专题01勾股定理（14大高频考点）（期中真题汇编，新教材北师大版）八年级数学上学期

专题01勾股定理（14大高频考点） 14大高频考点概览 考点01 勾股定理 考点02以直角三角形三边为边长的图形面积 考点03用勾股定理解三角形 考点04勾股定理与网格问题 考点05用勾股定理求解线段平方之间的关系 考点06勾股定理与数轴 考点07有关弦图的计算问题 考点08勾股定理的证明问题 考点09勾股数（树）问题 考点10勾股定理的逆定理 考点11勾股定理的实际应用问题 考点12勾股定理与选址问题 考点13勾股定理与翻折问题 考点14勾股定理与最短路径问题 地 城 考点01 勾股定理 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）在中，，，，则 ． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ． 3．（24-25八年级·贵州黔东南·期中）在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 4．（24-25八年级·甘肃平凉·期中）在中，，，． (1)求边和的长； (2)求的面积． 地 城 考点02 一直角三角形三边为边长的图形面积 5．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级·湖北咸宁·期中）如图，中，，分别以的三条边为一条边在的外部作等腰直角三角形，的面积为，的面积为，的面积为，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 地 城 考点03 用勾股定理解三角形 8．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，点D在上，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．8 9．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 10．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，在中，，于点D，，． (1)求的面积； (2)求线段的长． 地 城 考点04 勾股定理与网格问题 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 12．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． （1） （度）； （2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 地 城 考点05 用勾股定理求解线段平方之间的关系 14．（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 15．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 16．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 地 城 考点06 勾股定理与数轴 17．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点位圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是 ． 19．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)图①中正方形的面积为 ，边长为 ； (2)在图②的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置． 地 城 考点07 有关弦图的计算问题 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：（1），（2），（3），（4）中，正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图中四条线段得到如图的新图案，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法正确的是 ．（填写序号） 23．（24-25八年级·广东珠海·期中）如图1，是我国汉代的赵爽用来证明“勾股定理”的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为、，斜边长为． （1）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为________和________； （2）若，大正方形的边长，则小正方形的边长为________； [知识迁移]通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． （3）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为________； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 地 城 考点08 勾股定理的证明问题 24．（24-25八年级·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 25．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 26．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想   B．整体思想   C．分类讨论思想   D．数形结合思想 (4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 地 城 考点09 勾股数（树）问题 27．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．，， 28．（24-25八年级·湖北恩施·期中）观察下列勾股数的规律： 第1组：，其中； 第2组：，其中； 第3组：，其中； 第4组：，其中；…… 则第组勾股数中，最大的数（斜边）是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 30．（24-25八年级·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 31．（24-25八年级·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 32．（24-25八年级上·山西晋中·期中）学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数 ； (2)小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 地 城 考点10 勾股定理的逆定理 33．（24-25八年级·广东阳江·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)求证∶ 为直角三角形． (2)画出边上的高，并说明理由． 34．（24-25八年级·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 35．（24-25八年级·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 36．（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 地 城 考点11 勾股定理的实际应用问题 37．（24-25八年级·山东菏泽·期中）图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 38．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 39．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． (1)若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；最低花费为多少元？ (2)如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 40．（24-25八年级·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 41．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 42．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为m米，再将绳子拉直 (如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若， (1)求旗杆的长． (2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂 (拉绳处E 与脚底 F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小迪手臂伸直后的高度为2米，问小迪需要后退几米？  (结果保留根号) 43．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，一艘轮船由港口沿着北偏东的方向航行到达港口，然后再沿北偏西方向航行到达港口． (1)求，两港口之间的距离；（结果保留根号） (2)港口在港口的什么方向上？ 44．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．    (1)求此时船离岸边的长；（结果保留根号） (2)若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 45．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 46．（24-25八年级上·四川达州·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 地 城 考点12 勾股定理与选址问题 47．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 48．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 地 城 考点13 勾股定理与翻折问题 49．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？ 50．（24-25八年级·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 地 城 考点14 勾股定理与最短路径问题 51．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ）． A．10 B． C． D．不能确定 52．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，，分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度（结果保留根号）． 53．（23-24八年级·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01勾股定理（14大高频考点） 14大高频考点概览 考点01 勾股定理 考点02以直角三角形三边为边长的图形面积 考点03用勾股定理解三角形 考点04勾股定理与网格问题 考点05用勾股定理求解线段平方之间的关系 考点06勾股定理与数轴 考点07有关弦图的计算问题 考点08勾股定理的证明问题 考点09勾股数（树）问题 考点10勾股定理的逆定理 考点11勾股定理的实际应用问题 考点12勾股定理与选址问题 考点13勾股定理与翻折问题 考点14勾股定理与最短路径问题 地 城 考点01 勾股定理 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）在中，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：4． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理，分类讨论计算即可． 【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边， 斜边长； 当这个直角三角形的一直角边长6、斜边长为8时，第三边为直角边， 这条直角边的长； 故答案为：或 ． 3．（24-25八年级·贵州黔东南·期中）在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 【答案】(1)12 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉定理的内容并灵活运用是关键． （1）已知直角三角形中的斜边与一条直角边，求另一条直角边，利用勾股定理即可求解； （2）由题意设，，由勾股定理建立方程，利用平方根的定义求出x即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：12； （2）解：， 设，． 又，， ， 即， （舍去负值） ，． 4．（24-25八年级·甘肃平凉·期中）在中，，，． (1)求边和的长； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查了勾股定理，求三角形的面积，掌握勾股定理，求三角形的面积是解本题的关键． （1）设，，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，     ∵， ∴设， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，； （2）解：∵， ∴的面积． 地 城 考点02 一直角三角形三边为边长的图形面积 5．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∴由勾股定理得，， 即正方形的面积为， 故选：． 6．（24-25八年级·湖北咸宁·期中）如图，中，，分别以的三条边为一条边在的外部作等腰直角三角形，的面积为，的面积为，的面积为，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，再由等腰直角三角形的性质得，，则，同理，然后由三角形面积得，，，即可解决问题． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 同理： ， ，， 同理：， 是等腰直角三角形，， ， ， 故选项A不符合题意； ， 故选项B不符合题意； ，， ， 故选项C符合题意； ， 故选项D不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）能，面积为，过程见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以直角三角形三边为边长的图形面积，圆的面积公式，三角形面积，正方形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合勾股定理，可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （2）根据圆的面积公式结合勾股定理，可发现大半圆的面积是两个小半圆的面积和； （3）由（2）可得，阴影部分的面积等于直角三角形的面积，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）为直角三角形，， ， 由题意得：，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 是直角三角形，， ， ，，， ， ； （3）设以AC为直径的半圆面积为，以BC为直径的半圆面积为，以AB为直径的半圆面积为， 由（2）可知，，，， ． 地 城 考点03 用勾股定理解三角形 8．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，点D在上，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理， 利用勾股定理计算的长，结合题意可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 9．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点作于点，如图所示，由基本尺规作图-作角平分线得到平分，再由三角形全等的判定得到，设，表示出中三边长度，再由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 依题意，平分，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得，即， 故选：B． 【点睛】本题考查求线段长，涉及基本尺规作图-作角平分线、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程求线段长等知识，熟练掌握基本尺规作图-作角平分线、三角形全等的判定与性质是解题的关键． 10．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，在中，，于点D，，． (1)求的面积； (2)求线段的长． 【答案】(1)24 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式的运用. (1)先在中利用勾股定理求得的长，然后利用三角形的面积公式即可求解； (2)利用代入数字求值即可． 【详解】（1）解：在中，， ，， ∴， ∴， ∴的面积为24． （2）解：∵在中，，于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为． 地 城 考点04 勾股定理与网格问题 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，分母有理化；先运用勾股定理，算出，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图： ∵每个小正方形的边长均为， ∴， 即， 设边上的高长为 ∵ ∴， 故选：B． 12．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 13．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． （1） （度）； （2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 45 如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答的关键． （1）利用网格特点和等腰三角形直角三角形的判定与性质求解即可； （2）利用勾股定理和和等腰直角三角形的判定与性质证得即可求解． 【详解】解：（1）由网格得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 故答案为：如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 地 城 考点05 用勾股定理求解线段平方之间的关系 14．（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 15．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 16．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 地 城 考点06 勾股定理与数轴 17．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键．根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∴点A所表示的数为． 故选：C． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点位圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度． ∴， 在中，， ， ∵数轴上的点A 对应的实数是 表示的实数为． 故答案为：． 19．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)图①中正方形的面积为 ，边长为 ； (2)在图②的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置． 【答案】(1)17， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴以及尺规作图: （1）由勾股定理可求正方形的边长，即可求正方形的面积； （2）连接，由勾股定理求出，再以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点P，即可得解． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， ∴正方形的面积为， 故答案为：17，； （2）解：如图②，连接， 由勾股定理得：， 以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P， 点P即为所求． 地 城 考点07 有关弦图的计算问题 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：（1），（2），（3），（4）中，正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式、正方形的性质及直角三角形的知识，分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出a与b的关系式，依次判断所给关系式即可． 【详解】解：设小正方形的边长为m，大正方形的边长为n， 由题意可得，， ∴，， ∵直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴，即（1）正确； 由图可得，即（2）错误； ∵小正方形的面积四个直角三角形的面积等于大正方形的面积， ∴， ∴，即（3）正确； ∵， ∴， ∴，即（4）正确． 综上可得（1）（3）（4）正确，共3个． 故选：B． 21．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图中四条线段得到如图的新图案，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得，，，，进而由勾股定理可得，即得，可得，最后用大正方形的面积减去个空白部分三角形的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：． 22．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】根据正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， 由题意得，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 由①得， ∴ = = = ∵， ∴， 即 故②错误； 用x，y表示直角三角形的两条边()， ∵大正方形面积为9，小正方形面积为2， ∴，， ∴直角三角形的面积和为， 于是得到， 解得； 即，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算，解决此题的关键是熟练地运用这些性质和读懂题目意思并把图形联系起来． 23．（24-25八年级·广东珠海·期中）如图1，是我国汉代的赵爽用来证明“勾股定理”的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为、，斜边长为． （1）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为________和________； （2）若，大正方形的边长，则小正方形的边长为________； [知识迁移]通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． （3）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为________； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1）；；（2）3；（3）；（4）． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的面积和体积是解题的关键． （1）根据大正方形的面积边长边长或大正方形的面积直角三角形的面积+小正方形的面积，分别求出大正方形的面积的两种表示，再根据同一图形面积相等的性质分析，即可得出结论； （2）利用（1）的结论计算即可求解； （3）分别求出大正方体的体积和各个部分的体积，再根据同一正方体体积相等的性质分析，即可得出答案； （4）结合（3）的结论，根据代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为，面积可表示为； 图中阴影部分小正方形的面积也可表示为， 故答案为：；； （2）由（1）得， ∵，， ∴， ∴小正方形的边长为， 故答案为：3； （3）图形的体积为：或， ， ， 故答案为：； （4）∵，，， ∴， ∴． 地 城 考点08 勾股定理的证明问题 24．（24-25八年级·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 25．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)90， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，列代数式，熟练掌握数形结合思想的运用是解答本题的关键． （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴ ， 故答案为：90，； （2）解：方法一： ； 方法二： ． 根据上面的方法可得出， ∴． 26．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想   B．整体思想   C．分类讨论思想   D．数形结合思想 (4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 【答案】(1) (2)2 (3)D (4)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案； （4）根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积，以及梯形面积等于其上底加下底乘高除以2进行证明即可． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； （2）解：设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． （3）解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选D； （4）解：， 梯形的面积又可表示为 ， ∴ 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 地 城 考点09 勾股数（树）问题 27．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股数，勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念逐一验证判断即可． 【详解】解：A 、 即 36， 64，100，，而 ，不满足 ，所以，，不是勾股数，不符合题意； B 、5，12，13，均为正整数，且 ，满足勾股定理，是勾股数，符合题意； C 、1.5，2，2.5包含小数，非正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数，不符合题意； D 、 不是正整数，且 ，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意． 故选：B ． 28．（24-25八年级·湖北恩施·期中）观察下列勾股数的规律： 第1组：，其中； 第2组：，其中； 第3组：，其中； 第4组：，其中；…… 则第组勾股数中，最大的数（斜边）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键． 观察各组勾股数的规律，发现每组第一个数为奇数，第二个数与第一个数存在特定关系，进而推导斜边的表达式． 【详解】解：第1组到第4组的第一个数依次为3，5，7，9，均为奇数且公差为2，故第组的第一个数为． 第二个数依次为4，12，24，40，可表示为，展开后为． ∴斜边为前两个数的平方和的平方根， 即：， ∴ ∴ ∴斜边， 故选：B． 29．（24-25八年级·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 30．（24-25八年级·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股数，理解题意是解此题的关键． （1）当，时，代入勾股数生成公式计算即可得解； （2）由题意求出，从而可得，或，，再结合题意验证即可得解． 【详解】（1）解：当，时，代入勾股数生成公式， 得，，． 对应的勾股数是． （2）解：根据题意得，，． ． 又，m，n都是正整数， ，或，． 当，时，，不符合题意； 当，时，，，符合题意． ∴，． 31．（24-25八年级·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 32．（24-25八年级上·山西晋中·期中）学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数 ； (2)小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 【答案】(1)9，40，41 (2)，，正确，见解析 【分析】本题主要考查了勾股数的定义： （1）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案； （2）如果最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时，另外两个数分别，． 【详解】（1）解：当最小奇数为3时，； 当最小奇数为5时，； 当最小奇数为7时，； 所以，当最小奇数为9时，； 故答案为：9，40，41 （2）解：由（1）得，最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时，另外两个数分别，． 验证： 所以，小华的猜想正确． 故答案为：，． 地 城 考点10 勾股定理的逆定理 33．（24-25八年级·广东阳江·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)求证∶ 为直角三角形． (2)画出边上的高，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图见解析；理由见解析 【分析】本题主要考查了网格中三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）利用勾股定理求出三角形每条边的平方，再利用勾股定理逆定理即可证明； （2）根据矩形的性质得到线段中点，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形； （2）解：如图连为所求， ∵，为的中点， ∴． 34．（24-25八年级·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)10 (2)144 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ，，， ． （2）解：由（1）可知． ，， ，． ． 是直角三角形，． ． 35．（24-25八年级·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明是直角三角形是解题的关键。 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 36．（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 地 城 考点11 勾股定理的实际应用问题 37．（24-25八年级·山东菏泽·期中）图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】解：该婴儿车符合安全标准，理由： ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：该车是否符合安全标准． 38．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 39．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． (1)若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；最低花费为多少元？ (2)如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【答案】(1)铺设这条鹅卵石路的最低花费为元 (2)整块空地上种植草皮共需投入元 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵铺设成本为， ∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为（元）． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴整块空地的面积为：， ∵种植草皮的费用是元， ∴整块空地上种植草皮共需投入（元）． 40．（24-25八年级·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 【答案】2.2米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．先在中，根据勾股定理求出梯子的长度，然后在中根据勾股定理求出的长，进而可求解． 【详解】解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 41．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 【答案】木马上升的高度为1米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得： 米， 则米， 即木马上升的高度为1米． 42．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为m米，再将绳子拉直 (如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若， (1)求旗杆的长． (2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂 (拉绳处E 与脚底 F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小迪手臂伸直后的高度为2米，问小迪需要后退几米？  (结果保留根号) 【答案】(1)旗杆的长为12米 (2)米 【分析】（1）设旗杆的长为米，则的长为米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）根作于，则四边形是矩形，得，米，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，求出旗杆的长是解题的关键． 【详解】（1）解：设旗杆的长为米，则的长为（米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：旗杆的长为12米； （2）解：如图3，过作于， 则四边形是矩形， ，米， 米， （米， 在中，米， （米， 米， （米， 答：小迪需要后退米． 43．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，一艘轮船由港口沿着北偏东的方向航行到达港口，然后再沿北偏西方向航行到达港口． (1)求，两港口之间的距离；（结果保留根号） (2)港口在港口的什么方向上？ 【答案】(1) (2)港口在港口的南偏西的方向上 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方向角； （1）由题意得，由勾股定理，从而得出的长； （2）由（1）可得，求出即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 根据勾股定理，知． 答：A、C两港之间的距离是； （2）由（1）知，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴, ∴港口在港口的南偏西的方向上． 44．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．    (1)求此时船离岸边的长；（结果保留根号） (2)若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理即可得出的长； （2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）开始时绳子的长度为的3倍． 米， （米； （2）如图，连接，    此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置． 船移动到点的位置时绳长（米， （米， 船向岸边移动的距离为（米， 答：船向岸边移动了大约6.5米． 45．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可； （2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 答：的长为米； （2）解：小汽车的速度为：， ， 故小汽车超速了． 46．（24-25八年级上·四川达州·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)会，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）过点C作于D点，勾股定理求出，再由三角形的面积公式可得，即可求解； （2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 地 城 考点12 勾股定理与选址问题 47．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 48．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)千米 (4) 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （4）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点． 地 城 考点13 勾股定理与翻折问题 49．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？ 【答案】能， 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由勾股定理可得，由折叠的性质得，，，即得，设，则，在中，利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：能； ∵是直角三角形，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 50．（24-25八年级·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理在翻折中的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答． 首先根据勾股定理求出的长，借助翻转变换的性质及勾股定理列式求出的长，即可解决问题； 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 地 城 考点14 勾股定理与最短路径问题 51．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ）． A．10 B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，， ∴； 如图所示，当沿着长把长方体展开时， 在中，， ∴； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，， ∴； ∵， ∴沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是， 故选：C． 52．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，，分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度（结果保留根号）． 【答案】小虫爬行的最短路线的长度为 【分析】本题考查圆柱侧面展开图，勾股定理，以及两点之间线段最短，掌握圆柱体的侧面张开图是长方形，并且理解两点之间线段最短这一基本事实是本道题解题的关键．沿将圆柱的侧面展开如下图，连接，由两点之间线段最短可知小虫爬行的最短路线是，利用圆的周长公式和勾股定理求出，即可解题． 【详解】解：沿将圆柱的侧面展开如下图，连接，一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，由两点之间线段最短可知小虫爬行的最短路线是， 圆柱体底面圆的半径为， ， 圆柱高为2， ， 答：小虫爬行的最短路线的长度为． 53．（23-24八年级·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $