专题10 圆锥曲线中的焦（中）点弦、定（点、线）值等综合性问题（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题10 圆锥曲线中的焦（中）点弦、定（点、线）值等综合性问题 4大高频考点概览 考点01 圆锥曲线中的焦（中）点弦问题 考点02 圆锥曲线中的定（点、线）值问题 考点03 圆锥曲线与平面向量的交汇问题 考点04 圆锥曲线中的弦长及双斜率问题 地 城 考点1 圆锥曲线的焦（中）点弦问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 4．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)直线恒过定点，若是椭圆的一条弦的中点，则该弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的倾斜角为 C． D．是等边三角形 7．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（   ）. A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为 C． D．的周长为 9．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．的周长为 B．若的中点为，则 C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若时，则的面积是 三、填空题 10．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则 ． 四、解答题 11．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)已知椭圆的离心率，其右焦点到点的距离为，直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且与直线垂直，求的面积； (3)若直线过定点，若线段恰被点所平分，求直线的方程. 12．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 13．(23-24高二上·河北沧衡八校联盟·期中)已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 14．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线l的斜率存在且过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 15．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中)已知双曲线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 16．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)设椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为. (1)若直线的倾斜角为，求椭圆的离心率； (2)若直线在轴上的截距为1，且，求，. 17．(24-25高二上·河北沧州市沧衡名校联考·期中)已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 地 城 考点02 圆锥曲线中的定（值、线）点问题 一、解答题 1．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于. (1)若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：； (2)求证：为定值； (3)求的最小值. 2．(24-25高二上·河北邯郸·期中)在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，点在线段上，点在线段上，且，设直线与交于点． (1)证明：当变化时，点始终在某个椭圆上运动，并求出椭圆的方程． (2)过点作直线与椭圆交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于，不同的两点． ①证明：为定值． ②求面积的取值范围． 3．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知椭圆的左､右顶点分别为A,B，点，连接交椭圆C于点M､N，为直角三角形，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线l与椭圆C交于D､E两点，若，求证：直线l过定点 4．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 5．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 6．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 7．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为，Q为E短轴的一个端点，若是等边三角形，点在椭圆E上，过点作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点． (1)求椭圆E的方程； (2)求证：直线MN过定点； (3)求面积的最大值． 8．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知椭圆的短轴长为2，离心率，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于G，H两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求线段GH的长度的最小值； (3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由. 9．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)已知椭圆的焦点在轴上，长轴长与短轴长的比为，焦距为.为椭圆上任意一点，过点作圆的两条切线、，分别为切点，直线分别与、轴交于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最小值； (3)过点的两条直线，分别与椭圆相交于不同于点的，两点，若与的斜率之和为，直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由. 地 城 考点03 圆锥曲线与平面向量的交汇问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 8．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知双曲线 的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程 (2)设直线l:y= kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足（其中O为坐标原点） 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由. 9．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知椭圆的长轴长为，该椭圆上的点与左焦点间的距离的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l与椭圆C交于两点，M为线段的中点，O为原点，射线与椭圆C交于点N，且，记的面积分别为，求的取值范围. 10．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知椭圆的离心率为且过点，过点作椭圆两条切线，切点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求直线的方程； (3)过点作直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，直线交直线于点．试证明：恒成立． 11．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中) 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点. ①若，求直线的方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 12．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 地 城 考点04 圆锥曲线中的弦长及双斜率问题 一、填空题 1．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 2．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)若双曲线的一条渐近线与圆交于两点， 则 . 3．(24-25高二上·河北邯郸大名第一中学·期中)如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为 . 二、解答题 4．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程． 5．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 6．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)当为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)直线与椭圆交于，，若，求的值． 7．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 8．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为 ，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）. (1)求的方程； (2)若直线与直线的斜率之积为，求的值. 9．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)求中点E的轨迹方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 10．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点． (1)求的方程； (2)记斜率分别为，若，求的值． 11．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，. (1)求与的标准方程； (2)过点且与相切的直线与交于点，求. 12．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 13．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)若直线与E交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． (3)若过轨迹右焦点的直线交于，两点，交直线于点．且，设直线，，的斜率分别为，，，若，探究，，的数量关系． 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆锥曲线中的焦（中）点弦、定（点、线）值等综合性问题 4大高频考点概览 考点01 圆锥曲线中的焦（中）点弦问题 考点02 圆锥曲线中的定（点、线）值问题 考点03 圆锥曲线与平面向量的交汇问题 考点04 圆锥曲线中的弦长及双斜率问题 地 城 考点1 圆锥曲线的焦（中）点弦问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设、，由题意可得，，则， 两式相减可得，所以，， 解得，因此，直线的斜率为.故选：A. 2．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据基本不等式求的最小值. 【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F，所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明）， 所以，当且仅当时取“=”.故选：C. 3．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率. 【详解】结合题意：可知抛物线的准线为：，如图所示：过分别作准线的垂线，垂足为,过点作的垂线，垂足为点,设，直线的倾斜角为，因为,所以，由抛物线的定义：，结合图形易知：, 所以，在直角三角形中，， 所以直线AB的斜率. 故选：C. 4．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)直线恒过定点，若是椭圆的一条弦的中点，则该弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数可得定点，再利用点差法可得直线斜率与方程. 【详解】由直线，即，令，解得， 即，设弦的端点，，则，，即，， 又，在椭圆上，则，两式做差可得， 即，可得，即， 所以直线，即，故选：B. 5．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，依题意求出点坐标，即可求出直线的方程，再由点到直线的距离公式及得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，上焦点，下焦点， 由，解得，不妨取，则直线的方程为，即， 又点到的距离为，则，即，又，所以，即， 所以离心率. 故选：B 6．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的倾斜角为 C． D．是等边三角形 【答案】ABD 【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A；由直线的斜率求出倾斜角可判断B；由与直线的倾斜角的关系可判断C；由抛物线定义可知，进而判断的形状，从而判断D. 【详解】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确； 设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，， 所以，即直线的倾斜角为，故B正确；因为，故C错误；因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，，又，所以是等边三角形，故D正确. 故选：ABD.    7．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点差法得到，从而得到，结合，求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意，设，代入椭圆方程，可得两式相减可，变形可得，又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为，所以，代入上式可得，，又， 解得，所以椭圆的方程为. 故选：C 二、多选题 8．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（   ）. A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为 C． D．的周长为 【答案】ABC 【分析】解方程组求出即可判断选项，再利用通径公式判断选项，结合椭圆的定义判断选项. 【详解】由题意得，解得， 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 因为焦点，在轴上，所以椭圆的方程为，故选项A正确； 因为，所以，则焦距，故选项B正确； 由通径长公式可得，，故选项C正确；因为的周长，故选项D错误. 故选：ABC. 9．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．的周长为 B．若的中点为，则 C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若时，则的面积是 【答案】ACD 【分析】根据椭圆定义可知的周长为，可判断A正确；联立直线和椭圆方程求出点的坐标，表示出斜率公式即可得，可得B正确；由易知点在以为圆心，半径为的圆上，即可得圆与椭圆有交点，需满足，可得离心率，可知C正确；将代入联立的方程可得的面积，可得D正确. 【详解】由可知，； 显然直线过点，如下图所示：    由椭圆定义可知的周长为，所以A正确； 设，中点；将直线和椭圆方程联立， 消去整理可得； 由韦达定理可得，所以， 代入直线方程解得，即；所以， 可得，所以B错误； 根据B选项，由可得， 可得，即点在以为圆心，半径为的圆上； 又点在椭圆上，即可得圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，所以可得离心率，即C正确； 若时，由选项B可知联立直线和椭圆方程可得； 所以可得； 所以 易知的面积 即可得的面积是，故D正确.故选：ACD 三、填空题 10．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则 ． 【答案】1 【分析】由倾斜角得到斜率，写出对称直线方程，设对称点坐标得到：①中点在直线上；②两点直线与对称直线垂直.分别得出对应方程并解出的代数式，再代入抛物线求得的值. 【详解】，∴，设点，则中点在直线上， 则，即①，又∵， 即∴②，联立①②可得，又∵对称点在上，∴，即，∴（舍去）或 四、解答题 11．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)已知椭圆的离心率，其右焦点到点的距离为，直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且与直线垂直，求的面积； (3)若直线过定点，若线段恰被点所平分，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设椭圆右焦点为，依题意得到、的方程组，即可求出椭圆方程； （2）首先求出直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出弦，再求出点到直线的距离，最后由面积公式计算可得； （3）设，，利用点差法求出中点弦的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】（1）设椭圆右焦点为，则由题意得， 解得，则，所以椭圆方程为. （2）设，，由及，所以，所以直线为， 由，得，则， 所以，，， 因为点到直线的距离为，所以. （3）设，，所以，，两式作差得， 由于是的中点，故，，所以， 所以，所以，所以中点弦的方程为， 所求的直线方程． 12．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组求弦长即可. 【详解】（1）设得 （2）设，得，所以有，得 由题可知两式求差化简得，即，因为，所以 所以直线的方程为联立解得或 所以 13．(23-24高二上·河北沧衡八校联盟·期中)已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设方程，求出，即可求解. （2）设两点坐标，代入双曲线方程，两式作差，结合中点坐标公式，即可求出直线的斜率，由直线的点斜式方程，求出直线的方程，与双曲线联立方程，满足，即可得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以可设其方程为， 将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为． （2）设，，因为的中点为，则，， 因为，所以， 即，则，所以， 所以直线的方程为，即． 当直线为时，联立方程，得，，符合题意，故直线的方程为. 14．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线l的斜率存在且过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由点到直线距离公式可得，将点代入双曲线方程，解出的值，即可得到双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为，根据弦长公式，解出即可. 【详解】（1）由点到直线的距离公式可知：右焦点到渐近线的距离为， 又双曲线C过点，所以，解得，所以双曲线C的方程为． （2）由（1）可知：右焦点坐标为，由题意，直线的斜率存在， 设，联立消去y得：， 所以， 设，则， 所以 ．解得，即，满足． 所以直线的方程为，或． 15．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中)已知双曲线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分别代入双曲线C即可求解； （2）当直线斜率不存在时，易证明不满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程与双曲线联立得到韦达定理，由题可知，代入并化简即可求出斜率，进而知道直线方程. 【详解】（1）将分别代入双曲线C得:, 解得,所以. （2）,所以双曲线的右焦点为 当直线的斜率不存在时,，此时,, ,以为直径的圆不经过坐标原点； 直线的敘率存在,设 联立,消去并整理得,其中, 即,,以为直径的圆经过坐标原点, ,即，， ,整理得,解得， 所以即.    16．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)设椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为. (1)若直线的倾斜角为，求椭圆的离心率； (2)若直线在轴上的截距为1，且，求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件求出的坐标，利用直线的倾斜角，建立关于的齐次方程，解之即可得解； （2）根据题意，结合线段的数量关系求得的坐标，代入椭圆方程，解之即可得解. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则，则由题意可知，点在第二象限，设，将代入， 得，解得，则，因为直线的倾斜角为，所以，则，则，所以，即，则， 即，解得或（舍去），所以椭圆的离心率为. （2）记直线与轴的交点为，易知，且，故，则，，因为，所以，则， 即是与的中点，所以，将代入椭圆方程，得， 所以，解得，故，即，所以，. 17．(24-25高二上·河北沧州市沧衡名校联考·期中)已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线的方程为，设，联立双曲线方程，利用韦达定理即可求解. （3）利用点差法即可证明. 【详解】（1）根据题意可得，则，将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为； （2）由（1）得，则，则直线的方程为，设， 由，得，，， 所以； （3）设，则，两式相减得， 设，则，所以， 即，所以，即，所以在直线上. 地 城 考点02 圆锥曲线中的定（值、线）点问题 一、解答题 1．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于. (1)若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：； (2)求证：为定值； (3)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设,，可得，结合两点间距离公式求，即可分析证明； （2）设，,，联立方程可得韦达定理，结合数量积的坐标可得为定值； （3）根据题意求得，，整理可得，由此能求出的最小值． 【详解】（1）点是抛物线上任意一点，设,， 抛物线的准线方程为．点在直线上的射影为， ，，，． （2）由题设知直线的斜率一定存在，设，由，得， 设,，则，， ， ,，,，．故为定值． （3）因为,，，直线，直线， ，都在直线上，，， ， 当时，取最小值． 2．(24-25高二上·河北邯郸·期中)在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，点在线段上，点在线段上，且，设直线与交于点． (1)证明：当变化时，点始终在某个椭圆上运动，并求出椭圆的方程． (2)过点作直线与椭圆交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于，不同的两点． ①证明：为定值． ②求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）求出直线与的方程，消去参数即可得到椭圆的方程； （2）①分别联立方程与，借助韦达定理，表示出与，进一步求解即可； ②将转化为，再借助韦达定理，可转化为的函数，根据的范围求函数值域即可. 【详解】（1）解：设点，依题意可知，即， 所以，即；同理可得. 于是直线的斜率为，所以的直线方程为， 直线的方程为，即，设直线与的交点坐标为， 由可得，整理可得， 所以当变化时，点始终在椭圆：上运动. （2）①证明：设直线的方程为， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆交于两点，， 所以，即或， 由韦达定理可知，， 又，所以， 设直线的方程为，直线与椭圆交于两点，, 联立，消去得，， 同理可得：， ,所以（定值）. 又当直线的方程为时，直线与直线重合不符合题意.故（定值）. ②因为，又因为， 所以， 整理可得， 令，因为，所以，所以， 又因为当时，，所以，所以， 即面积的取值范围为. 3．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知椭圆的左､右顶点分别为A,B，点，连接交椭圆C于点M､N，为直角三角形，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线l与椭圆C交于D､E两点，若，求证：直线l过定点 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意知，求出，再由求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）设，设的方程为，联立椭圆方程消元后得到韦达定理，由代入求出，即可求出直线恒过的定点. 【详解】（1）解：因为为直角三角形，所以由椭圆的对称性知，， 即，所以，则，代，得，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：由题意，可设直线的方程为， 联立消去x得，，设， 则①因为，所以，由（1）知，， 所以，则，将代入上式得， ， 将①代入上式， 解得，或（舍），故直线l恒过点 4．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解； （2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可. 【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为，∴， 解得，或，．∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知，不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得．则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得．则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 5．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆定义得到，求出，结合焦点坐标，得到，得到椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，联立求出，解得，故点D在定直线上. 【详解】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又，所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为，由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以，， 由①式可得，代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 【点睛】圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的. 6．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆短半轴长，结合离心率求出长半轴长即可. （2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆，再表示出直线与的方程，联立求出交点，即可计算推理得证. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由短轴长为，得， 由离心率为，得，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为：，，而， 由消去得：，， 则，， 又直线的方程为：，即， 又直线的方程为：，即， 由，得， 所以当点运动时，点恒在定直线上.    7．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为，Q为E短轴的一个端点，若是等边三角形，点在椭圆E上，过点作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点． (1)求椭圆E的方程； (2)求证：直线MN过定点； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据椭圆过点及焦点三角形为正三角形求解； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程求中点M坐标，同理求点坐标，得到直线方程即可得证； （3）求出三角形面积，利用换元法求函数的最小值即可得解. 【详解】（1）如图， 因为点在椭圆E上，所以， 因为是等边三角形，所以，， 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消去得， 设，则，所以，即， 将的坐标中的用代换，得的中点. 当时，所在直线为， 当时，，直线的方程为，整理得， 所以直线过定点. （3）， 令，则，由于则在上递增， 所以当，即时，取得最大值为，即面积的最大值为. 8．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知椭圆的短轴长为2，离心率，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于G，H两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求线段GH的长度的最小值； (3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)8 (3)存在，或 【分析】（1）由离心率和，求出，得到椭圆方程； （2）设直线AP的方程为，得到，联立直线AP和椭圆方程，得到，从而得到直线方程为，故，表达出，由基本不等式得到最小值； （3）求出，，根据三角形面积求出点T到直线AP的距离等于，设直线，联立椭圆方程，根据根的判别式得到，由平行线距离公式得到，从而联立直线与椭圆方程，求出点T的坐标. 【详解】（1）由知，又，，故，故椭圆C的方程为 （2）直线AP的斜率k显然存在，且， 故可设直线AP的方程为，令得，故 由 可得， 设，则，所以，，即，又， 故直线的斜率为，直线方程为中，令得， 故，， 又，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立. 所以时，线段GH的长度取最小值8； （3）由（2）可知，当GH取最小值时，. 则直线AP的方程为，此时， 若椭圆C上存在点T，使得的面积等于1，设点T到直线AP的距离为， 则，解得，则点T到直线AP的距离等于， 所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上.设直线， 则由 得，，解得， 由平行线间距离公式得，解得或2（舍去），由得， 当时，，当时，，可求得或. 9．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)已知椭圆的焦点在轴上，长轴长与短轴长的比为，焦距为.为椭圆上任意一点，过点作圆的两条切线、，分别为切点，直线分别与、轴交于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最小值； (3)过点的两条直线，分别与椭圆相交于不同于点的，两点，若与的斜率之和为，直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)直线经过定点，理由见解析 【分析】（1）依题列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）先判断点在以为直径的圆上，求出该圆的方程，减去已知圆的方程，得出直线的方程，求出的坐标，利用基本不等式，即可求得面积的最小值； （3）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，得出韦达定理，计算化简，得到或，回代入直线的方程，检验后即得直线经过的定点. 【详解】（1）依题意，，解得，则椭圆的标准方程为； （2） 如图，设，连接,则, 即点在以为直径的圆上，取的中点为，， 则圆，即， 将其与作差整理，可得直线的方程为：， 令，则；令，则，则得， 故，因点在椭圆上，故， 由可得，当且仅当时，等号成立，此时， 即当点为这四个点时，面积取得最小值； （3） 如图，当直线的斜率为0时，直线与关于轴对称，此时不符合题意；故可设直线的方程为：，代入中，整理得：， 由，可得，设， 则（*） 依题， ， 化简整理得：， 将（*）代入，可得， 即得， 整理得：，则有或. 当时，经过点,不合题意，舍去； 当时， ，经过定点.故直线经过定点. 地 城 考点03 圆锥曲线与平面向量的交汇问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设点，再由向量的坐标运算代入计算化简，即可得到结果. 【详解】设点，因为，所以， 即，又点为曲线上任意一点，所以，即， 即点的轨迹方程为．故选：B． 2．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】由椭圆，可得，，，因为，所以， 由题意可得，，即. 故选：D. 3．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由为的中点可得 ，由在椭圆上可知，由此得到的取值范围. 【详解】：的圆心为，半径为1.椭圆中，，，，所以，，所以圆心为椭圆的右焦点.由题意，是圆的直径，所以为的中点，且，所以.如图，连接，可得 .因为点为椭圆上任意一点， 所以，.由，得. 故选：B. 4．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设，从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得关于的表示，进而得解. 【详解】因为，不妨设，则， 由椭圆的定义与对称性可得，，， 因为，所以， 则，解得，则，故， 则在中，由， 得，解得，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设，，根据和余弦定理，列方程求解即可 【详解】设，，则， 又（1），（2）， （1）式平方减去（2）式得：，得：.故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理，考查向量的数量积运算，主要考查学生的计算能力，属于基础题. 6．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又,所以，化简可得，故， 故选：D 7．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合椭圆定义在中由余弦定理求得，同理在中利用余弦定理可得，再由可得关系，进而得离心率. 【详解】连接，设，则，在中，由余弦定理可得 ，即，解得，即.由可知，在在中利用余弦定理可得 ，同理可解得，又因为，即，所以．故选：A. 二、解答题 8．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知双曲线 的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程 (2)设直线l:y= kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足（其中O为坐标原点） 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意得出即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系及数量积运算求出，不满足知不存在. 【详解】（1）因为，所以，， 所以，故所求双曲线方程为. （2）如图， 设，由，消元可得，， 当，即时，，， 所以， 所以，解得，此时不满足， 故不存在，使得成立. 9．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知椭圆的长轴长为，该椭圆上的点与左焦点间的距离的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l与椭圆C交于两点，M为线段的中点，O为原点，射线与椭圆C交于点N，且，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据椭圆几何性质可得，即可求出椭圆C的标准方程； （2）当直线的斜率不存在时，易知，当直线的斜率存在时，求得的表达式再根据单调性即可得出结果. 【详解】（1）由题意， 又，椭圆C的方程为. （2）为线段的中点，， ①当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性， 不妨设所在直线的方程为，得，则； ②当直线的斜率存在时，设直线， 如下图所示： 由，消去y，得， ，即， ，， ，， 化简得，经检验，成立， 线段的中点，当时，，此时， 当时，射线所在直线方程为，与椭圆联立，消去y得， ，，， 综上，的取值范围为. 10．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知椭圆的离心率为且过点，过点作椭圆两条切线，切点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求直线的方程； (3)过点作直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，直线交直线于点．试证明：恒成立． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由离心率，点在椭圆上列出等式求解即可； （2）由判别式求出直线的方程，即可求解； （3）设，将问题转化成，结合韦达定理即可求证. 【详解】（1）由题意可得解得所以，椭圆的方程为． （2）设， 下证：切线的方程为； 直线的斜率存在，，设直线的方程为：， 与联立整理得：， 由已知得：， 化简得：． 因为，则，即，所以， 所以直线的方程为：，即，则， 故直线的方程为．同理可得直线的方程为， 由点的坐标为，则， 则两点都在直线上， 由于两点确定一条直线，故直线的方程为； （3）设，由题意易得直线的斜率存在，故可设为， 联立得， 由韦达定理可得， 联立得． 要证，即证， 等价于证明，所以只需证明， 化简可得，将韦达定理及代入可得： ， 化简得， 即， 上式显然可以判断出是恒成立的．故恒成立． 11．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中) 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点. ①若，求直线的方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据离心率公式和焦点三角形周长以及关系得到方程，解出即可； （2）①设，根据向量关系得到，再代入椭圆方程，并结合在椭圆上，从而得到方程组，解出坐标即可得到直线方程； ②设，求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，再求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，根据写出面积表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意知.解得，所以的标准方程为. （2）①由(1)知，设， 所以，又，所以， 解得，所以，又，解得， 又点是上位于第一象限内的一点，所以， 所以，所以直线的方程为，即； ②设，所以直线的方程为， 由，得，所以， 解得，所以. 当时，直线的方程为，由，得， 所以，解得，所以，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 若轴时，令，解得（负舍），则，此时，， 此时，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是解出点坐标，从而得到面积表达式，最后求出其最值即可. 12．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解， （2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得，即可由二次函数的性质求解， （3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得，将其代入双曲线方程即可求解. 【详解】（1）根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得，由于，故，即. （2）设，， 故当时，最小值为2 （3）联立与可得，设， 则，故设存在点C满足， 则，故，由于在，故，化简得，即，解得或（舍去）， 由于，解得且，故符合题意，由于，故，故,故，故存在，使得 地 城 考点04 圆锥曲线中的弦长及双斜率问题 一、填空题 1．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 【答案】 【分析】直接由斜率公式结合双曲线方程即可求解. 【详解】由题意设，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，， 则. 故答案为：. 2．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)若双曲线的一条渐近线与圆交于两点， 则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的渐近线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得， 又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即，因为圆的圆心为，半径，所以圆心到渐近线的距离为，由圆的弦长公式，可得. 3．(24-25高二上·河北邯郸大名第一中学·期中)如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设，,则，，根据直线斜率的坐标公式，可分别求得直线的斜率，又，所以，从而，再根据点在椭圆上化简即可. 【详解】设，,则，，所以，， 因为，所以，所以，即. 又，所以，即， 解得，即椭圆的离心率为. 二、解答题 4．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由条件直接得出焦距，结合双曲线表示出，建立方程解得的值，便可以写出双曲线方程的标准方程； （2）设直线方程，联立方程组，由韦达定理表示出焦点弦长，解得斜率的值，从而得出直线的方程. 【详解】（1）由等边三角形可知双曲线焦距为，∵，即， ∴，∴，∴，双曲线的标准方程为：． （2）显然当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交，∴设直线的方程为， 联立方程组得， ，解得， 由韦达定理可知， 即，解得或．所以直线的方程为或． 5．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）设，则，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消去，得到的方程，运用判别式大于0，即可求解的范围，代入，求解方程两根，即可根据弦长公式求解. 【详解】（1）设，则， 将代入，可得，即，即点的轨迹的方程为； （2）①由，联立整理得：， 由，即，化简得，故， ②当时，，解得， 故. 6．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)当为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)直线与椭圆交于，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得，从而可得，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，消得，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆方程为，则，，所以， 又，则，所以. （2）设，由， 消得，则， 由韦达定理知，由求根公式可得， 则，化简得到，解得. 7．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． （2） 直线的方程为：，联立，消去后， 得关于的一元二次方程，化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即，经检验符合题意. 8．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为 ，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）. (1)求的方程； (2)若直线与直线的斜率之积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可以得到，解此方程组即可求出结果； （2）联立直线和双曲线的方程，消去得到，根据题意知，利用韦达定理写出，，根据直线方程求出，，写出直线，的斜率分别为，，并计算的值，化简即可求解. 【详解】（1）因为，渐近线方程为，所以，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）设点,，,，根据题意知，由，得， 则，，， 而； 由于， ；，，， 化简可得，解得，或， 当时，，不符合题意，舍去，故 9．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)求中点E的轨迹方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列的关系式求解即可. （2）设直线方程，与椭圆联立可表示点，根据点横、纵坐标之间的关系可得轨迹方程. （3）根据韦达定理代入中即可得到定值. 【详解】（1）由题意得，，又∵，∴， ∴椭圆的方程为. （2）设直线方程为，，由得，， 由得，， 则， ∴， ∵E为中点，∴，即，设，则， 由得， 故中点E的轨迹方程为. （3）由直线的斜率存在且异于点得，，故且， ∴ ，∴为定值. 10．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点． (1)求的方程； (2)记斜率分别为，若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求得C的方程. （2）设，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及斜率坐标公式及建立方程即可求出值. 【详解】（1）依题意，，由双曲线的离心率为， 得，即，解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，，设点，， 由消去得， 由已知，，且，所以， 所以，， 而，由，得， 即， 整理得， 即，则， 即，于是， 要恒成立，则，解得，满足，所以. 11．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，. (1)求与的标准方程； (2)过点且与相切的直线与交于点，求. 【答案】(1)的标准方程为，的标准方程为 (2) 【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可求得的标准方程，再将点的坐标代入椭圆方程，即可得到的标准方程； （2）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）记，则抛物线的方程为，其准线方程为.因为，所以，解得，则的标准方程为.不妨设点在第一象限，记，因为，所以，解得.因为，所以，即. 由解得所以的标准方程为. （2） 不妨设点在第一象限，则.设直线. 联立得. 由，解得，则.设. 联立得，则，故. 12．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】（1）由题列方程组求出即可得解； （2）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系得出，根据中点坐标公式，求解即可得； （3）设，根据，得出，用与表示直线与椭圆的方程，求解即可得出和的值，从而求出点的坐标． 【详解】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则，解得：，所以， 设弦中点，则， 消去，得，而，所以点的轨迹方程为； （3）设，则， 因为直线的斜率为2，设直线的方程为，其中，且不过，椭圆的方程可化为，即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， ，解得，代入，解得：，所以， 所以存在点或，使得恒成立． 13．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)若直线与E交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． (3)若过轨迹右焦点的直线交于，两点，交直线于点．且，设直线，，的斜率分别为，，，若，探究，，的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据圆与圆的位置关系可得，根据椭圆的定义可得解； （2）联立直线与椭圆方程，由可得，结合韦达定理可得点的坐标，进而可中垂线方程，可得，代入不等式可得点的取值范围； （3）易知直线斜率一定存在，设，可得，可得，联立直线与椭圆，结合韦达定理与斜率公式可得，即可得. 【详解】（1） 由已知圆，即，圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 又动圆与圆内切，且与圆外切，则，， 则，即动点到定点与的距离之和为定值， 即动点的轨迹为以点与为焦点的椭圆，设其方程为， 则长轴长为，焦距为，短轴长为，所以轨迹的方程为； （2） 设，，联立直线与椭圆，得， 则，即， 且，， 则的中点，且直线的中垂线斜率为， 即直线的中垂线方程为， 又直线过点，即，化简可得， 则，解得，即或； （3） 易知直线斜率一定存在，设斜率为，则直线， 令，得，即，则，设直线与椭圆交于，两点， 联立直线与椭圆，得，， 则，，且，， 则 ，即. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $