过点分别作于点，于点， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，在等腰中，，∴， ∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②当时，即，如解图③，过点分别作于点，于点， 结合对称性同①可得，，，∴． 综上所述，的长为或． 14．（2025·安徽池州·三模）在四边形中，，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，连接交于点P，设．①若，求证：；②若，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【详解】（1）证明：过点B作，的垂线，垂足为分别为E，F，如图1． 平分，．又，， ．，四边形为矩形， ，，即． （2）证明：①当时，．，，． 又，平分，， ∵，，，． 又，在中，． ②解：延长至点Q，使，连接，如图2． ，∴，， ，，，， ，为等腰直角三角形，，设，则， ，，，， 由①得，即，解得：， ，，即． 15．（2024·广东·校考一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【详解】（1）正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点 ，，， ，即， 在和中，； （2）如图，过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，      四边形和四边形都是矩形，，，， ，，， ， ，， ，，，即，，； （3）如图，过点作的垂线交于点， 设，则，设，则， ，，， 又，， ，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形 ∴，(有公共角且都有直角)， ，∴，∵，即， ∴，，设，则， ∵，即，∴， 与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ，即， ∴，即，∴，∴， ∴． 16．（2024·河南信阳·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或 【详解】解：当时，即：，，， ，，， ，， 即，∽，， ，，∽，， ，，，，， ，， 即，∽，， ，，∽，， 成立如图3，，，又，，， ，， 即，∽，， ，，∽，，． 由有，∽，，，， 如图4图5图6，连接EF．在中，，，， 如图4，当E在线段AC上时， 在中，，， 根据勾股定理得，，，或舍 如图5，当E在AC延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，，，，或舍， ③如图6，当E在CA延长线上时，在中，，， 根据勾股定理得，，， ，或（舍），综上：或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（2024·山东青岛·二模）如图，在中，，，是边上一点，，点分别在边上，且． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则线段之间的数量关系：______； (3)请你通过类比、猜想、归纳，写出之间数量关系的一般结论：______． 例2（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，．∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．．又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 例3（2024·广西贺州·一模）【特例探究】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的______，说明理由． 【类比迁移】如图②，正方形的对角线上一点P，，且． （1）判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由； （2）若，，当点F与点B重合时，求的长． 例4（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 例5（24-25九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 例6（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 例7（2024·山东·校考一模）已知：是等边三角形，点是边上任意一点． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，点是的中点，，交延长线于点，过点作于点，且，：：求线段的长． 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，是等边三角形，是边的中点，以为顶点作一个的角，角的两边分别交直线，于，两点，以点为中心旋转（的度数不变），若与垂直时（如图（1）所示）证． （1）如图（2），若与不垂直，点在边上，点在边上，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图（3），若与不垂直时，点在边上，点在边的延长线上，上述结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，不用证明． 3．（2024·河南信阳·一模）数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图，小东同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线，相交于点，边与相交于点． (1)如图①，当时，线段与的数量关系是______； (2)将图①中的旋转到如图②所示的位置，请判断线段与的数量关系是否发生变化，并说明理由．(3)在（2）的情况下，若绕点旋转时，边与的交点始终在线段上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 4．（24-25九年级下·浙江·期中）如图1，点在正方形的对角线上，正方形的边长是，的两条直角边分别交边于点．    （1）操作发现：如图2，固定点，使绕点旋转，当时，四边形是正方形． 填空：①当时，四边形的边长是_____； ②当（是正实数）时，四边形的面积是______； （2）猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点在矩形的对角线，的两条直角边分别交边于点，固定点，使绕点旋转，则______； （3）拓展探究：如图4，当四边形满足条件：，，时，点在对角线上，分别交边于点，固定点，使绕点旋转，请探究的值，并说明理由． 5.（24-25九年级上·江西·校考期中）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（　　） A、DP＜DQ       B、DP＝DQ      C、DP＞DQ      D、无法确定 ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为　　（直接写出结论，不必证明） （2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 6．（2024·贵州铜仁·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 7.（24-25九年级上·成都·开学考试）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：如图1，在中，，，点D为边中点，点E为边上的动点，过点D作交于点F． 【初步感知】（1）在点E的运动过程中，线段与始终相等，请证明； 【深入探究】（2）取线段中点P，连接交于点H，试探究线段，之间的数量关系和位置关系，请写出结论并证明； 【拓展运用】（3）在（2）的条件下，连接．当平分时，求的值． 8．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）综合与实践 问题情境：在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N， 猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； 9．（24-25九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 10．（2025·四川成都·二模）【情景导入】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某校数学社团小组在探究矩形性质时发现：当动点在线段上运动时，某些线段的比例关系会呈现规律性变化． 在矩形中，连接，，；点是边边上的一点，且（为正整数），连接交于点，为边上一动点，过点作的垂线交直线于点，该小组对此展开如下探究： 【任务分层】(1)任务一：基础研究:如图1，当时，该小组发现，如果过点作矩形和边的垂线，通过构造相似，可以得到的比值，请你根据该小组的探究方法，直接写出的比值_____． (2)任务二：综合探究:①如图2，当时，该小组利用任务一中的方法，由特殊到一般探究的比值，直接写出的比值_____．（用含的代数式表示） ②当时，以，为边作矩形，若，求的长． (3)任务三：创新应用:如图4，以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，求对角线扫过的面积．（用含的代数式表示） 11．（24-25九年级上·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．    问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：． （3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 12．（2025·河南驻马店·三模）在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之间以及角之间的关系进行了进一步探究． 【问题发现】（1）如图1，在中，，，为的中点，，则______． 【尝试探究】（2）如图2，在中，，，为上一点，，为上一点，连接，作，交于点．请探究的值，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出面积的最小值为______，最大值为______． 13．（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【回归教材】通过对教材的学习，小明学习到这样一个知识：如图①，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，正方形绕点旋转的过程中，边，分别交正方形的边，于点，，在旋转过程中，两个正方形重叠的面积（阴影部分）是一个正方形面积的． 【提出问题】（1）①请证明上述结论；②通过观察，小明发现线段，，之间存在一定的数量关系，请写出该关系并说明理由； 【拓展迁移】（2）如图②，在等边中，为的中点，绕点旋转，且，交线段于点，交线段于点，请判断此时线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图③，在等腰中，，，为上一点，的边交于点，边交于点，且，连接，若，，求的长． 14．（2025·安徽池州·三模）在四边形中，，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，连接交于点P，设．①若，求证：；②若，求k的值． 15．（2024·广东·校考一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    16．（2024·河南信阳·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $