精品解析：浙江省杭州市萧山区萧山城区8校联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025学年第一学期九年级9月学情调研 数学调研卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 5. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 8. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 9. 若反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则y＝mx﹣m不经过第（　　）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 10. 如图，在平行四边形中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长是（ ） A. B. C. 6 D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 如果二次根式有意义，那么实数x的取值范围是________． 13. 如果，那么代数式的值为____________． 14. 抛物线的形状与相同，顶点是，该抛物线解析式为______． 15. 如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则___． 16. 如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 以下是方方化简的解答过程． 解： 方方的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 18. （1）计算： （2）解方程：． 19. 为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题： （1）校团委随机调查了______名学生，并请你补全条形统计图； （2）被调查的部分学生一周零花钱的平均数是______元，众数是______元． （3）“50元”所在扇形的圆心角的度数为______． （4）为捐助贫困山区希望小学，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱，请估算全校学生共捐款多少元？ 20. 已知二次函数经过点与． （1）求，的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 21. 如图，的对角线相交于点平分，过点D作，过点C作交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 22. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； （2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 23. 已知反比例函数的图象经过，两点． （1）求的函数表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）设一次函数，当时，比较与的大小． 24. 如图1，正方形与矩形的顶点重合于点A，且为边上的一点，B，，三点共线． （1）求证：矩形为正方形； （2）如图2，连接，，若，P，分别是，，的中点，连接，，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级9月学情调研 数学调研卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，通过比较各数与的大小关系，找出比小的数即可，掌握有理数大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：、由，则该选项不符合题意； 、由，则该选项符合题意； 、由，则该选项不符合题意； 、由，则该选项不符合题意； 故选：． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、 与 不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂相除法则，同底数幂相乘法则是解题的关键． 4. 已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可． 【详解】解：根据题意，a的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a，6或1，2，4，6，a； ∴． ∴D符合题意 故选D． 5. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、不等式两边同时减去2，不等号方向不变，故，本选项的不等式一定成立； B、不等式两边同乘2，不等号方向不变，故，本选项的不等式一定成立； C、不等式两边同乘，不等号方向改变，故，本选项的不等式一定成立； D、若，，满足，但，故本选项的不等式不成立． 故选：D 6. 已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解法，数轴等知识，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可． 【详解】解：点在第三象限， ，解得， 此不等式组的解集为：， 故选：B 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 8. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，时，函数开口向下． 根据二次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；故C正确，符合题意； 当时，，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 9. 若反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则y＝mx﹣m不经过第（　　）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵y＝（a＞1，x＜0）， ∴a﹣1＞0， ∴y＝（a＞1，x＜0）图象在三象限，且y随x的增大而减小， ∵图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），x1与y1同负，x2与y2同负， ∴m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，-m＞0 ∴y＝mx﹣m的图象经过一，二、四象限，不经过三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 10. 如图，在平行四边形中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，根据，可得，再根据，，即可得到，依据，，即可得到，求出，最后根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果二次根式有意义，那么实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据“二次根式中被开方数大于等于0”即可求解． 【详解】解：如果二次根式有意义，则， 解得． 故答案为：． 13. 如果，那么代数式的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查乘法公式，熟记基本的乘法公式，并准确化简以及运用整体思想是解题关键．首先根据乘法公式进行计算化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 14. 抛物线的形状与相同，顶点是，该抛物线解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线的形状与相同，顶点是，写出抛物线的顶点式即可． 【详解】解：∵抛物线的形状与相同，顶点是， ∴当开口向下时，这条抛物线的解析式为：． 当开口向上时，这条抛物线的解析式是：． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 15. 如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则___． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、等角对等边等知识，利用三角形中位线性质得到，，利用中点定义得到，再利用平行线的性质和角平分线得到，则，即可得到的长度． 【详解】解：∵点D、E分别为的中点，， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵平分交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 16. 如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，由平行线的性质可得，再证明，得到；证明，得到，则可证明，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 以下是方方化简的解答过程． 解： 方方的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见解析 【解析】 【分析】通过观察可知，方方的解答过程中计算时出现错误，根据完全平方式展开计算即可． 【详解】解：方方的解答过程错误，正确的解答过程如下： = ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算．熟记平方差公式及完全平方公式是解题的关键． 18. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握解题方法是解答本题的关键． （1）原式分别化简算术平方根、计算零指数幂和化简绝对值，再进行合并即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】解：（1） ； （2）． ， ， 则或， 解得． 19. 为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题： （1）校团委随机调查了______名学生，并请你补全条形统计图； （2）被调查的部分学生一周零花钱的平均数是______元，众数是______元． （3）“50元”所在扇形的圆心角的度数为______． （4）为捐助贫困山区希望小学，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱，请估算全校学生共捐款多少元？ 【答案】（1）40；见解析 （2）32.5，30 （3） （4）32500元 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据统计图可以求得校团委随机调查的学生数以及有20元零花钱的学生数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据算术平均数的定义以及众数的定义求解即可； （3）利用表示“50元”的扇形的圆心角度数表示“50元”的百分比求解； （4）用总人数乘以每个学生共捐款数即可得出答案． 【小问1详解】 解：校团委随机调查的学生有（人）， 零花钱有20元的学生有（人）， 补全统计图如下： 故答案为：40； 【小问2详解】 解：被调查的部分学生一周零花钱的平均数是（元）， 把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，则中位数是， 故答案为：32.5，30； 【小问3详解】 表示“50元”的扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：全校学生共捐款约为：（元）． 答：估算全校学生共捐款32500元． 20. 已知二次函数经过点与． （1）求，的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴直线 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、把二次函数的解析式化为顶点式． 把，代入二次函数解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程求出、的值，即可得到二次函数的解析式； 用配方法把二次函数的解析式化为顶点坐标式，可得：，可知二次函数的解析式的顶点坐标为，对称轴直线． 【小问1详解】 解：将，代入二次函数解析式， 可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：二次函数解析式化为顶点式， 可得：， 顶点坐标为，对称轴直线． 21. 如图，的对角线相交于点平分，过点D作，过点C作交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证，利用等角对等边，结合菱形的判定求证即可； （2）根据菱形的性质证是矩形，根据勾股定理和矩形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ∴， 四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，， ． 22. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； （2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【答案】（1）可能， （2）288平方米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可． 【小问1详解】 设，则矩形的长，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． 【小问2详解】 ∵，则，依题意，得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y最大，最大为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 23. 已知反比例函数的图象经过，两点． （1）求的函数表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）设一次函数，当时，比较与的大小． 【答案】（1）；（2）或；（3）当时，，当时，，当时，． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得y1的函数表达式； （2）求得m＝1时的函数值，根据反比例函数的性质即可求得n的取值范围； （3）求出两函数图象的交点坐标，然后根据数形结合的思想即可解答本题． 【详解】解：（1）反比例函数的图象经过， ， 的函数表达式为； （2）把代入得，， ， 图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ， 或； （3）由可知，直线经过点， 反比例函数的图象经过， 当，两函数图象的交点为， ， 随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，待定系数法法求反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 24. 如图1，正方形与矩形的顶点重合于点A，且为边上的一点，B，，三点共线． （1）求证：矩形为正方形； （2）如图2，连接，，若，P，分别是，，的中点，连接，，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，，求的长度． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， B，，三点共线， ， ， ， ， ， ， 矩形为正方形； （2） 证明：连结，， 四边形是正方形， ，，，， 四边形是矩形， ， 点O是的中点， ， 点P是的中点， ， ，点Q是的中点， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形和矩形的性质，可逐步证明，得到，再根据正方形的判定证明即可； （2）连结，，分别证明和都是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质，即可得到，，再结合，即可证明结论； （3）连结，先根据三角形中位线定理及勾股定理求出，进一步求得，，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连结， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形的中位线定理等知识，添加辅助线，利用等腰三角形的三线合一性质解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $