培优02有理数的乘除及混合运算10大重难题型（专项训练）数学人教版2024七年级上册

培优02有理数的乘除及混合运算10大重难题型 题型1有理数的乘法及连乘 1.有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 2.方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 3.有理数相乘过程中的注意点 (1)在乘法运算中，带分数一般要化为假分数，以便于约分， (2)乘法运算的最终结果一定是最简分数或整数 1．计算． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2．计算： （1） （2） （3） （4）． 3．计算： （1）； （2）； （3）． 4．计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型2有理数乘法运算律 1.有理数乘法运算律 运算律 语言叙述 字母表示 乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积相等 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等 (ab)c= a(bc) 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加 a(b+c)=ab+ac 2. 方法技巧： (1)利用乘法分配律时，必须把括号外的数和括号内的每一个数都相乘，切不可漏乘 (2)利用交换律时，只改变因数的位置，不能改变因数本身的符号， 5．用简便方法计算： （1）； （2）； （3）． 6．计算： （1）； （2）； （3）． （4）． 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 8．计算下列各题： （1） （2）． 9．计算下列各题 （1） （2） （3） （4）． 10．计算： （1）； （2）； 3）； （4）． 11．选择适当方法，简便计算： （1） （2） （3）．（4）． （5）． 题型3 有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a•（b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 12．计算． （1） （2）； （3）． 13．计算． （1）； （2）； （3）． 14．计算： （1）； （2）； （3）． 题型4 有理数的乘除 1.运算顺序 有括号先算括号里面的，没有括号时，根据有理数的乘法法则和除法法则，按照从左到右的运算顺序依次 计算 2.运算方法 首先把除法运算转化为乘法运算，然后按照乘法法则或运算律进行计算. 3.注意：(1)结果的符号由负因数的个数确定，可借用口诀“偶正奇负，有0为0”， (2)结果能化简的要化简. 15．计算下列各题： （1）； （2）． 16．． 17．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式 （第一步） （第二步） （第三步） （1）上面解题过程中错误的步骤是：　　； （2）请你写出正确的解法． 18．计算． （1）； （2）； （3） ； （4）． 题型5 用简便方法进行有理数的除法运算 1.除法变乘法，巧用分配律 2.通过前面的学习我们知道，只有乘法有分配律，因此将除法转化为乘法后，我们就可以利用分配律来 计算，这体现了数学中的转化思想 19．阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 20．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 题型6 有理数的四则混合运算 1.运算顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行， 2.运算方法 运用有理数的加、减、乘、除、乘方法则进行计算. 3. 运算技巧 (1)可以以加减号为界，把算式分成几部分，各部分可同时单独运算， (2)计算时，通常把小数化成分数，带分数化成假分数；做乘除或乘方运算时，应先确定积、商或幂的 符号. 21．计算： (1)． (2)． (3)． 22．计算： (1)． (2)． 23．计算： (1)． (2)． 题型7有理数的新定义运算问题 1. 新定义运算是近几年常考的问题热点之一，它以精巧别致灵活的命题方式，能很好的考查学生观察、分析、概括与综合能力，解决此类问题是按照所给的运算法则，按照有理数的混合运算进行求解. 2.新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减、乘、除等运算 24．小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 25．七年级的小梅同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值． (2)求的值． 26．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 题型8有理数的计算与程序框图 27．看程序图，做有理数运算 如图是计算机程序计算图．    【模型提炼】输入数据进入程序运算：将输入的数据，即可得到输出的数值． 【模型运用】 (1)若开始输入为，请你根据上面程序列出算式并计算出输出结果； (2)若最后输出为，请你根据上面程序列出算式并计算出输入数字． 28．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 29．嘉嘉和琪琪用下图中的A、B、C三张带有运算的卡片做一个“我说你算”的数学游戏，两人约定：一人说数字，并将卡片任意排列；另一人按卡片排列顺序进行计算．例如，嘉嘉说出数字2，并将卡片按的顺序排列，则琪琪的运算顺序为：先对2进行的运算，接着用求得的和，最后用所求得的积．列式为：． (1)嘉嘉说出数字，并将卡片按的顺序排列，请你帮琪琪列式并计算结果； (2)嘉嘉说数字x，琪琪对x按的顺序运算后，得到的数恰好等于12，求x． 题型9有理数与算“24点”问题 30．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 31．“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 32．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 题型10有理数的混合运算的实际应用问题 利用有理数的混合运算解决实际问题的一般步骤 第一步：分析题意； 第二步：列出算式： 第三步：运用有理数的混合法则或运算律进行计算： 第四步：写出答案， 33．兴龙公司今年种植的猕猴桃获得大丰收，星期六兴龙公司卖给了某客商10箱猕猴桃．若每标准箱猕猴桃的净重为5千克，超过标准数的部分记为“”，不足标准数的部分记为“”，兴龙公司卖给了该客商10箱猕猴桃记录如下：；；；；；；；0；；． (1)请计算这10箱猕猴桃的总重为多少千克？ (2)如果猕猴桃的价格为9元/千克，兴龙公司出售这10箱猕猴桃共收入多少元？（精确到1元） (3)若都用这种纸箱装，兴龙公司的猕猴桃共能装约2000箱，按照目前这个价格，把猕猴桃全部出售，兴龙公司大约能收入多少元？（精确到万位） 34．小虫从原点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的路程记录依次为(单位：)：，，，，，，，． (1)小虫最后是否能回到出发点？如果不能，它与出发点的位置是怎样的？ (2)小虫在爬行过程中离出发点最远时在什么位置？(要说明方向和距离) (3)在爬行过程中，如果每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了多少粒芝麻？ 35．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“”，刚好50千米的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） 0 (1)请求出这七天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？ 36．为检修线路，一辆工程车从地出发，在东西方向的道路上连续行驶．规定向东行驶为正，向西行驶为负，某天共行驶八次，记录如下（单位：）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 (1)第四次行驶结束时，工程车具体在什么位置？ (2)第八次行驶结束时，工程车是否回到了地？为什么？ (3)第几次行驶结束时距离地最远？ (4)若工程车每行驶耗油，该车这一天共耗油多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02有理数的乘除及混合运算10大重难题型 题型1有理数的乘法及连乘 1.有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 2.方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 3.有理数相乘过程中的注意点 (1)在乘法运算中，带分数一般要化为假分数，以便于约分， (2)乘法运算的最终结果一定是最简分数或整数 1．计算． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【分析】有理数相乘，当带分数相乘时，把带分数化成假成数；把分数与小数相乘时，统一写成分数或小数． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】此题考查了有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 2．计算： （1） （2） （3） （4）． 【分析】（1）利用同号两数相乘的法则计算即可得到结果； （2）利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （3）根据0乘以任何数结果为0即可得到结果； （4）根据负因式个数为2个，得到结果为正数，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式 ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）（3）按有理数的乘法法则计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再把小数化成分数，最后按有理数的乘法法则计算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 4．计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【分析】（1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （2）先确定符号，再用约分即可得答案； （3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （4）先确定符号，再用约分即可得答案； （5）先确定符号，再用约分即可得答案； （6）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 【点睛】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号． 题型2有理数乘法运算律 1.有理数乘法运算律 运算律 语言叙述 字母表示 乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积相等 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等 (ab)c= a(bc) 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加 a(b+c)=ab+ac 2. 方法技巧： (1)利用乘法分配律时，必须把括号外的数和括号内的每一个数都相乘，切不可漏乘 (2)利用交换律时，只改变因数的位置，不能改变因数本身的符号， 5．用简便方法计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理． 6．计算： （1）； （2）； （3）． （4）． 【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式利用0与任何数乘积为0即可得到结果； （3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式先计算括号里边的运算，相乘即可得到结果． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则及乘法分配律是解本题的关键． 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】根据有理数的乘法的法则，对各小题进行运算，即可得出结果． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ， ； （4） ． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是熟练运用有理数的乘法法则进行运算． 8．计算下列各题： （1） （2）． 【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键． 9．计算下列各题 （1） （2） （3） （4）． 【分析】（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算，约分即可得解； （3）利用乘法分配律进行计算即可得解； （4）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ； （3）， ， ， ， ； （4）， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键，利用运算定律可以使计算更加简便，计算时要注意运算符号的处理． 10．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）原式1、3结合，2、4结合，约分即可得到结果； （2）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （3）原式第一项因式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式逆用乘法分配律即可得到结果． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．选择适当方法，简便计算： （1） （2） （3）． （4）． （5）． 【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可得解； （2）先把写成，再利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律，提取15，然后进行计算即可得解； （4）把小数化为分数，然后利用乘法运算法则进行计算即可得解； （5）运用乘法分配律和逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 题型3 有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a•（b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 12．计算． （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解； （2）根据除以一个不为零的数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （3）按照从左到右的顺序把除法转化为乘法运算，任何进行计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，乘除同一级运算要按照从左到右的顺序依次进行计算． 13．计算． （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）按照“两数相除，同号的正，异号得负，并把绝对值相除”的法则直接计算即可； （2）把除法转化成乘法，再进行约分即可； （3）先把小数转化成分数，再把除法转化成乘法，然后约分即可． 【解答】解；（1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，除以一个数等于乘以这个数的倒数，一定掌握好运算顺序． 14．计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除的法则直接计算即可； （2）根据两数相除，异号得负，并把绝对值相除的法则直接计算即可； （3）先把除法转化成乘法，再把提取出来，然后进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，注意能用简便方法的要用简便方法． 15．计算下列各题： （1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则，从左向右依次计算，即可得出答案； （2）解法同（1）． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除，熟练掌握有理数的乘除法则进行计算是解决本题的关键． 题型4 有理数的乘除 1.运算顺序 有括号先算括号里面的，没有括号时，根据有理数的乘法法则和除法法则，按照从左到右的运算顺序依次 计算 2.运算方法 首先把除法运算转化为乘法运算，然后按照乘法法则或运算律进行计算. 3.注意：(1)结果的符号由负因数的个数确定，可借用口诀“偶正奇负，有0为0”， (2)结果能化简的要化简. 16．． 【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 17．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式 （第一步） （第二步） （第三步） （1）上面解题过程中错误的步骤是：　第二步和第三步　； （2）请你写出正确的解法． 【分析】①根据题目中的解答过程可知第二步开始错误，错误原因是没有按运算顺序计算； ②同号两数相除，结果应为正． 【详解】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处是第三步，错误原因是符号弄错． 故答案为：第二步和第三步； （2）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先把小数化为分数，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）要算中括号内的除法运算； （3）先把除法运算化为乘法运算，然后利用乘法的分配律计算； （4）先确定符合，再把带分数写成整数与真分数的和，然后利用乘法的分配律计算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 题型5 用简便方法进行有理数的除法运算 1.除法变乘法，巧用分配律 2.通过前面的学习我们知道，只有乘法有分配律，因此将除法转化为乘法后，我们就可以利用分配律来 计算，这体现了数学中的转化思想 19．阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果． 【详解】解：根据题意得： ， 则原式． 【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 题型6 有理数的四则混合运算 1.运算顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行， 2.运算方法 运用有理数的加、减、乘、除、乘方法则进行计算. 3. 运算技巧 (1)可以以加减号为界，把算式分成几部分，各部分可同时单独运算， (2)计算时，通常把小数化成分数，带分数化成假分数；做乘除或乘方运算时，应先确定积、商或幂的 符号. 21．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握运算法则以及运算顺序. （1）先计算乘除，再算加法. （2）先算绝对值以及括号里的运算，再算乘法，最后加法. （3）根据有理数除法法则，可转化成乘法，再根据乘法分配律，可得答案. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 22．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键. （1）先把除法变成乘法，再用乘法分配律简算； （2）先算乘除，后算加减. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 23．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算. （1）先算括号，再乘除，最后加减即可； （2）先把除法化为乘法，再用乘法分配律，最后加减即可. 【小题1】解： 【小题2】解： 题型7有理数的新定义运算问题 1. 新定义运算是近几年常考的问题热点之一，它以精巧别致灵活的命题方式，能很好的考查学生观察、分析、概括与综合能力，解决此类问题是按照所给的运算法则，按照有理数的混合运算进行求解. 2.新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减、乘、除等运算 24．小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． （1）根据题意列出算式，然后计算乘法，最后计算加法即可求解； （2）首先计算出，然后代入计算即可． 【详解】（1） ； （2）因为 所以 ． 25．七年级的小梅同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是准确熟练的进行计算. （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答. （2）按照定义的新运算先算括号内的，再算括号外的. 【详解】（1）解： ． （2） ． 26．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1)21 (2)15 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键． （1）根据新定义运算法则列式计算； （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 题型8有理数的计算与程序框图 27．看程序图，做有理数运算 如图是计算机程序计算图．    【模型提炼】输入数据进入程序运算：将输入的数据，即可得到输出的数值． 【模型运用】 (1)若开始输入为，请你根据上面程序列出算式并计算出输出结果； (2)若最后输出为，请你根据上面程序列出算式并计算出输入数字． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据程序计算图，计算得到结果即可； （2）根据程序计算图，逆运算，计算，即可得到输入数字． 【详解】（1）解：∵开始输入为， ∴结果为； （2）解：∵最后输出为， ∴输入数字为． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算是解题的关键． 28．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解决此类问题的关键是理解题目中所给的程序，当计算的结果的绝对值小于100时，要从头再输入，直到绝对值大于100才可以输出结果． （1）根据题意，把输入，得，其绝对值大于100，所以就是输出的数． （2）根据题意，把2输入，得，其绝对值小于100，所以再把从头输入，计算输出的数． 【详解】（1）解：． 答：输出的数是． （2）解：把2输入，得， ∵， ∴再把从头输入，得． 答：输出的数是． 29．嘉嘉和琪琪用下图中的A、B、C三张带有运算的卡片做一个“我说你算”的数学游戏，两人约定：一人说数字，并将卡片任意排列；另一人按卡片排列顺序进行计算．例如，嘉嘉说出数字2，并将卡片按的顺序排列，则琪琪的运算顺序为：先对2进行的运算，接着用求得的和，最后用所求得的积．列式为：． (1)嘉嘉说出数字，并将卡片按的顺序排列，请你帮琪琪列式并计算结果； (2)嘉嘉说数字x，琪琪对x按的顺序运算后，得到的数恰好等于12，求x． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，求出x的值． （1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可； （2）根据题意，可以得到关于x的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：∵对x按的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12， ∴， 解得，即x的值是． 题型9有理数与算“24点”问题 30．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 【答案】(1)抽取到2张卡片上的数字分别是6和4，24 (2)抽取到2张卡片上的数字分别是6和，最小的商是 (3)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从中抽2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为24即可． 【详解】（1）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和4， 最大乘积为：； （2）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和， 最小的商为：； （3）（答案不唯一）当抽取到4张卡片上的数字分别是、3、4和 运算式子为：； ． 31．“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 32．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，最大值是 (2)一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【详解】（1）， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是； （3）从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 题型10有理数的混合运算的实际应用问题 利用有理数的混合运算解决实际问题的一般步骤 第一步：分析题意； 第二步：列出算式： 第三步：运用有理数的混合法则或运算律进行计算： 第四步：写出答案， 33．兴龙公司今年种植的猕猴桃获得大丰收，星期六兴龙公司卖给了某客商10箱猕猴桃．若每标准箱猕猴桃的净重为5千克，超过标准数的部分记为“”，不足标准数的部分记为“”，兴龙公司卖给了该客商10箱猕猴桃记录如下：；；；；；；；0；；． (1)请计算这10箱猕猴桃的总重为多少千克？ (2)如果猕猴桃的价格为9元/千克，兴龙公司出售这10箱猕猴桃共收入多少元？（精确到1元） (3)若都用这种纸箱装，兴龙公司的猕猴桃共能装约2000箱，按照目前这个价格，把猕猴桃全部出售，兴龙公司大约能收入多少元？（精确到万位） 【答案】(1)52千克 (2)468元 (3)元 【分析】此题主要考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法，确定这10个数的和，再计算这10箱猕猴桃的总重量； （2）根据总收入总重量单价，列出算式，然后计算即可得解； （3）求出1箱猕猴桃的总价，乘以2000即可得． 【详解】（1）解：（千克）． （千克）． 答：这10箱猕猴桃的总重为52千克． （2）解：（元）． 答：兴龙公司出售这10箱猕猴桃共收入468元． （3）解：（元）， 元元． 答：兴龙公司大约能收入元． 34．小虫从原点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的路程记录依次为(单位：)：，，，，，，，． (1)小虫最后是否能回到出发点？如果不能，它与出发点的位置是怎样的？ (2)小虫在爬行过程中离出发点最远时在什么位置？(要说明方向和距离) (3)在爬行过程中，如果每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫不能回到出发点，在出发点的左边，距离出发点. (2)小虫离开出发点最远是，在出发点的左边. (3)每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了粒芝麻. 【分析】本题考查正数与负数的意义及有理数的加减混合运算，理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示,并熟练掌握有理数加减混合运算法则是解题关键. （1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置. （2）分别计算出每次爬行后距离原点的距离即可得答案. （3）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数即可． 【详解】（1）解：. 答：小虫不能回到出发点，在出发点的左边，距离出发点. （2）解：第一次， 第二次， 第三次， 第四次， 第五次， 第六次， 第七次， 第八次. ∴小虫离开出发点最远是，在出发点的左边. （3）解：， ∴， ∴每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了粒芝麻. 35．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“”，刚好50千米的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） 0 (1)请求出这七天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)50千米 (2)元 【分析】本题主要用正负数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，明确选50千米为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负成为解题的关键． （1）将所给数据相加，用这个数据除以7再加上50 即可； （2）用每天平均路程乘以30即可求得一个月的路程，然后除以100看有多少个100千米，然后乘6，得到需用汽油多少升，再乘元即可解答． 【详解】（1）解：， 所以平均每天行驶的路程为（千米）， 答：这七天中平均每天行驶50千米． （2）解：小明家一个月（按30天计算）要行驶路程为（千米）， 元． 答：估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是元． 36．为检修线路，一辆工程车从地出发，在东西方向的道路上连续行驶．规定向东行驶为正，向西行驶为负，某天共行驶八次，记录如下（单位：）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 (1)第四次行驶结束时，工程车具体在什么位置？ (2)第八次行驶结束时，工程车是否回到了地？为什么？ (3)第几次行驶结束时距离地最远？ (4)若工程车每行驶耗油，该车这一天共耗油多少？ 【答案】(1)在地向东处； (2)回到了地，理由见解析； (3)第五次； (4)． 【分析】本题考查了有理数加法，正数和负数的意义，绝对值的应用，有理数大小比较，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把前四次行驶记录相加即可求解； （）把八次行驶记录相加即可求解； （）分别求出各次记录时距离地的距离，然后比较大小即可求解； （）把八次行驶记录的绝对值相加求出总路程，再根据耗油率计算总耗油量． 【详解】（1）解：， ∴第四次行驶结束时，工程车在地向东处； （2）解： ， ∴第八次行驶结束时，工程车回到了地； （3）解：第次， 第次， 第次， 第次， 第次， 第次， 第次， 第次， ∵最大， ∴第五次行驶结束时距离地最远； （4）解：， ， ∴这一天共耗油． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $