专题五平面向量专项训练-2026届山东省高三数学一轮复习

2026年山东省高考一轮复习成果检测----专题五平面向量 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（本题5分）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 3．（本题5分）记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 5．（本题5分）若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 7．（本题5分）已知向量在向量上的投影向量为，，则（   ） A． B． C． D．3 8．（本题5分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，为边上靠近点的三等分点．若，则（   ）    A．36 B．28 C．30 D．42 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 10．（本题6分）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 11．（本题6分）已知向量，且，则（   ） A． B． C．的夹角为 D． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知向量，满足，，则 ． 13．（本题5分）如图，在正方形中，，，若，则 ． 14．（本题5分）已知平面向量，，且，则实数 . 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知平面向量与的夹角为，且. (1)若，用表示，并求； (2)若，求实数的值. 16．（本题15分）平面上的两个非零向量，满足. (1)当时，求正实数t的值； (2)用表示，夹角余弦值的取值范围. 17．（本题15分）在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 18．（本题17分）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 19．（本题17分）如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，．    (1)把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； (2)用、表示、； (3)若，，求． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 2．D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 3．C 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由题意可得， 故向量在向量方向上的投影向量的坐标为 ， 故选：C 4．C 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 5．B 【分析】由向量垂直关系得到，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】设与的夹角是，因为， 所以，即①， 又因为， 所以，即②， 由①②知， 所以. 故选：B. 6．C 【分析】由，得到，通过即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，则， 所以， 所以， 所以， 故选：C 7．A 【分析】应用平面向量的投影向量结合数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以． 故选：A． 8．C 【分析】由题知，进而根据数量积的运算求解即可. 【详解】解：由题知，，， 所以 故选：C 9．ABD 【分析】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，令，在等边中，， 由选项A得， ，，， ， 因此，B正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C错误； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 10．ABD 【分析】选项A，用向量平行的坐标条件，求；选项B，用向量垂直的数量积为0求.选项C，先由夹角求数量积，再用向量差的模长公式计算验证.选项D，先由相反向量得坐标，再用投影向量公式计算验证. 【详解】选项A，若，则， 即，()，得=，所以A正确。 选项B，若，则 即，得，所以B正确。 选项C，若与的夹角为， 又因为，而， 代入得：，所以C错误。 选项D，若与方向相反，则()，且， ，由，得， 故，在上的投影向量公式为： ，计算，， 代入得：，D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】对于A，由条件根据向量数量积的坐标运算公式列方程求，即可判断，对于B，根据向量平行的坐标表示检验即可，对于C，根据向量的夹角的坐标公式计算向量的夹角余弦，由此即可判断，对于D，求，再计算，根据向量垂直的坐标表示判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，又， 所以，故，A正确； 对于B，由选项A的解析可得，因为， 所以与不共线，故B错误； 对于C，设的夹角为，则，又， 所以，故C正确； 对于D，，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 13． 【分析】利用平面向量基本定理求解. 【详解】因为， 又,， 所以. 故答案为： 14．5 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由已知，， ，， 即，. 故答案为：5 15．(1)， (2) 【分析】（1）先根据向量的线性关系得到关于和的表达式，再利用向量的数量积求出，最后通过向量模长公式求出. （2）先根据向量的线性关系得到的表达式，再由向量垂直的性质列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】（1）由题意得，在中，，如图， 则， 因此. 由，且与的夹角为，得， 所以 . （2）由，得，则. 由，得， 所以 ， 解得. 16．(1)1； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据已知及向量数量积的运算律化简得，即可得求参数； （2）设，，与的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律得，讨论参数及基本不等式求余弦值的范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以正实数t的值为1. （2）设，，与的夹角为， 由得，， 则有， 则有，即①， 若，由①式得，， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，则（当向量，同向时可取1）， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，故（当向量，反向时可取），. 综上， 当时，； 当时，； 当时，. 17．(1)； (2). 【分析】（1）法一：根据已知得、，结合已知向量的线性关系，即可得；法二：连接，通过已知条件构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标并确定相关向量的坐标，由向量线性关系的坐标运算列方程求参数值，即可得； （2）法一：设，根据已知得、，再应用向量数量积的运算律及定义得到关于的表达式，即可求最值；法二：设，应用坐标法表示出相关向量，再由向量数量积的坐标运算得到关于的表达式，即可求最值. 【详解】（1）法一：因为四边形是平行四边形，是线段的中点， 所以， 因为是线段的中点， 所以， 又，所以，则； 法二：连接，由， 所以，所以， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 在平行四边形中，， 所以， 因为分别是线段的中点，所以， 所以，又， 所以，即，解得； （2）法一：因为为线段上的动点，设， 所以， ， 在平行四边形中，， 所以， ， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为； 法二：因为为线段上的动点，可设，则， 所以，即， 又，所以， 所以， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为. 18．(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】（1）由题设，； （2）由题设，又， 所以，则，可得； （3）由（2）及，则，可得. 19．(1) (2)，. (3) 【分析】（1）设点，由题意得出，结合平面向量的坐标运算可得出、的值，即可得出点的坐标； （2）利用平面向量的线性运算可得出、关于、的表达式； （3）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）设点，由得， 即，解得，，即点. （2），. （3）由已知，，所以， 所以. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $