专题03 全等三角形（26大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题03 全等三角形 题型1 全等三角形的概念相关求解 题型14 全等三角形中尺规作图问题（选填） 题型2 利用全等三角形的性质求角度 题型15 解答题中的尺规作图 题型3 利用全等三角形的性质求线段 题型16 利用全等三角形的性质和判断求角度 题型4 利用全等图形求网格中的角度 题型17 利用全等三角形的性质和判定求长度 题型5 添加一个条件使得三角形全等（重点题） 题型18 常见辅助线之连接两点构造全等（提升题） 题型6 利用全等三角形的判定判断选项是否正确 题型19 常见辅助线之倍长中线构造全等（提升题） 题型7 判断全等三角形的依据（常考题） 题型20 常见辅助线之旋转构造全等（提升题） 题型8 玻璃修复问题（重点题） 题型21 常见辅助线之一线三等角模型（提升题） 题型9 利用“SAS”证明三角形全等 题型22 常见辅助线之截长补短模型（提升题） 题型10 利用“ASA或AAS”证明三角形全等 题型23 全等三角形选填压轴之多结论问题（压轴题） 题型11 利用“SSS”证明三角形全等 题型24 全等三角形选填压轴之最值问题（压轴题） 题型12 利用“HL”证明三角形全等 题型25 全等三角形解答题压轴之动点问题（压轴题） 题型13 全等三角形的综合判定（重点题） 题型26 全等三角形综合压轴（压轴题） 题型一 全等三角形的概念相关求解（共4小题） 1．(24-25九上·河北廊坊·期中)如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， 而不一定成立， 观察四个选项，C选项符合题意， 故选：C． 2．(23-24八上·陕西商洛商南县试马镇试马中学·期中)如图，和关于直线l对称，连接，在直线l上任取一点O，连接，，下列结论中，不一定正确的是（    ）    A． B． C．l垂直平分 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质及全等三角形的概念进行求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，l垂直平分，， ∴只有A选项不一定成立； 故选A． 3．(23-24八上·山西·期中)下列说法错误的是（    ） A．成轴对称的两个图形，对应点所连线段的垂直平分线是它们的对称轴 B．成轴对称的两个图形全等 C．形状相同的两个三角形全等 D．两个全等三角形的对应高相等 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，全等三角形的概念和性质，按照相关性质逐一判断，即可解答，熟知“形状相同，大小相同的三角形是全等三角形”是解题的关键． 【详解】解：成轴对称的两个图形，对应点所连线段的垂直平分线是它们的对称轴，故A正确； 成轴对称的两个图形全等，故B正确； 形状相同，大小相等的两个三角形全等，故C错误； 两个全等三角形的对应高相等，故D正确， 故选：C． 4．(23-24八上·陕西安康·期中)下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确； B、两个全等三角形的面积一定相等，故本选项错误； C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误； D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误． 故选：A． 题型二 利用全等三角形的性质求角度（共4小题） 1．(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，，点在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西省咸阳市永寿县蒿店中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解： ，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 3．(23-24八上·黑龙江绥化海伦第三中学·期中)如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 4．(24-25八上·河南濮阳油田第十八中学·期中)如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，由，得，再根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型三 利用全等三角形的性质求线段（共4小题） 1．(24-25八上·河南驻马店新蔡县·期中)如图，，点在上，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 根据全等三角形的性质求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 2．(24-25七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中)如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出，进而得出，结合已知条件可得出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．(24-25八上·河北邯郸武安贺进镇沙洺中学·期中)如图，在中，是高，点在线段上．若，，，则的周长为（   ） A．10 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，求三角形的周长，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根据得出，的周长问题可解． 【详解】解：， ， 的周长， 的周长， 故选：C． 4．(24-25八上·湖北孝感云梦县·期中)如图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：, , , 故选：C ． 题型四 利用全等图形求网格中的角度（共4小题） 1．(24-25八上·江苏无锡锡山区天一实验学校·月考)如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．(24-25八上·湖北武汉蔡甸区·期中)在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 4．(24-25八上·浙江宁波北仑区五校联考·期中)如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则 ． 【答案】90 【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：如图， ∴，，， ， ， ， ， ， 故答案为：90． 题型五 添加一个条件使得三角形全等（共4小题） 1．(24-25八上·北京第五十中学·期中)如图所示，，使，则需要添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 要使，已知一组边与一组角相等，再添加一组对边即可以利用判定其全等． 【详解】解：添加 ∵ ∴， ∵， ∵， ∴， 亦可添加或， 故答案为：（答案不唯一）． 2．(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，点B在射线上，，可补充的一个条件是： 要使．（答案不唯一，写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，添加时注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，和已经满足一条边相等(公共边和一对对应角相等()，只要再添加一边或一角即可得出结论． 【详解】解：根据判定方法，可填； ； ； ． 故答案为：（答案不唯一）． 4．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 利用全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 5．(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)如图，要说明，①已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是 ；②已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是 ；③已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），全等三角形的判定、、，解题关键是掌握全等三角形的判定． ①依据添加条件；②依据添加条件；③依据添加条件． 【详解】解：要说明，①已知，，添加条件，依据“”得到； ②已知，，添加条件，依据“” 得到； ③已知，，添加条件或，依据“” 得到， 故答案为：①；②；③或． 题型六 利用全等三角形的判定判断选项是否正确（共4小题） 1．能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定条件逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、B、C中的条件都是，不能判定两个三角形是否全等，故不符合题意 D、满足“”，所以，符合题意， 故选：D． 2．(24-25八上·江苏南通海安南莫中学·期中)下列选项所给条件能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，根据能画出唯一，故本选项符合题意； C、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．(24-25八上·江苏无锡前洲中学·月考)如图，与关于直线对称，则下列结论中不一定正确的（   ） A． B． C． D．所连的线段被垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是掌握①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，所连的线段被垂直平分， ，， 但无法确定， 故选：B． 4．(24-25八上·甘肃天水第五中学·期中)如图，在中，，，沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据折叠的性质得到，，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处 ∴，，故A，B正确； ∴ ∵ ∴故C正确； ∴ ∴ ∴，故D错误． 故选：D． 题型七 判断全等三角形的依据（共4小题） 1．(24-25八下·陕西汉中多校联考·期中)如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握定理是关键．在和中，，，，即可根据定理证明． 【详解】解：在和中，，，， ∴， 故选：C 2．(24-25八下·山西晋中榆次区·期中)用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， 故选：． 3．(24-25八上·河南安阳林州·期中)如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：A 4．如图所示，小明设计了一种测零件内径的卡钳．在制作卡钳时，他先找来两根钢条，，并在两根钢条上找到各自的中点M，N，然后将两根钢条的中点M，N重合固定在一起，使，可以绕固定点自由转动．若测得．则该零件的内径 ，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，再证明，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点M，分别是，的中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 故该零件的内径，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是， 故答案为：3，． 题型八 玻璃修复问题（共4小题） 1．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）    A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、3或3、4去均可 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．带1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形． 【详解】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形， 带1、4可以用“角边角”确定三角形， 故选：C． 2．(23-24八下·河南安阳飞翔学校·期中)如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形， 本题考查了全等三角形的判定方法：， 要求学生要对常用的几种方法熟练掌握 【详解】解：第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的； 第①块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃. 故选A． 3．(23-24八上·河北石家庄晋州·期中)如图所示，嘉淇家装饰窗格中的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块． 嘉淇通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可，其中不一定符合要求．解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】A．，根据一定符合要求； B．，根据一定符合要求； C．，不一定符合要求； D．，根据一定符合要求． 故选：C． 4．(23-24八下·青海西宁海湖中学·开学考)如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则应该带第 块区玻璃店． 【答案】① 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两个三角形全等），学会将实际问题转化为数学问题是解题关键．由图可知，第①块中，有两角及其夹边可得出这块三角形与购买的三角形全等． 【详解】解：根据全等三角形的判定：两角及其夹边的两个三角形全等，即可确定这块三角形与购买的三角形全等， 故答案为：①． 题型九 利用“SAS”证明三角形全等（共4小题） 1．(23-24八上·吉林四平公主岭·期末)如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 2．(24-25八上·陕西咸阳武功县普集街道办南仁初级中学·期末)如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 3．(24-25八上·云南昆明三中、滇池中学·期中)如图，点E、F在线段上且F在E的右侧，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质． 可通过全等三角形的判定定理证，再利用全等三角形的性质来得出的结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ，， ∴， ∴． 4．(24-25八上·北京第五十中学·期中)如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质知识点． 判定：通过“边角边”定理，即两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，证明，(利用推导出，结合已知、) 性质：全等三角形的对应角相等，由此得出． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5．已知：如图，点、、、在一条直线上，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，首先利用平行线的性质得出，进而利用全等三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明： ， ， 在和中，， ． 题型十 利用“ASA或AAS”证明三角形全等（共4小题） 1．(24-25八上·山西平定县四校校联·期中)已知：如图，，，，垂足分别为、、，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂直、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据垂直的定义可得，再证出，然后根据定理即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 2．(24-25八上·广西桂林宝贤中学·期中)如图，点在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．由，可得，，可证得，由此得证． 【详解】证明：，， ，， 在和中， ， ， ． 3．(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定（、）、角平分线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造辅助线（延长线段、作垂线）创造全等三角形的条件，利用角度关系推导垂直和线段相等． （1）通过延长与交于点，利用已知和，根据三角形外角性质（或内角和定理）计算出，从而证明； （2）先作于，结合已知角度和对顶角相等推出，再利用和直角条件证明（）得；接着根据角平分线性质和角度计算得出，再推导，最后用证明，从而得出． 【详解】（1）证明：延长相交于H． ∵， ∴． ∴． （2）过A作于G． ∵， ∴即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴平分， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，而， ∴， ∴． 题型十一 利用“SSS”证明三角形全等（共4小题） 1．(24-25八上·甘肃张掖山丹县·期中)如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定有关知识，根据等式的性质可得，运用证明与全等，得到，利用同位角相等，两直线平行得到结论． 【详解】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 2．如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据，得到，证明，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在和中，点，，，在一条直线上，已知，，．与平行吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定．根据得到，然后证明，得到，即可得出结论． 【详解】证明：，理由如下， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 4．(24-25八上·湖南益阳梓山湖学校·期中)如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接、、，证明得到，再证明得到，据此可证明． 【详解】证明：如图所示，连接、、， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型十二 利用“HL”证明三角形全等（共4小题） 1．已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余． （1）通过“”证明即可． （2）因为，易得，结合，由锐角互余的三角形是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵为的高， ∴． 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，即． ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 2．(24-25八下·陕西西安新城区汇知中学·期中)如图，在和中，，，点A，D分别在上，且，求证： 【答案】见解析 【分析】由且，得到，即可证明全等即可． 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握 【详解】证明：且， ， ， 在和中， ， 3．(23-24八上·云南曲靖师宗县葵山中学·期中)如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可解答． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 4．如图，在中，D是边的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定是关键．证明，即可得到结论． 【详解】证明：∵D是边的中点， ∴，  ∵， ∴，  在和中，  ∴，  ∴． 题型十三 全等三角形的综合判定（共4小题） 1．(24-25七下·广东佛山南海外国语学校·期中)如图，，是的高，点在直线上，在直线上，且，． (1)猜想与的大小关系，并证明你的结论． (2)判断与有何特殊的位置关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． （1）易证，即可求证，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）根据全等三角形对应角相等即可求得，结合即可得出，从而得出． 【详解】（1）解：结论：． 理由： ，是的高， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）结论：． 理由：， ， ， ， ， ． 2．如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先求得，再证明，即可得出结论； （2）根据，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．(24-25八上·湖南衡阳衡山县·期末)如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 4．(24-25八上·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在中，，点、分别是、边上的点，连接，过点作于点，交于点，连接，已知． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)相等，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明是解答本题的关键． （1）由可得，由得，所以，由得从而得，故可得； （2）由可得，由得，可得，根据“”证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴． 题型十四 全等三角形中尺规作图问题（选填）（共4小题） 1．(24-25八上·陕西西安铁一中学·期中)如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据作图可得，，再根据，利用得到即可得到结论． 【详解】解：根据作图，可得，， 又∵， ， ∴， ∴是的角平分线； 故选：D． 2．(24-25八上·广西南宁青秀区第四十七中学·期中)如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．根据作图过程可得，利用证明，即可得结果． 【详解】解：如图，连接， 根据作图过程可知：， 在和中， ， ， ， 则的度数为． 故选：C． 3．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点D在的中垂线上 D． 【答案】D 【分析】根据题意作图可知：是的平分线，由此判断A正确；先求得，由是的平分线，求得，即可得到，判断B正确；过点D作于E，根据，证得是等腰三角形，得到，即可判断C正确；证明，得到，根据等底同高得到，即可得到，判断D错误． 【详解】解：由题意得：是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 过点D作于E， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点在的中垂线上，故C正确，不符合题意； ∵是的平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键． 4．(2024·河北省石家庄市·一模)如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（    ） A．嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C．琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键． 根据两人作图的过程即可对选项作出判断． 【详解】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，故选项A、B符合题意； 琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，截取的长度是线段的长度，则判定的依据是，故选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：C． 题型十五 解答题中的尺规作图（共4小题） 1．(24-25八上·云南临沧中学·期中)如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． (1)以点为中心将旋转，得到，画出； (2)将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，画出； (3)连接，作出线段的中点（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了利用平移与旋转作图、全等三角形的判定与性质． 作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到即为所求； 分别作出点、、向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； 由网格图可知且，根据平行线的性质可证：，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证点是线段的中点． 【详解】（1）解：如图所示，作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到， 即为所求； （2）解：如图所示，分别作出点、、向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到， 则即为所求； （3）解：如图所示，连接、，、相交于点，点即为所求， 由网格图可知且， ， 在和中，， ， 点是线段的中点． 2．(24-25八上·安徽合肥第四十五中学·期中)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； (2)以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； (3)在线段上画点，使的长度最短．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-平移、中心对称，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握利用网格特征进行复杂作图是解题的关键． （1）根据平移性质作出平移后的线段即可； （2）根据中心对称的性质作出； （3）取格点G、H，使，，连接交于F，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为作求． （2）解：如图所示，即为作求． （3）解：如图所示，线段即为作求． 取格点P，如上图， 由图可知：，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 根据垂线段最短可得的长度最短． 3．(24-25八上·江西抚州·期中)如图，在正方形网格内，点A，B，C都在格点上，连接，请仅用无刻度的直尺分别按下列的要求作图． (1)过点P作的平行线； (2)过点P作的垂线，垂足为N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）取格点，连接即可，显然，则，而，则，那么，则，那么； （2）取格点，连接，与交点即为点，那么直线即为所求，显然，则，而，那么由三角形内角和定理可得，则． 【详解】（1）解：如图：即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 4．(24-25八上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·期中)如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中作的高； (2)在图1中在上取点E，使与面积相等； (3)在图2中取格点F，使得（F不与A重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)加解析 【分析】本题考查了三角形的高，中线等分面积，全等三角形判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）取格点T，连接并延长与相交，交点即为点D，可根据证明，再根据全等三角形的对应角相等结合网格特征即可得到； （2）取的中点即为点E，根据三角形的中线等分面积即可说理； （3）可通过证明，则，再由即可说理． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，点即为所求： （3）解：如图，点即为所求： 题型十六 利用全等三角形的性质和判断求角度（共4小题） 1．(24-25八上·福建泉州永春县·期末)如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 2．(24-25八上·天津第五十五中学·期中)如图，锐角中，D、E分别是、边上的点，，，且，、交于点F．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由全等三角形的性质可得，，，，由三角形外角的定义及性质结合平行线的性质可得，，求出，再利用三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，，，， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．如图，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意可证，可得，根据三角形内角和可得，再根据是的外角即可求解． 【详解】解：在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵是的外角，即， ∴ 故选：D ． 4．(23-24八上·河北石家庄正定县·期中)在和中，，，．已知，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，分两种情况讨论，当时，则，得出，当时，如图，利用等腰三角形的性质求得，从而求得． 【详解】当时，， ， 当时，如图，   ， ∴， ， 或， 故选：C． 5．(24-25八上·广西南宁广西大学附属中学·期中)如图，在中，点M，N为边上的两点，于点D，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂直的定义得到，则由三角形内角和定理可得，证明推出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确推出是解题的关键． 题型十七 利用全等三角形的性质和判定求线段长度（共4小题） 1．(24-25八上·广东深圳盐田区·期末)如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分， ，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．(24-25八上·广东广州广州中学·期中)如图，在中，平分交的延长线于点E．若，则 ． 【答案】20 【分析】延长，交于点，证，，得出，，及，则． 【详解】解：延长，交于点，      ∵， ，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键． 3．(24-25八上·重庆巴蜀中学校·期末)如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，，再证明，推出，即可得出结果． 【详解】解：过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 4．(24-25八上·湖北孝感孝昌县·期中)如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交BC的延长线于点F，交AC于点G，若，，则 ．    【答案】11 【分析】由角平分线的性质可得，，由三角形内角和定理可求，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由全等三角形的性质可得． 【详解】解：的角平分线、相交于点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 题型十八 常见辅助线之连接两点构造全等（共4小题） 1．(24-25八上·湖北直辖县级行政单位12校联考·月考)如图，在和中，与相交于点，，．求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由，得到，由即可证明．关键是由，得到． 【详解】解：证明：连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 2．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积； (3)猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)48 (3)猜想，证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的确定全等三角形是解本题的关键． （1）连接，直接利用证明，可得，再证明，即可得到结论； （2）由， 可得，从而可得四边形的面积； （3）先证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）由（1）得，， ∵，， ， ∴； （3）猜想， 证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．(24-25八上·江苏徐州鼓楼区树人初级中学·期中)如图，在四边形中，，，，求的度数．    【答案】． 【分析】先根据三角形全等的判定方法证明，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】如图，连接，      在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定，根据、、、、判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解题的关键． 4．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔富裕县励志民族中学·期中)如图，，．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，利用定理可证，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长至点，先根据三角形的外角性质可得，再根据即可得证． 【详解】（1）证明：如图，连接，    在和中，， ， ． （2）证明：如图，延长至点，   ，， ， 由（1）已证：， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 题型十九 常见辅助线之倍长中线构造全等（共4小题） 1．(24-25八上·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 2．(24-25八上·福建泉州石狮·期末)如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 3．(24-25八上·陕西西安高新区第三初级中学·期中)问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见解析（4），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）如图2，延长至点F，使，连接，同理得，则，证明，即可得结论； （4）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二十 常见辅助线之旋转构造全等（共4小题） 1．(24-25八上·山东济宁任城区·期末)如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A、D、E在同一条直线上．若，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 根据旋转的性质、全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可； 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∵点A、D、E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 2．(24-25九上·四川南充高坪中学·期中)如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至．连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，证明，可得，即可求的面积．利用旋转的性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图：过点作于点， ∵，， ∴， ∵将斜边绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 3．(24-25八上·湖北武汉华一寄宿中学·期末)如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 4．(24-25八上·山东临沂罗庄区临沂沂堂中学·期中)【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 5．(24-25八上·湖北安陆·期中)已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解： ， ， 又 ，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 题型二十一 常见辅助线之一线三等角模型（共4小题） 1．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（   ） A．35 B． C．20 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，三角形的面积公式等知识点，由,得,因为,所以,而,即可证明,得,可求得,于是得到问题的答案，证明出是解题的关键. 【详解】解：, , , , 在和中， , , , , , , 故选：． 2．(24-25八上·甘肃张掖甘州区·月考)如图，点在线段上，，且，连接、、、，与交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，，得出，，再结合，利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．(24-25八上·江苏泰州泰兴·期中)中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理构造全等三角形是解题的关键． 根据题意过点作延长线与点，则，可证，得到，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线与点，则， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若要求的面积，则需要添加的条件是的长度， 故选： ． 4．(24-25八上·云南文山文山第三中学·月考)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 题型二十二 常见辅助线之截长补短模型（共4小题） 1．(24-25八上·重庆江北巴川量子学校·期末)如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】在上截取，连接， 先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，由此即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分，平分， ，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．(23-24八上·天津第八中学等四校·期中)如图，，平分，点为中点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图：在上截取，连接． 平分， ． 在和中， ， ． ． 是的中点， ． 又，， ， 在和中 ． ， ，即平分． 3．如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． (1)如图1，若，分别平分和，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质等． （1）由，分别平分和，求出，，进而得出，由，得出，代入计算即可得到结果； （2）在上取一点，使，连接，证明，再证明，，代入计算即可求得结果； （3）在上截取，连接，先证明，均为等边三角形，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：平分， ， 同理，， ， ， ， ； （2）如图1，在上取一点，使，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图2，   ，， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 4．(24-25八上·云南昆明三中、滇池中学·期中)如图1，在中，分别是的平分线，相交于点F． (1)请判断与之间的数量关系，并加以证明． (2)如图2，在中，如果，其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． （1）在上截取，连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）在上截取，连接，先证，得，，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）（1）中结论仍然成立， 如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二十三 全等三角形选填压轴之多结论问题（共4小题） 1．(24-25八上·安徽舒城第二中学·期中)如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 2．如图，在锐角中，是边上的高．，且，连接，交的延长线于点，连接，下列结论：；；；是中点．其中一定正确的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及两角互余、对顶角等几何基础知识，本题难度略大，熟练掌握这些知识是解决本题的关键． 依题意，易证得，从而推得①正确；利用≌及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；利用互余关系可推得③正确；做出辅助线，依次证明，，，即可推得④正确． 【详解】解：如图，设与交于点，作于点，的延长线于点， ， ，即， ，， ， ，故①正确； ， ， 又，， ， ，故②正确； ， ， ， ，故③正确； ，， ， ，， ， ， 同理，， ， ， ，， ， ， 即是的中点，故④正确．     综上所述正确的有①②③④，共4个； 故选A． 3．(24-25八上·四川广元苍溪县·期中)如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形判断与性质，四边形的内角和，以及三角形的面积等知识点，熟知以上知识点的性质定理是解本题的关键． 根据可证明，根据可证明；通过证明可证明，即乘平分；根据，四边形内角和以及平角的性质可求得；延长至N，使,连接，证明，得到，在中，利用三角形三边关系进一步判断即可；若，在中，和的高相等，即可得． 【详解】， ， 故①正确； ， 在和中 平分 故③正确； ， 在四边形中 又 故②正确； 延长至N，使,连接， ∵E是的中点， ∴ 在和中， 由①可知： 在中， 故④正确； 若 则 在中，和的高相等， ∴为的中点， 故⑤正确；综上正确的有：①②③④⑤， 故选：D． 4．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据，推出，根据三角形内角和判断①；证明，判断③正确；根据全等的性质得到，推出即可判断④；根据外角的性质及④的结论，可判断③． 【详解】解： ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过点O作于E，于F， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， ∵,,且, ∴．故②错误； 综上所述正确的有①③④． 故选：D． 题型二十四 全等三角形选填压轴之最值问题（共4小题） 1．(24-25八上·山东济宁汶上县·期中)如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，找出使最小时点P的位置是解题的关键． 2．如图,已知△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,AB＝4,点D为直线AB上一动点,将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE,连接ED、BE,当BE最小时,线段AD的值为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】如图，根据题意可知E点的运动轨迹为直线l,当BE⊥l时，BE取得最小值，此时l经过AB的中点Q．连接AE,CQ,BE．易证△CQE≌△CBD，得出∠EQB＝60°, 求得，即可求出AD的长. 【详解】如图，根据题意可知E点的运动轨迹为直线l,当BE⊥l时，BE取得最小值． l经过AB的中点Q．连接AE,CQ,BE． ∵∠ACB＝90°,Q为AB中点， ∴CQ=BQ=AQ, ∵∠BAC＝30°，∴∠ABC=60°， ∴△BCQ为等边三角形， ∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE, ∴△CDE为等边三角形， ∴CE=CB， 又∠QCE=∠BCD ∴△CQE≌△CBD． ∠CQE＝∠CBD＝120°, ∴∠EQB＝60°, ∴AD＝5．选C． 【点睛】此题主要考查等边三角形的判断与性质，解题的关键是熟知线段旋转的性质. 3．(2025·广东省清远市·模拟)点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于，此时的周长最小，最小值为，连、、，根据轴对称的性质得出，即可得出，，由根据三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于、， 此时四点共线，此时的周长最小，最小值为，连、、， 由轴对称的性质可知， ， ， ， ， 故答案为：． 4．(24-25八上·河南周口扶沟县·期中)如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质 ，解题的关键是掌握“两点之间线段最短”与“点到直线的所有连线当中，垂线段最短”. 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点.作于点， 证明： 的最短距离为，再证明点、、三点共线，，然后根据三角形的面积求解即可. 【详解】解：如图： 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点. ∵平分与交于点， ， ∴由作图可知： ， ∴与关于直线对称， 即点与点关于直线对称， ∵作于点， 交于点， ∴是点到的最短距离， ∴， 作于点， 则， 在与中， ， ， ∴，即. ∴点、、三点共线， ， ∵的面积为 ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 5．(24-25八上·江苏苏州立达中学·期中)如图，在中，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，当最小时，的度数是 ． 【答案】53 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点，推出当最小时，点P，点Q分别位于点，点处，的度数为的度数，再求出的度数即可解决问题． 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， ∴当最小时，点P位于点处，点Q位于点处，的度数为的度数， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，的度数是， 故答案为：53． 题型二十五 全等三角形解答题压轴之动点问题（共4小题） 1．(24-25八上·广西百色·期末)如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以 秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的条件可得当时，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 则； 故答案为：； （2）当时， 则， 故， 解得：； （3）①如图1，当，则，， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：秒）． ②如图2，当，则，． ， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：； 综上所述：当秒或秒时与全等． 2．(24-25八上·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】(1)， (2)，；， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时， ；当时， ． 3．(24-25八上·河南南阳内乡县·期中)如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于多少秒时，与全等． 【答案】或或秒 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分四种情况：当点在上，点在上，当点、都在上时，当点到上，点在上时，当点到点，点在上时，根据 ，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：与全等， ， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意，舍去 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于4或或16秒时，与全等． 4．(24-25八上·福建泉州惠安县惠东五校·期中)如图①，在中，，，过点C作射线．点M从点B出发，以的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以a的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接、，设移动时间为t（s）． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为s； (2)当与全等时， ①若点M、N的移动速度相同，求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求t的值； (3)如图②、当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)①2；②2.5 (3)存在，t的值为2.5或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据时间计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可． ②当时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）（1）点M的运动时间（秒）， 故答案为：5； （2）①点M、N的移动速度相同， ， ， ， 当时，与全等， 则有，解得. ②点M、N的移动速度不同， ， 当时，两个三角形全等， 运动时间. （3）若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时， 若点M、N的移动速度相同，则，， ∴或， 解得（舍弃）或， 综上所述，满足条件的t的值为或． 题型二十六 全等三角形综合压轴（共4小题） 1．(24-25八上·四川成都实验外国语学校·期中)如图，等腰中，，，E点为射线上一动点，连接，在的左侧作且 (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若E点为中点，求； (3)如图，当E点在射线上运动时，连接与射线交于D点，若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，即可根据证明； （2）过点F作于G，证明，得到，再根据求解即可； （3）分类讨论，当点E在线段上时，当点E在延长线上时，过F作于点G，证，，，进而根据，设参求解即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段和差关系等内容，有难度，正确建立辅助线以及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：过F点作交于G点，如图2， 由（1）可知， ， 在和中， ， ， ， 点为中点 ， ≌， ， ， ； （3）解：第一种情况，当点E在线段上时，如图3， 此时可参考第二问情况，，， ，， ， 可设，则， ， ， ， ， ； 第二种情况：当点E在延长线上时，过F作于点G，如图4， 同理可得，， ，， ， 可设，则， ， ， ， ， 综上，的值为或 故答案为：或 2．(24-25八上·广东佛山南海外国语学校·期中)先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1），证明见解析；（2）成立，证明见解析；（2），证明见解析． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由： 如图1，延长到点，使，连接， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ； （2）结论仍成立，理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）；理由如下： 延长至点，使，连接，如图3所示， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 3．(24-25七下·广东深圳实验学校·期中)在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）当点在延长线上时，如图，交的延长线于，由，设则，分别，利用全等的性质求出，，，最后利用三角形面积公式计算即可． （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，，于是得，，所以． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在延长线上时，连接交直线于，交的延长线于， ， ， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，设，则， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 4．(24-25八上·广东佛山南海区瀚文外国语学校·期中)如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂线段最短，一元一次方程的应用，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）分三种情况讨论，根据线段和差以及速度路程的关系建立方程求解即可； （2）设，当时，则，由三角形内角和定理表示出，则，由邻补角可得，再分三种情况讨论，当点在上时，不存在；当点在上时，证明，则，则，即可求解； （3）设点的速度为，分四种情况讨论，根据全等三角形的性质建立方程求解，注意点Q的速度小于点P的速度． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 当点在上时， 根据垂线段最短可得， ∴点在上时不成立； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：， 综上：当或秒时，， 故答案为：或． （2）解：存在，理由如下： 设， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ①当点在上时，， ∵， ∴， 故不成立， ∴不存在； 当点在上时，如图： ∵，， ∴， ∵点Q是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点在上时，显然不成立， ∴综上，存在，． （3）解：设点的速度为， 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：（舍）； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：（舍）， 综上所述：线段分割所形成的三角形恰好与全等，点Q的运动速度为或． 故答案为：或． 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 题型1 全等三角形的概念相关求解 题型14 全等三角形中尺规作图问题（选填） 题型2 利用全等三角形的性质求角度 题型15 解答题中的尺规作图 题型3 利用全等三角形的性质求线段 题型16 利用全等三角形的性质和判断求角度 题型4 利用全等图形求网格中的角度 题型17 利用全等三角形的性质和判定求长度 题型5 添加一个条件使得三角形全等（重点题） 题型18 常见辅助线之连接两点构造全等（提升题） 题型6 利用全等三角形的判定判断选项是否正确 题型19 常见辅助线之倍长中线构造全等（提升题） 题型7 判断全等三角形的依据（常考题） 题型20 常见辅助线之旋转构造全等（提升题） 题型8 玻璃修复问题（重点题） 题型21 常见辅助线之一线三等角模型（提升题） 题型9 利用“SAS”证明三角形全等 题型22 常见辅助线之截长补短模型（提升题） 题型10 利用“ASA或AAS”证明三角形全等 题型23 全等三角形选填压轴之多结论问题（压轴题） 题型11 利用“SSS”证明三角形全等 题型24 全等三角形选填压轴之最值问题（压轴题） 题型12 利用“HL”证明三角形全等 题型25 全等三角形解答题压轴之动点问题（压轴题） 题型13 全等三角形的综合判定（重点题） 题型26 全等三角形综合压轴（压轴题） 题型一 全等三角形的概念相关求解（共4小题） 1．(24-25九上·河北廊坊·期中)如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·陕西商洛商南县试马镇试马中学·期中)如图，和关于直线l对称，连接，在直线l上任取一点O，连接，，下列结论中，不一定正确的是（    ）    A． B． C．l垂直平分 D． 3．(23-24八上·山西·期中)下列说法错误的是（    ） A．成轴对称的两个图形，对应点所连线段的垂直平分线是它们的对称轴 B．成轴对称的两个图形全等 C．形状相同的两个三角形全等 D．两个全等三角形的对应高相等 4．(23-24八上·陕西安康·期中)下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 题型二 利用全等三角形的性质求角度（共4小题） 1．(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，，点在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·黑龙江绥化海伦第三中学·期中)如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·河南濮阳油田第十八中学·期中)如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型三 利用全等三角形的性质求线段（共4小题） 1．(24-25八上·河南驻马店新蔡县·期中)如图，，点在上，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中)如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 3．(24-25八上·河北邯郸武安贺进镇沙洺中学·期中)如图，在中，是高，点在线段上．若，，，则的周长为（   ） A．10 B．20 C．24 D．28 4．(24-25八上·湖北孝感云梦县·期中)如图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型四 利用全等图形求网格中的角度（共4小题） 1．(24-25八上·江苏无锡锡山区天一实验学校·月考)如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 2．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 3．(24-25八上·湖北武汉蔡甸区·期中)在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 4．(24-25八上·浙江宁波北仑区五校联考·期中)如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则 ． 题型五 添加一个条件使得三角形全等（共4小题） 1．(24-25八上·北京第五十中学·期中)如图所示，，使，则需要添加的条件是 ． 2．(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，点B在射线上，，可补充的一个条件是： 要使．（答案不唯一，写一个即可） 4．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 5．(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)如图，要说明，①已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是 ；②已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是 ；③已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是 ． 题型六 利用全等三角形的判定判断选项是否正确（共4小题） 1．能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·江苏南通海安南莫中学·期中)下列选项所给条件能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八上·江苏无锡前洲中学·月考)如图，与关于直线对称，则下列结论中不一定正确的（   ） A． B． C． D．所连的线段被垂直平分 4．(24-25八上·甘肃天水第五中学·期中)如图，在中，，，沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 判断全等三角形的依据（共4小题） 1．(24-25八下·陕西汉中多校联考·期中)如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·山西晋中榆次区·期中)用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·河南安阳林州·期中)如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，小明设计了一种测零件内径的卡钳．在制作卡钳时，他先找来两根钢条，，并在两根钢条上找到各自的中点M，N，然后将两根钢条的中点M，N重合固定在一起，使，可以绕固定点自由转动．若测得．则该零件的内径 ，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是 ． 题型八 玻璃修复问题（共4小题） 1．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）    A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、3或3、4去均可 2．(23-24八下·河南安阳飞翔学校·期中)如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 3．(23-24八上·河北石家庄晋州·期中)如图所示，嘉淇家装饰窗格中的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块． 嘉淇通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）    A． B． C． D． 4．(23-24八下·青海西宁海湖中学·开学考)如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则应该带第 块区玻璃店． 题型九 利用“SAS”证明三角形全等（共4小题） 1．(23-24八上·吉林四平公主岭·期末)如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 2．(24-25八上·陕西咸阳武功县普集街道办南仁初级中学·期末)如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 3．(24-25八上·云南昆明三中、滇池中学·期中)如图，点E、F在线段上且F在E的右侧，，，．求证：． 4．(24-25八上·北京第五十中学·期中)如图，已知，，，求证：． 5．已知：如图，点、、、在一条直线上，，且，求证：． 题型十 利用“ASA或AAS”证明三角形全等（共4小题） 1．(24-25八上·山西平定县四校校联·期中)已知：如图，，，，垂足分别为、、，且，求证：． 2．(24-25八上·广西桂林宝贤中学·期中)如图，点在一条直线上，，，，求证：． 3．(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,． (1)求证：． (2)求证：． 题型十一 利用“SSS”证明三角形全等（共4小题） 1．(24-25八上·甘肃张掖山丹县·期中)如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 2．如图，已知，求证：． 3．(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在和中，点，，，在一条直线上，已知，，．与平行吗？请说明理由． 4．(24-25八上·湖南益阳梓山湖学校·期中)如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 题型十二 利用“HL”证明三角形全等（共4小题） 1．已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： (1)； (2)． 2．(24-25八下·陕西西安新城区汇知中学·期中)如图，在和中，，，点A，D分别在上，且，求证： 3．(23-24八上·云南曲靖师宗县葵山中学·期中)如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 4．如图，在中，D是边的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 题型十三 全等三角形的综合判定（共4小题） 1．(24-25七下·广东佛山南海外国语学校·期中)如图，，是的高，点在直线上，在直线上，且，． (1)猜想与的大小关系，并证明你的结论． (2)判断与有何特殊的位置关系？并证明你的结论． 2．如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 3．(24-25八上·湖南衡阳衡山县·期末)如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 4．(24-25八上·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在中，，点、分别是、边上的点，连接，过点作于点，交于点，连接，已知． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 题型十四 全等三角形中尺规作图问题（选填）（共4小题） 1．(24-25八上·陕西西安铁一中学·期中)如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·广西南宁青秀区第四十七中学·期中)如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点D在的中垂线上 D． 4．(2024·河北省石家庄市·一模)如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（    ） A．嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C．琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 题型十五 解答题中的尺规作图（共4小题） 1．(24-25八上·云南临沧中学·期中)如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． (1)以点为中心将旋转，得到，画出； (2)将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，画出； (3)连接，作出线段的中点（保留作图痕迹） 2．(24-25八上·安徽合肥第四十五中学·期中)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； (2)以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； (3)在线段上画点，使的长度最短．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，保留作图痕迹） 3．(24-25八上·江西抚州·期中)如图，在正方形网格内，点A，B，C都在格点上，连接，请仅用无刻度的直尺分别按下列的要求作图． (1)过点P作的平行线； (2)过点P作的垂线，垂足为N． 4．(24-25八上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·期中)如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中作的高； (2)在图1中在上取点E，使与面积相等； (3)在图2中取格点F，使得（F不与A重合）． 题型十六 利用全等三角形的性质和判断求角度（共4小题） 1．(24-25八上·福建泉州永春县·期末)如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·天津第五十五中学·期中)如图，锐角中，D、E分别是、边上的点，，，且，、交于点F．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 4．(23-24八上·河北石家庄正定县·期中)在和中，，，．已知，则（    ） A． B．或 C．或 D． 5．(24-25八上·广西南宁广西大学附属中学·期中)如图，在中，点M，N为边上的两点，于点D，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 题型十七 利用全等三角形的性质和判定求线段长度（共4小题） 1．(24-25八上·广东深圳盐田区·期末)如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分， ，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．(24-25八上·广东广州广州中学·期中)如图，在中，平分交的延长线于点E．若，则 ． 3．(24-25八上·重庆巴蜀中学校·期末)如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则 ． 4．(24-25八上·湖北孝感孝昌县·期中)如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交BC的延长线于点F，交AC于点G，若，，则 ．    题型十八 常见辅助线之连接两点构造全等（共4小题） 1．(24-25八上·湖北直辖县级行政单位12校联考·月考)如图，在和中，与相交于点，，．求证： 2．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积； (3)猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 3．(24-25八上·江苏徐州鼓楼区树人初级中学·期中)如图，在四边形中，，，，求的度数．    4．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔富裕县励志民族中学·期中)如图，，．求证：    (1)； (2)． 题型十九 常见辅助线之倍长中线构造全等（共4小题） 1．(24-25八上·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 2．(24-25八上·福建泉州石狮·期末)如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 3．(24-25八上·陕西西安高新区第三初级中学·期中)问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 题型二十 常见辅助线之旋转构造全等（共4小题） 1．(24-25八上·山东济宁任城区·期末)如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A、D、E在同一条直线上．若，（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川南充高坪中学·期中)如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至．连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·湖北武汉华一寄宿中学·期末)如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．(24-25八上·山东临沂罗庄区临沂沂堂中学·期中)【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 5．(24-25八上·湖北安陆·期中)已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 题型二十一 常见辅助线之一线三等角模型（共4小题） 1．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（   ） A．35 B． C．20 D．10 2．(24-25八上·甘肃张掖甘州区·月考)如图，点在线段上，，且，连接、、、，与交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·江苏泰州泰兴·期中)中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 4．(24-25八上·云南文山文山第三中学·月考)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 题型二十二 常见辅助线之截长补短模型（共4小题） 1．(24-25八上·重庆江北巴川量子学校·期末)如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 2．(23-24八上·天津第八中学等四校·期中)如图，，平分，点为中点，且．求证：平分． 3．如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． (1)如图1，若，分别平分和，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示） 4．(24-25八上·云南昆明三中、滇池中学·期中)如图1，在中，分别是的平分线，相交于点F． (1)请判断与之间的数量关系，并加以证明． (2)如图2，在中，如果，其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型二十三 全等三角形选填压轴之多结论问题（共4小题） 1．(24-25八上·安徽舒城第二中学·期中)如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 2．如图，在锐角中，是边上的高．，且，连接，交的延长线于点，连接，下列结论：；；；是中点．其中一定正确的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．(24-25八上·四川广元苍溪县·期中)如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 题型二十四 全等三角形选填压轴之最值问题（共4小题） 1．(24-25八上·山东济宁汶上县·期中)如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 2．如图,已知△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,AB＝4,点D为直线AB上一动点,将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE,连接ED、BE,当BE最小时,线段AD的值为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．(2025·广东省清远市·模拟)点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是 4．(24-25八上·河南周口扶沟县·期中)如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为 ． 5．(24-25八上·江苏苏州立达中学·期中)如图，在中，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，当最小时，的度数是 ． 题型二十五 全等三角形解答题压轴之动点问题（共4小题） 1．(24-25八上·广西百色·期末)如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以 秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．(24-25八上·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 3．(24-25八上·河南南阳内乡县·期中)如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于多少秒时，与全等． 4．(24-25八上·福建泉州惠安县惠东五校·期中)如图①，在中，，，过点C作射线．点M从点B出发，以的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以a的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接、，设移动时间为t（s）． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为s； (2)当与全等时， ①若点M、N的移动速度相同，求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求t的值； (3)如图②、当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 题型二十六 全等三角形综合压轴（共4小题） 1．(24-25八上·四川成都实验外国语学校·期中)如图，等腰中，，，E点为射线上一动点，连接，在的左侧作且 (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若E点为中点，求； (3)如图，当E点在射线上运动时，连接与射线交于D点，若，则______． 2．(24-25八上·广东佛山南海外国语学校·期中)先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 3．(24-25七下·广东深圳实验学校·期中)在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 4．(24-25八上·广东佛山南海区瀚文外国语学校·期中)如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $