第二十一章 一元二次方程（B卷）单元测试 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 大单元检测卷B卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.每年8月8日是我国全民健身日，据有关部分统计，某市民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列出方程为( ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程时，配方正确的方程是( ) A. B. C. D. 4.对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的方程的解是( ) A. B. C.， D.， 5.已知a，b是方程的两个根，则代数式的值为( ) A.11 B.-1 C.23 D.24 6.已知关于x的方程的解是，（a，b，c均为常数，且），那么方程的解是( ) A.， B.， C.， D.无法求解 7.在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根.若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为( ) A.8 B.5 C.2.5 D. 8.定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则x的值是( ) A.5 B.5或 C.-1或 D.5或 9.已知关于x的一元二次方程M为、N为，则下列结论：①如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；②如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；③如果方程M与方程N有一个相同的根，那么这个根必是.其中正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 10.若关于x的一元二次方程的两个根为，，且.下列说法正确的个数为( ) ①； ②，； ③； ④关于x的一元二次方程的两个根为，. A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.已知，则的值为______ 12.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为______. 13.如图，已知点，点A，点C分别在x轴，y轴正半轴上运动，且，当时，求A点坐标_______. 14.若关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是______. 15.若关于x的一元二次方程的唯一实数根也是关于x的一元二次方程的根，则关于x的方程的根为____. 三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16.（8分）如果关于x的一元二次方有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，.则方程是“邻根方程”. (1)解方程，并判断此方程是否是邻根方程； (2)关于x的方程（m是常数）是邻根方程，求m的值. 17.（8分）解下列一元二次方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） (3)；（因式分解法） (4).（方法自选） 18.（10分）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业.某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情.已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 700 500 … (1)根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围. (2)若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价. (3)销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由. 19.（10分）已知关于x的方程. (1)求证：对于任意的k，该方程总有两个实数根. (2)若等腰三角形的一边长为2，另外两边长为该方程的两个实数根，求k的值和三角形的周长. 20.（12分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0.请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 . (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值. 21.（12分）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数. (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，，且，求的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，，求的值. 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D C B C B A C 1.答案：C 解析：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴. 故选：C. 2.答案：A 解析：∵第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，周平均增长率为x， ∴. 故选：A. 3.答案：D 解析： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D. 4.答案：D 解析：∵， ∴， 整理得：， 解得：，. 故选：D 5.答案：C 解析：∵a，b是方程的两个根， ∴，，即，， ∴ . 故选：C 6.答案：B 解析：∵，是方程的解， ∴令，，满足方程，即. ∴，， ∴方程的解是，， 故选：B 7.答案：C 解析：由题意知，.在中，，，.，，即，，解得或，经检验，是原方程的解，且符合题意.故选C. 8.答案：B 解析：表示a，b中的较大值，， 当时，，， ， 解得或（，舍去）. 当时，，， ， 解得或（，舍去）. 综上，可得若， 则x的值是5或. 故选：B. 9.答案：A 解析：①如果5是方程M的一个根，那么，方程两边同时除以25， 得，即， 所以是方程N的一个根，故①正确，符合题意； ②如果方程M有两个不相等的实数根，那么， 所以方程N也有两个不相等的实数根，故②正确，符合题意； ③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么， 解得：，故③错误，不符合题意； 故选A. 10.答案：C 解析：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确. 故选：C. 11.答案：1 解析：设，则原方程可化为， 整理得， 解得（舍去）或， ， 故答案为：1. 12.答案： 解析：∵关于x的方程中，，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即： ∴实数k的取值范围为. 故答案为：. 13.答案：或. 解析：如图，过B作轴于H， ∵，设， 而，， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或. 14.答案：-2 解析：设，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵关于x的一元二次方程的两根互为相反数， ∴， 解得：或， ∵两根互为相反数， ∴， ∴两根之积是-2， 故答案为：-2 15.答案：， 解析：关于x的一元二次方程有唯一实数根， ，解得， 是一元二次方程， ， ，则化为，解得， ，解得， 可化为，即，因式分解得，解得，， 故答案为：，. 16.答案：(1)是； (2)或 解析：(1)解方程得：，， ∵3比2大1， ∴方程是“邻根方程”； (2)∵， ∴， ∴， ∵方程（m是常数）是邻根方程， ∴或 ∴或 17.答案：(1)， (2)， (3) ， (4)，； 解析：(1)， ， ， ， ， 解得：，； (2)， ，，， ， ， ，； (3)， ， ， ， 解得，； (4)， ， ， ， ， 解得：， 18.答案：(1) (2)销售单价为20元/本 (3)销售该书每天的利润不能达到9000元，理由见解析 解析：(1)设y关于x的函数关系式为. 由题意得， 解得. ∴y关于x的函数关系式为； (2)依题意得， 整理得， 解得，. ∵， ∴. ∴若销售该书每天的利润为6000元，则该书的销售单价为20元/本； (3)不能. 理由如下：依题意得， 整理得. ∵， ∴该方程没有实数根， ∴销售该书每天的利润不能达到9000元. 19.答案：(1)证明见解析 (2)5；5 解析：(1)证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴对于任意的k，该方程总有两个实数根； (2)当腰长为2时，则是方程的一个解， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得或， ∴底边长为1， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴三角形的周长为； 当底边长为2时，则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴腰长为1， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，，三角形的周长为5. 20.答案：(1) (2) (3) 解析：(1)方程的倒方程是； (2)由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ (3)由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∴ ； 21.答案：(1) (2)2 (3)0 解析：(1)依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为. (2)∵， ∴， 则. 又∵， ∴a，是一元二次方程的两个根， 则， ∴. (3)∵，； ∴； 即； ∴. 又∵； ∴； 即. ∵p，q为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴. 又∵， ∴， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $