精品解析：吉林省长春市长春高新技术产业开发区慧仁学校2025-2026学年上学期九年级开学考试数学试卷

东北师范大学慧仁实验学校 2025-2026学年上学期九年级第一次大练习数学学科 一、选择题（每小题3分，8小题，共24分） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数非负；②根指数为2（通常省略）．逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、：被开方数为，不符合条件，不是二次根式； B、：，故，被开方数为负，不是二次根式； C、：根指数为3，不是二次根式； D、：被开方数，且根指数为2（省略），符合二次根式定义，是二次根式． 故选：D． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式定义，涉及二次根式性质化简等知识，由最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，则不是最简二次根式，不符合题意； C、，则不是最简二次根式，不符合题意； D、，则不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的化简以及同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式）；将以上二次根式正确的化为最简二次根式是解此题的关键． 4. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，形如的形式，由此判断即可． 【详解】解：A，是一元一次方程，不合题意； B，中，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不合题意； C，是一元二次方程，符合题意； D，中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 故选C． 5. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 故选：A． 6. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 7. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了象限内点的坐标符号特征，根据第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数进行判断即可，掌握各象限内点的坐标符号特征是解题的关键． 【详解】解：∵第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴符合题意的只有， 故选：． 8. 近年来电商发展迅速，某服装店营业额逐年下降，2022年营业额为36万元，2024年营业额为23.04万元，设该服装店2022年到2024年营业额平均每年的下降率是x，根据题意，下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 36（1－2x）＝23.04 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键．设年平均下降率为，根据题意建立方程，即可求解． 【详解】解：设年平均下降率为，根据题意得： 故选：C． 二、填空题（每小题3分，6小题，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若关于x的方程的一个根是2，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及求代数式的值，准确计算是解题的关键． 把代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于m的不等式，即可解得答案． 【详解】解：∵的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 12. 如图所示的两个四边形相似，则的度数是_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查相似性质，多边形内角和．根据题意利用相似性质可得对应角相等，再利用四边形内角和继而求出答案． 【详解】解：∵两个四边形相似，四边形内角和为， ∴的度数是：， 故答案为：． 13. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点F是边上一点（不与点C和点D重合），连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当点F在边上运动时的大小随之变化； ④当点F是边的中点时，点H是边的中点． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由正方形的性质得，那么，则，即可判断①；先由正方形的性质得，借助勾股定理得出，结合，证明，则，即可判定②③，再运用点F是边的中点，设，根据勾股定理得出，，故，则，再证明，列式运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形和都是正方形， ∴， ∴， ∴， 则①的说法是正确的； ∵四边形和都是正方形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②的说法是正确的； ∵四边形是正方形， ∴， 由②得，， ∴， 故③的说法是不正确的； ∵四边形和都是正方形， ∴， ∵点F是边的中点， ∴设 ∴， 在中， ， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点H是边的中点． 故④的说法是正确的； 故答案为：①②④． 三、解答题（6小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）2 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法，并化简二次根式，再进行合并即可； （3）分别计算零指数幂和二次根式的乘法，再进行加减计算； （4）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 16. 解下列方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由直接开平方法求解即可； （2）先移项，再由因式分解法求解； （3）由因式分解法求解； （4）由公式法求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 或 解得：，； 【小问3详解】 解：， ， 或 解得：，． 【小问4详解】 解：， ， ， ， ∴，． 17. 如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点E、F分别为线段、的中点，连接交于点 O． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、F分别为线段、的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判断，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）根据平行四边形的性质得出，则，再根据中点的定义，得出，即可求证四边形为平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，再根据三角形的中位线定理，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点F为的中点， ∴． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 【答案】（1）如图，为所作： （2） 如图，为所作： （3） 如图，点F为所作： 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质等知识； （1）连接格点P、Q与交于点，连接即为所求作的中线； （2）取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E，则为所作； （3）取格点S、T，连接交于点F，则点F满足条件． 【小问1详解】 解：如图，连接格点P、Q与交于点， 由于四边形是矩形，则点D为的中点， ∴为边上的中线； 【小问2详解】 解：； 如图，取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴平分， ∴平分， 即为所作； 【小问3详解】 解：如图，取格点S、T，连接交于点F， ∵， ∴， ∴， 即， 故点F满足题意． 19. 某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资(万元) 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 每年增加万元 岗位工资 固定不变 （1）设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为 ； （2）某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的，求基本工资每年的增长率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题成为解题的关键． （1）依题意，已知基本工资每年的增长率为x，那么第三年的工资为； （2）根据图表可知工龄工资与岗位工资，算出三年的费用后列出等式可求解． 【小问1详解】 解：由已知基本工资每年的增长率为x，则第三年的基本工资为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意可得： ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：基础工资每年的增长率为． 20. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果工次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例知：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【答案】（1）（答案不唯一）；（答案不唯一） （2）①；② （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． （1）根据有理化因式定义求解； （2）①分子分母同乘以，再计算即可； ②分子分母同乘以，再计算即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：①； ② 【小问3详解】 解： ． 21. 【发现问题】 如图①，在中，，点D为的中点，点F在上，且，与交于点E，求的值． 【问题分析】 小明对该问题进行仔细地研究后发现点F、D都是某一边上固定比例的分点，我们可以称之为“定比分点”，过其中一个定比分点作平行线即可得到两组相似三角形．根据相似三角形的性质即可得到相应的比例关系，并解决该问题． 【问题解决】 解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ∵点D为的中点，． 接下来小明想尝试证明．并结合已知条件得出结果． 请帮助小明继续完成上述求解过程． 【答案】 解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ， ∵点D为的中点， ． ． ∵， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，已知证明过程已得，可得，结合可得，再证，根据对应边长成比例，可得，进而可得． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学慧仁实验学校 2025-2026学年上学期九年级第一次大练习数学学科 一、选择题（每小题3分，8小题，共24分） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 8. 近年来电商发展迅速，某服装店营业额逐年下降，2022年营业额为36万元，2024年营业额为23.04万元，设该服装店2022年到2024年营业额平均每年的下降率是x，根据题意，下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 36（1－2x）＝23.04 二、填空题（每小题3分，6小题，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10. 若关于x的方程的一个根是2，则的值是______． 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 12. 如图所示的两个四边形相似，则的度数是_____． 13. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 14. 如图，在正方形中，点F是边上一点（不与点C和点D重合），连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当点F在边上运动时的大小随之变化； ④当点F是边的中点时，点H是边的中点． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（6小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 解下列方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 17. 如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点E、F分别为线段、的中点，连接交于点 O． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 19. 某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资(万元) 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 每年增加万元 岗位工资 固定不变 （1）设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为 ； （2）某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的，求基本工资每年的增长率是多少？ 20. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果工次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例知：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 21. 【发现问题】 如图①，在中，，点D为的中点，点F在上，且，与交于点E，求的值． 【问题分析】 小明对该问题进行仔细地研究后发现点F、D都是某一边上固定比例的分点，我们可以称之为“定比分点”，过其中一个定比分点作平行线即可得到两组相似三角形．根据相似三角形的性质即可得到相应的比例关系，并解决该问题． 【问题解决】 解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ∵点D为的中点，． 接下来小明想尝试证明．并结合已知条件得出结果． 请帮助小明继续完成上述求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $