专题04 等腰三角形（26大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题04 等腰三角形 题型1 根据等腰三角形的定义判断 题型14根据线段垂直平分线的性质求周长 题型2 等腰三角形的中线问题（常考题） 题型15 根据线段垂直平分线的性质求角度 题型3 根据“等边对等角”求角度 题型16垂直平分线与尺规作图综合 题型4“等边对等角”与三角形外角综合（重点题） 题型17 垂直平分线最值之线段和问题（提高题） 题型5 “等边对等角”中需要讨论的题型（提高题） 题型18 垂直平分线最值之周长问题（提高题） 题型6 “三线合一”实际应用 题型19 垂直平分线的判定综合 题型7 利用“三线合一”判断选项是否正确 题型20 根据角平分线的性质求角度 题型8 利用“三线合一”求线段角度 题型21 根据角平分线的性质求长度 题型9 等腰三角形的性质综合（解答题） 题型22 根据角平分线的性质求面积 题型10 格点中画等腰三角形 题型23 角平分线与尺规作图 题型11 根据“等角对等边”求边长 题型24 角平分线中最值问题（提高题） 题型12 等边三角形的性质相关求解 题型25 角平分线的实际应用 题型13 等腰三角形的性质和判定综合（常考题） 题型26角平分线的判定综合 题型一 根据等腰三角形的定义判断（共4小题） 1．(24-25八上·浙江湖州南浔区新东方·期中)在长度分别是的五根小棒中任选三根，共能围成（   ）种不同形状的等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟记三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义即可得． 【详解】解： ①选三根木棒，，满足三角形的三边关系且能围成等腰三角形； ②选三根木棒，，不满足三角形的三边关系，即不能围成三角形； ③选三根木棒，，满足三角形的三边关系且能围成等腰三角形； ④选三根木棒，，满足三角形的三边关系且能围成等腰三角形； 即有3种不同的围法， 故选：B． 2．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为（    ）． A．3 B．6 C．3或6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为或， 当第三条边为时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为时，此时能构成三角形，则三边分别为，，，底边长为， 综上所述，以、为边的等腰三角形的底边长为， 故选：A． 3．(24-25八下·河南郑州第二实验中学·期中)的三边、、满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的应用；等式左边因式分解得，因为，所以，从而判定是等腰三角形． 【详解】解： ∵ ∴ 即：， ∴是等腰三角形， 故选：A． 4．(24-25八下·黑龙江绥化北林区绥化第十中学·期中)等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．3cm B． C．3cm或4cm D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，分两种情况讨论：当为腰长或底边长，分别计算另一边的长度并验证是否满足三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时： 另一腰长也为，底边长为周长减去两腰之和，即： 此时三边为、、，验证三边关系：符合题意； 满足条件，故腰长为； 当为底边长时： 两腰之和为周长减去底边，即： 每边腰长为：， 此时三边为、、，验证三边关系：符合题意； 满足条件，故腰长为； 综上，腰长可能为或，对应选项C； 故选：C 题型二 等腰三角形的中线问题（共4小题） 1．(24-25七下·宁夏银川外国语实验学校·期中)已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，是的中线，，的周长比的周长大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的概念，熟记三角形的中线与一边的交点平分这条边是解题的关键；借助三角形周长公式以及中线的概念(三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线)得到线段与之间的关系即，从而问题得以解决. 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，，， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，中，，D是的中点，，的周长比的周长长2，求的周长． 【答案】28 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、与三角形的中线有关的计算，由题意可得，再结合的周长比的周长长2，求出，最后再利用三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵的周长比的周长长2， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 4．(24-25八上·吉林长春长春力旺实验初级中学·期中)已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 【答案】的长为，的长度为 【分析】此题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质．首先根据三角形中线的概念得到，然后根据的周长比的周长大，得到，由的周长为，且，得到，联立方程组即可求解． 【详解】解：是中线， ， ， ， ， ，且， ， 联立， ， 答：三角形中的长为的长度为． 题型三 根据“等边对等角”求角度（共4小题） 1．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，点是边上一点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形内角和定理，等边对等角求角度，由及三角形内角和求出的度数，再利用等边对等角求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 2．(24-25九上·贵州遵义校联考·期中)如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质及等边对等角．由旋转的性质可知，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理得出即可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到，， ∴，旋转角为， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是． 故选：C． 3．(24-25八上·陕西西安灞桥区滨河学校·期中)如图，已知，点在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质定理，解题的关键是掌握并熟练应用相关性质定理．先根据全等三角形的性质得到，再证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴； 故选：B． 4．(24-25八上·福建福州鼓楼区立志中学·期中)如图，中，是的中线，点在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形三线合一性质得到是中的角平分线，从而求出的度数，再由等边对等角得，然后由三角形内角和定理求出，再由邻补角求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， 是中的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形三线合一性质、角平分线定义、等边对等角、三角形内角和定理、邻补角定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 题型四 “等边对等角”与三角形外角综合（共4小题） 1．(24-25八上·广东揭阳华美实验学校·期中)如图，在中，，延长到点，使，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质等知识，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 故选：A． 2．(24-25八上·浙江宁波北仑区五校联考·期中)如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 ． 【答案】50 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，逐步推导得出角度．此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用． 【详解】解：，，，， ，，，， ， ， ， ． 故答案为：50． 3．(24-25八下·黑龙江绥化第四中学校·期中)如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角度数是 ． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质求得的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出的度数，找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中， 是的外角， 同理得， 第个三角形中以为顶点的底角度数是 第2023个三角形的底角度数是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4．(24-25八上·湖北孝感云梦县·期中)如图，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和及外角形，等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键，由，得，，，结合三角形的外角性质得，进而利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ 故答案为： 5．(24-25八上·江苏兴化顾庄学区三校·月考)如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管 根． 【答案】8 【分析】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解． 【详解】∵添加的钢管长度都与相等，， ∴， 从图中我们会发现有好几个等腰三角形， 即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是，第八个是，第九个是就不存在了． 所以一共有8个． 故答案为：8． 题型五 “等边对等角”中需要讨论的题型（共4小题） 1．(24-25八上·广东汕头·期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时， 则顶角为； 如图，当顶角为锐角时， 则顶角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 2．(24-25八下·山东青岛南区琴岛学校·期中)如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．根据等边对等角可得：，再由三角形内角和定理求得，求得，然后分三种况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 3．(24-25七下·江苏苏州中学园区校·期中)如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 4．(24-25八下·辽宁阜新第四中学·期中)已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质（三线合一、等腰三角形两底角相等），熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论为等腰三角形的各种情况是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一得出度数和，再分三种情况讨论为等腰三角形时的度数． 【详解】解：，是边上的中线， 平分，（等腰三角形三线合一）． ， ，． 情况一：当时 ，， ． ， ． 情况二：当时 ，， ，则． ，此时，不符合，舍去． 情况三：当时 ，， ． ， ． 综上，的度数是或． 故答案为：或 ． 题型六 “三线合一”实际应用（共4小题） 1．(24-25八下·河南郑州桐柏一中·期中)墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点D处挂了一个重锤．陈老师将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，也是边上的高，即，即这根木条是水平的，据此即可解答． 【详解】解：∵在三角测平架中，， ∴为等腰的底边上的高， 又∵自然下垂， ∴处于水平位置． ∴等腰三角形底边上的中线就是底边上的高． 故选C． 2．(24-25八上·河南周口沈丘县中英文学校·期中)如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形的三线合一 C．垂线段最短 D．是的垂直平分线 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵ ∴， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 3．(24-25八上·山西晋中灵石县·期中)如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等 ．    【答案】 【分析】根据勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线重合． 题型七 利用“三线合一”判断选项是否正确（共3小题） 1.如图，中，，是角平分线，点是上一点，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．根据等腰三角形的三线合一可得，，则选项A和C正确；先求出，再根据定理可得，则选项B正确；根据不一定是的角平分线可得与不一定相等，则选项D错误． 【详解】解：∵在中，，是角平分线， ∴，（等腰三角形的三线合一），则选项A和C正确，不符合题意； ∴， 在和中， ， ∴，则选项B正确，不符合题意； ∵点是上一点，不一定是的角平分线， ∴与不一定相等，则选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．(24-25八上·浙江湖州安吉县·期中)如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 3．(24-25八上·山东滨州滨城区滨城区教学研究室·期中)如图，已知为等腰三角形，，点、、分别为各边中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．⊥EF 【答案】C 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识．由，点是的中点，根据等腰三角形的“三线合一”证明，则，，所以，可判断A正确；由、分别为、的中点，根据三角形的中位线定理得，可判断B正确；再证明，，，则，可判断C错误；由，，，可证明四边形是菱形，得，可判断D正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，点是的中点， ，， ， ，， ，故A正确； 、分别为、的中点， 是的中位线， ，故B正确； ， ， ，， ， 在和中， ， ， 同理， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，故C错误； ，，， ， 四边形是菱形， ，故D正确， 故选：C． 题型八 利用“三线合一”求线段和角度（共4小题） 1．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，于，且，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 【详解】解：过点A作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 2．(24-25八下·陕西西安高陵区第四中学·期中)如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 3．(24-25八上·福建莆田城厢区砺成中学·期中)如图，在中，，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三线合一，三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是合理利用三线合一；先根据三线合一得到是等腰顶角的角平分线，运用等边对等角和三角形内角和即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型九 等腰三角形的性质综合（解答题）（共4小题） 1．(24-25八上·湖南张家界慈利县·期中)如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）根据题中条件，利用“HL”判定； （2）由等腰三角形的性质，求出，利用（1）的结论， 可得，再由求解即可． 【详解】（1）， ， ， 又， ， ． （2），， ， ， 由（1）知，，可得， ． 2．如图，在中，D为边上一点，， (1)若平分，求证：； (2)若三等分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （1）根据等边对等角得出，，继而得出，根据已知得出，则，根据等角对等边即可证得结论； （2）根据等边对等角得出，，继而得出，根据已知得出，根据等角对等边即可证得是等边三角形，从而求得的度数． 【详解】（1）证明：， ，， ， 平分， 即， ， ， ； （2）， ，， ， ∵三等分 ， ， 是等边三角形， ． 3．(24-25八上·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在等腰中，，于点，于点，，与相交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）先证明，再由由证明即可； （2）由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 4．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，，．，点，，分别在的，，边上． (1)求证：． (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解决此题的关键是合理运用外角的性质； （1）先根据等腰三角形的性质得到底角相等，再根据全等三角形的判定得到，根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）根据外角的性质和角的和差问题得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可得到答案； 【详解】（1）解：证明：∵ ∴ 在和中 ∴ ∴； （2）解：由（1）知 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 题型十 格点中画等腰三角形（共3小题） 1．(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (2)在图②中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (3)在图③中以线段为边画一个等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】题考查了格点作图，等腰三角形的性质，三角形的面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）取格点，连接，则底为，高为的面积为6； （2）取格点，连接，则底为，高为的面积为6； （3）取格点，连接，根据网格知识可得为等腰直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，即为所求， 2．(23-24九下·黑龙江哈尔滨道里区·月考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)画出等腰直角三角形，点在方格纸上的格点上，； (2)画出等腰三角形，点在方格纸上的格点上，的面积为6，连接，直接写出的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查网格中作等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，是以，为腰，以为斜边的等腰直角三角形，作交于点E即可； （2）分类讨论：分别以为腰，以为底，三种情况进行画图分析，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 是以，为腰，以为斜边的等腰直角三角形， , 解得：， ，且点在方格纸上的格点上， 等腰直角三角形如图所示： （2）解：依题意，, ①取，连接，如图所示， ， 取的中点N，过点N作，交于点G， 根据格点的特点， 点G为的中点，连接， ， ， ， ， 故不符合题意， ②取连接，如图所示， ，， 取的中点Q，作交于点G， 根据格点的特点，， 点G为的中点，连接， ， ， ， ， 符合题意，符号题意，且点F在格点上， 连接， ， ③以为底，作的垂直平分线，如图所示， 不符合题意， 等腰三角形如图所示， ． 3．(24-25八上·江苏镇江京口区·期中)认识“”． (1)在图1网格中用无刻度的直尺以已知线段为边画一个的角； (2)用圆规和无刻度直尺作图：作；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图2，四边形是正方形，点E为边上一点，正方形内部画，另一边与边交于点F，把绕着点A顺时针转． ①用直尺和圆规作出旋转后的； ②判断所画图形中有无轴对称图形（不包含原正方形），用阴影把轴对称图形标记出来； ③若上图中正方形边长为12，面积为24，则长度是 ， ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析  ②见解析  ③10；2 【分析】本题考查了正方形的对称性，轴对称图形的定义，完全平方公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）利用网格作等腰直角三角形； （2）作直角的平分线即可； （3）①根据画旋转步骤作出图形； ②观察得出结果； ③根据②中的轴对称图形是正方形的面积减去三角形的面积，进而得出的长，设，，可表示出和，从而根据三角形的面积列出方程，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 作等腰直角三角形，； （2）解：如图2， （Ⅰ）作的垂直平分线， （Ⅱ）作的平分线， 则； （3）解：①如图3， 作，截取，连接， 则就是求作的图形； ②由作图知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是轴对称图形, 如图3，四边形是轴对称图形； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：10，2； 题型十一 根据“等角对等边”求边长（共4小题） 1．(24-25八下·陕西榆林第七中学·期中)如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B． 2．(24-25八上·广东广州番禺区化龙中学·期中)如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 3．(24-25八下·陕西榆林第七中学·期中)如图，在四边形中，，连接，平分，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，则有，再利用等角对等边即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 4．(24-25八上·海南直辖县级行政单位定安县·期中)如图，在平行四边形中，平分，交边于，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，等角对等边． 根据平行四边形的性质推出，根据角平分线的性质得出，则，即可得出，最后根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 题型十二 等边三角形的性质相关求解（共4小题） 1．(24-25八下·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质．由旋转的性质及，可得是等边三角形，从而，则由．计算即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点A按顺时针旋转一定角度得到， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．(23-24九上·广东江门新会第二中学·期中)如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题围绕图形旋转，结合等腰直角三角形、等边三角形的性质，通过连接辅助线 ，利用角的和差关系求解的度数．解题思路为：先由旋转性质得出且，判定为等边三角形；再结合是等腰直角三角形，求出相关角的度数，最终通过角的组合算出 ． 【详解】解：连接， 绕点逆时针旋转得到 ， 是等边三角形 ， 在中，， 是等腰直角三角形 ∵，，， ∴（） ∴ ∴ 故选： ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定及性质，等边三角形和等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握旋转前后图形的对应关系，以及特殊三角形的角度、边长性质，通过连接辅助线、，构建角的和差关系是解题关键． 3．(24-25八下·江西景德镇乐平·期中)如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质．由旋转的性质可得可证△ABE是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 4．(24-25八下·陕西安康·期中)如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（　　） A．19 B．22 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定及性质；由平移的性质得，，，由等边三角形的判定得是等边三角形，即可求解；掌握平移的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得： ， ， ， ， 是等边三角形， 的周长为： ， 故选：C． 题型十三 等腰三角形的性质和判定综合（共4小题） 1．如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，再由，可得，可证明，即可； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而得到，再由全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质得：， ， ， ，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 2．(24-25八上·河南信阳淮滨县台头乡初级中学·期中)如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形 (3)125或140或110 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解； （3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时；分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：当时，的形状为直角三角形， ∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 故答案为：直角三角形； （3）解：∵是等边三角形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形． 故答案为：125或140或110． 3．（1）如图，在中，，，点 在的延长线上，且，点在 的延长线上，且 ，求 的度数； （2）若把（1）中“”的条件去掉，其余条件不变，则 的度数会改变吗?请说明理由； （3）若把（2）中“”的条件改为“”，其余条件不变，则 与之间的数量关系为 ． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰三角形性质及三角形内角和定理应用、三角形外角性质，牢记性质是解题关键， （1）根据等边对等角及三角形内角和定理即可解决； （2）根据（1）的方法，结合等边对等角及外角性质解决； （3）根据等边对等角、三角形外角性质及三角形内角和定理即可解决． 【详解】解：（1），， ， ，， ，， ； （2）不变，． 理由如下：， ， ，， ，， ， ； （3），， ，， ， ． 故答案为：． 4．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形． （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数； （3）可证是等边三角形，可得，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ∴， ， 是等腰三角形； （2）， ， ， ， ， ； （3），， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 题型十四 根据线段垂直平分线的性质求周长（共4小题） 1．在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于E，G两点，连接，，若，则的周长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和三角形周长求法，掌握垂直平分线性质是解决本题的关键． 根据垂直平分线性质得，将的周长转化成长度即可． 【详解】解： ，分别是边，的垂直平分线， ， ， 又 ， 的周长为8． 故答案为：8． 2．(24-25八上·贵州毕节金沙县第四中学·期中)如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．12 B．8 C．15 D．13 【答案】D 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，进而可得，即可求解． 【详解】解： 是的垂直平分线， ， ， 故选：D． 3．(23-24八上·山东菏泽曹县·期中)如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 4．(24-25八下·四川成都锦江区师一学校·期中)如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答． 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：D 题型十五 根据线段垂直平分线的性质求角度（共4小题） 1．(24-25八下·江西景德镇乐平·期中)如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 2．(24-25八上·浙江杭州西湖区保俶塔实验学校·期中)如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连接，延长交于D， ， ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，， ， 故选：A． 3．(24-25八上·山东济南长清区·期末)如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的垂直平分线交于点D，垂足为点E，得到，继而得到，根据平分，，再根据三角形内角和定理解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为点E，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 4．(23-24八下·广东揭阳华美实验学校·期中)如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点．，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角定义，解题的关键在于熟练掌握线段的垂直平分线性质． 根据线段垂直平分线性质可推出，通过直角三角形性质和三角形外角定义即可求出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 题型十六 垂直平分线与尺规作图综合（共4小题） 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．先判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：A． 2．(2024·黑龙江省哈尔滨市·中考真题)如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 3．(24-25八下·山西运城平陆县部分学校·期中)如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，连接分别交、于点D、E，连接．下列说法正确的是（   ） A．若，且，则的大小为 B．若，且，则的大小为 C．若，的周长为8，则的周长为13 D．若，的周长为8，则的周长为13 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，从而得出，，，根据等边对等角的性质和三角形外角的性质可判断A、B选项；根据垂直平分线的性质可判断C、D选项． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ，， ， ，且， ， ， ，A、B选项错误； 的周长为8， ， ， 的周长，C选项正确； ， ， 的周长，D选项错误； 故选：C． 4．(24-25八上·江苏南京玄武四校·期中)如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（   ） A．14 B．15 C．17 D．23 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：C 题型十七 垂直平分线最值之线段和问题（共4小题） 1．(24-25上·福建福建厦门第一中学·期中)如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】度/ 【分析】连接，先证明 ，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小， 过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 2．(24-25八上·江苏徐州贾汪区塔山中学·期中)如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，两点之间线段最短， 先连接，先说明，将转化为，再根据两点之间线段最短说明的最小值，然后三角形的面积相等求出答案即可. 【详解】解：连接，交于点， ∵是等边三角形，且是高线， ∴垂直平分，, ∴. 即， 当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小， ∵是等边三角形，点E是边的中点， ∴是的高线. ∵，且， ∴， ∴最小值为7. 故答案为：7. 3．(24-25八下·江西九江湖口县·期中)如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质等知识；连接，过点C作于点F，则易得，当点C，P，E共线且与重合时，取得最小值，利用面积关系可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点F； ∵，D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， 当点C，P，E三点共线且与重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴； 故答案为：． 4．(24-25八·苏科版·月考)如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 【答案】7 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点D为边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为7． 故答案为7． 题型十八 垂直平分线最值之周长问题（共4小题） 1．(24-25八上·广东江门新会区尚雅学校·月考)如图，在面积为24的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质． 如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵的面积为 24， ， ， ∵垂直平分， ， ∵为直线上一动点， ， ， ， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 3．(23-24八上·浙江杭州萧山区·期中)如图，在中，，，，垂直平分，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，先根据勾股定理求出的长，根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值，求出长度即可得到结论，解题的关键是找出的位置． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴关于对称， 设交于， ∴当和重合时，的值最小， ∴周长的最小值是， 故答案为：． 4．(24-25八上·河北唐山丰南区·期中)如图，在中，，．边的垂直平分线分别交边于点D、E，P为直线上一点，若，则．周长的最小值为 ．    【答案】12 【分析】由题意可知当点与点重合时，的值最小，则可求周长的最小值为. 【详解】∵是的垂直平分线， ∴点与点关于对称， ∴, ∵, ∴当点与点重合时，的值最小， ∵, ∴, ∴周长的最小值为, ∴周长的最小值为, 故答案为: . 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键. 题型十九 垂直平分线的判定综合（共4小题） 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 2．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求证； （2）连接，由（1）可知垂直平分，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：连接，如图所示： ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，连接．请直接写出图2中四对全等的三角形． 【答案】(1)见详解 (2)，，， 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定及垂直平分线的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定及垂直平分线的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得垂直平分，然后问题可求证； （2）根据全等三角形的判定定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：图中全等三角形有：，，，；理由如下： ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 由（1）可知：， 在和中， ， ∴； 同理可得； ∵，， ∴，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．(24-25八上·河北邯郸邯山区创A扬帆初中学校·期中)如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 题型二十 根据角平分线的性质求角度（共4小题） 1．(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图，在中，，的平分线交于，平分交于，连接，于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题的关键．过D作交的延长线于M，于点N，先证明，，， 推导出，则，证明出平分，求出，由三角形的外角得到，即可解答． 【详解】解：过D作交的延长线于M，于点N，如图 ∵平分， ∴，， ， ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．(24-25八上·天津泰达中学·期中)如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．(25-26八上·广东珠海香洲区·开学考)如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 4．(24-25八下·陕西汉中多校联考·期中)如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 【答案】32.5 【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 题型二十一 根据角平分线的性质求长度（共4小题） 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工大附中·期中)如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，解关于的方程即可． 【详解】解： 为的平分线，于点E，于点F， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 3．(23-24八下·福建宁德霞浦县·期中)如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 4．(24-25八上·内蒙古包头固阳县·期末)如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 题型二十二 根据角平分线的性质求面积（共4小题） 1．(24-25八上·江苏南通如皋·期中)如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：过点O作于M，作于N，于D，连接，根据三角形面积可得，再根据角平分线的性质可得；然后根据角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，则，进而得到，即，最后根据的面积以及三角形的面积公式求解即可。 【详解】解：如图：过点O作于M，作于N，于D，连接， ∵，的面积是7， ∴,即，解得：， ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵在中，的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的面积． 故答案为：17． 2．(24-25七下·广东佛山南海区·期中)如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，关键是由角平分线的性质推出，判定， 推出． 由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到的面积，求出，判定，推出，求出，得到，即可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴的面积的面积的面积， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 3．如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 【详解】如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 4．(24-25八上·广东深圳福田区六校联考·期中)如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线，，相交于点，平分，已知，，的面积为2.5，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积为， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 题型二十三 角平分线与尺规作图（共3小题） 1．(24-25八下·广东揭阳揭西县·期中)如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 2．(24-25八下·河南郑州新郑·期中)如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由尺规作图的痕迹可得，平分，根据同角的余角相等，角平分线的性质，由于不是的垂直平分线，不能证明解答即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，故， 故C选项正确，不符合题意； 根据基本作图，得， 故， 故A选项正确，不符合题意； 根据题意，得， 故D选项正确，不符合题意； 无法证明，故无法证明， 故B选项错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，垂线的基本作图，角的平分线的性质定理，余角的性质，熟练掌握性质，正确理解作图是解题的关键． 3．(24-25八上·浙江温州知临中学·期中)如图， 在中，， 使． 再分别以点 D、E为圆心， 大于 ，两弧在内交于点F， 作射线交边于点 G， 若，， 则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查的是尺规作图，三角形的面积，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】如图，作于， 由尺规作图可知，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴的面积为∶． 故选：B． 题型二十四 角平分线中最值问题（共4小题） 1．如图，在中，，平分，交于点D，点M，N分别为，上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，首先连接，过点A作于点H，再根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点A作于点H，如图： ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 根据“垂线段最短”得：， 即当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为6，， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3 2．(24-25八上·四川宜宾叙州区叙州区龙文学校·期中)如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 3．(24-25八上·福建宁德福鼎第四中学·期中)如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， 点是射线上的动点， 当时，最小，最小值为的长， 的最小值为． 故答案为：5． 4．(24-25八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中)如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ． 【答案】6 【分析】由垂线段最短得，当时，线段的值最小，由等边对等角得，根据平行线的性质得 ，则平分，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：由垂线段最短得，当时，线段的值最小， ∵， ， ， ， ∴，即平分， ∵，当时，线段的值最小， ∴线段的最小值是：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查平行线的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质以及垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键． 题型二十五 角平分线的实际应用（共3小题） 1．(23-24八上·湖北武汉武珞路中学·期中)如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 2．(24-25八下·辽宁沈阳法库县·期中)如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 3．(24-25八上·山东滨州无棣县·期中)如图，、为两条公路，点和点为内部的两个居民点．现计划在内部区域修建一货站，使货站到两条公路距离相等，到两居民点的距离也分别相等． (1)请你找出点货站位置．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)简述你的作图理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先做的角平分线，再画的垂直平分线，相加于点为所求； （2）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可理解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．点P到两条公路距离相等，到两个村庄距离也相等故为角平分线与垂直平分线的交点． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型二十六 角平分线的判定综合（共4小题） 1．(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，，，，，垂足为F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）过点A作，垂足为G，由可得，则，那么平分，由角平分线性质定理得到，再由等腰三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：过点A作，垂足为G， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由可得，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 2．(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)已知：如图，锐角的两条高，相交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)是在的平分线上，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，又是两条高，所以，证明，根据性质可得，然后通过等角对等边即可求证； （）连接，由，得，通过线段和差可得，又，，然后通过角平分线判定定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：是在的平分线上，理由， 连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上． 3．(24-25八上·江苏徐州区学校·月考)如图，于E，于F，若，平分． (1)求证：； (2)已知，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)128 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明； （2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）证明：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形 题型1 根据等腰三角形的定义判断 题型14根据线段垂直平分线的性质求周长 题型2 等腰三角形的中线问题（常考题） 题型15 根据线段垂直平分线的性质求角度 题型3 根据“等边对等角”求角度 题型16垂直平分线与尺规作图综合 题型4“等边对等角”与三角形外角综合（重点题） 题型17 垂直平分线最值之线段和问题（提高题） 题型5 “等边对等角”中需要讨论的题型（提高题） 题型18 垂直平分线最值之周长问题（提高题） 题型6 “三线合一”实际应用 题型19 垂直平分线的判定综合 题型7 利用“三线合一”判断选项是否正确 题型20 根据角平分线的性质求角度 题型8 利用“三线合一”求线段角度 题型21 根据角平分线的性质求长度 题型9 等腰三角形的性质综合（解答题） 题型22 根据角平分线的性质求面积 题型10 格点中画等腰三角形 题型23 角平分线与尺规作图 题型11 根据“等角对等边”求边长 题型24 角平分线中最值问题（提高题） 题型12 等边三角形的性质相关求解 题型25 角平分线的实际应用 题型13 等腰三角形的性质和判定综合（常考题） 题型26角平分线的判定综合 题型一 根据等腰三角形的定义判断（共4小题） 1．(24-25八上·浙江湖州南浔区新东方·期中)在长度分别是的五根小棒中任选三根，共能围成（   ）种不同形状的等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为（    ）． A．3 B．6 C．3或6 D．8 3．(24-25八下·河南郑州第二实验中学·期中)的三边、、满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 4．(24-25八下·黑龙江绥化北林区绥化第十中学·期中)等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．3cm B． C．3cm或4cm D．或 题型二 等腰三角形的中线问题（共4小题） 1．(24-25七下·宁夏银川外国语实验学校·期中)已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，是的中线，，的周长比的周长大，则 ． 3．如图，中，，D是的中点，，的周长比的周长长2，求的周长． 4．(24-25八上·吉林长春长春力旺实验初级中学·期中)已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 题型三 根据“等边对等角”求角度（共4小题） 1．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，点是边上一点，，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·贵州遵义校联考·期中)如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·陕西西安灞桥区滨河学校·期中)如图，已知，点在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·福建福州鼓楼区立志中学·期中)如图，中，是的中线，点在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 题型四 “等边对等角”与三角形外角综合（共4小题） 1．(24-25八上·广东揭阳华美实验学校·期中)如图，在中，，延长到点，使，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·浙江宁波北仑区五校联考·期中)如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 ． 3．(24-25八下·黑龙江绥化第四中学校·期中)如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角度数是 ． 4．(24-25八上·湖北孝感云梦县·期中)如图，，若，则的度数为 ． 5．(24-25八上·江苏兴化顾庄学区三校·月考)如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管 根． 题型五 “等边对等角”中需要讨论的题型（共4小题） 1．(24-25八上·广东汕头·期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 2．(24-25八下·山东青岛南区琴岛学校·期中)如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 3．(24-25七下·江苏苏州中学园区校·期中)如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 4．(24-25八下·辽宁阜新第四中学·期中)已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ． 题型六 “三线合一”实际应用（共4小题） 1．(24-25八下·河南郑州桐柏一中·期中)墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点D处挂了一个重锤．陈老师将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 2．(24-25八上·河南周口沈丘县中英文学校·期中)如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形的三线合一 C．垂线段最短 D．是的垂直平分线 3．(24-25八上·山西晋中灵石县·期中)如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等 ．    题型七 利用“三线合一”判断选项是否正确（共3小题） 1.如图，中，，是角平分线，点是上一点，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·浙江湖州安吉县·期中)如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 3．(24-25八上·山东滨州滨城区滨城区教学研究室·期中)如图，已知为等腰三角形，，点、、分别为各边中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．⊥EF 题型八 利用“三线合一”求线段和角度（共4小题） 1．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，于，且，，若，则 ． 2．(24-25八下·陕西西安高陵区第四中学·期中)如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 3．(24-25八上·福建莆田城厢区砺成中学·期中)如图，在中，，且．求的度数． 题型九 等腰三角形的性质综合（解答题）（共4小题） 1．(24-25八上·湖南张家界慈利县·期中)如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．如图，在中，D为边上一点，， (1)若平分，求证：； (2)若三等分，求的度数． 3．(24-25八上·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在等腰中，，于点，于点，，与相交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，求的长． 4．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，，．，点，，分别在的，，边上． (1)求证：． (2)当时，求的度数． 题型十 格点中画等腰三角形（共3小题） 1．(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (2)在图②中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (3)在图③中以线段为边画一个等腰直角三角形． 2．(23-24九下·黑龙江哈尔滨道里区·月考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)画出等腰直角三角形，点在方格纸上的格点上，； (2)画出等腰三角形，点在方格纸上的格点上，的面积为6，连接，直接写出的长． 3．(24-25八上·江苏镇江京口区·期中)认识“”． (1)在图1网格中用无刻度的直尺以已知线段为边画一个的角； (2)用圆规和无刻度直尺作图：作；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图2，四边形是正方形，点E为边上一点，正方形内部画，另一边与边交于点F，把绕着点A顺时针转． ①用直尺和圆规作出旋转后的； ②判断所画图形中有无轴对称图形（不包含原正方形），用阴影把轴对称图形标记出来； ③若上图中正方形边长为12，面积为24，则长度是 ， ． 题型十一 根据“等角对等边”求边长（共4小题） 1．(24-25八下·陕西榆林第七中学·期中)如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．(24-25八上·广东广州番禺区化龙中学·期中)如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·陕西榆林第七中学·期中)如图，在四边形中，，连接，平分，若，则的长为 ． 4．(24-25八上·海南直辖县级行政单位定安县·期中)如图，在平行四边形中，平分，交边于，，则的长为 ． 题型十二 等边三角形的性质相关求解（共4小题） 1．(24-25八下·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(23-24九上·广东江门新会第二中学·期中)如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八下·江西景德镇乐平·期中)如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．(24-25八下·陕西安康·期中)如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（　　） A．19 B．22 C．24 D．30 题型十三 等腰三角形的性质和判定综合（共4小题） 1．如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 2．(24-25八上·河南信阳淮滨县台头乡初级中学·期中)如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 3．（1）如图，在中，，，点 在的延长线上，且，点在 的延长线上，且 ，求 的度数； （2）若把（1）中“”的条件去掉，其余条件不变，则 的度数会改变吗?请说明理由； （3）若把（2）中“”的条件改为“”，其余条件不变，则 与之间的数量关系为 ． 4．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 题型十四 根据线段垂直平分线的性质求周长（共4小题） 1．在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于E，G两点，连接，，若，则的周长为_____． 2．(24-25八上·贵州毕节金沙县第四中学·期中)如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．12 B．8 C．15 D．13 3．(23-24八上·山东菏泽曹县·期中)如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八下·四川成都锦江区师一学校·期中)如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 题型十五 根据线段垂直平分线的性质求角度（共4小题） 1．(24-25八下·江西景德镇乐平·期中)如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·浙江杭州西湖区保俶塔实验学校·期中)如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八上·山东济南长清区·期末)如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．(23-24八下·广东揭阳华美实验学校·期中)如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点．，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型十六 垂直平分线与尺规作图综合（共4小题） 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 2．(2024·黑龙江省哈尔滨市·中考真题)如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·山西运城平陆县部分学校·期中)如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，连接分别交、于点D、E，连接．下列说法正确的是（   ） A．若，且，则的大小为 B．若，且，则的大小为 C．若，的周长为8，则的周长为13 D．若，的周长为8，则的周长为13 4．(24-25八上·江苏南京玄武四校·期中)如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（   ） A．14 B．15 C．17 D．23 题型十七 垂直平分线最值之线段和问题（共4小题） 1．(24-25上·福建福建厦门第一中学·期中)如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 2．(24-25八上·江苏徐州贾汪区塔山中学·期中)如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 3．(24-25八下·江西九江湖口县·期中)如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为 ． 4．(24-25八·苏科版·月考)如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 题型十八 垂直平分线最值之周长问题（共4小题） 1．(24-25八上·广东江门新会区尚雅学校·月考)如图，在面积为24的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 3．(23-24八上·浙江杭州萧山区·期中)如图，在中，，，，垂直平分，则周长的最小值是 ． 4．(24-25八上·河北唐山丰南区·期中)如图，在中，，．边的垂直平分线分别交边于点D、E，P为直线上一点，若，则．周长的最小值为 ．    题型十九 垂直平分线的判定综合（共4小题） 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 2．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 3．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，连接．请直接写出图2中四对全等的三角形． 4．(24-25八上·河北邯郸邯山区创A扬帆初中学校·期中)如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 题型二十 根据角平分线的性质求角度（共4小题） 1．(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图，在中，，的平分线交于，平分交于，连接，于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·天津泰达中学·期中)如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 3．(25-26八上·广东珠海香洲区·开学考)如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 4．(24-25八下·陕西汉中多校联考·期中)如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 题型二十一 根据角平分线的性质求长度（共4小题） 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工大附中·期中)如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，，则的长为 ． 2．(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 3．(23-24八下·福建宁德霞浦县·期中)如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 4．(24-25八上·内蒙古包头固阳县·期末)如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是 ． 题型二十二 根据角平分线的性质求面积（共4小题） 1．(24-25八上·江苏南通如皋·期中)如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 2．(24-25七下·广东佛山南海区·期中)如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为 ． 3．如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 4．(24-25八上·广东深圳福田区六校联考·期中)如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线，，相交于点，平分，已知，，的面积为2.5，则的面积为 ． 题型二十三 角平分线与尺规作图（共3小题） 1．(24-25八下·广东揭阳揭西县·期中)如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 2．(24-25八下·河南郑州新郑·期中)如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·浙江温州知临中学·期中)如图， 在中，， 使． 再分别以点 D、E为圆心， 大于 ，两弧在内交于点F， 作射线交边于点 G， 若，， 则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 题型二十四 角平分线中最值问题（共4小题） 1．如图，在中，，平分，交于点D，点M，N分别为，上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 ． 2．(24-25八上·四川宜宾叙州区叙州区龙文学校·期中)如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 3．(24-25八上·福建宁德福鼎第四中学·期中)如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 4．(24-25八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中)如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ． 题型二十五 角平分线的实际应用（共3小题） 1．(23-24八上·湖北武汉武珞路中学·期中)如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 2．(24-25八下·辽宁沈阳法库县·期中)如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 3．(24-25八上·山东滨州无棣县·期中)如图，、为两条公路，点和点为内部的两个居民点．现计划在内部区域修建一货站，使货站到两条公路距离相等，到两居民点的距离也分别相等． (1)请你找出点货站位置．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)简述你的作图理由． 题型二十六 角平分线的判定综合（共4小题） 1．(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，，，，，垂足为F． (1)求证：； (2)求证：． 2．(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)已知：如图，锐角的两条高，相交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 3．(24-25八上·江苏徐州区学校·月考)如图，于E，于F，若，平分． (1)求证：； (2)已知，，，求四边形的面积． 4．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $