第14章 全等三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

第14章 全等三角形 【考点1】全等图形的定义 【考点2】全等三角形的性质 【考点3】全等三角形的判定 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【考点5】全等三角形的应用 【考点6】角平分线的性质 【考点7】角平分线的判定与性质综合 【考点8】角平分线与中线巧算面积 知识点 1： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点2：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 知识点3： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点4 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点 5 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点6 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 【考点1】全等图形的定义 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023八年级上·江苏·专题练习）全等图形是指两个图形（    ） A．面积相等 B．形状一样 C．能完全重合 D．周长相同 【考点2】全等三角形的性质 1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知，若，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，则度数为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）下列说法正确的是（   ） A．面积相等的两个三角形一定全等 B．全等三角形的面积一定相等 C．三角形的一个外角大于它的任意一个内角 D．三角形的一个外角大于与它相邻的内角 5．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，若，且，，则的长是（   ） A．5 B．7 C．12 D．17 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知线段，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，速度为，N点从B点向D运动，速度为，M，N同时从点B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ） A． B．或 C． D．或 【考点3】全等三角形的判定 1．（八年级下·全国·课后作业）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 1．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，已知：，，，，、交于点F，、交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,． (1)求证：． (2)求证：． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作 ，垂足为，过作 ，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 5．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，在和中，，，是中点，，垂足为点． (1)试说明：； (2)若，求的长． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，于点D，于点E，与交于点O． (1)试说明：； (2)试说明：； (3)若，求的长． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点D在的延长线上，且．过点B作，与的垂线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 9．（24-25七年级下·四川雅安·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【考点5】全等三角形的应用 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 4．（八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽；那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【考点6】角平分线的性质 1．（21-22八年级上·云南曲靖·期中）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（      ）． A．三个内角角平分线的交点 B．三条高线交点 C．三条中线的交点 D．三条中垂线的交点 2．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 3．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为 ． 4．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，平分交于点为的中点，已知，则 ． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，．若，，则 ． 【考点7】角平分线的判定与性质综合 1．（24-25八年级上·浙江·期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理． 【理解定理】 （1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____； 【问题解决】 （2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且 ．求和的面积和． 2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． (1)求证：为的平分线． (2)求证：． 3．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 5．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 6．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 7．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【考点8】角平分线与中线巧算面积 1．（八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，平分，于点，，，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 【考点1】全等图形的定义 【考点2】全等三角形的性质 【考点3】全等三角形的判定 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【考点5】全等三角形的应用 【考点6】角平分线的性质 【考点7】角平分线的判定与性质综合 【考点8】角平分线与中线巧算面积 知识点 1： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点2：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 知识点3： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点4 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点 5 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点6 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 【考点1】全等图形的定义 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意； B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意； C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意； D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（2023八年级上·江苏·专题练习）全等图形是指两个图形（    ） A．面积相等 B．形状一样 C．能完全重合 D．周长相同 【答案】C 【分析】利用全等图形的定义可得答案． 【详解】解：全等图形是指两个图形能完全重合． 故选：C． 【点睛】本题考查全等图形的概念，理解概念是解答的关键． 【考点2】全等三角形的性质 1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知，若，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，则度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，先由三角形内角和定理求出的度数，再由全等三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，由，得，再根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）下列说法正确的是（   ） A．面积相等的两个三角形一定全等 B．全等三角形的面积一定相等 C．三角形的一个外角大于它的任意一个内角 D．三角形的一个外角大于与它相邻的内角 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的定义及性质，根据全等三角形的性质，三角形的外角与三角的内角的关系逐一判断即可求解，熟练掌握全等三角形的性质，三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：、面积相等的两个三角形不一定全等，原选项错误，不符合题意； 、全等三角形的面积一定相等，原选项正确，符合题意； 、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，原选项错误，不符合题意； 、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项错误，不符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，若，且，，则的长是（   ） A．5 B．7 C．12 D．17 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据得，，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， 故选：B ． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知线段，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，速度为，N点从B点向D运动，速度为，M，N同时从点B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，设运动时间为，则，，，再根据全等三角形得到对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设运动时间为，则，，， 当时，，，解得，此时； 当时，，，解得，此时； 故选：D． 【考点3】全等三角形的判定 1．（八年级下·全国·课后作业）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 4．（八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 若要用证明，则需要添加条件， 故选：． 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 1．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，已知：，，，，、交于点F，、交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明，得到，进而推出； （2）利用证明，得到，再根据即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解： ， . 又，， . 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定（、）、角平分线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造辅助线（延长线段、作垂线）创造全等三角形的条件，利用角度关系推导垂直和线段相等． （1）通过延长与交于点，利用已知和，根据三角形外角性质（或内角和定理）计算出，从而证明； （2）先作于，结合已知角度和对顶角相等推出，再利用和直角条件证明（）得；接着根据角平分线性质和角度计算得出，再推导，最后用证明，从而得出． 【详解】（1）证明：延长相交于H． ∵， ∴． ∴． （2）过A作于G． ∵， ∴即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴平分， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，而， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作 ，垂足为，过作 ，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 5．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，在和中，，，是中点，，垂足为点． (1)试说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． （1）先证明，即可证明； （2）由，得到，，由是中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ， ，， 是中点， ， ， ， ， 即的长为． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，于点D，于点E，与交于点O． (1)试说明：； (2)试说明：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由角角边即可证明； （2）由得，利用角边角即可证明； （3）由得，而，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ 在与中 ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 即； ∵， ∴； （3）解：∵， ∴； ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见解析（4），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）如图2，延长至点F，使，连接，同理得，则，证明，即可得结论； （4）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点D在的延长线上，且．过点B作，与的垂线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）由题意得，，利用等量代换得，即可得证； （2）由（1）得，，从而得，，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴，， ∵． 9．（24-25七年级下·四川雅安·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出； （2）延长到，使，连接，证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接，        ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 【考点5】全等三角形的应用 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图，可知：，结合，利用证明，即可． 【详解】解：由题意，可知：， 又∵， ∴， ∴，即：射线即是的平分线； 故依据为； 故选B． 2．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，，由全等三角形的性质可得结果，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在与中， ∴， ∴（米）， 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，可以确定唯一三角形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以组成两个完整的角和两个角的夹边，根据，可以确定唯一三角形，符合题意；其他组合均不能得到唯一三角形， 故选D． 4．（八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，可以通过画出与书上完全一样的三角形， 故选：A． 5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽；那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形判定方法的应用．由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， 故选：A． 【考点6】角平分线的性质 1．（八年级上·云南曲靖·期中）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（      ）． A．三个内角角平分线的交点 B．三条高线交点 C．三条中线的交点 D．三条中垂线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得到答案． 【详解】解：三角形三个内角平分线交于一点，该点到三边的距离相等． 故选：A． 2．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定， 作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可． 【详解】解：过点D作，于点H， ∵是的角平分线，， ∴． 在和中， ， ∴， 同理． 设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得 ， 解得， 所以的面积是11． 故选：A． 3．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得点D到的距离等于，根据已知求得即可． 【详解】解：∵，平分， ∴点D到的距离等于， ∵，， ∴， ∴点D到的距离是4． 故答案为：4． 4．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是5， 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵射线是的角平分线，， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，平分交于点为的中点，已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形中线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的中线及三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于，于， 平分， 为的中点，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作于点，角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作于点， ∵平分 ∴， ∴的面积是； 故答案为：3． 【考点7】角平分线的判定与性质综合 1．（24-25八年级上·浙江·期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理． 【理解定理】 （1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____； 【问题解决】 （2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且 ．求和的面积和． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理，即可得证； （2）过作于，过作于，证明，得到即可； （3）连接，过作于，于，进而证明，，可证，得到∶，，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：平分，于，于， ， ， ； 故答案为：1； （2）证明：过作于，过作于， ，， ， ，， ， ， 平分； （3）连接，过作于，于， ，为的中点， ，平分，， ，，平分， ， ，，， ， ， 和中， ， ， ， 由，可得：， ，即， ， ， 和的面积和 的面积． 2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． (1)求证：为的平分线． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质性质，三角形外角的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）过点作，，，根据角平分线的性质，得出，即可证明结论； （2）由三角形外角的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，再结合，即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作，，， 分别是外角和的平分线， ，， ， ，， 为的平分线； （2）解：是的外角，是的外角， ，， 分别是外角和的平分线， ，， ， 为的平分线， ， ． 3.（24-25八年级上·天津·期中）如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出辅助线是解题的关键； （1）过点作，根据角平分线的性质可得，先根据证，再根据证明，即可证明； （2）由（1）可知，则，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作， 平分，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：10． 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 5．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于，于，由题意可得平分，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）设，由（1）得：，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于，于，如图： ， 平分， 又，， ， 平分的平分线，，， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 7．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)20 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，继续证明得到，即可得出结论； （2）根据，求出梯形与的面积即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 【考点8】角平分线与中线巧算面积 1．（八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，平分，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】延长交于点，利用角平分线的性质，垂直易得到，进而得到，，结合图形可知和是分别以和为底边，高相等的两个三角形，进而得到，然后利用来求解． 【详解】解：延长交于点，如图 平分，， ，． 在和中 ， ， ， ． 和是分别以和为底边，高相等的两个三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $