专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，， ∴，∴． （3）∵，， ∴，∴．∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（24-25·陕西西安·九年级校考期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，若的边长为6，，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 例2（24-25·浙江·九年级专题练习）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）∵，∴，∵，∴，解得：． 例3（2024·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 【答案】⑴的长1或4;⑵① ;②或3- 【详解】解：⑴，，， 又梯形中，，，，， 设，，，解得，，的长1或4; ⑵①由⑴易得（如图），，即， ②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴,或， ，解得：AP=2或3−. 例4（24-25九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4 【详解】解：（1）证明：，， ，，， 又，，，； （2）结论仍成立；理由如下：， 又，，，， 又，， ，； （3），，，，， 是等腰直角三角形，，，，． 例5（24-25·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：；②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】（1）①见解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析 【详解】（1）①证明：∵，，∴．∴． 又∵，∴．∴； ②解：分三种情况： （i）当，时，得到，点分别与重合，∴． （ii）当时，在△ABD和△DCE中，，∴，∴， ∵BC=，∴，∴； （iii）当时，有， ∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1． （2）解：存在．∵，∴． ∵，∴． ∴，∴，∴，当，． （3）解：不存在．理由如下：如图， ∵和不重合，∴，又，，∴≠． 例6（24-25宜宾市九年级上期中）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．其中所有正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤ 【答案】B 【详解】依题意得，，，，，， 又，，故①正确；如图，标记如下角， ，，，， ，，∴，故②正确； 在与中，（ASA），， 又点是的中点，，，，， ，，， 在与中，（SAS），， 是直角三角形，，，即点不是线段的中点，故③不正确； 是等腰直角三角形，， ，， ，，，，故④正确； ，，点是的中点，， ，即，故⑤错误．综上所述，①②④正确．故选：B． 例7（24-25广东九年级上月考）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)见解析(2)存在， 【详解】（1）证明：，，， ，，又，； （2）解：存在使得与相似．理由如下：假设与相似， 存在两种情况：①当，则有与互余，于是，因此此种情况不成立； ②当，使得与相似，设，则， ，，，， ，，即，解得，（负值舍去）． 存在使得与相似． 1．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形，， ，，，，， ，，故选：A． 2．（24-25安徽九年级期中）如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连 接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：依题意可得BC∥AG，∴△AFG∽△CFB，∴， 又AB＝BC，∴．故结论①正确；如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4． 在△ABG与△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD， 又∵BD＝AD，∴AG＝AD；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB；∴AG＝AD＝AB＝BC； ∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∵∠ABC＝90°，∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径， ∵BG⊥CD，∴，∴DF＝DB，故③正确； ∵，AG＝BD，，∴，∴＝， ∴AF＝AC，∴S△ABF＝S△ABC；∴S△BDF＝S△ABF， ∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．故结论④错误．故选：C． 3．（2025年陕西省中考数学试题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点，，∴， ∵，∴，又，∴，， ∴，即，∴，∴的面积．故选：C． 4．（24-25·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．    【答案】或 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ∵，， ∴，∴，∴，即， 解得：或，经检验：或是原方程的解，故答案为：或． 5．（24-25·浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH， ∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF， ∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，∴∠DFB= ∠CEF， 又∠B=∠C= 60°，∴△BDF∽△CFE，∴ ，即 ，设CF= x(x > 0)， ∵BF=4CF，∴BF= 4x，∵BD=3，∴， ∵，∴，， ∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2， ∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°， ∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=， ∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=， ∴S△BDF=， ∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=， 又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF， ∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=， ∴．故答案为:． 6．（24-25九年级上·广东·期中）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，作交CE于点M， 易得．是由BC绕点B顺时针旋转得到的，，， ∵∴∵∴ ∵∴∵∴ 在和中，，， ，，，， ， ，即，． ，，． 7．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则 ． 【答案】 【详解】延长，交于点，过作于，∵平行四边形中，， ∴，，，，∴，， ∵，∴，，， ∵，∴，∴，∴，∴ 设，则，∴， ∵∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴∴， 在中，∴，解得或（舍去）， ∴，即与是同一个点，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 8．（24-25九年级·上海·假期作业）如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 【答案】4或7． 【详解】解：是等边三角形，，， ，，如图，当点在上时，作， ，，∴∥，， 是等边三角形，，， 当点在的延长线上时，作， ，，，△， ，，△， ，，，，综上所述：或7，故答案为：4或7． 9．（24-25·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ． 【答案】1或2 【详解】设BP=x，则PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C， ∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB， ∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴， 解得：x1=1，x2=2，∴BP的长为1或2，故答案为：1或2 10．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：是的中位线，．，，∴， ，． 如图，过点作，交的延长线于点．∴， 又∵，，∴，， ．由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得． ，．， ，，， ，即，解得，故答案为：． 11．（24-25·北京通州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，点在上，且满足，，．求证：(1)；(2)求线段的长．    【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，又，∴； （2）∵，∴，即 又，，，∴，∴． 12．（24-25·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵梯形中，，∴， 又∵∴ ∴，∴∴∴即； （2）解：∵∴ ∵∴，∴则 ∵∴，∴ 13．（24-25·浙江·九年级专题练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【详解】解：（1）证明：如图1，， ，， 又，； （2）结论仍成立；理由：如图2，， 又，， ，， 又，， ； （3）,,, 是等腰直角三角形   是等腰直角三角形 又即 解得． 14．（24-25山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的面积．    【答案】(1)证明见解析(2)9 【详解】（1）证明：四边形是正方形，，， ，，， 在和中，，． （2）解：∵在正方形中，，点为的中点， ，，， 由（1）已证：，，即， 解得，，又，， ，即，解得，则的面积为． 15．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：．(2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【详解】（1）解：如图：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴，∴，∴，∴； （2）解：如图：∵四边形是矩形，∴，， ∵为中点，∴，设，∴， 在中，，即，解得， ∴，∴，∵，∴，∴，解得， ∵，∴； （3）解：如图：延长交于一点M，连接 ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴直线 ，，∴是等腰三角形，∴， ∵为中点，∴设，∴， ∵为中点，∴，∵，，∴， ∴，，∴， 在中，，∴，∴， 在中，，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， 16．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，见解析；②； 【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一） （2）①是等腰直角三角形．理由为：如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，，四边形为正方形 又，；，而， 是等腰直角三角形． ②过点作于，交的延长线于，则． ，，由是等腰直角三角形知：，， ，，而，，在中，，， ，，， 由，，∴四边形为正方形，， 由，得：，∴， ，而，即，解得：， 由①知：，，． 17．（2024·湖北孝感·模拟预测）（1）【问题情景】：如图1，正方形中，点是边上一点（不与点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： ①小聪：过点作的延长线的垂线；②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】如图2，点是菱形的边上一点（不与点重合），，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______（用含的代数式表示）； （3）【学以致用】：如图3，在（2）的条件下，连接，与相交于点，当时，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）小聪的证明：作交的延长线于， 顺时针旋转得到，，，， 在和中，，， ，，，是等腰直角三角形，， 又，； 小明的证明：在上截取，使得． ∵，由图可知，∴． ∵顺时针旋转得到，∴． ∴，∴． 在和中，，∴， ∴，； （2）如图2，在上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，，， ，，∵将绕点顺时针旋转得到， ，， ，，， ，，， ，故答案为：； （3）过点作交的延长线于点， 设菱形的边长为．，， ，，，， ，由（2）知，，∵，∴， ，，， 在上截取，使，连接，作于点．由（2）可知，， ，，，， ，，，，． 18．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【详解】（1）证明：，，， ，∴，， ，，； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ，，，，， ，，，，， ，，，，； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，，，， ，，， ，，，， ，，，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（24-25·陕西西安·九年级校考期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，若的边长为6，，则的长为 ．    例2（24-25·浙江·九年级专题练习）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．    例3（2024·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 例4（24-25九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 例5（24-25·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：；②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 例6（24-25宜宾市九年级上期中）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．其中所有正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤ 例7（24-25广东九年级上月考）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    1．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 2．（24-25安徽九年级期中）如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连 接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025年陕西省中考数学试题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 4．（24-25·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．    5．（24-25·浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ． 6．（24-25九年级上·广东·期中）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 7．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则 ． 8．（24-25九年级·上海·假期作业）如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 9．（24-25·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ． 10．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为 ． 11．（24-25·北京通州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，点在上，且满足，，．求证：(1)；(2)求线段的长． 12．（24-25·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．    13．（24-25·浙江·九年级专题练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 14．（24-25山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的面积．    15．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：．(2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 16．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 17．（2024·湖北孝感·模拟预测）（1）【问题情景】：如图1，正方形中，点是边上一点（不与点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： ①小聪：过点作的延长线的垂线；②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】如图2，点是菱形的边上一点（不与点重合），，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______（用含的代数式表示）； （3）【学以致用】：如图3，在（2）的条件下，连接，与相交于点，当时，若，求的值． 18．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $