专题04 三角形和全等三角形相关动点问题分类训练（4种类型38道）-2025-2026学年八年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教2024版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题04 三角形和全等三角形相关动点问题分类训练 （4种类型38道） 目录 【题型1三角形相关动点求值问题】 1 【题型2三角形相关动点定值问题】 5 【题型3三角形相关动点探究角度数量关系】 9 【题型4全等三角形相关动点存在性问题】 14 【题型1三角形相关动点求值问题】 1．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 2．如图，在中，的平分线交于点．点是边上的一个动点，过点作交边于点．设的度数为． (1)如图，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交的延长线于点． ①_____；（用含的代数式表示） ②当时，求的度数； (2)类比（1）的思路，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交直线于点（点不与点重合），求的度数．（用含的代数式表示） 3．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示）    4．在中，，平分交于点，为射线上一动点，过点向射线的右侧作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，若，当点在的延长线上时，求的度数； (2)若点在线段上，且与不重合时，直接写出的度数（用含式子表示）． 5．如图，在中，，，平分，，点F是从点A沿向点E运动的一动点，过点F作于点D． (1)如图1，当点F与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当点F位于点A，E之间时，求的度数． 6．在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则 ： 如图2，，，则 ； 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或 ． 应用结论：（2）在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，则的度数为 ． 拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，求的度数． 7．如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 8．如图，已知中，，平分，E是线段（除去端点A、D）上一动点，于点F．若，求的度数．    9．如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则______°． (2)如图2，当时，，的平分线交于点，则______°（用含的式子表示）． (3)如图3，当（为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由． 10．已知线段与相交于点，连接．    (1)如图1，试说明：； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作平分，交于点，交的平分线于点交于点，若，求的大小； ②如图3，轴，点为线段（不与重合）上一动点，过点作的垂线交轴于点，交直线于点与的平分线相交于点，当点运动时，则______． 【题型2三角形相关动点定值问题】 11．在中，，点在线段上． (1)如图1，点在线段上，，若，，则_____°； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 12．如图，一副三角板的两个直角重叠在一起，，，固定不动，绕着点顺时针旋转 (1)若绕着点旋转图的位置，若，则________； (2)若，在旋转的过程中的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值； (3)将绕点逆时针旋转度，问当为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？ 13．如图1，在四边形中，，连接，，作的平分线交于点E． (1)是否等于？为什么？ (2)如图2，作的平分线交的延长线于点H． ①若，求的度数； ②如图3，点P为上一动点（不与B、C重合）连接，交于点Q，作的平分线分别交于点M、N．试探究的值是否为定值﹖若不是，请说明理由，若是，请求出定值． 14．在中，，于点D，于点E，、所在直线交于点F． (1)如图，当时，求的度数； (2)若在、这两个角中，有一个角是另一个角的2倍时，求的值； (3)的角平分线与的角平分线交于点G，的度数是否是一个定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 15．如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 16．如图， (1)如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． (2)如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，． ①_________；（用含x的式子表示）               ②试判断的度数是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由． 17．如图，的内角的角平分线，与外角，的角平分线相交于点D，的角平分线交与点E，． (1)求证； (2)是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)写出所有与互余的角______． 18．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 19．（1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数；    （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的． 20．一副三角板按如图1放置，与重合．若先固定其中一块三角板（含的角），再将另一块三角板（含的角）绕点顺时针方向旋转的角，根据要求解答下列问题． (1)如图2，当时，图中与的位置关系是___________； (2)若将三角板旋转到与重叠时（如图3），则__________度； (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数； (4)如图4，连接．当时，探究是一个定值，并说明理由． 【题型3三角形相关动点探究角度数量关系】 21．如图1，已知钝角中（为钝角），，点是线上的一个动点，且不与、重合，连接，平分交于点，过点作，垂足为点．设，． (1)若，，求、的度数； (2)试探究与的关系，并说明理由； (3)如图2，设，将“点是线段上的一个动点”改为“若是延长线上点”，其它条件不变，探究与的关系． 22．如图，中，，D是延长线上一动点，连接，平分交于点 E，过点E作，垂足为点H．直线与直线相交于点F．设． (1)求证：； (2)若，，则 ， ； 试探究α与β的关系，并说明理由； 23．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴ ① ； ∴ ② ． 请完成探究1的填空， _______， _________； 探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：___________________． 24．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”． （1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）； （2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程： 设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角． 【探究1】 如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________． 【探究2】 借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系． 25．在 中，，，点 ， 分别是 边 ， 上的点，点 是一动点，设 ，，． (1)若点 在边 上，如图 ，，计算 的度数； (2)若点 运动到 外，请在图 中标出 ，，，探究 ，， 之间的等量关系，并说明理由；    (3)若点 运动到 外，请分别在图 ，图 中标出 ，，，并直接写出相应的 ，， 之间的等量关系．    26．在中，，点D，E分别是边，上的两个定点，点P是平面内一动点，令，，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上运动， ①当时，则______； ②，，之间的数量关系为∶_______ 再探： （2）若点P运动到边的延长线上，交于F，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展： （3）当点P在的内部，且D，P，E不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．    27．在中，，点D，E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设．    (1)若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则___________（用含∠α的代数式表示）； (2)若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． (3)当点P在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的之间的关系式．（不需要证明） 28．中，，点D、E分别是边上的点，点P是一动点．    (1)若点P在边上，如图1所示，且，则___________°； (2)若点P在边上运动，如图2所示，则之间的关系为___________； (3)若点P运动到边的延长线上，与的交点为M，如图3所示，则之间有何关系？猜想并说明理由． 29．已知中，是的角平分线，，． （1）如图①，若于点，求的度数； （2）如图②，若为上一个动点(不与，重合)，且于点时，则_____； （3）探究：如图②，中，已知，均为锐角，，是的角平分线，若为线段上一个动点(不与重合)，且于点时，请写出与，的关系，并说明理由． 30．中，，点分别是边上的点，点P是一动点．令． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且，则__________； （2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则之间有何关系?猜想并说明理由． （3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系?猜想并说明理由． （4）若点P运动到形外，如图（4）所示，则的关系为：_________． 【题型4全等三角形相关动点存在性问题】 31．如图①，，，，．点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为．    (1)______；（用t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (3)如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 32．如图，已知中，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动． (1)若，经过秒后，此时与是否全等？请说明理由． (2)若，当，为何值时，能够使与全等？请说明理由． (3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求此时的度数，若不存在，请说明理由． 33．如图，在中，高线相交于点O，． (1)求线段的长； (2)若点F是直线上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 34．如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 35．如图，在中，为高线，．点E为上一点，，连接，交于点O，若． (1)猜想线段与的位置关系，并说明理由． (2)若动点Q从点A出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒． ①当点Q在线段上时，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②动点P从点O出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 36．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 37．如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 38．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． (1)______．（用t的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题04 三角形和全等三角形相关动点问题分类训练 （4种类型38道） 目录 【题型1三角形相关动点求值问题】 1 【题型2三角形相关动点定值问题】 18 【题型3三角形相关动点探究角度数量关系】 39 【题型4全等三角形相关动点存在性问题】 58 【题型1三角形相关动点求值问题】 1．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 2．如图，在中，的平分线交于点．点是边上的一个动点，过点作交边于点．设的度数为． (1)如图，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交的延长线于点． ①_____；（用含的代数式表示） ②当时，求的度数； (2)类比（1）的思路，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交直线于点（点不与点重合），求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)或 【详解】（1）解：①∵在中，，设的度数为， ∴； ②：∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）解：如图：当点P在线段上时， ∵在中，，设的度数为， ∴； ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴ ∴． 如图：当点P在线段的延长线上时， ∵在中，，设的度数为， ∴； ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴ ∴． 综上，的度数为或． 3．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（1）①，②；（2）或 【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①先求出的度数，由外角的性质可求解； ②先求出的度数，由外角的性质可求解； （2）分为两种情况：当点F在线段上时及当点F在线段的延长线上时，分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ； ②，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，当点F在线段上时，      ①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ． ②如图3，当点F在线段的延长线上时，   ，平分， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 综上所述，或． 4．在中，，平分交于点，为射线上一动点，过点向射线的右侧作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，若，当点在的延长线上时，求的度数； (2)若点在线段上，且与不重合时，直接写出的度数（用含式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、平行线的性质等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． （1）首先解得的值，结合角平分线的定义可得，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，再求得的值，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）分点在线段上和当点在线段上两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）当点在线段上时，如下图， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如下图， 此时的平分线与射线没有交点． 综上所述，的度数为． 5．如图，在中，，，平分，，点F是从点A沿向点E运动的一动点，过点F作于点D． (1)如图1，当点F与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当点F位于点A，E之间时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据题意求出，再由角平分线的定义求出，即可得到答案； （2）由三角形的外角性质得，，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， 平分， ， 由三角形的外角性质得，， ． 6．在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则 ： 如图2，，，则 ； 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或 ． 应用结论：（2）在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，则的度数为 ． 拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，求的度数． 【答案】（1）；；相等；互补；（2）；（3）或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用推导的结论解题，清晰的分类讨论都是解本题的关键． （1）利用平行线的性质可得答案； （2）证明，结合，由（1）的结论可得：，从而可得答案； （3）过B作，再证明，，结合平分，可得，由中有两个相等的角，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图1，∵，， ∴，， 则； 如图2，∵，， ∴，， 则， 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补， 故答案为：；；相等；互补； 应用结论 （2）∵ ，， ∴， ∵， 由（1）的结论可得：， ∵， ∴ ． （3）过B作， ∵ ， ∴， ∵ 同理可得：， ∴， ∵， 同理可得：， ∵平分， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵中有两个相等的角， 当时，则， ∴； 当时，则， 当时，． 综上所述，的度数为或或． 7．如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1)61 (2) (3)∠F的大小不变， 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1） 分别为，的平分线 故答案为：61． （2）， 分别为，的平分线 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 8．如图，已知中，，平分，E是线段（除去端点A、D）上一动点，于点F．若，求的度数．    【答案】 【分析】先根据垂直的定义得到，进而求出，利用三角形外角的性质求出，则由角平分线的定义求出，则由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂直的定义等等，正确求出是解题的关键． 9．如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则______°． (2)如图2，当时，，的平分线交于点，则______°（用含的式子表示）． (3)如图3，当（为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的大小不变，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵分别为的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，，的平分线交于点，则 ∵， ∴， ∵分别为的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）的大小不变； 理由如下：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴，即的大小不变． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理和三角形的外角性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 10．已知线段与相交于点，连接．    (1)如图1，试说明：； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作平分，交于点，交的平分线于点交于点，若，求的大小； ②如图3，轴，点为线段（不与重合）上一动点，过点作的垂线交轴于点，交直线于点与的平分线相交于点，当点运动时，则______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，，根据对顶角相等得出，即可证明结论； （2）①根据角平分线的定义得出，，根据解析（1）可得，，得，整理得，即，求出结果即可； ②根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平分，平分， 结合解析①中结论可得：，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵线段与相交于点， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①∵平分，平分， ∴，， ∵、交于点M，，交于点N， ∴根据解析（1）中结论可知，， ， 得， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴根据解析①可得：， ∴． 故答案为：． 结合． 【题型2三角形相关动点定值问题】 11．在中，，点在线段上． (1)如图1，点在线段上，，若，，则_____°； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，再结合已知条件可证； （2）如图，延长交于K．设，求出x与y之间的关系即可解决问题； （3）如图，延长交于K，延长交于N．设，仿照（2）求出x与y之间的关系即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：是定值，理由如下： 如图，延长交于K．设． ∵，平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵（三角形的外角的性质）， ∴， ∴，即， ∴是定值； （3）解：如图，延长交于K，延长交于N．设． 同（2）法可证：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，角度的和差计算等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，一副三角板的两个直角重叠在一起，，，固定不动，绕着点顺时针旋转 (1)若绕着点旋转图的位置，若，则________； (2)若，在旋转的过程中的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值； (3)将绕点逆时针旋转度，问当为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？ 【答案】(1) (2)不发生变化，的值为 (3)或或或或或 【分析】本题主要考查了角的和差计算、垂直的定义、四边形的内角和； （1）由，求出，然后计算即可； （2）根据，表示出和，然后计算的值即可； （3）分情况讨论，分别根据角的和差关系以及四边形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案为：； （2）如图，若，即， ，， ， 即在旋转的过程中，不发生变化； （3）分情况讨论： ①如图， 当时， ， ； ②如图， 当时， ， ， ， ； ③如图， 当时，； ④如图， 当时，延长交于， ， ， ， ∴； ⑤如图， 当时，延长交于， ， ， ， ， ； ⑥如图， 当时，延长交于， ， ， ； 综上，当为或或或或或时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直． 13．如图1，在四边形中，，连接，，作的平分线交于点E． (1)是否等于？为什么？ (2)如图2，作的平分线交的延长线于点H． ①若，求的度数； ②如图3，点P为上一动点（不与B、C重合）连接，交于点Q，作的平分线分别交于点M、N．试探究的值是否为定值﹖若不是，请说明理由，若是，请求出定值． 【答案】(1) (2)①②的值是定值 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理： （1）设，则，，，根据得，由此得，据此可得的度数； （2）①设，则，，由（1）可知，则，由三角形内角和定理得，，进而得，则，再根据可得出∠D的度数； ②设，则，，，，由（1）可知，则，由三角形的外角定理得：，，据此可得的值． 【详解】（1）解：，理由如下： 设， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵是的平分线， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴； ②为定值， 设， ∵是的平分线，平分， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴， 由三角形的外角定理得：，， ∴， ∴． 14．在中，，于点D，于点E，、所在直线交于点F． (1)如图，当时，求的度数； (2)若在、这两个角中，有一个角是另一个角的2倍时，求的值； (3)的角平分线与的角平分线交于点G，的度数是否是一个定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，见解析 【分析】（1）根据，得到，结合四边形内角和定理，时，计算的度数即可； （2）根据题意，，分和，计算即可； （3）先证明，，再证明，利用三角形内角和定理计算即可． 本题考查了高的性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， 解得； 当时， ∴， 解得； 综上所述，或． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴， ∴ ． 15．如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度． （1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解； （2）根据三角形内角和定理先求，再求，然后利用三角形外角的性质求解即可； （3）先根据对顶角相等得出，再利用直角三角形两锐角互余求解． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 平分， ， ； （2）解：因为，， 所以． 因为AD平分， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）解：的度数为定值．理由如下： 由（2）可知， 所以， 所以． 16．如图， (1)如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． (2)如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，． ①_________；（用含x的式子表示）               ②试判断的度数是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】（1）先根据三角形内角和得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，则，然后利用计算即可； （2）①根据三角形的内角和定理即可求解；②根据角平分线得到，由三角形的外角定理得，代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， 分别是的高， ， ， ； （2）解：①∵， ∴， 故答案为：； ②是定值， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、高以及三角形内角和定理，外角定理，掌握三角形的角平分线和高的概念是解题的关键． 17．如图，的内角的角平分线，与外角，的角平分线相交于点D，的角平分线交与点E，． (1)求证； (2)是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)写出所有与互余的角______． 【答案】(1)见解析 (2)不是定值，理由见解析 (3)，，， 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，余角的定义，掌握相关的知识是解题的关键． （1）根据邻补角的性质，三角形外角的性质和角平分线的定义求解即可； （2）设，根据角平分线定义和平行线的性质求出，再求出后判定即可； （3）根据（1）和（2）的结论可以得到，再找出和相等的角即可． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：； （2）设， ∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， 即 ∴不是定值，会随着的变化而变化； （3）由（2）得，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 与互余的角有：，，，． 故答案为：，，，． 18．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴（四边形内角和可以看做两个三角形内角度数之和）， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是180°． 19．（1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数；    （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的． 【答案】（1）132；（2）或12；（3）是，，理由见解析 【分析】（1）利用同角或等角的余角相等，证明即可解决问题． （2）由题意，．分两种情形：①当时，．②当时，，分别构建方程求解即可． （3）如图，结论是定值．想办法证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）于，于， ， ，， ， ． （2）由题意，， ①当时，，则有， 解得． ②当时，， ， 解得， 综上所述，当或12时，，两个角中，一个角是另一个角的两倍． （3）如图，结论是定值．    理由：于，于， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ，， ， 是定值． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，等角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 20．一副三角板按如图1放置，与重合．若先固定其中一块三角板（含的角），再将另一块三角板（含的角）绕点顺时针方向旋转的角，根据要求解答下列问题． (1)如图2，当时，图中与的位置关系是___________； (2)若将三角板旋转到与重叠时（如图3），则__________度； (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数； (4)如图4，连接．当时，探究是一个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)45 (3) (4)保持不变；理由见解析 【分析】（1）由已知得可得，即可得出； （2）根据当旋转到与重叠时，即可得到结果； （3）要分5种情况进行讨论：，，，，，分别画出图形，计算出度数即可； （4）先设分别交于点M、N，在中，，再根据，得出，然后根据，即可得出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：； （2）解：当旋转到与重叠时，， 故答案为：45； （3）解：当的一边与的某一边平行（不共线）时， 旋转角的所有可能的度数为． 如图所示： ①当时，则， 故； ②当时，； ③当时， ， ， ； ④当时，； ⑤当时，． （4）解：如图4， 当时，保持不变；理由如下： 设分别交于点M、N， 在中，， ，， ， ， ． 【题型3三角形相关动点探究角度数量关系】 21．如图1，已知钝角中（为钝角），，点是线上的一个动点，且不与、重合，连接，平分交于点，过点作，垂足为点．设，． (1)若，，求、的度数； (2)试探究与的关系，并说明理由； (3)如图2，设，将“点是线段上的一个动点”改为“若是延长线上点”，其它条件不变，探究与的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，进而求得，，从而根据三角形的内角和定理与外角的性质求出，，即可解答； （2）设，则，根据（1）的思路得到，，从而； （3）设，则，从而，进而推出，可得． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ，即， ，即， ， ，即． （2）解：设， 平分， ， ， ， ，即， ， 即， ， ， 即， ， ． （3）解：设， ∵平分， ， ， ， ，即， ，即， ， ， 即， ． 22．如图，中，，D是延长线上一动点，连接，平分交于点 E，过点E作，垂足为点H．直线与直线相交于点F．设． (1)求证：； (2)若，，则 ， ； 试探究α与β的关系，并说明理由； 【答案】(1)详见解析 (2)，；，理由见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等得出答案； （2）①根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，再求出，根据三角形内角和定理得出答案即可； ②先求出 ，同理得，且，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴； （2）①∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴． ②．理由如下： ∵平分， ∴， 由（1）得：， 同理，且， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质等，熟练掌握三角形内角和定理，是解题的关键． 23．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴ ① ； ∴ ② ． 请完成探究1的填空， _______， _________； 探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：___________________． 【答案】探究1：①；②；探究2结论：，理由见解析；探究3：，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： 探究1：根据步骤，三角形的内角和定理，进行作答即可； 探究2：根据角平分线的定义，三角形的外角的性质，进行推导即可； 探究3：根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行推导即可． 【详解】解： 探究1：∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴． 探究2结论： ，        理由如下： ∵和分别是和的角平分线， ∴， 又∵是的一外角， ∴， ∴， ∵是的一外角， ∴； 探究3：． ∵，，O是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ∴， ， ． 24．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”． （1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）； （2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程： 设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角． 【探究1】 如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________． 【探究2】 借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系． 【答案】（1）见详解 （2）【探究1】，，【探究2】或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解新定义“美丽线”是解题的关键． （1）根据“美丽线”的定义结合三角形内角和定理，即可求解； （2）探究1：根据“美丽线”的定义，结合三角形内角和定理分别求出的度数，再根据平角的定义可得结论，再由，可得的取值范围； 探究2：根据“美丽线”的定义，图形结合（图示见详解），分类讨论，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图，直线即为所求； （2）探究一：根据三角形的内角和定理可得， 利用三角形的外角定理可得，即， 整理得， ， ， 故答案为：，，； 探究二： ①如图所示，直线是的“美丽线”， ， ∵， ∴， 整理得； ②如图所示，直线是的“美丽线”， ， 是的外角， ； ③如图所示，直线是的“美丽线”， ， ； 综上，与的关系为或或． 25．在 中，，，点 ， 分别是 边 ， 上的点，点 是一动点，设 ，，． (1)若点 在边 上，如图 ，，计算 的度数； (2)若点 运动到 外，请在图 中标出 ，，，探究 ，， 之间的等量关系，并说明理由；    (3)若点 运动到 外，请分别在图 ，图 中标出 ，，，并直接写出相应的 ，， 之间的等量关系．    【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）先求解，证明，从而可得答案； （2）先求解，证明即可； （3）如图 ，先求解，结合 ，，可得，从而可得结论；如图中， 由，，，从而可得结论． 【详解】（1）解： 在 中，，， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图，标出 ，， 如下：    在 中，，， ， ， ， ， ， 即 ． （3）如图 ，标注 ，， 如下：       ，理由如下： 在 中，，， ， ，， ， 即 ． 如图中，标注 ，， 如下：    ．理由如下： 在 中，，， ， ，，， ， 即 ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，邻补角的含义，多边形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和定理与外角的性质是解本题的关键． 26．在中，，点D，E分别是边，上的两个定点，点P是平面内一动点，令，，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上运动， ①当时，则______； ②，，之间的数量关系为∶_______ 再探： （2）若点P运动到边的延长线上，交于F，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展： （3）当点P在的内部，且D，P，E不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．    【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）当P在内部时；当P在四边形内部时，． 【分析】（1）①如图1中，连接．证明即可．②利用①中结论解决问题． （2）直接利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）当P在内部时，如图3中，连接，如图4，当P在四边形内部时，连接，再利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）①如图1中，连接．    ∵，， ∴， ∵，， ∴． ②由①可知，； （2）结论：． 理由：如图2中，    ∵， ∴． （3）当P在内部时，如图3中，连接，    ∵，， ∴， ∴． 如图4，当P在四边形内部时，连接，    同理可得：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 27．在中，，点D，E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设．    (1)若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则___________（用含∠α的代数式表示）； (2)若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． (3)当点P在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的之间的关系式．（不需要证明） 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据，，，四边形的内角和为（可以把四边形分成两个三角形），即可表示出和之间的关系； （2）根据三角形外角的性质，，再由即可得到结论； （3）分图（3）和图（4）两种情况，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴（可以把四边形分成两个三角形）， ∴； 故答案为：． （2）解：结论：，证明如下： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴， ∴．      （3）解：如图（3），     由三角形外角的性质得： ，， ∵， ∴， ∴． 如图（4），    由三角形外角的性质得： ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等，灵活运用定理进行计算是解题的关键． 28．中，，点D、E分别是边上的点，点P是一动点．    (1)若点P在边上，如图1所示，且，则___________°； (2)若点P在边上运动，如图2所示，则之间的关系为___________； (3)若点P运动到边的延长线上，与的交点为M，如图3所示，则之间有何关系？猜想并说明理由． 【答案】(1)140； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出，进而计算得出即可； （2）利用（1）中所得结论即可求出； （3）利用三角外角的性质可知，，从而推出，继而得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴． 故答案为：140； （2）解：由（1）得出：， ∴． 故答案为：； （3）解：之间的关系为：，理由如下： 如图3，由三角形的外角性质得：，， ∴ ∴之间的关系为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解决问题的关键． 29．已知中，是的角平分线，，． （1）如图①，若于点，求的度数； （2）如图②，若为上一个动点(不与，重合)，且于点时，则_____； （3）探究：如图②，中，已知，均为锐角，，是的角平分线，若为线段上一个动点(不与重合)，且于点时，请写出与，的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）18°；（3），理由见解析． 【分析】（1）根据，得到，根据平分得到从而得到，最后根据即可得到答案； （2）同（1）中原理先求出，然后根据即可得到答案； （3）同（1）中原理先求出，然后根据即可得到答案. 【详解】解：（1）∵， ∴. 又∵平分， ∴， ∴. ∵于， ∴， ∴. （2）同（1）原理可以得到 ∵ ∴ ∴ (3). 理由如下：在中，， ∵平分， ∴， ∴. 又∵于， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，三角形外角以及角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 30．中，，点分别是边上的点，点P是一动点．令． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且，则__________； （2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则之间有何关系?猜想并说明理由． （3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系?猜想并说明理由． （4）若点P运动到形外，如图（4）所示，则的关系为：_________． 【答案】（1）120；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由题意易得∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，进而由四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，然后问题可求解； （2）由题意易得∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，进而由四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，然后问题可求解； （3）设线段BC与线段PD交于点F，由题意得∠CDF=180°-∠1，根据三角形内角和定理得：∠C+∠CDF+∠CFD=180°，进而可得，然后问题可求解； （4）设AC与PE交于点G，由题意易得∠2=∠C+∠EGC=90°+∠PGD，∠PGD=∠2-90°，进而根据三角形内角和可得，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵∠1+∠CDP=180°， ∴∠CDP=180°-∠1， 同理可得：∠CEP=180°-∠2， 根据四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°， ∵∠C=90°， ∴， ∵， ∴； 故答案为120； （2），理由如下： ∵∠1+∠CDP=180°， ∴∠CDP=180°-∠1， 同理可得：∠CEP=180°-∠2， 根据四边形内角和定理得：∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°， ∵∠C=90°， ∴， ∴； （3），理由如下： 设线段BC与线段PD交于点F，如图， ∵∠1+∠CDF=180°， ∴∠CDF=180°-∠1， ∵， 根据三角形内角和定理得：∠C+∠CDF+∠CFD=180°， ∴， ∴； （4）设AC与PE交于点G，如图所示： ∵∠PGD=∠EGC， ∴∠2=∠C+∠EGC=90°+∠PGD， ∴∠PGD=∠2-90°， ∵∠PDG=180°-∠1， 根据三角形内角和定理得：∠DPG+∠PDG+∠PGD=180°， ∴， ∴； 故答案为． 【题型4全等三角形相关动点存在性问题】 31．如图①，，，，．点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为．    (1)______；（用t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (3)如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；；理由见解析 (3)存在，或，使得与全等 【分析】（1）根据点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，得出，根据，得出即可 （2）利用“”证得，得出，进一步得出得出结论即可； （3）与全等，分两种情况：①，②，建立方程组求得答案即可． 【详解】（1）解：∵点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：，，理由如下： 当时，，， 又， 在和中， ∵， ， ， ， ， ∴． （3）解：由题意可得：，，，， ①若， 则，， 则，， 解得：，； ②若， 则，， 则， 解得：，； 综上所述，存在，或，使得与全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用． 32．如图，已知中，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动． (1)若，经过秒后，此时与是否全等？请说明理由． (2)若，当，为何值时，能够使与全等？请说明理由． (3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求此时的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)存在点，为等腰三角形，的度数是或或时，使为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明； （1）因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度； （1）由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得的度数．需要分类讨论：、、三种情况． 【详解】（1）解：秒， 厘米 厘米，为中点， 厘米 又厘米 ， ， 在与中， ， ≌； （2）解：， ， 又， 要使≌，只能， ≌， ． 点的运动时间秒， 此时厘米秒． （3）解：存在点，使为等腰三角形．理由如下： 中，，， ． 当时，为等腰三角形 当时，为等腰三角形，此时． 当时，为等腰三角形， 综上所述，的度数是或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 33．如图，在中，高线相交于点O，． (1)求线段的长； (2)若点F是直线上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明，根据边之间的关系得，即可得求出的长度，根据全等三角形的性质得，即可得； （2）由题意得，，，，分情况讨论：时，，得，进行计算即可得，时，，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下： 解：由题意得，，，，， 如图所示， 当时，， ∴， 解得：； 如图所示， 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 34．如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂线段最短，一元一次方程的应用，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）分三种情况讨论，根据线段和差以及速度路程的关系建立方程求解即可； （2）设，当时，则，由三角形内角和定理表示出，则，由邻补角可得，再分三种情况讨论，当点在上时，不存在；当点在上时，证明，则，则，即可求解； （3）设点的速度为，分四种情况讨论，根据全等三角形的性质建立方程求解，注意点Q的速度小于点P的速度． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 当点在上时， 根据垂线段最短可得， ∴点在上时不成立； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：， 综上：当或秒时，， 故答案为：或． （2）解：存在，理由如下： 设， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ①当点在上时，， ∵， ∴， 故不成立， ∴不存在； 当点在上时，如图： ∵，， ∴， ∵点Q是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点在上时，显然不成立， ∴综上，存在，． （3）解：设点的速度为， 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：（舍）； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：（舍）， 综上所述：线段分割所形成的三角形恰好与全等，点Q的运动速度为或． 故答案为：或． 35．如图，在中，为高线，．点E为上一点，，连接，交于点O，若． (1)猜想线段与的位置关系，并说明理由． (2)若动点Q从点A出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒． ①当点Q在线段上时，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②动点P从点O出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①存在的值，使得的面积为；②的值为或 4 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，根据三角形内角和结合等式的性质可得，即可求解； （2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意，∵为高， ， 又 ∵， ， ， ， ． （2）解：①存在的值，使得的面积为 18 ，理由如下： 由题意，∵， ， ， ， 由（1）可知，， ， ∵在线段上， ， 解得：； ②∵， ， 、当点在线段延长线上时，如图3， ， ， ， ∴当时，， 此时，， 解得：； b、当点在线段上时，如图4， ， ， ， ∴当时，， 此时，， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或 4 ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，一元一次方程，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 36．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)动点的运动时间或； (2)或时，与全等． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可． 【详解】（1）解：作，，则， ， ， 当点在点左侧时， ∴, 即， 解得：； 当点在点右侧时，， ∴，解得， 综上动点的运动时间或； （2）当点在点上方时， ，， ∴当时，， 即或， 解得：或（舍去）， 当点在点下方时， ， ∴， ， ∴； 答：或时，与全等． 37．如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；；②或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差； （1）由，可得，通过即可证明； （2）①根据题列出代数式即可得出，根据等角的余角相等即可证明； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）①解：依题意，， ∵ 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 38．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． (1)______．（用t的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时，与全等 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $