第一章 空间向量与立体几何（单元测试·冲刺卷）数学人教A版2019选择性必修第一册

可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章空间向量与立体几何·冲刺卷（参考答案) 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1 4 7 8 0 D B B B D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 ABD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12.√62 13.1 14.3π 四、解答题：本题共5小题，共计7分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】(1)因为41，-V2,3,B0,2,5, 所以AB=-1,22,2, 因为向量m与4B平行， 所以可设m=2AB,2∈R, 所以m=-1,2V2元，22， 2分 因为m=3,所以√2+8元2+422=√3， 所以2=±1， 所以m=（-1,22,2或m=(1,-2V2,-2, 所以m的坐标为-1,22,2或1，-2V2,-2: 4分 (2)因为A1,-2,3,B(0,V2,5),C1,N2,4, 所以AB=-1,22,2,AC=(0,22,, 所以AB.AC=0+8+2=10,AC=3 6分 1/7 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 所以向量AB在向量AC上的投影向量ā AB.ACAC=10AC AC AC 9 20√210 所以a= 0, 99 8分 (3)因为A1,-V2,3,B0,V2,5,C,V2,4, 所以C8=(-1,0,1),CA=(0,-22,-1, 所以cos CB,CA= CB.CA√2 CB Ci 6' 即cos∠4CB=- ,又∠ACB∈(0，T, 6 所以sin∠ACB=V-(cos∠ACB-S4 10分 6 所以A8c的面积s=引CE到Csm∠ACB=×x3x34-7 62 所以以CB,CA为邻边的平行四边形的面积为√7.…。 13分 16.【详解】(1)在正方体ABCD-A,BCD中，点E是棱CD上的动点， 则E到平面AB,D,1的距离即为DD,=2,.2分 11 则Vn-4E='g-A8A=3 54aD0-写*3x2x2x2-月 ,5分 3 A D B C D (2)设BC的中点为G,CC,中点为F,连接DG,DF,FG, 以A为原点，以AB,AD,AA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A0,0,2),E(1,2,0,G2,1,0),D0,2,0),F(2,2,1, 所以AE=(1,2,-2),DG=（2,-1,0),DF=(2,0,1, 则AE.DG=0,A,E.DF=0,即A,E⊥DG,A,E⊥DF,… 8分 2/7 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 因为DG DF D,DG,DFC平面DGF, 所以AE⊥平面DGF,10分 则△DGF即为过点D且与AE垂直的平面截正方体的截面， 由正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，BC的中点为G,CC中点为F, 可得GF=V2,GD=DF=V5, 在△DGF中，cos∠DFG=DF2+GF2-GD2=5+2-51 2DF.GF 2×√5x√210 .12分 则sin∠DFG=V-cos2∠DFG=3」 所以S.as=2DF.GF,sin∠DFG=)x5xV2x3=3 1 2 V102 .15分 A D B D B2--- E 17.【详解】(1)在直三棱柱ABC-A,B,C中，AC⊥BC,直线CB,CC,CA两两垂直， 以C为原点，以直线CB,CC,CA分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-z,…2分 M 设AC=2,则M(0,0,1,A0,0,2,B2,0,0,N(1,2,0,B2,2,0, M=(1,2,-1),AB=(2,0,-2),AB,=(2,2,-2),设n=（x,y,z是平面ABBA,的一个法向量， AB.ii=2x-2z=0 则 瓜元=2x+2y-2z=0’令=1，得n=(1,0, 5分 3/7 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 显然MN.n=1+0-1=0,即MN⊥n,而MN丈平面ABB,A, 所以MW/平面ABBA,. 7分 (2)假定线段CC上存在点9满足条件，由(1)设CQ=y,0≤y≤2， A(0,2,2),B2,0,0,M(0,0,1,N(1,2,0,00,yo,0), 则AB=(2,-2,-2）,MN=(1,2,-1）,M@=(0,yo,-1）,.9分 设m=(a,b,c是平面NQ的一个法向量， MW·m=a+2b-c=0 则 ,令b=1,得m=（y。-2,1,。）,…11分 M0·m=y,b-c=0 由A,B⊥平面MQ,得A,B/1m,即存在实数2，满足： %-2=21 丽=A4历，即1=-2入，解得入=弓人=1，因此C0=1,即Q是CC的中点， %=-22 所以线段CC上存在点Q,使4B上平面M巴，C瓷=) 15分 18.【详解】(1)由题知，QA⊥AD即PA⊥AD,且PA⊥AB, 因为AB,ADC面ABCD,AB∩AD=A, 所以PA⊥面ABCD,… 3分 因为BDC面ABCD,所以PA⊥BD, 又由E,F是所在棱的中点，得EF∥BD,所以PA⊥EF; 易知四边形ABCD是正方形，可知BD上AC,所以AC⊥EF;.5分 又由PA∩AC=A,且PA,ACc面PAC,所以EF⊥面PAC, 因为EFC面AEF,所以面AEF⊥面PAC;… …8分 (2)由PA⊥AD,PA⊥AB,AB⊥AD知，可以分别以AB,AD,AP 作为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 417 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 Z E B 不妨记AB=AD=2,设PA=2a, 可得A0,0,0),E1,0,a,F0,1,a,P0,0,2a,C2,2,0, 则AE=(1,0,a,PC=（2,2,-2a, 因为PCc面AEF,EFC面AEF,所以PC⊥EF, 故PC.AE=2-2a2=0,解得a=1,即PA=2; AE=(1,0,1,A℉=(0，l,1，… 12分 记平面AEF的法向量为i=x,,2),可得 以+2=0’取名=1得5=-1 x,+21=0 等{y=-即万=1，-1，， 14分 假设棱CD上是否存在一点M,使得直线PM与平面ABF所成角的正弦值为2W5, 3 设DM=b0≤b≤2)，则M(b,2,0),PM=(b,2,-2), 22-b-4 由题知 3V5Vb2+8 解得h-专或4（会去，傅D手所以8号 CD517分 19.【详解】(1)证明：因为E,F分别是CD,AC的中点，所以AD/1EF. 因为AD又平面BEF,EFC平面BEF,所以AD/平面BEF..3分 (2)(i)如图，连接DF. 因为ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，F为AC中点， 所以点F是ABC外接圆的圆心. 因为△ACD是等边三角形，F是AC中点，所以△ACD外接圆的圆心在DF上. 又平面ABC1平面ACD,所以球0的球心0即为△ACD外接圆的圆心.…6分 5/7 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 因为球0的表面积4R2=64 ,所以球0的半径R= 4V3 3 3 所以DF=2V3,AC=4,AB=2√2， 所以三楼锥4-9C0的体积y-写mDP-写产方2x25x2后= 3 …9分 (ⅱ)如图，以F为原点，直线FA,FB,FD分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， ZA D 则F(0,0,0),D(0,0,2√5，A2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),E(-1,0,√3)， 所以BE=(-1,-2,V3),AB=(-2,2,0),BD=(0,-2,2V3),CA=(4,0,0), 设BP=元BD,则AP=AB+BP=AB+2BD=(-2,2-2元，2V52).…11分 设平面ACP的一个法向量为n=(x,y,z), n.CA=4x=0 n.4P=-2x+(2-22y+25z=0'令y=51,得i=0,5,A-),…13分 则 设直线BE与平面ACP所成角为， n.BE -2×52+V5(2-1 则sino=cos元，BE= 52+ nBF 5a)+-2×-2+-22+ 2 2√2×V4n2-2+i.15分 令t=2+l,1<t<2,则sina= t 2W2×V4t2-10t+7 5 0<sina=- 5 当t≠0时， a4ay-月 4， 当且仅当：-？，即元=2时取等号. 5 6/7 西学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 综上所述，直线BE与平面ACP所成角的正弦值的最大值为4 …17分 717………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D．0 2．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 3．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 5．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 6．如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 8．已知正方体的棱长为1，点E为线段上的动点（不含端点），则当三棱锥外接球半径最小时，AE的长为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（    ） A． B．四边形为矩形 C． D．如果，那么点M在平面内 10．在坐标系中，，，轴两两之间的夹角均为，向量分别是与轴的正方向同向的单位向量．空间向量，记，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则三棱锥的体积为 D．若，，且，则夹角的余弦值的最大值为 11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知空间向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积为 13．如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则 . 14．在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以，为邻边的平行四边形的面积． 16．（15分）如图，正方体的棱长为2，点是棱上的动点. (1)求三棱锥的体积； (2)当为中点时，求过点且与垂直的平面截正方体的截面面积. 17．（15分）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．（用空间向量法解决） (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知四边形为直角梯形，其中，，，，为垂足（如图1）.将沿折起，使点移至点的位置，得到四棱锥（如图2），且满足，点分别为的中点.      (1)证明：平面平面； (2)若平面，试问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章空间向量与立体几何·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题月要求的 1.若{，6,6}是空间的一个基底，且向量{日+e,e,+e,3+te}不能构成空间的一个基底，则t=（) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 【答案】A 【详解】由题意，{，e,C}是空间的一个基底，设ā=e+e,万=g+e,c=3e,+te 所以a,五不共线， 因为a,五，c不能构成空间的一个基底，则a,五，c共面， 所以存在x,y∈R使得c=xa+yb, 3e,+te;=x(e,+e2+y(e2 +e;)=xe+(x+y)e2+ye; [3=x 所以0=x+y,解得x=3,y=-3,t=-3 t=y 故选：A 2.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，BC,与B,C相交于点O,∠BAC=90°，∠AAB=∠A,AC=60°，AA=3, AB=AC=2,则线段A0的长度为() 6 A.V29 2 B.V29 c.23 D.√23 2 【答案】A 【详解】由题意可知，四边形BCCB,是平行四边形， 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 oc=ac+a)=8c+4-ac-+, 40=B+80=B+(4C-+)丽+}c+瓜， :∠AAB=∠AAC=60°，∠BAC=90°，AA=3,AB=AC=2, .AB2=AC=4,AA2=9,AB.AC=0,ABAA=AC.AA=2×3×c0s60°=3， 4而-而+c+-丽+C+瓜+2丽c+2c+2) -44+49+20+2x3+2x到-9 4’ 4d-9d-受，测线段40的长度为 2 2 故选：A. 3.设空间两个单位向量OA=(m,n,0),0B=(0,p,n),0B与向量0C=1,11)的夹角等于，则向量0A,0B夹 角的余弦值等于（) A. B C. D.8 1 【答案】D 【详解】因为空何两个单位向量O1=(mm0.O死=Q,p川.O丽与向量0C=LL山的夹角等于胥 所以0B0C=p+n,0B=V02+p2+n2=1,0C=VP+1P+1P=V5, 所以p+m=1x5xos=5,结合pr+r=1得p=p+mp+m）- 32 2 则向量OA,OB夹角的余弦值为cos(O1,OB)= OAOB OAOB 8 故选：D 4、如图，在直三棱柱ABC-4BC巾，∠ACB=子4C=2,8C=1,A4=2,点D是棱4C的巾点，点 E在棱BB,上运动，则点D到直线C,E的距离的最小值为() 2/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C E D A.25 B. 4V5 C.5 D.35 J 5 【答案】D 【详解】因为CC,⊥平面ABC,∠ACB=元 所以以C为原点，CA,CB,CC,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接CD,则D(1,0,0),C0,0,2),设E(0,1,c),其中0≤c≤2， 所以CD=(1,0,-2),CE=(0,1,c-2),则点D到直线CE的距离： 72 GD- CD.CE -2(c-2) 4c-2)2 4 V(c-2)2+1 15 c-2y+1+e-2y+ =e-,国e0a小所s,d-,5 所以点D到直线CE的距离的最小值为3N5 5 E D B 故选：D 直四棱柱ABCD-A,B,CD的底面是边长为6的菱形，A4,=8,∠ADC=,点 AP=mAB+nAD+AA,,其中m,n∈[0，.若m2+n2=1-mn,则AP+PC,的最小值为() 3/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.12+2W3 B.4+6V3 C.14 D.16 【答案】B 【详解】由题设，易得点P在平面AB,C,D,上，且AP=mAB+nAD, D B D B P=m2AB+n2AD+2mnAB.AD=36(m2+n2+mn=36,AP=6. 由直四棱柱ABCD-A,B,CD的性质，得AA,⊥平面AB,C,D1,A,PC平面A,B,C,D, 所以AA⊥A,P,则AP=V64+36=10. 因为PC,=A,P+PC,-A,P≥A,C,-6=6V3-6, 所以AP+PC的最小值为10+6√5-6=4+6√5. 故选：B 6.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，ABC为腰长为2的等腰直角三角形，且AB>AC,CC,=2, AB=2AE,P为平面ABC内一动点，则PA+PE的最小值是() B A B E A. B.6 C.3v2 D. V26 2 2 【答案】B 【详解】由题意，以C为坐标原点，CA,CB,CC,所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标 4/22 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 系C-xz, 则A(2,0,2),B(0,2,0),C(0,0,0),A2,0,0),E(1,1,0), 所以CB=(0,2,0),CA=(2,0,2),A4=(0,0,2）, 设A关于平面ABC的对称点为A'(x,y,z,z>0, 则A'A=(2-x,-y,2-z,AA=(x-2,y,z, 设平面ABC的一个法向量元=(x1,,2), CB.=0 2y,=0 则 C4i=0’即2x+2z=0'令x=1,则元=1,0-1川， ,即 所以A与A到平面ABC的距离d= AA列AA列2上x+ √2√2 即-x+z=2①，又A4/m,所以 x-2=-2②， y=0 所以由①②得2z-2=2，,又由z>0可得x=0,y=0,z=2,所以A'(0,0,2), 所以PA+PE=PA+PE≥A'E=V0-1)2+(0-1)+(2-0)2=V1+1+4=V6, 当且仅当A,P,E三点共线时取等号，所以PA+PE的最小值为√6. 故选：B ZA B 、 E 7.如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为2，M、N分别为线段AA,、BC的中点，若点P为正方体 表面上一动点，且满足NP⊥平面MDC,则点P的轨迹长度为() 5/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B P M:- D A.2W2 B.√5 C.√2 D.2 【答案】B 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0,C(0,2,0),M2,0,1,N(1,2,0）,C0,2,2, 则NC=（-1,0,2),DC=(0,2,0),DM=2,0,1, 故NC·DC=(-1,0,2)(0,2,0=0,NC·DM=（-1,0,2)·2,0,1)=-2+2=0, 所以NC⊥DC,NC⊥DM, 又CDODM=D,CD,DMC平面MDC, 所以NC⊥平面MDC, 故当点P在线段NC上时，满足NP⊥平面MDC, 点P的轨迹长度为WC=V1?+22=√5 D B ! P D 故选：B 8.己知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，点E为线段CC上的动点（不含端点），则当三棱锥D,-AEC 外接球半径最小时，AE的长为() 6/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B. 3-2 C.V19 D.V22 3 3 【答案】D 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0,B1,1,1,A1,0,0),C0,1,0),D0,0,1, DB=(1,1,1,AC=（-1,1,0),AD=（-1,0,1, 故DB·AC=(1,1,1(-1,1,0)=-1+1=0,DB·AD=(1,1,1-1,0,1=-1+1=0, 所以DB,⊥AC,DB⊥AD,,即B,D⊥AC,B,D⊥AD, 又ACAD,=A,AC,AD,C平面ACD, 所以B,D⊥平面ACD,故三棱锥D,-AEC的外接球球心在B,D上， ZA D E B 0. 01, ⊙ 设BD∩平面AD,C=O,设三棱锥D,-AEC的外接球球心为O,半径为r, 则2=0A2=0A2+002≥0，A2,即点0与O重合时，r有最小值， 最小值为△ACD,的外接圆半径， 在等边△ACD,中，边长为√2，所以AO=r= √2V6 2sin60°3 设E(0,1,a(0<a<1), 点D到平面ACD,的距离为DO,的长， DA.DB_(1,0,011,1-3 其中DA=(1,0,0),点D到平面ACD的距离为 DB, 1+1+1 3 即D0=5,O为DB的三等分点，放0》 3 (33’3 7/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以0E2 周-a- 解得4=2或a=0（舍去). 3 此时41,0,0)，E01,3 所以AE= 1+1+ 4V22 93 故选：D, 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，AB=AD=1,AA=√3，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°， AA,与AB,AD所成的角均为60() D A A.BD AD-AB+AA B.四边形B,BDD,为矩形 C.∠C,AC=30 D.如果-西-号而+考环，那么点M在平面4BD内 3 【答案】ABD 【详解】选项A,在平行六面体ABCD-A,B,CD,中， BD=AD-AB=AD+AA-AB,正确； 选项B,设AC∩BD=O, D 8/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为A,B2=A,A2+AB2-2AA·ABc0S∠AAB, AD2=AA2+AD2-2AA·ADc0s∠AAD, 又AB=AD=1,AA,与AB,AD所成的角均为60， 所以A,B=A,D,又O为BD中点，则A,O⊥BD, 又AC1BD,A,O∩AC=0,A,O,ACc平面ACC,A,, 所以BD⊥平面ACC,A,由于AA,C平面ACC,A,,故BD⊥AA, 由于AA,∥BB,则BD⊥BB,所以四边形BDD,B,为矩形，正确； 选项C,因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以∠BAC=30°， 所以AC=2 ABcos330°=V5=CC,即△ACC,是等腰三角形， 又AC=AB+AD+AA, 所以AC=1+1+3+2×1xV5×,x2+2×1x1x号=V6+2W5, AC 所以coS∠CAC 5, 即∠C,AC≠30°，错误； AC 2 选孩D,者孤-西0，时 2 所以M,B,D,A四点共面，故点M在平面A,BD内，正确. 故选：ABD 10.在坐标系0xyz(0<0<π)中，x,y,z轴两两之间的夹角均为0，向量i,j,k分别是与x,y,z轴的正方 向同向的单位向量.空间向量ā=xi+万+zk(x,y,z∈R),记ā。=(x,y,z),则() A.若。=(x,y,2,瓦=(52，)，则（ā-b)。=(x-x,4-2,- B.若ag=(x1,y1,),b=(x2,2,22),则b=xx2+月y2+z22 C.若01=(00,2,0B=(0,20),0C号=(2,00，则三棱锥0-A8c的体积为22 D.若a=(a,a0),6,=(00,b,且ab≠0，则a,6夹角的余弦值的最大值为 3 【答案】ACD 9/22 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A,由ā=(x1,y1,),b。=(2,2,22),得=x,i+y1j+zk,b=xi+y2j+z2k,所以 a-b=(x-x)i+(y-2)j+(名-22)k,则（ā-b)n=(x-x2,y-y2,-22).故A正确； 对于B,ā6=(xi+j+2)x,i+y2j+zk)=xx,2+xy,i…j+x2i.k+x2ji +yy2+y+ =,x2+xy2C0s0+x,22C0s0+y1x2C0s0+y1y2+y,22C0s0+Zx2C0s0+21y2C0s0+2122 =x1x2+y1y2+z122+(x1y2+x22+y1x2+12+z1x2+21y2)c0s0.故B不正确 对于C,由题意知三棱锥0-ABC是棱长为2的正四面体， 、2 则该四面体的高为h 2 -2v6 3 3 所以三棱能0BC的积为，××2x526-22,故C止确 33 D B 对于D,由a:=(a,a,0,万=(0,0，b), 得a=ai+aj,6=b成，a-i=(ai+aj)-bf=b+)ab=ab, 2 la=Na"=M(ai+aj)=a72+2a7.j+a'j"=Va'+a'+a'=3a, 6=厉-VbMy=b, 5 ,ab>0, 所以cosa,=a-6 ab 3 6 √3abl v3 ,ab<0, 则ā，6夹角的余弦值的最大值为 3 ,故D正确 故选：ACD 11.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，点P满足BP=1BC+uBB,且0≤元≤1,0≤u≤1，则下列说 10/22 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D．0 2．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 3．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 5．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 6．如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 8．已知正方体的棱长为1，点E为线段上的动点（不含端点），则当三棱锥外接球半径最小时，AE的长为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（    ） A． B．四边形为矩形 C． D．如果，那么点M在平面内 10．在坐标系中，，，轴两两之间的夹角均为，向量分别是与轴的正方向同向的单位向量．空间向量，记，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则三棱锥的体积为 D．若，，且，则夹角的余弦值的最大值为 11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知空间向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积为 13．如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则 . 14．在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以，为邻边的平行四边形的面积． 16．（15分）如图，正方体的棱长为2，点是棱上的动点. (1)求三棱锥的体积； (2)当为中点时，求过点且与垂直的平面截正方体的截面面积. 17．（15分）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．（用空间向量法解决） (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知四边形为直角梯形，其中，，，，为垂足（如图1）.将沿折起，使点移至点的位置，得到四棱锥（如图2），且满足，点分别为的中点.      (1)证明：平面平面； (2)若平面，试问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $