专题17 圆中求弧长与面积的有关计算问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题17圆中求弧长与面积的有关计算问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用孤长公式求孤长 类型二、利用扇形面积公式求面积 类型三、不规则阴影部分周长计算 类型四、不规则阴影部分面积计算 类型五、不规则阴影部分面积中的最值的计算 压轴专练 典例详解 类型一、利用弧长公式求弧长 弧长公式知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.弧长公式：设扇形半径为，圆心角为n°（角度制），弧长为1，则1需；若圆心角为a(弧度制) 则1=ra。 2.关键前提：公式适用于扇形，需明确半径和圆心角（注意角度制与弧度制换算，180°=π弧度）。 二、解题技巧 1.找已知量：优先确定题目中给出的半径八、圆心角（或可推导条件，如弦长、扇形面积）。 2.选对公式：角度制用1=器，弧度制用1=a,避免单位混淆。 3.补全条件：若仅给弦长、面积等，先通过几何关系（如勾股定理、扇形面积公式）求出半径或圆心角， 再算弧长。 例1.(2025甘肃甘南中考真题)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°.若 O0的半径为5，则弧CD的长为 【变式1-1】(24-25九年级下·四川成都阶段练习)如图，已知点A,B,C依次在⊙0上，∠C=40°， 0A=4,则AB的长为 1/11 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(2025·吉林长春·三模)如图，PA,PB是⊙0两条切线，切点分别为点A,点B,若LP=40°， ⊙0的半径为2，则AB的长度为」 A B 【变式1-3】(24-25九年级下·广东广州阶段练习)如图1，已知一块圆心角为216°的扇形铁皮，用它作一 个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计)，此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是60cm,则它的侧面积是_ cm2.（结果用刀表示) 216C 60cm 图1 图2 类型二、利用扇形面积公式求面积 扇形面积公式知识点与解题技巧 “、 核心知识点 1.面积公式：角度制（圆心角n°，半径）：S=器；弧度制（圆心角a:S=ar2；也可结合弧长： S=号。 2.适用范围：仅用于扇形，需明确半径、圆心角（或弧长），注意角度与弧度换算(180°=π弧度)。 二、 解题技巧 1.抓关键量：先识别题目给出的半径、圆心角或弧长，缺量时通过已知条件（如弦长、周长）推导。 2.选最优公式：已知圆心角和半径用前两式，已知弧长和半径用S=r,减少计算量。 例2.(25-26九年级上·浙江金华·开学考试)如图，正六边形ABCDEF的边长为√2，以顶点A为圆心， AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 (结果保留π). 2/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(2025·云南玉溪·模拟预测)一把折扇打开后，如图，小扇形0AB的半径为2cm,弧长为 3cm,大扇形0CD的半径为26cm,扇面的宽度CE为12cm,则扇面的面积（阴影部分）是 5 cm2（结 果保留)： D 0 E 【变式2-2】(2024湖南长沙模拟预测)将一个母线长为6cm的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知 扇形的圆心角为150°，则扇形的面积为」 cm2. 【变式2-3】(2025山东青岛：二模)如图，小林在手工制作课上利用矩形纸片，裁剪出一个扇形0AB,用 来制作一把纸扇，其中LA0B=120°，扇形与矩形相切于点C,A、B在矩形的边上，OA长为30cm,则裁 掉扇形后的余料（图中阴影部分）的面积为_一cm2. 类型三、不规则阴影部分周长计算 不规则阴影部分周长计算知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.周长本质：不规则阴影部分周长是构成阴影边界的所有线段和曲线长度之和，常见曲线为圆的弧（需 结合圆周长公式C=2πr或弧长公式计算)。 2.关键关联：阴影边界常与正方形、长方形的边，或半圆、扇形的弧相关，需明确各边界对应的几何图 形。 二、解题技巧 1.分解边界：用虚线将阴影周长拆分为“直线段+曲线段”，分别标注各部分对应的已知条件（如边长、 圆半径)。 3/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.曲线转弧长：若含曲线，先确定对应圆的半径，再根据圆心角算弧长（如半圆对应π，四分之一圆对 应号刀r）。 3.求和验证：将所有线段和弧长相加，避免漏算或重复计算边界。 例3.(2025·吉林.三模)如图，在口ABCD中，∠D=120°，CD=2,以点A为圆心，AB的长为半径画弧交 AD边于点E,以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F,则阴影部分图形的周长为_一（结果 保留刀) 【变式3-1】(2025·广东江门·三模)如图是一个爱心图案，它可以看作是由一个正方形和两个半圆组合而成， 中间是一个边长为2cm的正方形ABCD,两端是分别以AD,CD为直径的半圆.分别取两个半圆的中点E, F,连接BE,BF,则阴影部分的周长为 cm 【变式3-2】(2025·甘肃平凉·模拟预测)生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三 段相等的圆弧构成，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原 理为每个项点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图②ABC的边长为2cm,则这个莱洛三角形 的周长为」 cm. 图① 图② 【变式3-3】(24-25九年级下·吉林长春·开学考试)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆0的一个直 径端点与半圆0的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为·（结果保留刀) 4/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型四、不规则阴影部分面积计算 不规则阴影部分面积计算知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.面积本质：不规则阴影面积是阴影区域所占平面的大小，需通过“转化”为规则图形（如圆、正方形、 三角形、扇形)的面积和或差来计算。 2.常用规则图形公式：正方形S=a2、三角形Sah、圆S元只、扇形S器 (角度制)。 二、解题技巧 1.“割补法”优先：将阴影分割成几个规则图形（割），或用大规则图形减去空白规则图形（补）。 2.找“重叠”或“对称”：若有对称图形，可利用对称性简化计算；若有重叠区域，注意面积是否重复加 减。 3.标已知量：在图中标注边长、半径等关键数据，确保代入公式时数值准确，最后汇总计算结果。 例4.(2025山东青岛模拟预测)如图，正方形ABCD内接于⊙0，PA,PD分别与⊙0相切于点A和点D ,PD的延长线与BC的延长线交于点E.己知AB=2,则图中阴影部分的面积为一 D 【变式4-1】(2025广东韶关·二模)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2V2,以 点C为圆心，AC为半径画弧，交BC于点E,以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点F,则图中阴影 部分的面积是」 【变式4-2】(24-25九年级下·重庆·开学考试)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC, ∠ABC=60°，AD=4,以点C为圆心，CD为半径作弧，交AD于点E,交AC于点F,则阴影部分的面积 为·（结果保留π) 5/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E 【变式4-3】(25-26九年级上湖北期末)如图，扇形A0B中，∠A0B=90°，0A=2,点C为OB上一点， 将扇形AOB沿AC折叠，使点B的对应点B落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为 0 类型五、不规则阴影部分面积中的最值的计算 不规则阴影面积最值问题知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.本质逻辑：最值源于变量（如半径、边长、角度）的取值变化，需先将阴影面积表示为关于变量的函 数，再求函数最值。 2.常用工具：二次函数顶点(y=x2+bx+c,a≠0)、不等式（如均值定理）、几何图形性质（如圆中直径最 长)。 二、解题技巧 1.建函数关系：用割补法将阴影面积转化为规则图形面积和/差，代入变量（如设半径为x),列出面积表 达式。 2.定取值范围：根据题干条件（如边长为正、角度在0°-360°）确定变量的取值范围。 3.求最值：二次函数用顶点公式，符合均值定理条件的用“一正二定三相等”，最后验证最值是否在取值 范围内。 例5.如图，在扇形A0B中LA0B=90°，C为AB上一点且AC=2BC,点D为半径OB上一动点.若 OB=√3，则阴影部分周长的最小值为一 0 【变式5-1】如图，一张直径为40的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接AC，则AC=一；图中 6/11 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 阴影部分面积的最小值为。 45 B 【变式5-2】如图，⊙O的半径为2cm,弦AB=2√3cm,C是弦AB所对的优弧ADB上一个动点，则图中 阴影部分的面积之和的最小值是cm2. D B 【变式5-3】如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC于点D,点E为半径OB上一动点.若 0B=1,则阴影部分周长的最小值为一. C 60° X E 压轴专练 一、单选题 1.(2025年西藏自治区中考真题数学试卷)如图，在⊙0中，直径AB=6,BC是00的弦，若∠B=60°， 则Ac的长为() 7/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.6π B.4π C.2 D.刀 2.(2025江苏一模)如图所示，边长为1的正方形网格中，0、A、B、C、D是网格线交点，若AB与 CD所在圆的圆心都为点O,那么阴影部分的面积为() D A.π B.2π C:3 2 D.2π-2 3.(2025年江苏省盐城市中考数学试题)如图(1)是博物馆屋顶的图片，屋顶由图(2)中的瓦片构成， 瓦片横截面如图(3)所示，AB是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm,则AB的长是() (1) (2) (3) A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.6πcm 4.(2025陕西西安模拟预测)玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品.古语有“君子无故，玉不去身”， 现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子，如图，现有一块直径为10℃m的圆形玉料，要用其刻出一个圆周 角为60°的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为() A A.5πcm2 B. 15π. -cm2 C.25 2 cm 2 D.15ncm2 5.(24-25九年级下·重庆开州阶段练习)四边形ABCD是平行四边形，AB=AC=8√2，AD=16, 8/11 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CF⊥AD,以C为圆心CA为半径画弧，恰好经过点D,以C为圆心CF为半径画弧交CD于点E,则阴影 部分的面积是() A B A.24π-16 B.24π-32 C.48π-32 D.48π-64 二、填空题 6.(24-25九年级上·湖北十堰·期中)弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是 7.(2025·吉林长春模拟预测)如图，AB是半径为2的⊙0的一条弦，∠A0B=90°.将△0AB绕点A逆时 针旋转，当点0的对应点O第一次落在O0上时，点B运动的路径长是一·（结果保留刀） --B 8.(24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，在矩形ABCD中，CD=2,∠DBC=30°，以B为圆心， BD长为半径画弧交线段BC的延长线于点E,以D为圆心、DC长为半径画弧交AD于点F,则阴影部分面 积为 F 】 B C 9.(24-25九年级上·山东淄博阶段练习)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,以点B为圆心， BO长为半径画弧交AB于点E,交BC于点F,再以点D为圆心，D0长为半径画弧交AD于点H,交DC 于点G.若AB=4,则图中阴影部分的面积为一·（结果保留π） 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H G B F 10.(24-25九年级上·江苏无锡阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,BC=2√3Cm,动点E、F分 别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止， 过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,在这个移动过程中点G经过的路径长是 三、解答题 11.(24-25九年级下·湖南湘西·开学考试)如图，已知四边形ABCD内接于O0,∠DCB=90°.连接BD, 若AD=2AB且O0的半径为6，求AB的长. 12.(2025山东青岛模拟预测)如图，⊙O过aABC的顶点A,B,与AC交于点D,连接BD, ∠CBD=LA. (I)求证：BC是⊙O的切线 (2)若LCBD=45°，BD=2,则BD= (结果保留刀和根号) 13.(2022黑龙江齐齐哈尔·模拟预测)如图，以ABC的边BC为直径作⊙0，点A在⊙0上，点D在线段 BC的延长线上，AD=AB,∠D=30°. 10/11 专题17 圆中求弧长与面积的有关计算问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用弧长公式求弧长 类型二、利用扇形面积公式求面积 类型三、不规则阴影部分周长计算 类型四、不规则阴影部分面积计算 类型五、不规则阴影部分面积中的最值的计算 压轴专练 类型一、利用弧长公式求弧长 弧长公式知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.弧长公式：设扇形半径为r，圆心角为n°（角度制），弧长为l，则l = ；若圆心角为a（弧度制），则l = ra。 2.关键前提：公式适用于扇形，需明确半径和圆心角（注意角度制与弧度制换算，180° = π弧度）。 二、解题技巧 1.找已知量：优先确定题目中给出的半径r、圆心角（或可推导条件，如弦长、扇形面积）。 2.选对公式：角度制用l =，弧度制用l = ra，避免单位混淆。 3.补全条件：若仅给弦长、面积等，先通过几何关系（如勾股定理、扇形面积公式）求出半径或圆心角，再算弧长。 例1．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知点A，B，C依次在上，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆周角定理．由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的长． 故答案为：． 【变式1-2】（2025·吉林长春·三模）如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，根据切线的性质得，再结合，算出，然后根据弧长公式，即可作答． 【详解】解：过点O分别作，如图所示： ∵是两条切线，切点分别为点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， 则的长度为， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图1，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的侧面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径，利用勾股定理求解即可． 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解． 【详解】解：由圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是， 得底面圆的周长为， 设扇形的半径为， 故， 解得， 故圆锥的母线长为， 故它的侧面积是， 故答案为：． 类型二、利用扇形面积公式求面积 扇形面积公式知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.面积公式：角度制（圆心角n°，半径r）：S = ；弧度制（圆心角a）：S =；也可结合弧长l：S = lr。 2.适用范围：仅用于扇形，需明确半径、圆心角（或弧长），注意角度与弧度换算（180° = π弧度）。 二、解题技巧 1.抓关键量：先识别题目给出的半径、圆心角或弧长，缺量时通过已知条件（如弦长、周长）推导。 2.选最优公式：已知圆心角和半径用前两式，已知弧长和半径用S = lr，减少计算量。 例2．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为． 【变式2-1】（2025·云南玉溪·模拟预测）一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，弧长的计算，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设， 根据题意可列方程为：， 解得：， 则， 大扇形的半径为，扇面的宽度为， ， 则 ．     故答案为：． 【变式2-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥的侧面展开图可得扇形的半径为，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形， ∴这个扇形的半径为， 又∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 【变式2-3】（2025·山东青岛·二模）如图，小林在手工制作课上利用矩形纸片，裁剪出一个扇形，用来制作一把纸扇，其中，扇形与矩形相切于点，、在矩形的边上，长为，则裁掉扇形后的余料(图中阴影部分)的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、矩形的判定和性质，解题的关键是掌握扇形的面积公式，由余角的余弦求出的长． 连接，由切线的性质定理推出，判定四边形是矩形，得到，由，求出，得到，求出矩形的面积和扇形的面积，即可得到阴影的面积． 【详解】解：连接， 与扇形相切于， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积， 扇形的面积， 阴影的面积矩形的面积扇形的面积． 故答案为：． 类型三、不规则阴影部分周长计算 不规则阴影部分周长计算知识点与解题技巧 一、核心知识点 1. 周长本质：不规则阴影部分周长是构成阴影边界的所有线段和曲线长度之和，常见曲线为圆的弧（需结合圆周长公式C=2πr或弧长公式计算）。 2. 关键关联：阴影边界常与正方形、长方形的边，或半圆、扇形的弧相关，需明确各边界对应的几何图形。 二、解题技巧 1. 分解边界：用虚线将阴影周长拆分为“直线段+曲线段”，分别标注各部分对应的已知条件（如边长、圆半径）。 2. 曲线转弧长：若含曲线，先确定对应圆的半径，再根据圆心角算弧长（如半圆对应πr，四分之一圆对应π r）。 3. 求和验证：将所有线段和弧长相加，避免漏算或重复计算边界。 例3．（2025·吉林·三模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，则阴影部分图形的周长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质以及弧长的计算，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据平行四边形的性质得出，连接，由作图得，证明是等边三角形，得出，根据弧长公式求出弧，弧的长即可解决问题． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴弧的长=；弧的长， ∴阴影部分图形的周长为， 故答案为：． 【变式3-1】（2025·广东江门·三模）如图是一个爱心图案，它可以看作是由一个正方形和两个半圆组合而成，中间是一个边长为的正方形，两端是分别以为直径的半圆．分别取两个半圆的中点E，F，连接，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查弧长的计算和正方形的判定与性质，解题关键是掌握相关知识的灵活运用．设的中点为点O，连接，过点E作交延长线于点M，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出的长，再根据对称性即可得出答案． 【详解】解：设的中点为点O，（即左边半圆圆心为点O），连接，过点E作交延长线于点M， ∵E，F是两个半圆的中点，正方形的边长为， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ∴， ∴的长为 ， ∴图中左侧阴影部分的周长为， ∴由对称性可知，图中阴影部分的周长为， 故答案为：． 【变式3-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图②的边长为，则这个莱洛三角形的周长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，弧长的计算．先得出，， 则，再用弧长公式计算即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ∵每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长， ∴， 这个莱洛三角形的周长为． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算、等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质、弧长计算公式是解题的关键； 本题设两圆周相交于点，连接、，再根据等边三角形的判定与性质得到，由弧长公式求出，同理求出，再根据出求出阴影部分的周长即可． 【详解】解：如图，设两圆周相交于点，连接、， ， 是等边三角形， ， ， 同理可得，， 阴影部分的周长为． 故答案为：． 类型四、不规则阴影部分面积计算 不规则阴影部分面积计算知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.面积本质：不规则阴影面积是阴影区域所占平面的大小，需通过“转化”为规则图形（如圆、正方形、三角形、扇形）的面积和或差来计算。 2.常用规则图形公式：正方形S=a2、三角形S=ah、圆S=πr2、扇形S=（角度制）。 二、解题技巧 1.“割补法”优先：将阴影分割成几个规则图形（割），或用大规则图形减去空白规则图形（补）。 2.找“重叠”或“对称”：若有对称图形，可利用对称性简化计算；若有重叠区域，注意面积是否重复加减。 3.标已知量：在图中标注边长、半径等关键数据，确保代入公式时数值准确，最后汇总计算结果。 例4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据已知条件得到是的直径，，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是的直径，， ∵分别与相切于点A和点D， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式4-1】（2025·广东韶关·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，阴影部分的面积为，结合已知代入计算即可． 本题考查了阴影面积计算，扇形面积公式，适当分割表示阴影面积是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故, 故阴影部分的面积为 ． 故答案为：或． 【变式4-2】（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，扇形面积的计算，根据平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系求出的长，扇形圆心角度数，根据扇形面积的计算方法，依据进行计算即可 【详解】解：如图，连接，过点C作于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北·期末）如图，扇形中，，，点C为上一点，将扇形沿折叠，使点B的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，根据题意和图形，可以计算出的长，然后根据勾股定理可以求得的值，然后根据图形可知，阴影部分的面积扇形的面积的面积的二倍，代入数据计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 则， 解得， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为：． 类型五、不规则阴影部分面积中的最值的计算 不规则阴影面积最值问题知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.本质逻辑：最值源于变量（如半径、边长、角度）的取值变化，需先将阴影面积表示为关于变量的函数，再求函数最值。 2.常用工具：二次函数顶点（y=ax²+bx+c，a≠0）、不等式（如均值定理）、几何图形性质（如圆中直径最长）。 二、解题技巧 1.建函数关系：用割补法将阴影面积转化为规则图形面积和/差，代入变量（如设半径为x），列出面积表达式。 2.定取值范围：根据题干条件（如边长为正、角度在0°-360°）确定变量的取值范围。 3.求最值：二次函数用顶点公式，符合均值定理条件的用“一正二定三相等”，最后验证最值是否在取值范围内。 例5．如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键． 作点关于的对称点F，连接，与交点为D，此时最小，最小值就是长，再加上弧的长即可． 【详解】解: 作点关于的对称点, 连接,与交点为D,交于点,过点作 交延长线于点，由对称可知 ，    ∵四边形是矩形, ， ∴， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为， 故答案为：． 【变式5-1】如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设圆心为，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可；设到的距离为，由题意知，，则当最大时，最小，当时，最大，如图1，作于，由垂径定理可得，由勾股定理得，，则，然后求阴影部分面积即可． 【详解】解：如图1，设圆心为，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 由题意知， ， 当最大时，最小， ∴当时，最大，如图1，作于， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理是解题的关键． 【变式5-2】如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 【答案】/ 【分析】过点C作于E，由，得当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，由垂径与勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：过点C作于E， ∵， ∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，不规则图形面积，三角形面积，勾股定理，根据图形面积关系，得出点C为优弧的中点时，阴影面积最小是解题的关键． 【变式5-3】如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．利用轴对称的性质，得出当点E移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点，连接，    此时最小，即：， 由题意得，， ， ，的长， ∴阴影部分周长的最小值为． 故答案为：． 一、单选题 1．（2025年西藏自治区中考真题数学试卷）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 3．（2025年江苏省盐城市中考数学试题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 先求出的长，再根据扇形面积公式，求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 5．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）四边形是平行四边形，，，，以C为圆心为半径画弧，恰好经过点D，以C为圆心为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，扇形面积公式，根据平行四边形的性质得到，由勾股定理逆定理证得是等腰直角三角形，，，根据三线合一得到，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的关键在于准确理解并运用弧长公式，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半径R的值．根据弧长公式，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可求解半径R． 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 7．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查弧长公式，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，得到是等边三角形，由旋转的性质得到，利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：连接， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点运动的路径长是， 故答案为． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在矩形中，，，以B为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点E，以D为圆心、长为半径画弧交于点F，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，由勾股定理可得，再根据阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，设与交于点G 在矩形中， ， ∵， ∴， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，矩形的性质，勾股定理，求扇形面积，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 9．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    【答案】/ 【分析】先求出正方形对角线长度，进而得到扇形半径，再根据正方形面积减去两个扇形面积求出阴影部分面积．本题主要考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， 图中阴影部分的面积为 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹长度的求解、矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、与圆有关的位置关系等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键． 如图：连接，交于点O，取中点H，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出G经过的路程长即可． 【详解】解：如图：连接，交于点O，取中点H，连接， ∵矩形，， ∴，，， ，， ∴是等边三角形，即 在与中， ， ， ∴E、O、F共线， ，H是中点， ∴，则， ∴G的轨迹为以H为圆心，1为半径的圆弧， 当E与A重合时，；当E与B重合时，G与B重合； ∴G走过的路程为． 故答案为． 三、解答题 11．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据且的半径为6，即可求得的长． 【详解】解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 12．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，过的顶点，，与交于点，连接，． (1)求证：是的切线 (2)若，，则________．（结果保留和根号） 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】连接并延长交于点，交于点，连接，根据圆周角定理可证，根据圆周角定理可证，过点作，根据等腰三角形的三线合一定理可证，，等量代换可证，从而可证结论成立； 因为，根据圆周角定理可知，利用勾股定理求出，再根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接并延长交于点，交于点，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图所示，过点作， ， ， 在中，， 又， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如下图所示，连接、， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、扇形的弧长公式、等腰三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质找角的关系． 13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若直径，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，圆周角定理，证明切线时，连接过切点的半径是解题的关键． （1）连接，则得出，可求得，可得出结论； （2）可利用的面积-扇形的面积求得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，， 所以， 因为， 所以， 所以． 14．（24-25九年级下·全国·期中）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，三点恰好在半圆上，是的中点，连接并延长交半圆于点． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用直径所对圆周角为直角以及垂径定理，得到线段和角度的关系，再根据内错角相等证明两直线平行． （2）先在直角三角形中根据特殊角度求出相关线段长度，进而求出扇形和三角形的面积，最后通过面积相减得到阴影部分面积． 【详解】（1）证明：∵是半圆的直径， ∴． ∵点是的中点， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴． （2）解：连接，在中，，， ∴，，． ∴ ． ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质（直径所对圆周角是直角、垂径定理）、中点的性质、平行线的判定（内错角相等，两直线平行）、含角的直角三角形的性质以及扇形和三角形面积的计算．熟练掌握这些几何性质和面积计算方法是解题的关键． 15．（2026·江西·模拟预测）如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，菱形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）连接交于点E，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据条件证明垂直平分，得到，证明是等边三角形，利用锐角三角函数得出，然后利用作差法进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点E． ∵是的切线， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，     ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，延长交于点F， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴. 由(1)可得，， ∴平行四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴.     由(1)知，， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $