培优01有理数的加减及简便运算8大重难题型（专项训练）数学人教版2024七年级上册

培优01有理数的加减及简便计算（8大重难题型） 题型1 有理数的加减运算 1.有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） 2.有理数加法口诀 同号相加一边倒，异号相加“大”减“小”，符号跟着大数跑，相反数一加“0”正好，与0相加变不了， (其中“大”“小”指两个数的绝对值的大小，) 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型2 有理数的加法运算律 1.加法运算律 运算律 文字语言 符号语言 加法 交换律 有理数的加法中,两个数相加,交 换加数的位置,和不变 a+b=b+a 加法 结合律 有理数的加法中,三个数相加,先 把前两个数相加,或者先把后两 个数相加,和不变 (a+b)+c= a+(b+c) 2.有理数的加法运算律中的“五法” (1)互为相反数的两个数先相加一“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加—“同号结合法”； (3)分母相同的分数先相加一“同分母结合法”： (4)多个数相加能得到整数的数先相加一“凑整法” (5)整数与整数、分数与分数分别相加—“同形结合法” 4．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．计算下列各题： （1）； （2）． 6．用简便方法计算： （1）； （2）． 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型3 有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a-b=a+（-b） 2.方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 8．计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 9．计算． （1）； （2）； （3）． 10．计算． （1）． （2）； （3）； （4）． （5）． （6）； （7）． 题型4 有理数的加减混合运算 1,有理数加减混合运算的方法 根据有理数的减法法则，首先把其中的减法运算转化为加法运算，从而把加减混合运算转化为连加运算， 然后利用加法运算法则或加法运算律进行运算 2.有理数加减混合运算的三个步骤 第一步：把有理数的减法运算统一成加法运算； 第二步：把加法算式写成省略加号和括号的形式； 第三步：应用加法法则或运算律进行计算 3.有理数加减混合运算的技巧 有理数的加减混合运算常需用到加法的交换律 结合律，把加数结合时有一定技巧，常用的规律有： (1)几个整数相加，可分别把正数、负数相加： (2)把互为相反数的两个数结合在一起： (3)把能凑成整数的数结合在一起； (4)把整数、分数、小数先分组再相加； (5)把整数部分和分数部分分别相加. 11．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 12．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 14．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 15．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 16．先阅读例题的计算方法，再根据例题的计算方法计算． 例：计算：． 解： ． 上面这种解题方法叫做拆项法． 计算：． 题型5有理数的加减与绝对值综合 1. 绝对值的性质： ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． 2. 解题技巧：先利用绝对值的性质求出字母的值，在利用有理数的加法和减法法则进行计算，在求解时注意分类讨论思想的应用 17．（1），，若，则的值是 　　； （2），，若，则的值是 　　； （3），，若，求，的值； （4），，若，求的值． 18．已知，，且，求的值． 19．若，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 20．已知，，求，的值，并比较它们的大小． 题型6 有理数的加减与数轴综合应用 在数轴上，利用数形结合思想，一般可读出三个 方面的信息： (1)对应点所表示的数是正数还是负数； (2)对应点到原点的距离，即绝对值的大小： (3)对应点表示的数的大小关系，即数轴上的数从左往右越来越大， 21．有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． （1）填空：　　0；　　0；　　0． （2）化简：． 22．有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 　　0， 　　0， 　　0． （2）化简：． 23．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求　　 ； （2）若，则　　 ； （3）请你找出所有符合条件的整数，使得． 24．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 　　；表示和1两点之间的距离是 　　；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． （2）如果，那么 　　； （3）若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是 　　，最小距离是 　　． （4）若数轴上表示数的点位于与5之间，则 　　． （5）当 　　时，的值最小，最小值是 　　． 25．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 　　和 　　，，两点间的距离是 　　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 　　；如果，那么为 　　； （3）若点表示的整数为，则当为 　　时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 题型7有理数加减的实际应用 加减运算解决实际问题，读题列式最关键 有理数的加减运算（或混合运算）在实际生活中有着广泛的应用，解决这类问题时要注意读懂题意 正确列出算式，这是解题的关键所在.在求解时要恰当运用运算律来简化运算，还要注意结果所表达的实 际意义 26．某出租司机某天下午营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米） ，，，，，，，，，． （1）该司机将最后一名乘客送到目的地时，距下午出发点的距离是多少千米？ （2）若汽车耗油量为0.07升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 27．2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） ①10月3日的人数为 　　万人． ②八天假期里，游客人数最多的是10月 　　日，达到 　　万人． 游客人数最少的是10月 　　日，达到 　　万人． ③请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 28．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“”，向西记作“”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客），，，，，，请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 29．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米），，，，，，． （1）守门员是否回到了原来的位置？ （2）守门员离开球门的位置最远是多少？ （3）守门员一共走了多少路程？ 30．我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演．一架飞机起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 下降 记作 （1）这架飞机比起飞点高了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ （3）若某架飞机从地面起飞后先上升，然后再做两个表演动作，这两个动作产生的高度变化分别是和，请你求出这两个表演动作结束后，飞机离地面的高度． 题型8有理数加减的规律探究问题 1.灵活运用运算律，加减混合变容易 2.对于有多个有理数参与的加减混合运算，不要急着逐个计算，先通过观察找出规律，按规律结合或分 组，每组结果要尽可能相等，这样运算更简便， 31．计算的结果是　　 A．2023 B． C． D．1012 32．对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是 　　． 33．我们知道：，， 那么反过来也成立如：，，　　 利用上面的规律计算： 拓展：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01有理数的加减及简便计算（8大重难题型） 题型1 有理数的加减运算 1.有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） 2.有理数加法口诀 同号相加一边倒，异号相加“大”减“小”，符号跟着大数跑，相反数一加“0”正好，与0相加变不了， (其中“大”“小”指两个数的绝对值的大小，) 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）30； （2）； （3）； （4）0； （5）0； （6） 【分析】按照有理数加法运算的顺序计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查有理数加法运算，按照有理数的加法法则便可解决问题． 2．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先通分，然后按照有理数的加法法则：和取相同的符号，并把绝对值相加； （2）先通分，然后按照有理数的加法法则：和取绝对值较大的符号，并用大绝对值减小绝对值； （3）先通分，然后按照有理数的加法法则：异号两数相加，和取绝对值较大的符号，并用大绝对值减小绝对值； （4）先写成省略加号和的形式，然后进行简便计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 【点睛】本题主要考查了实数的计算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】各个小题均根据有理数的加法法则：同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，和取绝对值较大加数的符号，大绝对值减去小绝对值，任何数与0相加仍得这个数，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则． 题型2 有理数的加法运算律 1.加法运算律 运算律 文字语言 符号语言 加法 交换律 有理数的加法中,两个数相加,交 换加数的位置,和不变 a+b=b+a 加法 结合律 有理数的加法中,三个数相加,先 把前两个数相加,或者先把后两 个数相加,和不变 (a+b)+c= a+(b+c) 2.有理数的加法运算律中的“五法” (1)互为相反数的两个数先相加一“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加—“同号结合法”； (3)分母相同的分数先相加一“同分母结合法”： (4)多个数相加能得到整数的数先相加一“凑整法” (5)整数与整数、分数与分数分别相加—“同形结合法” 4．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）18． （2）． （3）． （4）． 【分析】利用有理数加法运算法则计算即可． 【解答】（1）； 解：原式 ． （2）； 解：原式 ． （3）； 解：原式 ． （4）． 解：原式 ． 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则是解题的关键． 5．计算下列各题： （1）； （2）． 【分析】（1）减法转化为加法，再进一步计算可得； （2）利用加法的交换律和结合律计算可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则及运算律． 6．用简便方法计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数加法的运算律将与相结合，17与73相结合，再计算可求解； （2）根据有理数加法的运算律将分母相同的项相结合，再相加即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解析 （1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，熟记运算法则是解答本题的关键． 题型3 有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a-b=a+（-b） 2.方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 8．计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解； （2）根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解； （3）先把分母是4的两个分数计算，再进行计算即可； （4）先化简符号，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ； （3）， ， ； （4）， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 9．计算． （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解； （2）先统一成加法运算，然后进行计算即可得解； （3）根据有理数的减法运算法则转化为加法，然后进行计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 10．计算． （1）． （2）； （3）； （4）． （5）． （6）； （7）． 【分析】（1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （7）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式 ． 【点睛】此题考查了有理数的减法，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则及绝对值的代数意义是解本题的关键． 题型4 有理数的加减混合运算 1,有理数加减混合运算的方法 根据有理数的减法法则，首先把其中的减法运算转化为加法运算，从而把加减混合运算转化为连加运算， 然后利用加法运算法则或加法运算律进行运算 2.有理数加减混合运算的三个步骤 第一步：把有理数的减法运算统一成加法运算； 第二步：把加法算式写成省略加号和括号的形式； 第三步：应用加法法则或运算律进行计算 3.有理数加减混合运算的技巧 有理数的加减混合运算常需用到加法的交换律 结合律，把加数结合时有一定技巧，常用的规律有： (1)几个整数相加，可分别把正数、负数相加： (2)把互为相反数的两个数结合在一起： (3)把能凑成整数的数结合在一起； (4)把整数、分数、小数先分组再相加； (5)把整数部分和分数部分分别相加. 11．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）8；（3）；（4）． 【分析】（1）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （2）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （3）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （4）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的运算律，熟练掌握运算律的加减混合运算的法则和运算律是解题的关键． 12．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）利用有理数的加减混合运算的法则与加法的运算律解答即可； （2）利用有理数的加减混合运算的法则与加法的运算律解答即可； （3）利用有理数的加减混合运算的法则与加法的运算律解答即可； （4）利用有理数的加减混合运算的法则与加法的运算律解答即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）利用有理数的加减混合运算的法则和有理数的加法的运算律解答即可； （2）利用有理数的加减混合运算的法则和有理数的加法的运算律解答即可； （3）利用有理数的加减混合运算的法则和有理数的加法的运算律解答即可； （4）利用有理数的加减混合运算的法则和有理数的加法的运算律解答即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题主要考查了运算律的加减混合运算，绝对值，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 14．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）；（5）4；（6）． 【分析】（1）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （2）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （3）利用有理数的加减混合运算的法则和运算律解答即可； （4）利用有理数的加减混合运算的法则和运算律解答即可； （5）利用有理数的加减混合运算的法则和运算律解答即可； （6）利用有理数的加减混合运算的法则和运算律解答即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． 15．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】． 【分析】利用拆项法将原式变形，然后利用加法的交换律与结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16．先阅读例题的计算方法，再根据例题的计算方法计算． 例：计算：． 解： ． 上面这种解题方法叫做拆项法． 计算：． 【答案】． 【分析】利用拆项法求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，看懂题例，掌握拆项法的步骤是解决本题的关键． 题型5有理数的加减与绝对值综合 1. 绝对值的性质： ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． 2. 解题技巧：先利用绝对值的性质求出字母的值，在利用有理数的加法和减法法则进行计算，在求解时注意分类讨论思想的应用 17．（1），，若，则的值是 　　； （2），，若，则的值是 　　； （3），，若，求，的值； （4），，若，求的值． 【答案】（1）．（2）2．（3），．（4），． 【分析】（1）根据绝对值的定义解决此题．（2）根据绝对值的定义解决此题． （3）根据绝对值的定义解决此题．（4）根据绝对值的定义解决此题． 【详解】解：（1）， ． ，， ． 故答案为：． （2）， ． ，， ． 故答案为：2． （3），， ，． ， ，． （4），， ，． ， ，． 【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键． 18．已知，，且，求的值． 【答案】或． 【分析】先根据已知，，得出，，再根据，确定出符合条件的，的值，最后代入计算即可． 【详解】解：，， ，， ， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的减法运算，掌握有理数的减法运算法则，绝对值的性质是解题的关键． 19．若，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2或；（2）8或2． 【分析】（1）若，则、异号，求出、的值，再把它们相加即可． （2）若，则，求出、的值，再把它们相减即可． 【详解】解：，， ，， （1）若， 则，或，， ①，时， ． ②，时， ． （2）若， 则， ，或3， ， 或，时，． 故或2． 【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和求法，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别求出、的值各是多少． 20．已知，，求，的值，并比较它们的大小． 【答案】见试题解答内容． 【分析】先依据绝对值的性质求得、的值，然后再比较大小即可． 【详解】解：，， ，． 当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的性质、比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键． 题型6 有理数的加减与数轴综合应用 在数轴上，利用数形结合思想，一般可读出三个 方面的信息： (1)对应点所表示的数是正数还是负数； (2)对应点到原点的距离，即绝对值的大小： (3)对应点表示的数的大小关系，即数轴上的数从左往右越来越大， 21．有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． （1）填空：　　0；　　0；　　0． （2）化简：． 【分析】（1）根据数轴上、、三点的位置即可得出结论； （2）根据（1）中的结论去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）、两点在原点的异侧，， 、互为相反数， ； ， ； ，， ． 故答案为：，，； （2），，， 原式． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的性质是解答此题的关键． 22．有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 　　0， 　　0， 　　0． （2）化简：． 【分析】（1）根据数轴判断出、、的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）由图可知，，，且， 所以，，，； 故答案为：，，； （2） ． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出、、的正负情况是解题的关键． 23．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求　6　 ； （2）若，则　　 ； （3）请你找出所有符合条件的整数，使得． 【分析】根据题意给出的定义即可求出答案． 【详解】解：（1）原式； （2）， ， 或； （3）由题意可知：表示数到1和的距离之和， ， 或或0或1． 故答案为（1）6；（2）7或； 【点睛】本题考查绝对值的定义，涉及绝对值的几何意义． 24．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 　1　；表示和1两点之间的距离是 　　；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． （2）如果，那么 　　； （3）若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是 　　，最小距离是 　　． （4）若数轴上表示数的点位于与5之间，则 　　． （5）当 　　时，的值最小，最小值是 　　． 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据绝对值可得：，即可解答； （3）根据绝对值分别求出，的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数的点到与5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【详解】解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：；表示和1两点之间的距离是：； （2）， 或， 或． （3），， 或，或， 当，时，则、两点间的最大距离是12， 当，时，则、两点间的最小距离是2， 则、两点间的最大距离是12，最小距离是2； （4）若数轴上表示数的点位于与5之间， ． （5）当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值接近为 当时，原式，这时的最小值为 综上可得当时，式子的最小值为9 故答案为： （1）1；3；（2）1或；（3）12；2；（4）8；（5）1；9． 【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． 25．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 　　和 　　，，两点间的距离是 　　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 　　；如果，那么为 　　； （3）若点表示的整数为，则当为 　　时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围． 【详解】解：（1）如图，点为所求点．点表示的数，点表示的数1，的长度是； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为，如果，那么为，2； （3）若点表示的整数为，则当为，时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是， 故答案为：，1，3.5；，，2；；． 【点睛】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． 题型7有理数加减的实际应用 加减运算解决实际问题，读题列式最关键 有理数的加减运算（或混合运算）在实际生活中有着广泛的应用，解决这类问题时要注意读懂题意 正确列出算式，这是解题的关键所在.在求解时要恰当运用运算律来简化运算，还要注意结果所表达的实 际意义 26．某出租司机某天下午营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米） ，，，，，，，，，． （1）该司机将最后一名乘客送到目的地时，距下午出发点的距离是多少千米？ （2）若汽车耗油量为0.07升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案； （2）根据行车就耗油，可得耗油量． 【详解】解：（1）（千米）， 该司机距下午出发点的距离是0千米； （2）（升， 这天下午汽车共耗油8.26公升． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算；理解用代数求和还是绝对值求和是解题关键． 27．2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） ①10月3日的人数为 　5.2　万人． ②八天假期里，游客人数最多的是10月 　　日，达到 　　万人． 游客人数最少的是10月 　　日，达到 　　万人． ③请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 【分析】①利用有理数的连加，列式算出即可； ②分别算出每一天的游客人数，进行比较得出结论； ③把8天的数据相加即可． 【详解】解：① （万人）； 答：10月3日的人数为5.2万人． ②10月1日：万人； 10月2日：万人； 10月3日：万人； 10月4日：万人； 10月5日：万人； 10月6日：万人； 10月7日：万人； 所以游客人数最多的是10月2日，达到5.78万人；游客人数最少的是10月7日，达到0.65万人； ③万人； 答：黄山风景区在这八天内一共接待了26.13游客． 故答案为：①5.2，②2，5.78，③7，0.65． 【点睛】此题考查有理数的混合运算，注意申请题意，正确列式计算即可． 28．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“”，向西记作“”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客），，，，，，请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 【分析】（1）求出这些有理数的和即可判断． （2）求出这些有理数的绝对值的和，乘以0.4，可得结论． （3）根据收费标准，一一计算即可． 【详解】解：（1）（千米）． 所以小王在下午出车的出发地的正西方向，距下午出车的出发地4千米． （2）（元， 答：小王这天下午共需要12元油费． （3）（元． 所以小王这天下午收到乘客所给车费共92元． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，正数与负数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 29．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米），，，，，，． （1）守门员是否回到了原来的位置？ （2）守门员离开球门的位置最远是多少？ （3）守门员一共走了多少路程？ 【分析】理解向前记作正数，返回记作负数，根据题目意思列出式子计算即可． 【详解】解：根据题意得 （1）， 故回到了原来的位置； （2）离开球门的位置分别是5米，2米，12米，4米，2米，10米，0米， 离开球门的位置最远是12米； （3）总路程米． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，注意相反意义的量的理解． 30．我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演．一架飞机起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 下降 记作 （1）这架飞机比起飞点高了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ （3）若某架飞机从地面起飞后先上升，然后再做两个表演动作，这两个动作产生的高度变化分别是和，请你求出这两个表演动作结束后，飞机离地面的高度． 【答案】（1）此时这架飞机比起飞点高了1千米； （2）一共消耗37升燃油； （3）飞机离地面的高度为或或或． 【分析】（1）计算飞机起飞后的5次高度之和，即可得出结果； （2）根据题意列出算式，然后计算即可； （3）分情况讨论：、或、或、或、，分别计算即可． 【详解】解：（1） ； 答：此时这架飞机比起飞点高了1千米； （2） （升， 答：一共消耗37升燃油； （3）由题意，得 ； ； ； ； 答：飞机离地面的高度为或或或． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，正负数，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 题型8有理数加减的规律探究问题 1.灵活运用运算律，加减混合变容易 2.对于有多个有理数参与的加减混合运算，不要急着逐个计算，先通过观察找出规律，按规律结合或分 组，每组结果要尽可能相等，这样运算更简便， 31．计算的结果是　　 A．2023 B． C． D．1012 【答案】 【分析】根据算式，得到每两个数之间的和相等均为1，进而求和即可． 【详解】解： ． 故选：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 32．对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是 　　． 【答案】． 【分析】根据新规定计算（1），（2），（3），，；，，，；然后可以发现，，，，最后求值即可． 【详解】解：对于实数，规定， ，，，，， ，，，， ，，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分数的加减，代数式求值，数字规律问题，找出规律是解题的关键． 33．我们知道：，， 那么反过来也成立如：，，　　 利用上面的规律计算： 拓展：． 【分析】根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得，根据以上规律列项求解可得． 【详解】解：根据题意知， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $