专题4.11 图形的相似（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题4.11 图形的相似（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 目录 一．全章知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】比例线段定义 1 【题型1】成比例线段 2 【知识点二】比例线段的性质 3 【题型2】利用比例线段的性质求值 4 【知识点三】平行线分线段成比例定理 6 【题型3】平行线分线段成比例定理求值证明 6 【知识点四】平行线分线段成比例推论 8 【题型4】利用平行线分线段成比例推论求值证明 9 【题型5】构造平行线分线段成比例进行求值 11 【知识点五】黄金分割 16 【题型6】利用黄金分割求值证明 16 【知识点六】相似多边形的性质 18 【题型7】利用相似多边形性质求值与证明 18 【知识点七】相似三角形的判定 21 【题型8】相似三角形的判定 21 【题型9】相似三角形的判定综合 24 【知识点八】相似三角形的性质 27 【题型10】利用相似三角形的性质求值证明 27 【题型11】利用相似三角形的性质与判定综合求值证明 30 【知识点九】相似三角形的应用 35 【题型12】相似三角形的应用 35 【知识点十】位似图形 39 【题型 13】位似图形 39 二．同步练习​ 42 【基础巩固（16题）】 42 【能力提升（16题）】 53 【中考真题14题】 70 一．全章知识梳理与题型分类精析 【知识点一】比例线段定义 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【题型1】成比例线段 【例题1】（24-25九年级上·广西贵港·期中）下列四组线段中，不成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段，解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选C． 【变式1】（24-25八年级下·江苏常州·期末）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 解：设甲、乙两地间的实际距离为，则： 解得：． ． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·广东河源·期中）已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据成比例线段的定义列式计算即可． 解：∵a、b、b、c是比例线段，其中， ∴，即，解得：或（不合题意舍弃）． 故答案为：6． 【变式3】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，已知矩形和矩形，，，，． （1）求和的值； （2）线段、、、是成比例线段吗？ 【答案】（1），；（2）是 【分析】（1）根据已知，代入求和的值即可； （2）根据计算，得，可以判定线段、、、是成比例线段． 本题考查了比的计算，成比例线段的判定，熟练掌握定义是解题的关键． 解：（1）解：∵，，，． ∴，． （2）解：∵，， ∴， ∴线段、、、是成比例线段． 题型小结：例题1考查的是成比例线段定义；变式1考查的是比例尺，变式2考查的是比例中项；变式3考查的是相似多边形． 【知识点二】比例线段的性质 （1）．基本性质：； （2）．合比性质：⇔＝； （3）．等比性质：； 【题型2】利用比例线段的性质求值 【例题2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知线段、、满足且 （1）求、、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）利用设参法，进行求解即可； （2）根据比例中项的定义，列式计算即可． 解：（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，， ∴． 【变式1】（2024·云南玉溪·二模）如图，在中，点、分别为、上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中位线，比例的性质．熟练掌握中位线，比例的性质是解题的关键． 由题意知，，，，则，即． 解：∵点、分别为、上的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（2023九年级·湖南怀化·竞赛）已知，那么的图象一定过 象限． 【答案】二、三 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，比例的性质，由，得，，，得，，然后分（）当时，（）当时两种情况分析，再结合一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 解：由， 得，，， 得，， （）当时，， ∴一次函数的解析式是， ∴该函数经过第一、二、三象限； （）当时，， 将代入，得， 又∵， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式是， ∴该函数经过第二、三、四象限， 综上所述，一次函数一定经过的象限是第二、三象限， 故答案为：二、三． 题型小结：例题考查的是比例中项；变式1考查的是等性质，变式2考查的是合比性质． 【知识点三】平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．即如图所示， 若l3∥l4∥l5，则，. 【题型3】平行线分线段成比例定理求值证明 【例题3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，，，，求、的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例）是解题关键． 由得到即可求解，则由求出，再由，得到，即可求解． 解：∵， ∴ ，，， ∴， 解得：， 则． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点，，．若，则的长是 cm． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理，找准对应线段，是解答此题的关键． 过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型小结：例题考查的是利用平行线分线段成比例求线段长；变式1考查的是利用平行线分线段成比例辨析比例式的正误，变式2考查的是通过作辅助线构造平行线分线段成比例求线段长． 【知识点四】平行线分线段成比例推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 即如图所示，若∥，则，. 【题型4】利用平行线分线段成比例推论求值证明 【例题4】（25-26九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，，，． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）6；（2）见分析． 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键． （1）根据平行线分线段成比例可得，再结合已知数据求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到、，进而证明结论． 解：（1）解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． 【变式1】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）按如下步骤操作：如图，在中，平分．第一步：分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，交于，两点．第二步：连接，分别交，于点，．第三步：连接，．若，，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的性质与判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先证明四边形为菱形，得到，再利用平行线分线段成比例定理即可得出答案． 解：如图， 由作图可得，垂直平分， ∴，，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴，即， 解得． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识．根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型小结：例题考查的是比例中项；变式1考查的是等性质，变式2考查的是合比性质． 【题型5】构造平行线分线段成比例进行求值 【例题5】（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）已知，如图，在中，，是中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）证明，得到，，则，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得，再求出，进而由勾股定理得，再利用平行线分线段成比例定理求解． 解：（1）证明：是的中点， ， ，， ， ，， ， ，是的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ，是中线， ， ，， ， ， ， ． 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式1】（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 解：（1）证明：如图1，过点C作交于点H．    ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．    ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．    ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 题型小结：例题考查的是特殊平行四与构造平行线并利用平行线分线段成比例综合；变式1考查通过构造平行线并利用平行线分线段比例进行解题；变式2考查的是通过构造平行线并利用平行线分线段比例的规律问题探究． 【知识点五】黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． 【题型6】利用黄金分割求值证明 【例题6】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的定义与性质，解题的关键是牢记“当点是线段的黄金分割点且时，”这一核心比例关系，并能据此推导相关等式． 先明确黄金分割点（）的核心关系：；由该比例交叉相乘可得，据此判断A、B选项正确；C选项比例式与核心关系矛盾，可初步判断其错误；通过，代入，可推导得，判断D选项正确． 解：已知是线段AB的黄金分割点且，根据黄金分割定义，核心关系为 A、由核心关系直接可知，此选项不符合题意；   B、由交叉相乘，得，此选项不符合题意；   C、由核心关系应为，变形为，而非，此选项符合题意；   D、∵，且，   ∴，此选项不符合题意．   故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）点是线段的黄金分割点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，由于点C是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义得到，然后把代入计算即可． 解：点C是线段的黄金分割点， ， ， 故答案为： 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，已知是的黄金分割点，点D在上，且． （1）求的值． （2）求证：C是的黄金分割点． 【答案】（1）的值为；（2）见分析 【分析】本题主要考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金分割点的特点即较长线段与整段线段的比值为． （1）由可得：是的黄金分割点，且，进而求得与的值，再由即可求解； （2）由（1）可求出，进而求得，即可证明． 解：（1）解： 是的黄金分割点，且 ． 同理可得 ． 故答案为：的值为． （2）证明：由（1）知 是的黄金分割点． 题型小结：例题考查黄金分割点分得的线段间的关系；变式1考查利用黄金分割求线段的长；变式2考查的是黄金分割点的证明． 【知识点六】相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【题型7】利用相似多边形性质求值与证明 【例题8】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． （1）_______； （2）求边x，y的长度． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和； （1）相似多边形的对应角相等，可得，再由四边形内角和为，可求得； （2）相似多边形的对应边成比例，可求得边x，y的长度. 解：（1）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵四边形内角和为，，， ∴ 故答案为：. （2）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵，，，，，， ∴，， 解得，. 故答案为：，. 【变式1】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）两个相似多边形周长的比是，其中较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可． 解：两个相似多边形周长的比是， 两个相似多边形的相似比是， 两个相似多边形的面积比是， 较小多边形的面积为， 较大多边形的面积为， 故选：D． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型小结：例题考查相似多边形对应角相等，对应边成比例；变式1考查利用相似多边形周长和面积的性质；变式2考查的是利用相似多边形性质求线段的比． 【知识点七】相似三角形的判定 （1） 两角对应相等的两个三角形相似． （2） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． （3） 三边对应成比例的两个三角形相似． （4） 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 【题型8】相似三角形的判定 【例题9】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 解：∵， ∴， 即， A项：若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由为等边三角形，则、，进而得到，再说明，然后根据两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似即可证明结论； （2）根据相似三角形对应角相等得到，再说明，然后根据角的和差即可解答． 解：（1）证明：如图：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型小结：例题考查相似三角形判定辨析；变式1考查三边对应成比例的两个三角形相似；变式2考查的是两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【题型9】相似三角形的判定综合 【例题10】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图． （1）判断与是否相似，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1）相似．理由见分析；（2） 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 解：（1）解：相似．理由如下： ， ． （2）解：由（1），得． 又， ． 【变式2】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． （1）求证：； （2）若，矩形的周长为48，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）19.5 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由矩形的性质得出，再根据角的互余关系证出，根据证明，得出对应边相等即可； （2）设，则，根据矩形的周长列出方程，解方程求出、，得出、，再证明，得出比例式求出，即可得出． 解：（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， （2）解：设，则， 矩形的周长为48， ， 解得：， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ． 题型小结：例题考查两角对应相等两三角形相似与三角形全等综合；变式1考查三边对应成比例判定两个三角形相似及性质的综合；变式2考查的是相似三角形判定和矩形、全等三角形综合． 【知识点八】相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边成比例． （2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． （3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 【题型10】利用相似三角形的性质求值证明 【例题10】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，，．求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）36 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由得，，进一步推得，，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即得答案． 解：， ，， ， 是的中线， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 【答案】的周长为，的周长为． 【分析】本题围绕相似三角形的判定与性质展开，利用两边对应成比例且夹角相等判定，由相似三角形周长比等于相似比，设未知数建立方程，求解周长. 解：，，且相似比为． 设的周长为，则的周长为． 由题意，得，解得． 故的周长为，的周长为． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，掌握相似三角形的判定及其性质，数形结合，准确运用相似三角形的判定及其性质来分析、解答是解题的关键. 题型小结：例题考查了相似三角形面积之比等于相似比的平方；变式1考查了相似三角形面积之比等于相似比的平方与中线综合；变式2考查的是相似三角形周长之比等于相似比． 【题型11】利用相似三角形的性质与判定综合求值证明 【例题11】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，在矩形中，E为边上一点，且 （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足 ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）①证明见分析；② 【分析】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． （1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）①由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． ②利用相似三角形的性质得出比例式，进而解答即可． 解：（1）证明：矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①连接，交于点O， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， 矩形， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； ②， ，， ， ， ， ， ， 设，，则， ，即， 解得： 或负值舍去， 【变式1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 解：（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． （1）如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； （2）如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 解：（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 题型小结：例题考查了相似三角形性质与判定综合——母子图形；变式1考查相似三角形性质与判定综合——射影图形；变式2考查的是相似三角形性质与判定综合——线三直角几何模型． 【知识点九】相似三角形的应用 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 【题型12】相似三角形的应用 【例题12】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（　　）m． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 根据题意可得：，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 解：由题意得：， ， ， ∴， ∴， 解得：， ∴窗户的高为， 故选：D． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】（1）；（2）旗杆高度为；（3）雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 解：（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 题型小结：例题考查了利用太阳光平行线测高；变式1考查镜面反射测高；变式2综合考查了测高的方法． 【知识点十】位似图形 1．位似图形的定义： 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ２．位似图形性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． E21.位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 【题型 13】位似图形 【例题13】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式；先确定位似中心为点P，然后用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 解：连接，如图所示： ∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点P为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点P在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故选：A． 【变式1】（2025·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点．若点 的对应点为，四边形的周长为27，则四边形的周长为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据对应坐标得出位似比，位似图形的周长比等于位似比，由此可解． 解：点 的对应点为， 四边形与四边形的位似比为3， 四边形与四边形的周长比为3， 四边形的周长为27， 四边形的周长为：， 故选A． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了位似基本作图，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可； （2）利用平行线分线段成比例和网格，构造平行线与交于点D，点D即为所求． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点D即为所求． 题型小结：例题考查了利用位似图形性质求点的坐标；变式1考查利用位似图形性质辨析位似比、周长比；变式2考查了位似图形性质作图． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知、、，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查成比例线段，根据a，b，c，d是成比例线段，得到，进而利用比例性质求解即可． 解：∵、、，是成比例线段， ∴ ∵，，， ∴ 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质进行解答即可． 解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．设点P表示的数是，根据平行线分线段成比例列出方程，解出的值即可． 解：设点P表示的数是， 图中的虚线相互平行， 根据平行线分线段成比例可得，， 解得：， 点P表示的数是． 故选：D． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．在中，，，，根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，对各选项进行判定即可． 解：在中，，，， 在B、C、D选项中的三角形都没有，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， ， A选项中的三角形与相似， 故选：A． 5．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，点E在边上，若，交于点F，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，得到平行线，再证明三角形相似，利用相似的性质解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：∵四边形是平行四边形， ∴①，②； 由， 故， 由②可得； 由①知：， ∴． 故选：D． 6．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：树的高度为； 故选：C． 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，，如果，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合题意，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8 ． 8．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 解：∵，， ∴当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 10．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，、相交于点，如果，，，，那么___________． 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据两组角相等证得，根据相似三角形的性质得到，进而求解的值即可． 解：， ，， ． 故答案为：3． 11．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中，于点D，点E在上，且，连接并延长交于点F，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，作交于H．想办法证明：即可解决问题． 解：如图，作交于H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 12．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，，然后根据相似三角形性质求出，，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见分析 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明． 解：．理由如下： 由题意得， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 15．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的边长比等于相似比． （1）先证，进而可证； （2）由（2）得，再证，根据相似三角形的边长比等于相似比即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16．（21-22九年级上·广西北海·期中）如图，已知和均为等腰三角形，，． （1）问题发现：如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及的度数，并说明理由： （2）拓展探究：如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1），，见分析；（2），，见分析 【分析】（1）根据，可得是等边三角形，也是等边三角形，从而得到 ，，可证得，即可求解； （2）根据题意可得，，，，从而得到，，可证得，从而得到， ，即可求解． 解：解（1）：，， 理由：∵是等腰三角形，，， ∴是等边三角形， 同理也是等边三角形， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），， 理由：在等腰三角形ABC中，，， ∴，， 同理，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵点B、D、E在同一条直线上， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到全等三角形和相似三角形是解题的关键． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查黄金分割点的概念．黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整个线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为． 根据题意，说明点靠近，此时为较长部分，然后运用黄金分割点的定义求解即可． 解：由线段，点是黄金分割点且，则为较长部分． 根据黄金分割的定义，代入，得：． 故选B． 2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．由截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 解：使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 即， ， 解得或（舍去）， ， 故选：B． 3．（2024九年级上·山西·专题练习）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形（不包括全等）共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定；根据等腰直角三角形的性质得出，，进而可得，，根据两角相等即可得出，，，即可求解． 解：和是两个全等的等腰直角三角形 ， ，， ，，， 共有对． 故选：C． 4．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（   ） A．30 B．25 C．20 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，由正方形的性质可得，，，由可求出，由勾股定理得出，证明，根据相似三角形的性质得出，再证明，可求出． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（   ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，，，证明，得出，，证明，得出，求出，结合题意可得垂直平分，，即可判断③；证明为的中位线，即可判断①；证明，即可判断④；由三角形内角和定理并结合三角形外角的定义及性质即可判断②；作于，则为等腰直角三角形，求出，再由与中线有关的三角形的面积计算即可判断⑤；从而得出答案． 解：∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴垂直平分，，故③正确； ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 如图，作于， ， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：C． 【点拨】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于 ． 【答案】 【分析】先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，然后利用三角形外角性质可得，即可求解． 解：四边形，，都是边长为1的正方形， ，，，， ，， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角定理，勾股定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 8．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，交于点，，，，，则的长等于 ． 【答案】// 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，推出可得结论，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·上海·期中）如图，矩形内接于，且边落在上，如果，，，，那么的长为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 设、相交于点，证四边形是矩形，得，由矩形得，得，设，则有，，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出的值，即可求出的长． 解：如图，设、相交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则有，， ∴， 解得：， 则， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换、矩形的性质及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积比确定其位似比，注意有两种情况．根据相似图形的性质即可完成． 解：由题意可知，， 矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， 矩形与矩形相似，且相似比为， 点的坐标是或， 即点的坐标是或， 故答案为：或． 12．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形 是平行四边形，得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质即可得解． 解：∵ 是 的中点， ， ∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：6． 三、解答题 13．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求． 【答案】（1）12，8，24；（2）24 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k,然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可． 解：（1）解：设 ，则， ∵， ∴， 解得，， 所以，，，； （2）解：∵线段x是线段、c的比例中项， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 解：（1）证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 15．（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）已知，如图，在中，，是中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）证明，得到，，则，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得，再求出，进而由勾股定理得，再利用平行线分线段成比例定理求解． 解：（1）证明：是的中点， ， ，， ， ，， ， ，是的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ，是中线， ， ，， ， ， ， ． 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 16．（25-26九年级上·上海·阶段练习）中，，，，，点在边上，交边于点，点在边上（与点，点不重合）． （1）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （2）连接，若与相似，求的长． 【答案】（1），；（2）的长为或． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明是等边三角形，则，然后通过直角三角形的性质可得，则有，，然后代入即可求解，找出临界点即可求出定义域； （）分如图，当，，如图，当，，两种情况分析即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图，当与重合时， ∴， ∴， ∴， 如图，当与重合时， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴定义域为； （2）解：如图，当，， ∴， 同（）理得：是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，解得：， ∴； 如图，当，， ∴， 同（）可得：是等边三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 综上可得：的长为或． 【中考真题14题】 一、单选题 1．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 解：∵， ∴． 故答案为：4 7．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 8．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 9．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 10．（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 三、解答题 11．（2025·江苏徐州·中考真题）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）证明，可得，可得，再证明，，即可得到结论； （2）先证明四边形为平行四边形，结合E为的中点，，可得，从而可得结论． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵E为的中点，， ∴， ∴四边形为菱形． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线分线段成比例，掌握以上基础知识是解本题的关键． 12．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 13．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 解：（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 14．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见分析；[知识迁移]证明见分析；[延伸拓展] 证明见分析 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点； [知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 解：[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.11 图形的相似（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 目录 一．全章知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】比例线段定义 1 【题型1】成比例线段 2 【知识点二】比例线段的性质 2 【题型2】利用比例线段的性质求值 2 【知识点三】平行线分线段成比例定理 3 【题型3】平行线分线段成比例定理求值证明 3 【知识点四】平行线分线段成比例推论 4 【题型4】利用平行线分线段成比例推论求值证明 4 【题型5】构造平行线分线段成比例进行求值 5 【知识点五】黄金分割 6 【题型6】利用黄金分割求值证明 7 【知识点六】相似多边形的性质 7 【题型7】利用相似多边形性质求值与证明 7 【知识点七】相似三角形的判定 8 【题型8】相似三角形的判定 8 【题型9】相似三角形的判定综合 9 【知识点八】相似三角形的性质 10 【题型10】利用相似三角形的性质求值证明 10 【题型11】利用相似三角形的性质与判定综合求值证明 11 【知识点九】相似三角形的应用 12 【题型12】相似三角形的应用 12 【知识点十】位似图形 14 【题型 13】位似图形 14 二．同步练习 15 【基础巩固（16题）】 15 【能力提升（16题）】 19 【中考真题14题】 23 一．全章知识梳理与题型分类精析 【知识点一】比例线段定义 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【题型1】成比例线段 【例题1】（24-25九年级上·广西贵港·期中）下列四组线段中，不成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1】（24-25八年级下·江苏常州·期末）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ． 【变式2】（23-24九年级上·广东河源·期中）已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 【变式3】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，已知矩形和矩形，，，，． （1）求和的值； （2）线段、、、是成比例线段吗？ 题型小结：例题1考查的是成比例线段定义；变式1考查的是比例尺，变式2考查的是比例中项；变式3考查的是相似多边形． 【知识点二】比例线段的性质 （1）．基本性质：； （2）．合比性质：⇔＝； （3）．等比性质：； 【题型2】利用比例线段的性质求值 【例题2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知线段、、满足且 （1）求、、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【变式1】（2024·云南玉溪·二模）如图，在中，点、分别为、上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023九年级·湖南怀化·竞赛）已知，那么的图象一定过 象限． 题型小结：例题考查的是比例中项；变式1考查的是等性质，变式2考查的是合比性质． 【知识点三】平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．即如图所示， 若l3∥l4∥l5，则，. 【题型3】平行线分线段成比例定理求值证明 【例题3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，，，，求、的长． 【变式1】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点，，．若，则的长是 cm． 题型小结：例题考查的是利用平行线分线段成比例求线段长；变式1考查的是利用平行线分线段成比例辨析比例式的正误，变式2考查的是通过作辅助线构造平行线分线段成比例求线段长． 【知识点四】平行线分线段成比例推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 即如图所示，若∥，则，. 【题型4】利用平行线分线段成比例推论求值证明 【例题4】（25-26九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，，，． （1）求的值； （2）求证：． 【变式1】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）按如下步骤操作：如图，在中，平分．第一步：分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，交于，两点．第二步：连接，分别交，于点，．第三步：连接，．若，，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．    题型小结：例题考查的是比例中项；变式1考查的是等性质，变式2考查的是合比性质． 【题型5】构造平行线分线段成比例进行求值 【例题5】（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）已知，如图，在中，，是中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【变式1】（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【变式2】（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    题型小结：例题考查的是特殊平行四与构造平行线并利用平行线分线段成比例综合；变式1考查通过构造平行线并利用平行线分线段比例进行解题；变式2考查的是通过构造平行线并利用平行线分线段比例的规律问题探究． 【知识点五】黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． 【题型6】利用黄金分割求值证明 【例题6】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）点是线段的黄金分割点，，则 ． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，已知是的黄金分割点，点D在上，且． （1）求的值． （2）求证：C是的黄金分割点． 题型小结：例题考查黄金分割点分得的线段间的关系；变式1考查利用黄金分割求线段的长；变式2考查的是黄金分割点的证明． 【知识点六】相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【题型7】利用相似多边形性质求值与证明 【例题8】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． （1）_______； （2）求边x，y的长度． 【变式1】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）两个相似多边形周长的比是，其中较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 题型小结：例题考查相似多边形对应角相等，对应边成比例；变式1考查利用相似多边形周长和面积的性质；变式2考查的是利用相似多边形性质求线段的比． 【知识点七】相似三角形的判定 （1） 两角对应相等的两个三角形相似． （2） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． （3） 三边对应成比例的两个三角形相似． （4） 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 【题型8】相似三角形的判定 【例题9】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 题型小结：例题考查相似三角形判定辨析；变式1考查三边对应成比例的两个三角形相似；变式2考查的是两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【题型9】相似三角形的判定综合 【例题10】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图． （1）判断与是否相似，并说明理由． （2）若，求的度数． 【变式2】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． （1）求证：； （2）若，矩形的周长为48，求的长． 题型小结：例题考查两角对应相等两三角形相似与三角形全等综合；变式1考查三边对应成比例判定两个三角形相似及性质的综合；变式2考查的是相似三角形判定和矩形、全等三角形综合． 【知识点八】相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边成比例． （2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． （3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 【题型10】利用相似三角形的性质求值证明 【例题10】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，，．求的面积． 【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 题型小结：例题考查了相似三角形面积之比等于相似比的平方；变式1考查了相似三角形面积之比等于相似比的平方与中线综合；变式2考查的是相似三角形周长之比等于相似比． 【题型11】利用相似三角形的性质与判定综合求值证明 【例题11】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，在矩形中，E为边上一点，且 （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足 ①求证：； ②求的值． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． （1）如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； （2）如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 题型小结：例题考查了相似三角形性质与判定综合——母子图形；变式1考查相似三角形性质与判定综合——射影图形；变式2考查的是相似三角形性质与判定综合——线三直角几何模型． 【知识点九】相似三角形的应用 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 【题型12】相似三角形的应用 【例题12】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（　　）m． A． B． C． D． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 题型小结：例题考查了利用太阳光平行线测高；变式1考查镜面反射测高；变式2综合考查了测高的方法． 【知识点十】位似图形 1．位似图形的定义： 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ２．位似图形性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． E21.位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 【题型 13】位似图形 【例题13】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点．若点 的对应点为，四边形的周长为27，则四边形的周长为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 题型小结：例题考查了利用位似图形性质求点的坐标；变式1考查利用位似图形性质辨析位似比、周长比；变式2考查了位似图形性质作图． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知、、，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，点E在边上，若，交于点F，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，，如果，那么 ． 8．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 9．（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．（只需写出一个） 10．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，、相交于点，如果，，，，那么___________． 11．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中，于点D，点E在上，且，连接并延长交于点F，则线段长为 ． 12．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 14．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 15．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 16．（21-22九年级上·广西北海·期中）如图，已知和均为等腰三角形，，． （1）问题发现：如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及的度数，并说明理由： （2）拓展探究：如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 3．（2024九年级上·山西·专题练习）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形（不包括全等）共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（   ） A．30 B．25 C．20 D．18 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（   ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于 ． 8．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，交于点，，，，，则的长等于 ． 10．（25-26九年级上·上海·期中）如图，矩形内接于，且边落在上，如果，，，，那么的长为 11．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 12．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： （1）； （2）． 15．（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）已知，如图，在中，，是中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 16．（25-26九年级上·上海·阶段练习）中，，，，，点在边上，交边于点，点在边上（与点，点不重合）． （1）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （2）连接，若与相似，求的长． 【中考真题14题】 一、单选题 1．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 6．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 8．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 9．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 10．（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 三、解答题 11．（2025·江苏徐州·中考真题）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 12．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 13．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： （1）； （2）． 14．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $