安徽省六安市金安区皋城中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

2025-2026学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各式中，计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ) A. 图象有最低点，其坐标是 B. 图象有最高点，其坐标是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 4.在中，、、的对应边分别是a，b，下列条件中，不能判断是直角三角形的是(    ) A. B. a：b：：4：5 C. D. ：：：4：5 5.如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是边AD上的一点，将沿BE所在的直线折叠，使点A落在BD上的点G处，则AE的长是(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 7.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第-天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 9.如图，与均为直角三角形，且，，AB：：3，点E是BD的中点，则AE的长为(    ) A. B. C. 2 D. 3 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AC为斜边作，AE与BD交于点F，连接BE，使得，且，若，则菱形ABCD的周长为(    ) A. B. C. D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.函数中，自变量x的取值范围是______. 12.一组数据3，4，x，7，8的平均数是6，这组数据的中位数为______. 13.已知关于x的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是该方程的两个根，则k的值是______. 14.在平面直角坐标系中，设二次函数，其中 此二次函数的对称轴为直线______； 已知点和在此函数的图象上，若，则t的取值范围是______； 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题8分 计算： 16.本小题8分 解下列方程： ； 17.本小题8分 如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点. 作三角形，使三角形的三边长分别为，，； 请求中你所画的的AB边上的高的长度. 18.本小题8分 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC， 求证：四边形ACDF是平行四边形； 若，，求平行四边形ACDF的面积. 19.本小题10分 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： 写出第4个等式：______； 写出你猜想的第n个等式：______用含n的式子表示，并证明． 20.本小题10分 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图 请你根据图中的信息，解答下列问题： 写出扇形图中______，并补全条形图； 样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； 该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上含6个得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 21.本小题12分 某村今年收获12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售.在A市销售时，每千克茭白的利润为2元；在B市销售时，平均每千克茭白的利润元与B市的销售量万千克之间的关系满足 若该村销售完所有茭白共获利万元，求该村在B市销售茭白多少万千克； 若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，求出m与n所满足关系式？ 22.本小题12分 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 求该抛物线的解析式； 若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； 设点P是中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．请在图2中探讨 23.本小题14分 如图，中，于点D，，点E在CD上，，连接 求证：； 延长BE交AC于点F，连接DF，求的度数； 过点C作，，连接BM交CD于点N，若，，直接写出的面积. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选： 根据最简二次根式的定义进行解题即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：，因此选项A不符合题意； B.与不是同类项，不能合并运算，因此选项B不符合题意； C.，因此选项C符合题意； D.，因此选项D不符合题意． 故选： 根据二次根式加减法的计算方法，同类项以及同底数幂乘除法的计算方法、幂的乘方与积的乘方逐项进行判断即可． 本题考查二次根式加减法，合并同类项，同底数幂乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握二次根式加减法的计算方法，合并同类项法则以及同底数幂乘除法的计算方法、幂的乘方与积的乘方是正确解答的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、由于，所以开口向下，有最大值，故A不符合题意． B、由二次函数可知顶点为，故B不符合题意． C、由二次函数可知对称轴为，当时，y随x的增大而增大，故C不符合题意． D、二次函数可知对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故D符合题意． 故选： 根据二次函数的性质即可求出答案． 本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型． 4.【答案】D  【解析】解：A、， ， 是直角三角形， 故A不符合题意； B、：b：：4：5， 设，，， ，， ， 是直角三角形， 故B不符合题意； C、， ， ， ， ， 是直角三角形， 故C不符合题意； D、：：：4：5， ， 不是直角三角形， 故D符合题意； 故选： 根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ， ， 设，则， 由翻折的性质得：，，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ， 故选： 设，则，由翻折的性质得：，，则，在中，由勾股定理列方程即可． 本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：当时， 此时方程为， 该方程有实数根， 所以满足题意． 当时， ， 解得， 综上所述，k的取值范围是 故选： 先对k是否为零进行分类讨论，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题． 本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：设进馆人次的日平均增长率为x， 根据题意得，， 故选： 根据第-天的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第二天进馆人次．，结合到第三天进馆2880人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：观察函数图象可知：、， 二次函数的图象对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴． 故选： 根据一次函数图象经过的象限，即可得出、，由此即可得出：二次函数的图象的对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出、是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：延长AE交BC的延长线于点F， ， ， ， 点E是BD的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ：：3， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选： 延长AE交BC的延长线于点F，先证和全等，得出，，于是求出CF的长，在中利用勾股定理求出AC的长，在中利用勾股定理求出AF的长，即可求出AE的长． 本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，准确添加辅助线，求出AF的长是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：连接OE， 四边形ABCD是菱形， ，， 在中，OE是斜边AC的中线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ≌， ，， ， ， 等腰直角三角形， ， ， 菱形ABCD的周长是 故选： 连接OE，由菱形的性质，直角三角形的性质得到，由条件可以证明≌，推出是等腰直角三角形，从而求出OB长，由勾股定理即可求出AB长，于是求出菱形ABCD的周长． 本题考查菱形的性质，三角形全等，勾股定理，直角三角形的性质，关键是由条件证明是等腰直角三角形，得到OB的长． 11.【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 根据二次根式，以及分母不为0进行计算，即可解答． 本题考查了函数自变量的取值范围，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12.【答案】7  【解析】解：一组数据3，4，x，7，8的平均数是6， ， 解得， 将这组数据从小到大排列为：3，4，7，8，8， 这组数据的中位数为 故答案为： 根据：一组数据3，4，x，7，8的平均数是6，可得：，据此求出x的值是多少，进而求出这组数据的中位数为多少即可． 此题主要考查了中位数的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 13.【答案】2或3  【解析】解：①若为底边，设b，c为腰长，则，则 ， 解得： 此时原方程化为， ，即， 此时三边为3，2，2能构成三角形， ； ②若，则或，即方程有一根为3， 把代入方程，得， 解得， 此时方程为， 解得，， 方程另一根为2， 、3、2能构成三角形， ，综上，k的值为2或3， 故答案为：2或 已知3可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，可得结论． 此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． 14.【答案】    【解析】解：二次函数， 函数经过和，是对称点， 对称轴为直线， 故答案为：； 二次函数， 二次项系数为， 函数图象开口向上， 又和在此函数的图象上，对称轴为直线， 画出图象如图，点Q关于对称轴的对称点横坐标， ， 点P应在线段下方部分的抛物线上包括点Q、， ， 故答案为： 根据二次函数，经过和，是对称点，算出对称轴即可； 根据对称轴为直线，点和在二次函数的图象上，画出函数图象，点Q关于对称轴的对称点，分析图象，写出t的取值范围即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键． 15.【答案】解：   【解析】先算乘法，去绝对值符号，再算加减即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 16.【答案】，；   ，  【解析】， ， ，， ，； ， ， ， ，， ， 利用直接开平方法解一元二次方程即可； 先化简，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是计算本题的关键． 17.【答案】解：如图所示：即为所求作： 设AB边上的高为CD，如图， ， ， ，即的AB边上的高为  【解析】根据勾股定理确定AB，AC边，即可画出相应的图形； 利用等面积法求解即可 本题考查了勾股定理与网格作图，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18.【答案】证明：四边形ABCD为平行四边形， ， ∽， 点E为边AD的中点， ， ， ， ， ， 四边形ACDF是平行四边形； 解：四边形ACDF是平行四边形， ， 四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形ACDF的面积  【解析】利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得到，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可得出结论； 利用平行四边形的对边相等得到，利用等腰三角形的三线合一得到，利用勾股定理求出AC，再利用平行四边形的面积公式解答即可得出结论． 本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 19.【答案】解： ； ， 理由如下： 证明：左边， 左边=右边， 等式成立．   【解析】【解析】 解：由题意： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第4个等式为：， 故答案为：； 见答案． 【分析】 根据数字规律求解； 根据数字规律及二次根式的性质计算． 本题考查数字类规律探索，分式的加减运算和二次根式的化简，理解题意发现数字间的规律是解题关键． 20.【答案】，补全条形统计图如图所示： ，5，5； 该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有：名， 答：该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的大约有540名．  【解析】解：由题意可得，， 样本总数为：人， 做6个的学生数是人， 故答案为：，补全条形统计图如图所示： 由条形统计图可知， 学生引体向上的个数出现次数最多的是5个，共有60人，因此学生引体向上成绩的众数是5个， 将这200名学生的引体向上成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是5个，因此中位数是5个， 平均数为个，因此平均数为个， 故答案为：，5，5； 样本数据的平均数，众数是5，中位数是5； 该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有：名， 答：该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的大约有540名． 根据各组百分比的和为，即可求出“做6个的学生”所占的百分比a，求出“做6个的学生的频数”即可补全条形统计图； 根据中位数、众数、平均数的意义进行计算即可； 样本估计总体，样本中“6个及6个以上”占调查人数的，因此总体1200人的是“6个及6个以上”的人数． 本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是得出正确答案的前提． 21.【答案】B市销售茭白3万千克或8万千克；     【解析】设该村在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白万千克， 根据题意得：， 整理得：， ，解得：，， 答：该村在B市销售茭白3万千克或8万千克； 由题意可知，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白万千克， 在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白万千克， 根据题意得：， ， 不符合题意，舍去或， 答：m与n所满足的关系式为 设该村在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白万千克，根据该村销售完所有茭白共获利万元，列出一元二次方程，解方程即可； 由题意可知，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白万千克，在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白万千克，根据在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，可得，即可解决问题． 本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】解：将，代入， 得：，解得：， 该抛物线的解析式为 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点F的坐标为，抛物线的对称轴为直线 当时，， 点C的坐标为 设直线BC的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， 直线BC的解析式为 当时，， 点E的坐标为， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设点P的坐标为 ， ， 即或， 解得：，，，， 存在满足的点P，点P的坐标为或或或  【解析】根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； 利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点F的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，结合点F的坐标，即可求出线段EF的长； 又点A，B的坐标可求出线段AB的长，设点P的坐标为，利用三角形的面积计算公式，结合，即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，进而可得出点P的坐标． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是：根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，求出点F，E的坐标；利用三角形的面积计算公式，找出关于t的一元二次方程． 23.【答案】证明：，，， ， 在和中， ， ≌， 如图，过点D作交BE于点P， 根据得≌，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 如图，在CD上截取，连接BE，延长BE交AC于点F， 根据得证≌，，； ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 的面积为：  【解析】运用SAS证明≌即可； 过点D作交BE于点P，根据≌证明，再证明≌，得证，计算即可； 在CD上截取，连接BE，延长BE交AC于点F，根据得证≌，，结合，得证≌，计算，根据面积公式计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $