专题03二次根式（16大高频考点）（期中真题汇编，新教材北师大版）八年级数学上学期

专题03二次根式（15大高频考点） 15大高频考点概览 考点01 二次根式的定义 考点02二次根式有意义的条件 考点03二次根式的值 考点04二次根式的性质与化简 考点05最简二次根式 考点06二次根式的乘除 考点07二次根式的加减 考点08二次根式的大小比较 考点09二次根式的混合运算 考点10二次根式的求值问题 考点11二次根式的实际应用 考点12二次根式与分母有理化 考点13二次根式与新定义问题 考点14二次根式与规律探究性问题 考点15二次根式与材料阅读问题 地 城 考点01 二次根式的定义 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点01 二次根式有意义的条件 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·期中）如果代数式有意义，那么的取值范围是 ． 地 城 考点03 二次根式的值 5．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 7．（23-24八年级上·贵州黔南·期中）若求的值． 8．（24-25八年级上·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 地 城 考点04 二次根式的性质与化简 9．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·四川眉山·期中）在中，，，为三边，则化简结果为（　） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 12．（23-24八年级上·广东河源·期中）已知x、y是正整数，若，则的值是 ． 13．（22-23八年级上·全国·期中）（1）已知a所对应的点在数轴上的位置如图所示．化简：． （2）已知和互为相反数，求的平方根． 地 城 考点05 最简二次根式 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值： ，使是最简二次根式． 地 城 考点06 二次根式的乘除 16．（24-25八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）计算的结果是 ． 18．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 19．（24-25八年级上·上海·期中）一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，则此直角三角形的面积是 ． 地 城 考点07 二次根式的加减 20．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在数学活动课上，李明要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，不考虑拼接处，则需铁丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·河南商丘·期中）若，则P的值为（    ） A．8 B．12 C．24 D．36 23．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 24．（22-23八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 地 城 考点08 二次根式的大小比较 25．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）下列选项中的无理数位于7和8中间的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 27．（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 地 城 考点9 二次根式的混合运算 28．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)． 29．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 30．（23-24八年级上·宁夏·期中）求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 31．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 地 城 考点10 二次根式的求值问题 32．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 33．（24-25八年级上·新疆·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 34．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 地 城 考点11 二次根式的实际应用 35．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 36．（24-25八年级上·福建厦门·期中）汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准． 37．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 地 城 考点12 二次根式与分母有理化 38．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简： ；； 以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式． (1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ； (2)化简：； (3)化简：． 39．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)求的值． (3)若，求的值． 地 城 考点13 二次根式与新定义问题 40．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定：对于任意的正数，的“※”运算为，，计算的结果为 ． 41．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 42．（24-25八年级上·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 地 城 考点14 二次根式与规律探究性问题 43．（24-25八年级上·山东济宁·期中）将一组数，2，，，，，，，，按如图方式进行排列，则第七行最右边的数是 ． 44．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 45．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 46．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，； ，； ，． (1)推算出__________；__________． (2)请用含（是正整数）的式子填空：__________，__________． (3)求出的值． 地 城 考点15 二次根式与材料阅读问题 47．（24-25八年级上·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 48．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次根式（15大高频考点） 15大高频考点概览 考点01 二次根式的定义 考点02二次根式有意义的条件 考点03二次根式的值 考点04二次根式的性质与化简 考点05最简二次根式 考点06二次根式的乘除 考点07二次根式的加减 考点08二次根式的大小比较 考点09二次根式的混合运算 考点10二次根式的求值问题 考点11二次根式的实际应用 考点12二次根式与分母有理化 考点13二次根式与新定义问题 考点14二次根式与规律探究性问题 考点15二次根式与材料阅读问题 地 城 考点01 二次根式的定义 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2． 【详解】解：选项A：是分数，不含根号，不符合二次根式的形式，不符合题意； 选项B：是整数，不含根号，不符合二次根式的形式，不符合题意； 选项C：中，被开方数，满足非负条件，且根指数为2，符合二次根式的定义，符合题意； 选项D：中，被开方数为，在实数范围内无意义，不符合题意； 故选：C． 地 城 考点01 二次根式有意义的条件 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·上海·期中）如果代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 地 城 考点03 二次根式的值 5．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 8．（24-25八年级上·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 地 城 考点04 二次根式的性质与化简 9．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级上·四川眉山·期中）在中，，，为三边，则化简结果为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，二次根式化简，绝对值化简等；由三角形三边关系得，，再由二次根式的性质及绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：，，为三边， ，， ，， ； 故选：B． 11．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的化简，求一个数的算术平方根，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意得出，然后化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·广东河源·期中）已知x、y是正整数，若，则的值是 ． 【答案】143或187 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意可得，由x、y是正整数，可设，不妨设，且a、b都是正整数，则可推出，可解得，或，，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y是正整数， ∴可设，不妨设，且a、b都是正整数， ∴， ∴， ∴，或，， ∴或， ∴或， ∴或； 故答案为：143或187． 13．（22-23八年级上·全国·期中）（1）已知a所对应的点在数轴上的位置如图所示．化简：． （2）已知和互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了数轴、利用二次根式的性质进行化简、绝对值的非负性、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由数轴可得，从而可得，，再结合绝对值的意义和二次根式的性质化简即可得解； （2）由相反数的定义结合非负数的性质计算得出，，代入求出的值，最后再由平方根的定义即可得解． 【详解】解：（1）由数轴可得：， ∴，， ∴； （2）∵和互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 地 城 考点05 最简二次根式 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式，直接利用最简二次根式的定义，进而分析得出答案． 【详解】解：A．，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D．，在分母中，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：B． 15．（24-25八年级上·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值： ，使是最简二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴或或等， ∴或或等， 故答案为：（答案不唯一）． 地 城 考点06 二次根式的乘除 16．（24-25八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括加减、乘除、有理化及平方运算． 根据二次根式的化简和运算法则计算即可做出判断． 【详解】A．、平方根相加不能直接合并，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 17．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，根据二次根式的除法计算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 19．（24-25八年级上·上海·期中）一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，则此直角三角形的面积是 ． 【答案】120 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设两条直角边分别为、，根据勾股定理得，解得，则两条直角边分别为、，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：设两条直角边分别为、， 根据勾股定理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴两条直角边分别为、， ∴此直角三角形面积， 故答案为：120． 地 城 考点07 二次根式的加减 20．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的性质和运算法则计算即可． 【详解】解：A．，计算正确，故此选项不符合题意； B．，计算正确，故此选项不符合题意； C．，原计算错误，故此选项符合题意； D．，计算正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 21．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在数学活动课上，李明要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，不考虑拼接处，则需铁丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加法，根据矩形周长公式，即可解答，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，需铁丝的长度至少为， 故选：． 22．（24-25八年级上·河南商丘·期中）若，则P的值为（    ） A．8 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查二次根式加法与乘方运算，先合并同类二次根式，再两边同时平方即可得到答案，熟记二次根式加法与乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 两边平方得，即， 故选：C． 23．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出题干所给的两个二次根式是同类二次根式是解题的关键； 根据题意可得与是同类二次根式，进而可得关于a的方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得； 故答案为：3. 24．（22-23八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并即可； （2）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 地 城 考点08 二次根式的大小比较 25．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）下列选项中的无理数位于7和8中间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的化简，根据二次根式比较大小的方法可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴只有在7和8中间， 故选：C． 26．（23-24八年级上·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 27．（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 地 城 考点9 二次根式的混合运算 28．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是解题的关键，混淆完全平方公式及平方差公式是解题的易错点． （1）先计算二次根式的除法和化简二次根式，再计算加、减； （2）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再相加、减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根． （1）先化简二次根式并计算二次根式的乘法，再算加减即可； （2）先利用立方根及二次根式的性质化简，再算括号里的加法，再算除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．（23-24八年级上·宁夏·期中）求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、零指数幂与负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则（将二次根式化为最简二次根式）、平方差公式 及幂的运算法则 ． （1） 先将 、 化为最简二次根式（，），再合并同类二次根式； （2） 直接运用平方差公式展开，计算后化简结果； （3） 先利用乘法分配律将 分别与 、 相乘，化简各二次根式，再将 化为最简二次根式，最后合并同类二次根式； （4） 先化简 为 ，计算分子中同类二次根式的和，再进行除法运算，同时计算零指数幂 和负整数指数幂 ，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 31．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． （1 ）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质进行计算即可； （2 ）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． （3 ）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后算除法即可； （4 ）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 地 城 考点10 二次根式的求值问题 32．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出，再利用完全平方公式把代数式变形为，代入求值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 33．（24-25八年级上·新疆·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 34．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，完全平方式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接将，代入式子计算即可； （2）先利用完全平方式将变形为，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 地 城 考点11 二次根式的实际应用 35．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据公式计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 36．（24-25八年级上·福建厦门·期中）汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准． 【答案】该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据题意求出刹车距离是解题的关键． 根据题意，代入数据计算即可． 【详解】解∶ 根据题意得， 解得， ， 该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准． 37．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查二次根式的运算，直接根据海伦－秦九韶公式求解，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴（平方米）． 答：的面积是平方米． 地 城 考点12 二次根式与分母有理化 38．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简： ；； 以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式． (1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及二次根式的混合运算； （1）根据题意求得和的有理化因式，即可求解； （2）分子分母都乘以即可； （3）分子分母都乘以即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是；的有理化因式是， 故答案为：；． （2）解：； （3）解： 39．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简a，然后代入所求式子计算即可． 【详解】（1）； （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 地 城 考点13 二次根式与新定义问题 40．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定：对于任意的正数，的“※”运算为，，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得，； 故答案为：． 41．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算问题，二次根式的运算，解题的关键是利用定义进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 42．（24-25八年级上·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 地 城 考点14 二次根式与规律探究性问题 43．（24-25八年级上·山东济宁·期中）将一组数，2，，，，，，，，按如图方式进行排列，则第七行最右边的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中归纳出一般规律是解题的关键． 根据题意可知，前七行共有28个数，第n个数为：，据此求解即可． 【详解】解：∵第一行有1个数， 第二行有2个数， 第三行有3个 数， …… ∴第七行有7个数， ∴前七行共有数的个数为：， 这组数第1个数为：， 第2个数为： 第3个数为： 第4个数为： 第5个数为： 第6个数为： …… 第n个数为：， ∴第七行最右边的数． 故答案为：． 44．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子进行计算即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律即可； （3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵第1个：； 第2个：； 第3个：； …… ∴； （2）解：由（1）可得第个等式为：； （3）解： ． 45．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 【答案】（1），验证见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）先代入得，根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：猜想：； 验证：， ∴猜想正确． （2）解：第n个式子为：； （3）解： ． 46．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，； ，； ，． (1)推算出__________；__________． (2)请用含（是正整数）的式子填空：__________，__________． (3)求出的值． 【答案】(1)10； (2)； (3)18 【分析】本题考查了勾股定理，数式变换规律，二次根式的化简，关键是归纳总结出数式变换规律，有关二次根式的运算． （1）认真阅读题目，根据勾股定理写出答案即可； （2）认真分析数式，总结归纳出规律即可； （3）化简整理后求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 故答案为：10，； （2）解：由题意可得，， 故答案为：，； （3）解： .. ． 地 城 考点15 二次根式与材料阅读问题 47．（24-25八年级上·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 48．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $