专题16 直线和圆的位置关系的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16直线和圆的位置关系的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、直线和圆的位置关系 类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 类型四、切线的性质和判定的综合应用 类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 类型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 压轴专练 典例详解 类型一、直线和圆的位置关系 知识点总结 1.三种位置关系：直线与圆有相离（无公共点）、相切(1个公共点)、相交(2个公共点)三种情况，核 心判定依据是圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系：dr相离，d正r相切，dKr相交。 2.关键性质：相切时，切线垂直于过切点的半径；相交时，弦心距、半弦长与半径满足勾股定理，可关 联线段长度。 解题技巧 1.算距离判位置：求圆心到直线的距离d,与半径r比较，快速确定直线和圆的位置关系，避免凭图形主 观判断。 2.用性质解问题：相切时优先连“圆心切点”得直角；相交时作弦心距构直角三角形，结合勾股定理求 弦长或距离，紧扣d与r的关系展开计算。 例1.(25-26九年级上·全国·课后作业)在ABC中，AB=AC=5,BC=6,D是BC的中点.以点D为圆 心，2.5为半径作圆，则⊙D与直线AC的位置关系是 【变式1-1】(2025九年级下浙江.专题练习)在RtAABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,以C为圆心，R为 半径画圆，若⊙C与边AB有两个公共点，则R的取值范围是 【变式1-2】(2425九年级上·江苏宿迁期中)如图，∠BAC=45°，点O在AC上，且A0=4,以点O为 圆心，r为半径画圆，若∠BAC的边AB与OO有两个公共点，则r的取值范围为 1/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式1-3】(24-25九年级上江苏无锡期中)如图，直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上，PH=4, 点O在线段PH上，若以点O为圆心，OP长为半径的圆与直线a相交，则OP的取值范围为 a H 类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 知识点总结 1.核心依据：切线的判定定理一一经过半径外端（即切点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已 知切点时，“连半径”可直接锁定待证的垂直关系（半径与直线垂直），将切线证明转化为垂直证明。 2.关联知识：常结合直角三角形判定（如勾股定理逆定理、平行线性质、等腰三角形三线合一），通过计 算角度或线段关系，证明半径与直线的夹角为90°。 解题技巧 1.第一步必连半径：明确切点后，立即连接圆心与切点，构造出待证垂直的半径，建立“半径-直线”的 垂直关系模型，避免无方向证垂直。 2.针对性证垂直：根据已知条件选方法，若有角度关系，通过角的和差或等量代换证夹角为90°；若有 线段长度，用勾股定理逆定理（如OA2+AB2=OB2)证垂直，确保逻辑紧扣“半径垂直直线”。 例2.(24-25九年级上全国阶段练习)如图，ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙0交BC于点D,作 DE⊥AC交AC于点E,延长ED交AB的延长线于点F, B 2/16 可学科网·上好课 上好每一堂课 (I)求证：DE是圆O的切线： (2)若ABC为等边三角形，AE=3,求圆O半径的长. 【变式2-1】(25-26九年级上·全国·单元测试)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D在BC边 上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E. B D (1)求证：AC是⊙D的切线； (2)若CE=2V3,求⊙D的半径 【变式2-2】(24-25九年级上·全国·期末)如图，AB是⊙0的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB 交于点E.F是AB延长线上的一点，且CF=EF, B (I)求证：CF为⊙0的切线； (2)连接BD.若CF=4,BF=2,求BD的长. 【变式2-3】(2025·陕西汉中·二模)如图，以ABC的边BC为直径的O0与边AB相交于点D,AD=BD, 过点D作DH⊥AC于点H. A H D (I)求证：DH为⊙0的切线； (2)若LACB=45°，O0的直径为8，求DH的长. 3/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 知识点总结 1.核心依据：切线判定定理的逆向应用一一若直线与圆有唯一公共点（隐含相切)，过圆心作直线的垂线， 若垂线段长度等于半径，则直线是圆的切线。无切点时，“作垂直”可构造圆心到直线的距离，将切线证 明转化为“垂线段=半径”的证明。 2.关联知识：需结合点到直线距离的定义，通过计算垂线段长度（如用勾股定理、面积法)，与已知圆半 径比较，或证明垂线段与半径相等，完成判定。 解题技巧 1.先作垂直再证等：无明确切点时，第一步过圆心作直线的垂线，设垂足为点（如O为圆心，垂线垂足 为P),得到垂线段OP。 2.多法证垂线段=半径：若已知半径长度，通过计算（如直角三角形求边长）证OP等于半径；若未知半 径，通过全等三角形、等量代换等，证明OP与半径线段相等，避免直接证相切却无方向。 例3.(2024九年级上全国专题练习)如图，在ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，0C长为半径作 圆，与BC相切于点C,过点A作AD⊥B0交BO的延长线于点D,且LAOD=LBAD·求证：AB为OO的 切线； D B 【变式3-1】(24-25九年级上·吉林长春期末)如图，O是正方形ABCD对角线上一点，以0为圆心，0C长 为半径的O0与AD相切于点E. E B (I)求证：AB与O0相切； (2)若正方形ABCD的边长为√2+1，则⊙0的半径= 【变式3-2】(24-25九年级上江西赣州期末)如图，AM,BN是⊙0的切线，切点为A、B,AM∥BN, 点D,C分别是AM,BN上的点，OD平分LADC,⊙O的半径是6，设AD=x,BC=y. 4/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C N (I)求证：CD是O0的切线： (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形ABCD的面积为78cm,求AD的长. 【变式3-3】(23-24九年级下·江西宜春·阶段练习)【课本再现】：如图①，P是⊙0外一个点，PA,PB是 ⊙O的两条切线，切点分别是A,B,我们将线段PA,PB的长称为点到O0的切线长， B 图① 图② 图③ (1)求证：PA=PB; 定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”.请用一句话描述定理的内容： 【知识运用】 (2)如图②，己知PA=PB=6,直线CD是⊙0的切线，切点是E,且分别交PA,PB于点C,D,求 △PCD的周长； 【拓展运用】 (3)如图③，半径为3的00分别与ABC的边AC,BC相切于点D,E.己知AB=17,AC=15,BC=8, 求证：AB是OO的切线. 类型四、切线的性质和判定的综合应用 知识点总结 1.核心定理：判定定理（连半径证垂直/作垂直证半径）用于证明直线是切线；性质定理（切线垂直于过 切点的半径)用于已知切线时得垂直关系，二者常结合使用，实现“证切线→得垂直”或“用垂直→证 5/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 切线”的逻辑转化。 2.关联模型：常涉及“切线+半径”构成的直角三角形，可结合勾股定理、全等三角形、圆周角定理等， 推导线段长度或角度关系，搭建切线与几何图形性质的桥梁。 解题技巧 1.辨方向定定理：先判断需求一一证切线用判定定理（有切点连半径，无切点作垂直）；己知切线用性质 定理（连半径得垂直），避免定理混淆。 2.构直角破难点：无论判定还是性质，优先构造“半径-切线”的直角，将问题转化为直角三角形问题， 再结合已知条件（如边长、角度）用勾股定理或角度关系求解，确保逻辑连贯。 例4.(24-25九年级上·全国期末)如图，P是00外一点，PA是00的切线，A是切点，B是⊙0上一点， 且PA=PB,延长BO分别与O0、切线PA相交于C、Q两点. (1)求证：PB是O0的切线： (2)QD为PB边上的中线，若AQ=4,CQ=2,求QD的值. 【变式4-1】(24-25九年级上·陕西西安期末)如图，AB是⊙0的直径，BE与⊙0相切于点B,点D是 OO上一点，连接ED并延长交BA的延长线于点P.连接BD、EO相交于点G,延长EO交OO于点F.若 EO平分∠DEB,且EG⊥BD. (I)求证：EP是O0的切线： (②)若AP=3,PD=6,求OA及EF的长 【变式4-2】(2024九年级上·全国专题练习)如图，AB为⊙0的一条弦，PB切O0于点B,PA=PB,直线 PO交AB于点E,交O0于点C. 6/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：PA是⊙0的切线； (2)若CD∥PA,CD交直线AB于点D,交OO于另一点F. ①求证：AD=CD; ②若AB=8,BD=2,求O0的半径. 【变式4-3】(23-24九年级下·浙江杭州阶段练习)如图，AB是00的直径，C,D在⊙0上两点，连结 AD,CD. B 图1 图2 (I)如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB=∠ADC,求证：BP与O0相切； (②)如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F,连接AG并延长交O0于点H,若CD为O0的直径， LCGB=∠HGB,BG=20F=6, ①求证：A0=AG: ②求⊙0半径的长. 类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 知识点总结 1.核心公式：设直角三角形两直角边为a、b,斜边为c,内切圆半径为n,则面积S=专(a+b+c)r(适 用于所有三角形)，结合直角三角形面积Sb,可得r忠。；特殊推导式：r些 2 (由勾股定 理a2+b2=c2推导得出，仅适用于直角三角形)。 2.关联关系：己知周长(a+b+c)、面积(ab)可直接求；已知两边及斜边，用特殊式快速计算r, 7/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 无需先算面积。 解题技巧 1.选公式：已知直角三角形三边，优先用r斗快速求；已知周长和面积，用通用公式r=计算， 避免复杂运算。 2.补条件：若仅知部分边（如一直角边和斜边），先通过勾股定理求第三边，再代入公式求，确保所有 必要量都已知后再计算。 例5.(24-25九年级上·山东滨州期末)如图，在ABC中，BC=6,AC=8,AB=10,Q0是它的内切 圆，用剪刀沿OO切线DE剪一个ADE,则ADE的周长为 B 【变式5-1】(24-25九年级上四川凉山期末)如图，在ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=5,则ABC的 内切圆半径r= B 【变式5-2】(24-25九年级上湖北黄冈阶段练习)如图，在ABC中，∠C=90°，00是ABC的内切圆， 切点分别为D、E、F,若AC=3,AD=2,则O0的半径为， D ■ B E 【变式5-3】(23-24九年级上河北阶段练习)如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5, AC=12,⊙0是它的内切圆. 8/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)内切圆的半径为 (2)小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE,则ADE的周长为 类型入、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 知识点总结 1.核心公式：对任意三角形，设周长为C(即三边和a+b+c)、面积为S、内切圆半径为r,则面积S=专 C,变形得r-空。该公式源于“三角形可分割为以内心为顶点、三边为底的三个小三角形，总面积等于 三个小三角形面积之和”。 2.关联前提：需先确定三角形的面积（可通过海伦公式、底乘高、正弦定理等计算）和周长，二者缺 不可，无法像直角三角形那样通过三边直接推导简化式。 解题技巧 1.先求面积与周长：遇问题先明确三角形三边长度（或通过己知条件求三边），计算周长C=a+b+c; 再根据己知条件选合适方法算面积S(如已知底和高用S=专h,己知三边用海伦公式)。 2.代入公式求半径：将算得的S和C代入r=飞，直接计算内切圆半径，避免因尝试寻找简化式而浪费 时间。 例6.(24-25九年级上安徽阜阳期末)如图，⊙0是ABC的内切圆 B (1)若∠A=80°，则∠B0C的度数为 (2)若SA4Bc=14,AB=5,BC=7,则O0的半径为 【变式6-1】(24-25九年级上·云南红河阶段练习)如图，ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切 于点D,E,F,且AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm. 9/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, (I)求AF的长. (2)已知SABc=6V6cm2,求0D的长. 【变式6-2】(2024九年级下·安微.专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙0是它的内切圆，与 AB,BC,CA分别切于点D,E,F. E (1)若∠D0E=130°，则∠ACB=—; (2)若AB=3,AC=4,求⊙0的半径. 【变式6-3】(23-24九年级上江苏盐城期中)如图，⊙0为ABC的内切圆，切点分别为F、G、H,点 D,E分别为BC,AC上的点，且DE为OO的切线. G D (1)若∠C=40°，求∠A0B的度数； (2)若AC=8,AB=6,BC=9,求aCDE的周长. 10/16 专题16 直线和圆的位置关系的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、直线和圆的位置关系 类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 类型四、切线的性质和判定的综合应用 类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 类型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 压轴专练 类型一、直线和圆的位置关系 知识点总结 1.三种位置关系：直线与圆有相离（无公共点）、相切（1个公共点）、相交（2个公共点）三种情况，核心判定依据是圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系：d>r相离，d=r相切，d<r相交。 2.关键性质：相切时，切线垂直于过切点的半径；相交时，弦心距、半弦长与半径满足勾股定理，可关联线段长度。 解题技巧 1.算距离判位置：求圆心到直线的距离d，与半径r比较，快速确定直线和圆的位置关系，避免凭图形主观判断。 2.用性质解问题：相切时优先连“圆心-切点”得直角；相交时作弦心距构直角三角形，结合勾股定理求弦长或距离，紧扣d与r的关系展开计算。 例1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，D是BC的中点．以点D为圆心，2.5为半径作圆，则与直线AC的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】连接，过点作于．根据等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，再根据三角形的面积计算可求点到直线的距离，从而求解． 【详解】解：连接，过点作于． ∵在中，，，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【点睛】考查了等腰三角形的性质和勾股定理，三角形的面积，解题的关键是得到点到直线的距离． 【变式1-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键． 作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本量主要考查了直线与圆的位置关系，当和射线相切时，边与有一个公共点，此为临界点，r取最小值；当经过点A时，r取最大值．由此可得结论． 【详解】解：当与相切时，如图，   ， 又∵，且， 是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴； 当经过点A时，如图，    此时r取最大值，最大值为4， 综上可知，若的边与有两个公共点，则r的取值范围． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交， ∴，即， 解得， 又∵点在线段上， ∴， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 知识点总结 1.核心依据：切线的判定定理——经过半径外端（即切点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知切点时，“连半径”可直接锁定待证的垂直关系（半径与直线垂直），将切线证明转化为垂直证明。 2.关联知识：常结合直角三角形判定（如勾股定理逆定理、平行线性质、等腰三角形三线合一），通过计算角度或线段关系，证明半径与直线的夹角为90°。 解题技巧 1.第一步必连半径：明确切点后，立即连接圆心与切点，构造出待证垂直的半径，建立“半径-直线”的垂直关系模型，避免无方向证垂直。 2.针对性证垂直：根据已知条件选方法，若有角度关系，通过角的和差或等量代换证夹角为90°；若有线段长度，用勾股定理逆定理（如OA2 + AB2= OB2）证垂直，确保逻辑紧扣“半径垂直直线”。 例2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定定理以及等边三角形的判定和性质． （1）由可得为等腰三角形，再由圆的半径相等可得为等腰三角形，即，由可求解的度数，由切线定理即可证明． （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解，即得为等边三角形，再由边相等即可求解圆的半径． 【详解】（1）证明：连接， 因为在中，， 所以为等腰三角形， 又， 所以， 又因为在中，， 所以为等腰三角形， 所以， 又， 所以， 即， 所以是的切线． （2）解：连接， 由（1）知， 所以， 又因为在中，， 所以为等边三角形， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， 所以， 所以的半径为． 【变式2-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用， （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-3】（2025·陕西汉中·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为8，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，结合题意可得，即可得证； （2）过点O作于点E，证明为等腰直角三角形．结合勾股定理求出，证明四边形为矩形，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中位线， ∴， ， ∴， 为的半径， 为的切线； （2）解：过点O作于点E，如图． ， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 知识点总结 1. 核心依据：切线判定定理的逆向应用——若直线与圆有唯一公共点（隐含相切），过圆心作直线的垂线，若垂线段长度等于半径，则直线是圆的切线。无切点时，“作垂直”可构造圆心到直线的距离，将切线证明转化为“垂线段=半径”的证明。 2. 关联知识：需结合点到直线距离的定义，通过计算垂线段长度（如用勾股定理、面积法），与已知圆半径比较，或证明垂线段与半径相等，完成判定。 解题技巧 1. 先作垂直再证等：无明确切点时，第一步过圆心作直线的垂线，设垂足为点（如O为圆心，垂线垂足为P），得到垂线段OP。 2. 多法证垂线段=半径：若已知半径长度，通过计算（如直角三角形求边长）证OP等于半径；若未知半径，通过全等三角形、等量代换等，证明OP与半径线段相等，避免直接证相切却无方向。 例3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查切线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：过点O作于点E， 于点D， ， ， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，是半径， 是的切线． 【变式3-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切；； (2)若正方形的边长为，则的半径_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键． （1）如图所示，连接，过点作于点，则，可证，得，结合切线的判定方法即可求证； （2）根据题意可证四边形是正方形，设，则，在中，运用勾股定理可得，则，根据正方形的性质可得，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵与切于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是圆的半径， ∴是圆的半径，且点是半径的外端点，， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵正方形的边长为，即 ∴， ∴， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明，依据全等三角形的性质可知，可证得结论； （2）过点D作于点F，则．由切线长定理可得：，则，在中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式； （3）设，由（2）可知，由梯形面积公式可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则． ∵与相切于点A， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点D作于点F， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由切线长定理得：， ∵， ∴， 在中，，即， 化简得； （3）解：∵梯形是直角梯形，则， 设，由（2）可知， ∴， 化简得， 解得或， ∴长为或． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，切线长定理，梯形的面积，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 【变式3-3】（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）【课本再现】：如图①，P是外一个点，是的两条切线，切点分别是A，B，我们将线段的长称为点到的切线长，    （1）求证：； 定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”．请用一句话描述定理的内容：________________ ； 【知识运用】 （2）如图②，已知，直线是的切线，切点是E，且分别交于点 C，D，求的周长； 【拓展运用】 （3）如图③，半径为3的分别与的边相切于点D，E．已知，求证：是的切线． 【答案】（1）过圆外一个点所画圆的两条切线长相等；（2）12（3）见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理的逆定理，： （1）根据切线长定理的内容求解即可； （2）根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式求解即可； （3）过点O作于F，连接，先证明，得到是直角三角形，且，再由切线的性质得到，根据 ，求出，再由，即可证明是的切线． 【详解】解：（1）根据题意可得，过圆外一个点所画圆的两条切线长相等 故答案为：过圆外一个点所画圆的两条切线长相等； （2）∵是的三条切线， ∴由切线长定理可得， ∴的周长 ； （3）如图所示，过点O作于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵半径为3的分别与的边相切于点D，E， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是的切线．    类型四、切线的性质和判定的综合应用 知识点总结 1.核心定理：判定定理（连半径证垂直/作垂直证半径）用于证明直线是切线；性质定理（切线垂直于过切点的半径）用于已知切线时得垂直关系，二者常结合使用，实现“证切线→得垂直”或“用垂直→证切线”的逻辑转化。 2.关联模型：常涉及“切线+半径”构成的直角三角形，可结合勾股定理、全等三角形、圆周角定理等，推导线段长度或角度关系，搭建切线与几何图形性质的桥梁。 解题技巧 1.辨方向定定理：先判断需求——证切线用判定定理（有切点连半径，无切点作垂直）；已知切线用性质定理（连半径得垂直），避免定理混淆。 2.构直角破难点：无论判定还是性质，优先构造“半径-切线”的直角，将问题转化为直角三角形问题，再结合已知条件（如边长、角度）用勾股定理或角度关系求解，确保逻辑连贯。 例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为，的长为 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 【变式4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②5 【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题． （2）①连接，想办法证明即可解决问题． ②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，． 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 是的切线； （2）①证明：连接． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． ②解：，， ， ， ，，， ，设， 在中，， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式4-3】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，，在上两点，连结，．    (1)如图1，点是延长线上一点，，求证：与相切； (2)如图2，点在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，， ①求证：； ②求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）如图1，连接，根据圆周角定理得到，得到，求得，于是得到结论； （2）①连接，作于M，于N．证明，，，得到，证明，则，进一步证明，即可得到结论；②设，利用勾股定理构建方程求出a即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）①如图2，连接，作于M，于N．    ∵于点， ∴ ∵是直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，等腰三角形的频道合作，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 知识点总结 1.核心公式：设直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则面积S = (a + b + c)r（适用于所有三角形），结合直角三角形面积S =ab，可得r = ；特殊推导式：r = （由勾股定理a2+ b2 = c2推导得出，仅适用于直角三角形）。 2.关联关系：已知周长（a + b + c）、面积（ab）可直接求r；已知两边及斜边，用特殊式快速计算r，无需先算面积。 解题技巧 1.选公式：已知直角三角形三边，优先用r =快速求r；已知周长和面积，用通用公式r = 计算，避免复杂运算。 2.补条件：若仅知部分边（如一直角边和斜边），先通过勾股定理求第三边，再代入公式求r，确保所有必要量都已知后再计算。 例5．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 【变式5-1】（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，则的内切圆半径 ．    【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理等知识点，掌握三角形的内切圆的圆心到三角形的三边距离相等是解题的关键． 由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴，即，解得：．    故答案为：1． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在中，是的内切圆，切点分别为、、，若，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则四边形是矩形，故，由即可求解，继而求解． 【详解】解：连接， ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式5-3】（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆． （1）内切圆的半径为 ； （2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 【答案】 2 20 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理．设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、，先证四边形是正方形，再证，，，（切线长定理），再由勾股定理计算出，通过等量代换可得内切圆半径等于，的周长等于． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、， 由切线的性质得，，，， 又，， 四边形是正方形， ． 在和中，， ． ， 同理可证，，， ，，， ． ， 即内切圆的半径为2； ，， ， ， 即的周长为20． 故答案为：2；20． 类型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 知识点总结 1. 核心公式：对任意三角形，设周长为C（即三边和a + b + c）、面积为S、内切圆半径为r，则面积S = Cr，变形得r =。该公式源于“三角形可分割为以内心为顶点、三边为底的三个小三角形，总面积等于三个小三角形面积之和”。 2. 关联前提：需先确定三角形的面积（可通过海伦公式、底乘高、正弦定理等计算）和周长，二者缺一不可，无法像直角三角形那样通过三边直接推导简化式。 解题技巧 1. 先求面积与周长：遇问题先明确三角形三边长度（或通过已知条件求三边），计算周长C = a + b + c；再根据已知条件选合适方法算面积S（如已知底和高用S = ah，已知三边用海伦公式）。 2. 代入公式求半径：将算得的S和C代入r = ，直接计算内切圆半径，避免因尝试寻找简化式而浪费时间。 例6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 【变式6-2】（（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 【变式6-3】（（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    一、单选题 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，的边经过圆心，与圆相切于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理. 连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接， ， ， 与圆相切于点， ， ， 故选：C． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系，直线和圆相交，；直线和圆相切，；直线和圆相离，（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）求解． 【详解】解：由题意知， ∵的半径为，线段，， ∵点A到圆心O的距离，大于圆的半径， ∴点A在圆的外部， ∵点B到圆心O的距离，等于圆的半径， ∴点B在圆上， ∵点A在圆外，点B在圆上， ∴直线会与圆O相交或相切． 故选：D． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，交于点，连接，求得的长度即可求得的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，交于点，连接， ， 在中，， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 根据勾股定理可得， ， 若线段与有2个交点，则， 即， ， x的值可能是， 故选：C． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25九年级下·山东·期末）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图．图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．当与相切时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知，线段之间的关系可以得到：；根据线段之间的关系可求，，从而可以求出；根据切线的定义可知，利用勾股定理可以求出；利用勾股定理可以求出，所以可得，根据可得：，所以． 【详解】解：A选项：点运动到时，点到达，， ， 又， ， ， 故A选项错误； B选项：点运动到时，点到达，， ， ， ， ， 故B选项错误； C选项：如下图所示， ，， ， 设，则， 与相切， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 故C选项正确； D选项：如下图所示，当时，， 在中，， ， ，， , 故D选项错误． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长． 【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知矩形中，，以点为圆心，为半径作，交的延长线于点，连结．再以点为圆心，为半径作．若与相交且至少有一个交点在内部或在边上，设，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆与圆的位置关系以及矩形的性质，要确定两圆相交且至少有一个交点在指定三角形内或边上时 AD 的取值范围，需要考虑两圆的圆心距、半径之间的关系，通过分析不同位置情况来求解，进而确定(即) 的取值范围． 【详解】解：当交点在点时，此时与相切，， ∵与相切，，， ∴， 又∵以为半径， ∴． 此时取得了大值为2， 即的最大值为2； 如图，当交点在边上时，， 此时取得了小值为， 即的最小值为； 综上所述：，即 故答案为：． 9．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，是的直径，是的切线，为切点，的延长线交直线于点，连接，．若，，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理，连接，根据切线的性质可知，根据，可以求出，根据三角形外角的性质可以求出，根据三角形内角和定理可证，根据三角形外角的性质可以求出，从而可证，利用勾股定理可得：，从而可求的长度为． 【详解】解：如图所示，连接， 则， 与相切于点， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·全国·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点O作于点M，于点N，于点P，连接，由弦心距和垂径定理得出，，推出小是的内切圆，四边形是正方形，得，，，是等腰直角三角形，则，，设，求出，，然后在，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦， ∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 12．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．    (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)3.4 【分析】（1）根据切线的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形性质得到，最后利用等量代换，即可解题． （2）作于点E，证明四边形是矩形，设的半径为x，则，，利用勾股定理求出，即可解题． 【详解】（1）证明：如图1，连接，    ∵是的切线， ， ， ， ． ， ， ， 平分． （2）解：如图2，过O作于点E，    设的半径为x， ，， ， 由（1），可得， 四边形是矩形， ，，则， ， 解得， 的半径是． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平行线的判定与性质等，熟练掌握相关知识并灵活运用，即可解题． 13．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了圆的切线的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （1）过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得是的半径，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）过点作于点，先求出，再设的半径为，则，，然后在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， 又∵， ∴与相切． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）已证：， ∴，， ∵， ∴， ∵中，，，， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴． 14．（2025·安徽池州·二模）如图，在中，点A是弧的中点，以、为邻边作平行四边形，延长交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆的有关知识、平行四边形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）如图：连接交于点，根据题意可得，进而得到，再根据平行四边形的性质可得即可证明结论； （2）如图：连接，由平行四边形的性质可得、，进而得到，根据等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，设的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图：连接交于点， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设的半径为，则， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为． 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 16．（2025·广东肇庆·一模）如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且． (1)求证：点是的中点． (2)如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：． (3)如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质可得，根据垂径定理即可得到结论； （2）连接，可以推导得到，即可得到，进而得到，然后证明，得到，根据等量代换得到结论即可； （3）根据旋转可得，当点F到的距离最大时，的面积取得最大值，即，即可得到旋转角的度数． 【详解】（1）证明：直线与相切于点B，为直径， ， ∵， 即， 点F是的中点． （2）证明：如图，连接， 由（1）可知， 为直径， ， ， ． 又， ． ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：将绕点顺时针旋转得到， ， 面积点F到的距离点到的距离， 当点F到的距离最大时，的面积取得最大值． 如图（3），分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大． ， ． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握切线的性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $