第1章 集合与逻辑（高效培优复习讲义）数学湘教版2019必修第一册

命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第一章集合与逻辑复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01集合的概念及表示 题型01集合的概念及表示 题型02元素与集合的关系 知识点02元素与集合的关系 题型03集合间的基本关系 题型04子集个数问题 题型05由集合的关系求参数及其范围 第一章集合与逻辑复习 知识点03集合间的基本关系 题型06集合的基本运算 题型07韦恩图的应用 题型08集合的新定义问题 知识点04集合的基本运算 题型09充要条件的判断 题型10由充要条件求参数范围 知识点05充要条件 题型11全称命题与特称命题 知识点06全称命题与特称命题 教学目标、教学重难点 1理解集合有关概念、掌握集合的常用表示方法（列举法、描述法及相互转化）、理解掌握 常用数集的记法，了解有限集、无限集的意义： 2理解集合元素的性质：确定性、无序性、互异性： 3.理解元素与集合、集合与集合的区别，能在解题时正确区分它们；理解集合之间包含 教学目标 与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集； 4理解与掌握空集的含义，在解题中能够针对空集进行讨论； 5理解并集、交集、全集与补集的意义，掌握集合间的运算方法： 6理解充分条件、必要条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的意义与要求. 7.会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件. 1、重点：理解并集、交集、全集与补集的意义，能够熟练进行集合间的运算； 教学重难点 2、难点：(1)充要条件： (②)理解全称量词与存在量词的含义及符号表示，这两类命题的真假判断. 知识清单 知识点01集合的概念及表示 1集合的含义：某些指定对象的部分或全体构成一个集合. 构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象， 2.集合元素的特征 (1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素， (2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现. (3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关. 第1页共48页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.集合的常用表示法：集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图） 4.常用数集的表示 集合非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集 符号N T*(或N)ZQ R 【即学即练1-1】(2025高一上全国.专题练习)下列各对象可以组成集合的是( A.与1非常接近的全体实数 B.新学期2025~2026学年度第一学期全体高一学生 C.高一年级视力比较好的同学 D.高中学生中的游泳高手 【答案】B【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可， 【详解】对于A:“非常接近”不具有确定性，故选项A错误： 对于B:对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确： 对于C:“比较好”不具有确定性，故选项C错误： 对于D:“高手”不具有确定性，故选项D错误故选：B 【即学即练1-2】（多选(25-26高一上山东德州开学考试）下列说法正确的是() A.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C.由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3 组成的集合中有5个元素 【答案】AD【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】利用集合的定义及集合中元素特征，对各个选项逐一分析判断，即可求解 【详解】对于A,因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确： 对于B,因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误： 对于C,不大于3的自然数有0,1,2,3，组成的集合的所有元素为0,1,2,3，故C错误： 对于D,因为24’24 361。 所以最105s,士·子子得 组成的集合中有5个元素，则D正确 故选：AD 知识点02元素与集合的关系 元素与集合的关系：元素与集合之间的关系包括属于（记作a∈A)和不属于（记作a度A)两种. 【即学即练2-1】(2025高一全国专题练习)已知集合A=x∈(x+1)=4,则() A.-3∈A B.-1∈A C.1∈A D.3∈A 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】解方程(x+1)2=4,结合x∈N,化简集合A即可求解 第2页共48页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【详解】因为(x+)2=4,所以x=1或x=-3 又xeN,所以x=1,A={xeN(x+1)=4={,故1eA.故选：C 【即学即练2-2】(24-25高三下云南昭通阶段练习)设集合A={xx2-5x+=0},若1∈A,则A=() A.} B.1,4} C.1,2} D.1,4} 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由元素与集合的关系求出参数m=4,求解方程从而得到集合A. 【详解】1∈A,所以12-5+m=0→m=4,m=4时，x2-5x+4=0, 解得x=1或x=4,即A=1,4.故选：D. 知识点03集合间的基本关系 1.子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A二B(或B2) 2.真子集：如果集合ASB,但存在元素x∈B,且xA,就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 3.相等：若A二B,且B二A,则A=B 4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为☑：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 5.常用结论 (I)子集个数：含有n个元素的有限集合M,其子集个数为2”； 其真子集个数为2n一1： 其非空子集个数为2一1： 其非空真子集个数为2一2. (2).0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 【即学即练3-1】(25-26高一上·全国·课后作业)下列说法中正确的是() A.0与{0}表示同一个集合 B.集合1,2,3}与{3,2,1}是两个相同的集合 C.方程(x-1)(x-2)=0的解集为1,1,2}D.集合{x4<x<5}可以用列举法表示 【答案】B【难度】0.94【知识点】列举法表示集合、判断两个集合是否相等、判断是否为同一集合 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论， 【详解】对于A,0是元素不是集合，O}表示以0为元素的一个集合，所以A错误： 对于B,{1,2,3}与3,2,1}元素完全相同，且集合中元素有无序性，所以是两个相同的集合，所以B正确： 对于C,所给集合不满足集合中元素的互异性，方程(x-1)(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为1,2}， C选项错误； 对于D,集合{4<x<5}表示大于4且小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，所以不可以用 列举法表示，所以D错误.故选：B 【即学即练3-2】(2024高一上全国.专题练习)下列四组中表示同一集合的为) A.M={(-1,3)},N={3,-1)} B.M={-1,3},N={3,-1} 第3页共48页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.M=(x,y)ly=x2+3x,N=xly=x2+3x D.M=0},N=0 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可 【详解】选项A:两个集合中元素对应的坐标不同，A错误： 选项B:集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确： 选项C:两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误： 选项D:M是以0为元素的集合，N是数字0，D错误故选：B 知识点04集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 AB (A CvA 符号语言 AUB={xx∈A,或x∈B} AnB={xx∈A,且x∈B} CuA={xx∈U,且x年A} 1.集合的运算性质 (I)交换律：AUB=BUA:A∩B=B∩A: (2)结合律：(AUB)UC=AU(BUC:(AnB)nC=An(BnC: (3)分配律：A∩B)UC=AUC)n(BUC:(AUB)∩C=(AnC)U(B∩C): 2.德摩根律：C(AUB)=(CA)∩(CB):C(A∩B)=(CA)U(CB): 3AUB=A÷B≤A;A∩B=B÷B.SA, 4容斥原理：一般地，对任意两个有限集A,B card(A UB)=card(A)+card(B)-card(A n B) card(A UB U C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A n B)-card(An c)-card(Bnc)+card(An Bnc) A∩B 4∩Bn0 B 5.集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解： 若已知的集合是点集，用数形结合法求解： 若己知的集合是抽象集合，用Venn图求解. 【即学即练41】(2025山东泰安模拟预测)已知全集为R,集合A={1<x<2,B={xx>4,则) A.A∩B=AB.AUB=R C.Bn(CRA)=B D.AU(CRB)=A 【答案】C【难度】0.65【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据交集的运算判断A,根据并集的运算举反例判断B,根据补集和交集的运算判断C,根据补集 第4页共48页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 和并集的运算判断D. 【详解】对于A选项，因为A={x1<x<2,B={xx>4},所以A∩B=O≠A,故A不正确： 对于B选项，因为3R,但3EAUB,得AUB≠R,故B不正确： 对于C选项，由B={xx>4,A={1<x<2},则CA={8≤1或x≥2} 所以Bn(CA)=B,故C正确： 对于D选项，由B={xx>4,得CB={xx≤4， 又A={x1<x<2},所以AU(CB)={xk≤4≠A,故D不正确.故选：C 【即学即练42】(24-25高二下江西赣州期末)已知全集U=N,，集合A={xx=3k,k∈N}, B={xx=6k,k∈N,则正确的关系是() A.AUB=B B.Bn(CuA)=C.BU(CuA)=U D.An(CuB)=A 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算、并集的概念及运算 【分析】根据题意先判断集合A与集合B的基本关系，再逐项验证即可 【详解】由A={xx=3k,k∈N},当k=2n,n∈N,A={xx=6n,neN},所以A=B, 当k=2+l,n∈N,A={k=6n+3,n∈N},所以BCA,所以AUB=A,故A错误： B∩(CuA)=O,故B正确：由BSA,所以BU(CuA)≠U,故C错误： 因为BcA,所以An(CuB)≠A,故D错误.故选：B. N 知识点05充要条件 (一)充分条件、必要条件与充要条件的概念 1.若卫→q,则P是q的充分条件，9是卫的必要条件： 2.若p三q且q书p,则P是q的充分不必要条件： 3.若p羚q且9→卫，则P是9的必要不充分条件： 4.若p台9，则P是9的充要条件： 5若p羚q且q羚p,则P是q的既不充分也不必要条件 (二)等价转化法判断充分条件、必要条件 1.若P是9的充分不必要条件一一q是一P的充分不必要条件； 2.若P是q的必要不充分条件一一q是一P的必要不充分条件： 3.若P是q的充要条件一q是一卫的充要条件： 第5页共48页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 4.若卫是9的既不充分也不必要条件一一9是P的既不充分也不必要条件. (三)集合判断法判断充分条件、必要条件 若P以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即P:A={xp(x)},q:B={xq(x)},则 1.若A≤B,则P是9的充分条件： 2.若B三A,则P是9的必要条件： 3.若A主B,则P是I的充分不必要条件： 4若B三A,则P是q的必要不充分条件： 5.若A=B,则P是9的充要条件： 6若A手B且BA,则P是q的既不充分也不必要条件 (四)注意区别两种结构 1若卫是9的充分不必要条件一p→q且q花P(标志性词：“是”，此时卫与q正常顺序) 2若P的充分不必要条件是9一9P卫且P(q(标志性词：“的”，此时P与q倒装顺序) 【即学即练5-1(24-25高三下.重庆阶段练习)已知集合A={a,0,1},B={x∈R|X≤1}，则“a=-1"是“A三B” 的) A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 【答案】C【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出集合B,再根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“a=-1"能否推出“A三B"以及“A三B” 能否推出"a=-1”,进而确定“a=-1"是“A二B"的什么条件. 【详解】已知B={x∈Rx2≤1}，解不等式x2≤1，即-1≤x≤1，所以B={x|-1≤x≤1 判断充分性：当a=-1时，集合A={1,0,1},此时集合A中的所有元素都在集合B中，满足A三B, 所以由“a=-1"可以推出“A三B”,充分性成立. 判断必要性：若AsB,因为集合A={a,0,1},集合B={x-1≤x≤1}， 所以a的值可以为-1，也可心以是其他值知a=行，不一定只能是-1， 即由“A≤B”不能推出“a=-1”,必要性不成立 所以“a=-1"是“AsB"的充分不必要条件，故选：C. 【即学即练52】24-25高二下安徽合肥期未)设mR且m≠0，“不等式m+>2“成立的一个充分不必要 条件是() A.>0 B.m>1 C.>0且m≠1D.m≥1 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式 【分析】求解不等式+1>2，根据充分不必要条件的逻辑关系判断各选项，即得答案 1 【详解】不等式m+上>2即心-2+10，即0m-少>0，解得m>0且m+1, n 第6页共48页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 结合选项，只有m>1对应的集合{m>1}为{mm>0且≠1}的真子集， 1 故“不等式m+二>2"成立的一个充分不必要条件是m>1,故选：B 【即学即练5-31(24-25高一上广东江门期中)若p:1-x>0是q:2x≤a的必要不充分条件，则实数a的取值 范围为) A.a>2 B.a22 C.a<2 D.a≤2 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可 【详解】依思意知：P:x<1,9:X≤号，因为P是g的必要不充分条件， 所以≤=<，所以号<1，解得a<2故选：C 知识点06全称命题与特称命题 (一)全称量词与特称量词： 1全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。 2存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“了”表示。 (二)全称量词命题、存在量词命题及其否定 1.全称量词命题及其否定 (1)全称量词命题：对M中的任意一个x,有p(x)成立；数学语言：命题p:Vx∈M,p(w) (2)全称量词命题的否定：一p:3xo∈M,p(o) 2.存在量词命题及其否定 (1)存在量词命题：存在M中的元素x,有P(x)成立；数学语言：命题p:3xo∈M,p(xo). (2)存在量词命题的否定：p:Vx∈M,p(x). (三)常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于（≠） 不大于（≤） 不小于（≥）不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 个也没有 【即学即练6-1】(25-26高一上广西·开学考试)己知命题P:Vx>0,x2-3x+2≥0则() A.P是真命题，p:x>0,x2-3x+2<0B.P是真命题，p:3x>0,x2-3x+2≤0 C.P是假命题，p:x>0,x2-3x+2<0D.P是假命题，p:3x>0,x2+3x-2≤0 【答案】C【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解。 【详解】由x2-3x+2≥0，得x≤1或x≥2，则当1<x<2时，x2-3x+2<0,故P是假命题， 第7页共48页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又因为：p:x>0,x2-3x+2<0.故选：C 【即学即练6-2】(23-24高一上北京海淀阶段练习)已知命题P:“x∈[1,2]，x-a≥0”， 命题q:“3x∈R,x2+2x+4=0”.若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数a的 取值范围是() A.{al-2<a≤1} B.{a-2<a≤2}c.{a-2<a<2}D.{al1≤a<2} 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案 【详解】由题意知命题P:"x∈[1,2]，x-a≥0"为全称量词命题，是真命题， 故x∈[1,2]，x≥a,可得a≤1： 结合题意知命题9：“x∈R,x2+2ax+4=0"为假命题， 则x∈R,x2+2ar+4≠0，即x2+2ax+4=0无实数解， 则△=4a2-16<0,解得-2<a<2, a≤1 综合上述α需满足 -2<a<21 可知实数a的取值范围是{ad-2<a≤1}，故选：A 题型精讲 题型01集合的概念及表示 ()用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是 数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合xy=x)},yy=心x)乃，{c,y)y=)}三者是不同的 (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注 意检验集合中的元素是否满足互异性。 【典例1-1】(24-25高一上·广东清远阶段练习)给出下列说法： ①所有接近于0的数构成一个集合：②2019年高考数学全国卷I中的选择题构成一个集合： ③高科技产品构成一个集合；④所有不大于3的自然数构成一个集合： ®1,05，吉组成的案合含有4个元燕 其中正确的是() A.①②④ B.②③⑤ C.③④⑤ D.②④ 【答案】D【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可 【详解】对于①：接近于0的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误： 对于②：2019年高考数学全国卷I中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确： 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误： 对于④：不大于3的自然数为0,1,2,3，能构成集合，故④正确： 对于⑤：因为=0,5，不能构成一个集合，故⑤错误：故选：D, 2 第8页共48页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【典例1-2】(24-25高一上湖南长沙阶段练习)下列说法正确的是() A.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C.数10号组成的集合中有7个元素D。由不大于4的白然数组成的朱合的所有元素为1234 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果 【详解】对于A,"很喜欢"”没有明确的标准，不符合集合确定性，不能组成一个集合，故A错误： 对于B,联合国安理会常任理事国有明确标准，符合集合确定性，能组成一个集合，故B正确： 对丁C,因为存在号。，所以组成的架合中不可能有7个元素，故C错误： 对于D,由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,1,2,3,4，故D错误：故选：B. 【典例1-3】(24-25高一上·安徽毫州·阶段练习)2024巴黎奥运会己圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强 拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是() A.全体参赛国家 B.全体裁判员 C.全体荣获金牌的运动员 D.全体表现较好的运动员 【答案】D【难度】0.85【知识点】判断元素能否构成集合【分析】由集合的概念可得答案 【详解】根据集合元素的确定性可以判断A,B,C正确： 对于D,“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 《变式1-1】(24-25高一上山东德州阶段练习)下列元素的全体能构成集合的是() A.某学校个子高的学生 B.巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C.2024年参加“两会”的代表 D.兀的近似值 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断元素能否构成集合【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误： B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误： C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会"的代表能构成集合，C正确： D选项，精确度未确定的情况下，兀的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误.故选：C 【变式1-2】（多选）(24-25高一上·福建泉州阶段练习)下面四个说法中正确的是() A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7} B.由2,3组成的集合可表示为{2,3}或3,2} C.方程x2-4x+4=0的所有解组成的集合是{2,2}D.0与{②}表示同一个集合 【答案】AB【难度】0.94【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合 【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可. 【详解】对于A,10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故A正确： 对于B,由集合中元素的无序性知{2,3}和3,2}表示同一集合，故B正确： 对于C,方程x2-4x+4=0的所有解组成的集合是{2}，故C错误： 第9页共48页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 对于D,{②}表示以O为元素的集合，故D错误.故选：AB. 《变式1-3】（多选24-25高一上·湖南·阶段练习）下列对象能构成集合的有() A.接近于2025的所有正整数 B.小于-3的实数 C.未来10年内的房价趋势 D.点M(3,2)与点N(4,3) 【答案】BD【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的确定性判断各项是否能构成集合即可. 【详解】对于A,接近于2025所有正整数的标准不明确，不能构成集合. 对于B,小于一3的实数是确定的，能构成集合. 对于C,未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合. 对于D,点M(3,2)与点N(4,3)是两个不同的点，是确定的，能构成集合.故选：BD 凰变式1-4】（多选24-25高一上·江西阶段练习)下列各组对象能构成集合的有() A.南昌大学2024级大一新生 B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C.体型庞大的海洋生物 D.唐宋八大家 【答案】ABD【难度】O.94【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A,因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A正确， 对于B,因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B正确， 对于C,因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C错误， 对于D,因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D正确.故选：ABD 【变式1-5】(24-25高一上·上海随堂练习)下列各组对象能组成一个有限集的有 ·(填序号) (1)小于100的自然数；(2)等腰直角三角形的全体；(3)平面内到坐标原点距离为1的所有点： (4)方程x2-1=0的实数根：(5)高一(1)班喜欢数学的全体同学。 【答案】(1(4)【难度】0.94【知识点】列举法表示集合、判断元素能否构成集合 【分析】根据有限集的定义逐一可以判断 【详解】对于(1)，小于100的自然数，可以一一列举，0,1,2,3，，99，故(1)为有限集： 对于(2)，等腰直角三角形有无限多个，故(2)不是有限集： 对于(3)，在平面直角坐标系内，单位圆上的所有点到原点的距离都为1，所以到坐标原点距离为1的点有无 穷多个，故(3)不是有限集： 对于(4)，x2-1=0的实数根为x=1或x=-1,共两个，故(4)为有限集： 对于(5)，到底有多喜欢算喜欢，无法定论，故元素不确定，故(5)不是集合；故答案为：(1(4). 题型02元素与集合的关系 【典例2-1】(25-26高一上全国课后作业)集合A={x∈Z-6<4x-2<6},则下列表示正确的是( A.0EAB.0∈AC.1EAD.-1∈A 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可. 第10页共48页 第一章 集合与逻辑 复习讲义 教学目标 1.理解集合有关概念、掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化)、理解掌握常用数集的记法，了解有限集、无限集的意义； 2.理解集合元素的性质：确定性、无序性、互异性； 3.理解元素与集合、集合与集合的区别，能在解题时正确区分它们；理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集; 4.理解与掌握空集的含义，在解题中能够针对空集进行讨论； 5.理解并集、交集、全集与补集的意义，掌握集合间的运算方法； 6.理解充分条件、必要条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的意义与要求. 7.会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件. 教学重难点 1、重点：理解并集、交集、全集与补集的意义，能够熟练进行集合间的运算； 2、难点：(1)充要条件； (2)理解全称量词与存在量词的含义及符号表示，这两类命题的真假判断. 知识点01 集合的概念及表示 1.集合的含义：某些指定对象的部分或全体构成一个集合． 构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2.集合元素的特征 (1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． (2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． (3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3.集合的常用表示法：集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． 4.常用数集的表示 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【即学即练1-1】(2025高一上·全国·专题练习)下列各对象可以组成集合的是(　　) A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【即学即练1-2】(多选)(25-26高一上·山东德州·开学考试)下列说法正确的是( ) A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 知识点02 元素与集合的关系 元素与集合的关系：元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种． 【即学即练2-1】(2025高一·全国·专题练习)已知集合，则( ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(24-25高三下·云南昭通·阶段练习)设集合，若，则( ) A． B． C． D． 知识点03 集合间的基本关系 1.子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． 2.真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A(或B)． 3.相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 5.常用结论 (1).子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n； 其真子集个数为2n－1； 其非空子集个数为2n－1； 其非空真子集个数为2n－2. (2).是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【即学即练3-1】(25-26高一上·全国·课后作业)下列说法中正确的是( ) A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的解集为 D．集合可以用列举法表示 【即学即练3-2】(2024高一上·全国·专题练习)下列四组中表示同一集合的为( ) A．， B．， C．， D．， 知识点04 集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 1.集合的运算性质 (1)交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A； (2)结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)； (3)分配律：(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)；(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)； 2.德摩根律：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； 3.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A. 4.容斥原理：一般地，对任意两个有限集, 推广： 5.集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； 若已知的集合是点集，用数形结合法求解； 若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解. 【即学即练4-1】(2025·山东泰安·模拟预测)已知全集为，集合，，则( ) A． B． C． D． 【即学即练4-2】(24-25高二下·江西赣州·期末)已知全集，集合，，则正确的关系是( ) A． B． C． D． 知识点05 充要条件 (一)充分条件、必要条件与充要条件的概念 1.若，则是的充分条件，是的必要条件； 2.若且，则是的充分不必要条件； 3.若且，则是的必要不充分条件； 4.若，则是的充要条件； 5.若且，则是的既不充分也不必要条件. (二)等价转化法判断充分条件、必要条件 1.若是的充分不必要条件是的充分不必要条件； 2.若是的必要不充分条件是的必要不充分条件； 3.若是的充要条件是的充要条件； 4.若是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件. (三)集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 1.若，则是的充分条件； 2.若，则是的必要条件； 3.若，则是的充分不必要条件； 4.若，则是的必要不充分条件； 5.若，则是的充要条件； 6.若且，则是的既不充分也不必要条件. (四)注意区别两种结构 1.若是的充分不必要条件且(标志性词：“是”，此时与正常顺序) 2.若的充分不必要条件是且(标志性词：“的”，此时与倒装顺序) 【即学即练5-1】(24-25高三下·重庆·阶段练习)已知集合，，则“”是“”的( ) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【即学即练5-2】(24-25高二下·安徽合肥·期末)设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是( ) A． B． C．且 D． 【即学即练5-3】(24-25高一上·广东江门·期中)若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为(      ) A． B． C． D． 知识点06 全称命题与特称命题 (一)全称量词与特称量词： 1.全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 2.存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. (二)全称量词命题、存在量词命题及其否定 1.全称量词命题及其否定 (1)全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：命题p：∀x∈M，p(x). (2)全称量词命题的否定：p：∃x0∈M，p(x0). 2.存在量词命题及其否定 (1)存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：命题p：∃x0∈M，p(x0). (2)存在量词命题的否定：p：∀x∈M，p(x). (三)常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于() 大于() 小于() 是 否定词语 不等于() 不大于() 不小于() 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【即学即练6-1】(25-26高一上·广西·开学考试)已知命题：，则( ) A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 【即学即练6-2】(23-24高一上·北京海淀·阶段练习)已知命题：“”， 命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 题型01 集合的概念及表示 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 【典例1-1】(24-25高一上·广东清远·阶段练习)给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合；②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合；④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是( ) A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【典例1-2】(24-25高一上·湖南长沙·阶段练习)下列说法正确的是( ) A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【典例1-3】(24-25高一上·安徽亳州·阶段练习)2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是( ) A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【变式1-1】(24-25高一上·山东德州·阶段练习)下列元素的全体能构成集合的是( ) A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【变式1-2】(多选)(24-25高一上·福建泉州·阶段练习)下面四个说法中正确的是( ) A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 【变式1-3】(多选)(24-25高一上·湖南·阶段练习)下列对象能构成集合的有( ) A．接近于2025的所有正整数 B．小于的实数 C．未来10年内的房价趋势 D．点与点 【变式1-4】(多选)(24-25高一上·江西·阶段练习)下列各组对象能构成集合的有( ) A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 【变式1-5】(24-25高一上·上海·随堂练习)下列各组对象能组成一个有限集的有 ．(填序号) (1)小于100的自然数；(2)等腰直角三角形的全体；(3)平面内到坐标原点距离为1的所有点； (4)方程的实数根；(5)高一(1)班喜欢数学的全体同学． 题型02 元素与集合的关系 【典例2-1】(25-26高一上·全国·课后作业)集合，则下列表示正确的是( ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高一上·全国·课前预习)已知集合，，则集合中的元素个数为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【典例2-3】(23-24高一上·安徽安庆·阶段练习)设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有( ) 个. A．0 B．2 C．4 D．6 【变式2-1】(25-26高一上·全国·单元测试)已知集合，则( ) A． B． C． D． 【变式2-2】(24-25高一上·全国·课前预习)集合为非零常数，则下列不正确的是( ) A． B． C． D． 【变式2-3】(23-24高一下·江西·阶段练习)若集合，，则中所有元素的和为( ) A． B． C． D． 【变式2-4】(24-25高一上·上海浦东新·阶段练习)已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为( ) (1)，(2)，(3) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-5】(25-26高一上·福建龙岩·开学考试)若，则 . 题型03 集合间的基本关系 1、两种方法： (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系； (2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系 2、一个关键：关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系 3、根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论(必须优先考虑空集的情况)，做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 【典例3-1】(24-25高一上·天津·阶段练习)下列说法中正确的是( ) ①空集与表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为；④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【典例3-2】(25-26高一上·全国·单元测试)给出下列四个结论：①；②R；③；④． 其中正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3-3】(多选)(24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习)对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是( ) A．如果，那么 B．若，对于任意的，则 C．如果，，那么 D．，使 【变式3-1】(2025高一上·湖南岳阳·专题练习)下列不是同一集合的是(　　) A．且 B． C． D． 【变式3-2】(24-25高一上·重庆·阶段练习)下列命题中正确的( ) A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【变式3-3】(24-25高一上·湖北十堰·阶段练习)若集合，，，则A，B，C之间的关系是( ) A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 【变式3-4】(多选)(23-24高一上·江苏常州·阶段练习)下列各组中表示不同集合的是( ) A．， B．， C．， D．， 【变式3-5】(25-26高一上·北京·开学考试)若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 (填序号)． 题型04 子集个数问题 【典例4-1】(24-25高一上·安徽蚌埠·期中)集合的子集个数为( ) A．3 B．4 C．7 D．8 【典例4-2】(25-26高一上·河南信阳·开学考试)已知集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为( ) A． B． C． D．或 【典例4-3】(25-26高一上·全国·课前预习)已知集合满足，则不同的集合的个数为 ． 【变式4-1】(25-26高一上·全国·课后作业)已知集合，则集合的非空真子集的个数为( ) A．4 B．8 C．14 D．15 【变式4-2】(25-26高一上·全国·单元测试)已知集合，则集合的子集个数为( ) A．16 B．15 C．4 D．8 【变式4-3】(2025高三·全国·专题练习)已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为( ) A．1 B．3 C．4 D．不确定 【变式4-4】(2025高二上·北京·学业考试)已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-5】(25-26高一上·湖北武汉·开学考试)定义集合的运算： 已知集合，则． 若集合，则集合的真子集个数的可能取值是 ． 题型05 由集合的关系求参数及其范围 【典例5-1】(2025高一上·北京·专题练习)已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是( ) A． B． C． D． 【典例5-2】(2025高一·全国·专题练习)若集合，，且，则实数的值可以是( ) ． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【典例5-3】(24-25高二下·浙江杭州·期末)已知集合，，若，则实数的值为( ) A． B．0 C．1 D．2 【变式5-1】(2025高一·全国·专题练习)已知集合，，且，则实数的取值范围为( ) A． B．或 C． D．或 【变式5-2】(24-25高二下·天津滨海新·期中)已知集合，且，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【变式5-3】(24-25高二下·北京·期中)已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是( ) A．506 B．507 C．1012 D．1013 【变式5-4】(多选)(23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习)已知集合，若，则的可能取值为( ) A． B． C．0 D． 【变式5-5】(2025高一·全国·专题练习)已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 题型06 集合的基本运算 1、集合基本运算的方法技巧 2、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观 对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图； 对连续的数集间的运算，常利用数轴进行； 对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解． 这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用． 3、集合运算中参数问题的求解策略 集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍. 具体步骤如下：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验． 【典例6-1】(25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习)若集合，，则( ) A． B． C． D． 【典例6-2】(24-25高一下·贵州遵义·阶段练习)设全集，集合，则( ) A． B． C． D． 【典例6-3】(25-26高三上·湖南长沙·阶段练习)已知集合，，则整数集可以表示为( ) A． B． C． D． 【变式6-1】(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)设集合，则( ) A． B． C． D． 【变式6-2】(23-24高一上·北京海淀·阶段练习)设集合，若，则实数的值为( ) A． B．2 C． D． 【变式6-3】(2025·安徽·模拟预测)已知全集，集合，则的子集个数为(　　) A．1 B．4 C．8 D．16 【变式6-4】(25-26高一上·上海·开学考试)已知集合，集合，则集合的子集数为 ． 【变式6-5】(25-26高一上·全国·课前预习)已知集合，集合满足且，写出一个符合条件的集合 ． 题型07 韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 【典例7-1】(多选)(24-25高一上·江西赣州·阶段练习)已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A． B． C． D． 【典例7-2】(2025高三·全国·专题练习)某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有( ) A．人 B．人 C．人 D．人 【典例7-3】(24-25高一上·湖北荆州·阶段练习)下列表示集合和关系的图中正确的是( ) A．   B．   C．   D．   【变式7-1】(2025·安徽合肥·三模)已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为( )    A．2 B．3 C．4 D．6 【变式7-2】(25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习)《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一(1)班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为( ) A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【变式7-3】(24-25高一上·福建福州·期中)设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为( ) A． B． C． D． 【变式7-4】(多选)(24-25高一上·云南昆明·期中)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则( ) A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【变式7-5】(24-25高一上·河北石家庄·阶段练习)某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 题型08 集合的新定义问题 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 【典例8-1】(23-24高一上·江苏盐城·阶段练习)设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是( ) A．5 B．6 C．8 D．9 【典例8-2】(24-25高一下·湖北黄石·阶段练习)当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例8-3】(24-25高一上·上海·开学考试)设集合是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集” 【变式8-1】(24-25高一上·山东烟台·期中)若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为( ) A．9 B．12 C．15 D．18 【变式8-2】(24-25高一上·广东珠海·阶段练习)若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-3】(23-24高一上·山西大同·期中)用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则( ) A．1 B．3 C．5 D．7 【变式8-4】(多选)(24-25高一上·河南·阶段练习)已知非空集合，，定义且，且，则下列结论一定正确的是( ) A． B． C．当时 D．当时， 【变式8-5】(23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试)已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ． 题型09 充要条件的判断 判断充要条件需注意的三点 (1)要分清条件与结论分别是什么； (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断； (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明． 【典例9-1】(24-25高一下·广东汕头·阶段练习)“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例9-2】(2025·重庆·模拟预测)若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例9-3】(24-25高一上·四川自贡·阶段练习)已知集合，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-1】(2025高一上·上海·专题练习)毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-2】(24-25高一上·广东深圳·期末)设集合则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-3】(2025高一·全国·专题练习)如果，是实数，那么“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-4】(多选)(24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习)已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 【变式9-5】(24-25高一上·全国·课堂例题)下列命题中，p是q的充分条件的是 ． ①p：，q：；②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 题型10 由充要条件求参数范围 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； ②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 【典例10-1】(25-26高一上·全国·课后作业)已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ． 【典例10-2】(2024高三·全国·专题练习)若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【典例10-3】(2022·福建宁德·模拟预测)已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【变式10-1】(2025高一·全国·专题练习)若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【变式10-2】(24-25高一上·广东广州·期中)已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式10-3】(24-25高一上·山东泰安·阶段练习)已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式10-4】(24-25高一上·天津西青·阶段练习)已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式10-5】(23-24高一上·福建·期中)已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 题型11 全称命题与特称命题 1.全称命题与特称命题真假判断 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 2.含有一个量词的命题的否定 (1)命题p：∀x∈M，p(x)；其否定：p：∃x0∈M，p(x0) (2)命题p：∀x∈M，p(x)；其否定：p：∀x∈M，p(x). 3.全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； (2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 【典例11-1】(23-24高一上·北京海淀·阶段练习)已知命题，则为( ) A．， B．， C．， D．， 【典例11-2】(25-26高一上·全国·课后作业)若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【典例11-3】(2023高一·全国·专题练习)已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【变式11-1】(25-26高一上·广东广州·开学考试)命题，的否定是( ) A．， B．， C．， D．， 【变式11-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列命题的否定既是全称量词命题又是真命题的是( ) A．所有的矩形都是正方形 B．是偶数 C． D．存在一个整数不是质数 【变式11-3】(24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末)命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为( ) A． B． C． D． 【变式11-4】(多选)(2025·河北·三模)已知集合，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 【变式11-5】(24-25高一上·河南·期末)若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 一、单选题 1.(2024高一上·全国·专题练习)下列说法中正确的是( ) A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 2.(25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)已知命题p：，，则是(　　) A．， B．， C．， D．， 3.(2025高一·全国·专题练习)我们定义一种新运算“”：对于两个集合A和B，规定，其中和分别表示集合A和B在全集下的补集，已知全集，集合，集合，则等于( ) A． B． C． D． 4.(24-25高一上·广东广州·阶段练习)有以下说法： ①“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的必要不充分条件 ③“”是“”的充分不必要条件；④“”是“”的充要条件 其中正确的说法为( ) A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 5.(24-25高一下·云南临沧·期末)设全集，集合，则中元素的个数为(  ) A．3 B．4 C．5 D．6 6.(24-25高一上·广东广州·期中)已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.(23-24高一上·北京海淀·阶段练习)已知集合满足：()； (b)，若且，则；(c)，若且，则． 给出下列四个结论：①若集合中有最大数，则集合中没有最小数； ②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数； ③，使得； ④，存在无理数，使得． 其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8.(24-25高一下·湖南·期中)置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组()，且S中所有数之和为2025，则的值为( ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(24-25高一上·广东中山·阶段练习)的一个必要条件是( ) A． B． C． D． 10.(24-25高一上·山东泰安·期中)下列命题为真命题的是(   ) A．是的必要不充分条件； B．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为； C．若集合有且仅有一个元素，则实数； D．已知，则的取值范围是． 11.(24-25高一下·云南曲靖·期末)已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则( ) A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 三、填空题 12.(25-26高一上·全国·课后作业)设集合.若，则 . 13.(24-25高一上·上海·阶段练习)已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 (取值范围用区间表示). 14.(24-25高一上·上海宝山·阶段练习)已知，，，记，，若，则集合为 . 四、解答题 15.(24-25高一上·全国·课前预习)已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值；(2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 16.(25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习)已知集合． (1)若，求实数的值；(2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 17.(2025高一上·全国·专题练习)已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18.(24-25高一上·上海浦东新·阶段练习)集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合(2)若是的必要条件，求：的取值集合 19.(24-25高一上·云南昭通·期末)集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定：， (1)若集合，直接写出集合(请写出计算过程)； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第一章集合与逻辑复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01集合的概念及表示 题型01集合的概念及表示 题型02元素与集合的关系 知识点02元素与集合的关系 题型03集合间的基本关系 题型04子集个数问题 题型05由集合的关系求参数及其范围 第一章集合与逻辑复习 知识点03集合间的基本关系 题型06集合的基本运算 题型07韦恩图的应用 题型08集合的新定义问题 知识点04集合的基本运算 题型09充要条件的判断 题型10由充要条件求参数范围 知识点05充要条件 题型11全称命题与特称命题 知识点06全称命题与特称命题 教学目标、教学重难点 1理解集合有关概念、掌握集合的常用表示方法（列举法、描述法及相互转化）、理解掌握 常用数集的记法，了解有限集、无限集的意义： 2理解集合元素的性质：确定性、无序性、互异性： 3.理解元素与集合、集合与集合的区别，能在解题时正确区分它们；理解集合之间包含 教学目标 与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集； 4理解与掌握空集的含义，在解题中能够针对空集进行讨论； 5理解并集、交集、全集与补集的意义，掌握集合间的运算方法： 6理解充分条件、必要条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的意义与要求. 7.会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件. 1、重点：理解并集、交集、全集与补集的意义，能够熟练进行集合间的运算； 教学重难点 2、难点：(1)充要条件： (②)理解全称量词与存在量词的含义及符号表示，这两类命题的真假判断. 知识清单 知识点01集合的概念及表示 1集合的含义：某些指定对象的部分或全体构成一个集合. 构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象， 2.集合元素的特征 (1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素， (2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现. (3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关. 第1页共22页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.集合的常用表示法：集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图） 4.常用数集的表示 集合非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集 符号N T*(或N)ZQ R 【即学即练1-1】(2025高一上全国.专题练习)下列各对象可以组成集合的是( A.与1非常接近的全体实数 B.新学期2025~2026学年度第一学期全体高一学生 C.高一年级视力比较好的同学 D.高中学生中的游泳高手 【即学即练1-2】（多选(25-26高一上山东德州开学考试）下列说法正确的是() A.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C.由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3 0.数105，4 36 组成的集合中有5个元素 知识点02元素与集合的关系 元素与集合的关系：元素与集合之间的关系包括属于（记作a∈A)和不属于（记作a庄A)两种. 【即学即练2-1】(2025高一全国专题练习)已知集合A=∈N(x+1)=4,则() A.-3∈A B.-1∈A C.1∈A D.3∈A 【即学即练2-2】(24-25高三下·云南昭通阶段练习)设集合A={xx2-5x+m=0},若1∈A,则A=() A.1} B.L,4} C.1,2} D.1,4} 知识点03集合间的基本关系 1.子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A≤B(或B2A). 2.真子集：如果集合A三B,但存在元素x∈B,且x年A,就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 3.相等：若A∈B,且B≤A,则A=B. 4空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为☑；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 5.常用结论 (I).子集个数：含有n个元素的有限集合M,其子集个数为2"； 其真子集个数为2n-1: 其非空子集个数为2n一1： 其非空真子集个数为2一2， 第2页共22页 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2).⑦是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 【即学即练3-1】(25-26高一上·全国·课后作业)下列说法中正确的是() A.0与{0表示同一个集合 B.集合1,2,3}与{3,2,1}是两个相同的集合 C.方程(x-1)(x-2)=0的解集为1,1,2}D.集合{x4<x<5}可以用列举法表示 【即学即练3-2】(2024高一上·全国.专题练习)下列四组中表示同一集合的为) A.M={-1,3},N={3,-1} B.M={-1,3},N={3,-1} C.M=(x,y)y=x2+3x,N=xy=x2+3x D.M=0},N=0 知识点04集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 (A08 A(B A 符号语言 AUB={xx∈A,或x∈B} AnB={xx∈A,且x∈B} CuA={xx∈U,且x年A} 1.集合的运算性质 (I)交换律：AUB=BUA:A∩B=B∩A: (2)结合律：(AUB)UC=AU(BUC:(AnB)nC=A∩(B∩C): (3)分配律：(AnB)UC=(AUC)n(BUC:(AUB)∩C=(A∩CU(BnC): 2.德摩根律：C(AUB)=(CA)n(CB):CA∩B)=(CA)U(CB): 3AUB=A÷B≤A;A∩B=B÷B.≤A 4.容斥原理：一般地，对任意两个有限集A,B card(A U B)=card(A)+card(B)-card(A n B) card(A U B UC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A n B)-card(AnC)-card(BnC)+card(An Bn c) A∩B M∩BnC B∩G B 5.集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； 若己知的集合是点集，用数形结合法求解： 若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解. 【即学即练41】(2025山东泰安·模拟预测)已知全集为R,集合A={1<x<2},B={xx>4,则() A.A0B=A B.AUB=R C.Bn(CRA)=B D.AU(CRB)=A 第3页共22页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练4-2】(24-25高二下江西赣州期末)已知全集U=N,集合A={xx=3k,k∈N}, B={xx=6k,k∈N,则正确的关系是() A.AUB=B B.Bn(CuA)=C.BU(CuA)=U D.An(CuB)=A 知识点05充要条件 (一充分条件、必要条件与充要条件的核念 1.若p→q,则P是9的充分条件，q是卫的必要条件； 2.若卫三9且q羚p,则P是9的充分不必要条件： 3.若p羚q且9→P,则P是9的必要不充分条件： 4.若卫台9，则P是9的充要条件： 5.若p书q且q羚p,则P是9的既不充分也不必要条件 (二)等价转化法判断充分条件、必要条件 1.若卫是9的充分不必要条件一9是一P的充分不必要条件： 2.若P是9的必要不充分条件一9是一P的必要不充分条件； 3.若p是q的充要条件一一9是P的充要条件： 4若卫是9的既不充分也不必要条件一一9是P的既不充分也不必要条件。 (三)集合判断法判断充分条件、必要条件 若P以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即P:A={xp(x)},q:B={xq(x)},则 1.若A二B,则P是9的充分条件： 2.若B二A,则P是q的必要条件： 3.若A≠B,则P是9的充分不必要条件： 4.若B三A,则P是q的必要不充分条件： 5.若A=B,则P是A的充要条件： 6.若AB且BA,则P是q的既不充分也不必要条件 (四)注意区别两种结构 1若P是q的充分不必要条件一P→q且9飞P(标志性词：“是”，此时卫与9正常顺序) 2.若P的充分不必要条件是q一q→p且p飞q(标志性词：“的”，此时P与9倒装顺序) 【即学即练5-1(24-25高三下.重庆阶段练习)已知集合A={a,0,1},B={x∈RX2≤1}，则“a=-1"是“A三B” 的)） A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件 【即学即练52】(2425高二下安徽合肥期末)设meR且m≠0，“不等式m+】>2”成立的一个充分不必要 第4页共22页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 条件是() A.>0 B.m>1 C.m>0且m≠1D.m≥1 【即学即练5-3】(24-25高一上广东江门期中)若p:1-x>0是q:2x≤a的必要不充分条件，则实数a的取值 范围为) A.a>2 B.a≥2 C.a<2 D.a≤2 知识点06全称命题与特称命题 (一全称量词与特称量词： 1全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示 2存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“彐”表示. (二)全称量词命题、存在量词命题及其否定 1.全称量词命题及其否定 (1)全称量词命题：对M中的任意一个x,有p(x)成立：数学语言：命题p:Vx∈M,p() (2)全称量词命题的否定：p:3xo∈M,p(xo): 2.存在量词命题及其否定 (1)存在量词命题：存在M中的元素x,有p(x)成立：数学语言：命题p:3xo∈M,pxo): (2)存在量词命题的否定：p:寸x∈M,p(x) (三)常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于（≠）】 不大于（≤） 不小于（≥）不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 个也没有 【即学即练6-1】(25-26高一上广西开学考试)已知命题P:廿x>0,x2-3x+2≥0则() A.P是真命题，一p:3x>0,x2-3x+2<0 B.P是真命题，p:3x>0,x2-3x+2≤0 C.P是假命题，p:3x>0,x2-3x+2<0D.p是假命题，p:x>0,x2+3x-2≤0 【即学即练6-2】(23-24高一上北京海淀·阶段练习)已知命题P:“x∈[1,2]，x-a≥0”， 命题9：“3x∈R,x2+2ax+4=0”.若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数a的 取值范围是() A.{a-2<a≤1} B.{a2<a≤2} c.{a-2<a<2 D.{a1≤a<2} 题型精讲 第5页共22页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01集合的概念及表示 (①)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是 数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{xy=fx)},yy=fx)},{c,y)y=f)}三者是不同的 (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注 意检验集合中的元素是否满足互异性 【典例1-1】(24-25高一上广东清远阶段练习)给出下列说法： ①所有接近于0的数构成一个集合；②2019年高考数学全国卷I中的选择题构成一个集合： ③高科技产品构成一个集合：④所有不大于3的自然数构成一个集合： ⑤1,05，多占组度的来合含有4个元煮。 其中正确的是() A.①②④ B.②③⑤ C.③④⑤ D.②④ 【典例1-2】(24-25高一上·湖南长沙阶段练习)下列说法正确的是() A.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C.数1,05,2,64组成的集合中有7个元素D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为12,3,4 3795 【典例1-3】(24-25高一上·安徽毫州阶段练习)2024巴黎奥运会己圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强 拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是() A.全体参赛国家 B.全体裁判员 C.全体荣获金牌的运动员 D.全体表现较好的运动员 《变式1-1】(24-25高一上山东德州阶段练习)下列元素的全体能构成集合的是() A.某学校个子高的学生 B,巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C.2024年参加“两会”的代表 D.T的近似值 凰变式1-2】（多选）24-25高一上福建泉州阶段练习)下面四个说法中正确的是() A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7} B.由2,3组成的集合可表示为{2,3}或{3,2} C.方程x2-4x+4=0的所有解组成的集合是{2,2}D.☑与0}表示同一个集合 【变式1-3】（多选24-25高一上湖南阶段练习）下列对象能构成集合的有() A.接近于2025的所有正整数 B.小于-3的实数 C.未来10年内的房价趋势 D.点M(3,2)与点N(4,3) 【变式1-4】（多选24-25高一上·江西阶段练习）下列各组对象能构成集合的有() A.南昌大学2024级大一新生 B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员 第6页共22页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 C.体型庞大的海洋生物 D.唐宋八大家 【变式1-5】(24-25高一上·上海随堂练习)下列各组对象能组成一个有限集的有 ·(填序号) (1)小于100的自然数；(2)等腰直角三角形的全体；(3)平面内到坐标原点距离为1的所有点： (4)方程x2-1=0的实数根；(5)高一(1)班喜欢数学的全体同学. 题型02元素与集合的关系 【典例2-1】(25-26高一上，全国课后作业)集合A={x∈☑-6<4x-2<6},则下列表示正确的是() A.0EAB.0∈AC.1EAD.-1∈A 【典例2-21(25-26高一上·全国课前预习)已知集合A={x∈Zx<2},2 则集合B 中的元素个数为) A.5 B.6 C.7 D.8 〖典例2-3】(23-24高一上安徽安庆阶段练习)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A,如果k-1EA, 且k+1EA,那么k是A的一个“孤立元”，给定S=1,2,3,4,5,6,7,8,由$的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有()个. A.0 B.2 C.4 D.6 【变式2-1】(25-26高一上全国单元测试)已知集合A=(x,y)x2+y2=8,x,y∈N},则() A.(2,3)∈A B.(17)eA C.(2,-2)∈A D.(2,2)∈A a 【变式2-2】(24-25高一上·全国·课前预习)集合P={xx= ,a,b为非零常数}，则下列不正确的是() a b A.-1∈P B.-2∈P C.0∈P D.2∈P 【变式23】23-24商一下江西阶段练习若集合A=248,8=e4e4, 则B中所有元素的和为) 31 A. 27 B. 4 4 C.39 4 D.49 4 【变式2-4】(24-25高一上·上海浦东新·阶段练习)已知M是满足下列条件的集合：①0∈M,1∈M;②若x, y∈M,则x-y∈M:③若x∈M且x≠0，则上∈M.则下列说法正确的个数为() 1 (1)2∈M,②)x+y∈M，(3)x∈M 第7页共22页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 【变式25】(25-26高一上福建龙岩开学考试)若2∈{1，a+1,a+1},则a= 题型03集合间的基本关系 1、两种方法： (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系： (2)用列举法（图示法）表示各集合，从元素（图形）中寻找关系 2、一个关键：关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系 3、根据两集合的关系求参数的方法 己知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑 空集的情况)，做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系， 常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题 (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时应注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到， 【典例3-1】(24-25高一上·天津阶段练习)下列说法中正确的是() ①空集⑦与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3}或{3,2,1}： ③方程x2(x+1)=0的所有解的集合可表示为0,0，-1}；④集合{x4<x<5}可以用列举法表示. A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.只有②和④ 【典例32】(25-26高一上全国单元测试)给出下列四个结论：①∈Q:②2R:③0}=0：④N红. 其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【典例3-3】（多选24-25高一上安徽马鞍山阶段练习）对于集合M={aa=x2-y2,x∈Z,y∈Z,给出如下 结论，其中正确的结论是() A.如果B=blb=2n+l,n∈N},那么BsMB.若C={c|c=2n,n∈N},对于任意的c∈C,则c∈M C.如果a,∈M,a2∈M,那么a,a2eM D.k∈Z,使k2∈M 【变式31】(2025高一上湖南岳阳.专题练习)下列不是同一集合的是() A.A={x|x=2,n∈N且0<n<5},B={2,4,6,8 B.A={xx>1以，B=例y>1 C.A=xy=x+1,B=(x,y)ly=x+1 D.A={xx>0,x∈N},B={x|x>0,x∈Z} 【变式32】(24-25高一上·重庆阶段练习)下列命题中正确的) 第8页共22页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.☑与0}表示同一个集合： B.方程{x|(x-2)'(x-3)=0}的所有解的集合可表示为{2,2,3}： C.由3,4,5组成的集合可表示为{3,4,5}或{4,5,3}： D.很小的实数可以构成集合. 【变式33】24-25高一上湖北十堰阶段练习)若集合A=xx=m+meZ,B={x=ne2? 6 c-x号后pe,则4,8，c之间的关系是() A.A=B=C B.A B=C C.B=C A D.B C=A 【变式3-4】（多选23-24高一上江苏常州阶段练习）下列各组中M,P表示不同集合的是() A.M={3,-1},P={3,-1} B.M={(3,1)},P={1,3)} C.M={yy=x2+1,x∈R,P={xx=t2+l,t∈R} D.M={yy=x2-1,xER,P={(x.y)y=x2-1.xER 【变式35】(25-26高一上北京开学考试)若A=01,2,3},B={0},并有以下7个关系式： ①BEA;②ASA;③B二A;④0∈A;⑤O=B;⑥O二O;⑦0=O 其中正确的有（填序号）. 题型04子集个数问题 【典例41】(24-25高一上安徽蚌埠期中)集合A={x∈N0<x<4}的子集个数为() A.3 B.4 c.7 D.8 【典例42】(25-26高一上河南信阳·开学考试)已知集合A={x∈R|x2++2=0}有且仅有2个子集，则实 数a的取值集合为) A.{al-2v2≤a≤2w B.{-2W2,22} c.{22 D.{aa<-22或a>2W 【典例4-3】(25-26高一上.全国·课前预习)已知集合M满足{-1,1}二M二{-4，-1,1,2}，则不同的集合M的个 数为 第9页共22页 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式41】2526高一上全国课后作业)已知集合A={x-7<0,xEN},则集合B={6∈N,yeA的 y 非空真子集的个数为) A.4 B.8 C.14 D.15 【变式42】(25-26高一上·全国单元测试)已知集合A=0,2},B={1,2,3},C={ba∈A,b∈B},则集合C的 子集个数为) A.16 B.15 C.4 D.8 I变式43】(2025高三·全国.专题练习)已知a为给定实数，那么集合M=xx-3x-d+2=0,x∈R的非 空子集的个数为() A.1 B.3 C.4 D.不确定 【变式44】(2025高二上北京学业考试)已知集合A=1,2,3,4.若存在A的n个不同的非空子集，它们的并 集是A的真子集，则n的最大值是() A.5 B.6 C.7 D.8 【变式45】(25-26高一上湖北武汉·开学考试)定义集合的⊙运算： 己知合4B,则A08={=号aeAe 若集合A=1,x},B={x2,x},则集合AOB的真子集个数的可能取值是」 题型05由集合的关系求参数及其范围 凰典例5-1】(2025高一上北京，专题练习)已知集合A={x2≤x≤5}，B={xm+1≤x≤2m-1},若B为A的 真子集，则的取值范围是() A.{m|m<2} B.{m2≤m<3} c.{nlm≤3} D.{m2<m≤3} 【典例5-21(2025高一全国·专题练习)若集合A={1,x,4,B={1,x},且BA,则实数x的值可以是(). A.2B.2,-2C.2,-2,0D.2,-2,0,1 【典例5-3】(24-25高二下浙江杭州期末)已知集合A=1,3,},B=1,a+2},若AUB=A,则实数a的 值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 第10页共22页 第一章 集合与逻辑 复习讲义 教学目标 1.理解集合有关概念、掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化)、理解掌握常用数集的记法，了解有限集、无限集的意义； 2.理解集合元素的性质：确定性、无序性、互异性； 3.理解元素与集合、集合与集合的区别，能在解题时正确区分它们；理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集; 4.理解与掌握空集的含义，在解题中能够针对空集进行讨论； 5.理解并集、交集、全集与补集的意义，掌握集合间的运算方法； 6.理解充分条件、必要条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的意义与要求. 7.会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件. 教学重难点 1、重点：理解并集、交集、全集与补集的意义，能够熟练进行集合间的运算； 2、难点：(1)充要条件； (2)理解全称量词与存在量词的含义及符号表示，这两类命题的真假判断. 知识点01 集合的概念及表示 1.集合的含义：某些指定对象的部分或全体构成一个集合． 构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2.集合元素的特征 (1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． (2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． (3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3.集合的常用表示法：集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． 4.常用数集的表示 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【即学即练1-1】(2025高一上·全国·专题练习)下列各对象可以组成集合的是(　　) A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误.故选：B 【即学即练1-2】(多选)(25-26高一上·山东德州·开学考试)下列说法正确的是( ) A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 【答案】AD【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】利用集合的定义及集合中元素特征，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确； 对于B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，不大于的自然数有，组成的集合的所有元素为，故C错误； 对于D，因为，，所以数，，，，组成的集合中有5个元素，则D正确. 故选：AD. 知识点02 元素与集合的关系 元素与集合的关系：元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种． 【即学即练2-1】(2025高一·全国·专题练习)已知集合，则( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】解方程，结合，化简集合即可求解. 【详解】因为，所以或. 又，所以，，故.故选：C. 【即学即练2-2】(24-25高三下·云南昭通·阶段练习)设集合，若，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即．故选：D． 知识点03 集合间的基本关系 1.子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． 2.真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A(或B)． 3.相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 5.常用结论 (1).子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n； 其真子集个数为2n－1； 其非空子集个数为2n－1； 其非空真子集个数为2n－2. (2).是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【即学即练3-1】(25-26高一上·全国·课后作业)下列说法中正确的是( ) A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的解集为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B【难度】0.94【知识点】列举法表示集合、判断两个集合是否相等、判断是否为同一集合 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】对于A，0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，所以A错误； 对于B，与元素完全相同，且集合中元素有无序性，所以是两个相同的集合，所以B正确； 对于C，所给集合不满足集合中元素的互异性，方程的所有解组成的集合可表示为，C选项错误； 对于D，集合表示大于4且小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，所以不可以用列举法表示，所以D错误．故选：B． 【即学即练3-2】(2024高一上·全国·专题练习)下列四组中表示同一集合的为( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.故选：B 知识点04 集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 1.集合的运算性质 (1)交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A； (2)结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)； (3)分配律：(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)；(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)； 2.德摩根律：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； 3.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A. 4.容斥原理：一般地，对任意两个有限集, 推广： 5.集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； 若已知的集合是点集，用数形结合法求解； 若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解. 【即学即练4-1】(2025·山东泰安·模拟预测)已知全集为，集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D. 【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确.故选：C. 【即学即练4-2】(24-25高二下·江西赣州·期末)已知全集，集合，，则正确的关系是( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算、并集的概念及运算 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误.故选：B. 知识点05 充要条件 (一)充分条件、必要条件与充要条件的概念 1.若，则是的充分条件，是的必要条件； 2.若且，则是的充分不必要条件； 3.若且，则是的必要不充分条件； 4.若，则是的充要条件； 5.若且，则是的既不充分也不必要条件. (二)等价转化法判断充分条件、必要条件 1.若是的充分不必要条件是的充分不必要条件； 2.若是的必要不充分条件是的必要不充分条件； 3.若是的充要条件是的充要条件； 4.若是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件. (三)集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 1.若，则是的充分条件； 2.若，则是的必要条件； 3.若，则是的充分不必要条件； 4.若，则是的必要不充分条件； 5.若，则是的充要条件； 6.若且，则是的既不充分也不必要条件. (四)注意区别两种结构 1.若是的充分不必要条件且(标志性词：“是”，此时与正常顺序) 2.若的充分不必要条件是且(标志性词：“的”，此时与倒装顺序) 【即学即练5-1】(24-25高三下·重庆·阶段练习)已知集合，，则“”是“”的( ) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出集合，再根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定“”是“”的什么条件. 【详解】已知，解不等式，即，所以. 判断充分性：当时，集合，此时集合中的所有元素都在集合中，满足， 所以由“”可以推出“”，充分性成立. 判断必要性：若，因为集合，集合， 所以的值可以为，也可以是其他值如，不一定只能是， 即由“”不能推出“”，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件，故选：C. 【即学即练5-2】(24-25高二下·安徽合肥·期末)设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是( ) A． B． C．且 D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式 【分析】求解不等式，根据充分不必要条件的逻辑关系判断各选项，即得答案. 【详解】不等式即，即，解得且， 结合选项，只有对应的集合为且的真子集， 故“不等式”成立的一个充分不必要条件是，故选：B 【即学即练5-3】(24-25高一上·广东江门·期中)若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为(      ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】依题意知：，，因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得.故选：C 知识点06 全称命题与特称命题 (一)全称量词与特称量词： 1.全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 2.存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. (二)全称量词命题、存在量词命题及其否定 1.全称量词命题及其否定 (1)全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：命题p：∀x∈M，p(x). (2)全称量词命题的否定：p：∃x0∈M，p(x0). 2.存在量词命题及其否定 (1)存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：命题p：∃x0∈M，p(x0). (2)存在量词命题的否定：p：∀x∈M，p(x). (三)常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于() 大于() 小于() 是 否定词语 不等于() 不大于() 不小于() 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【即学即练6-1】(25-26高一上·广西·开学考试)已知命题：，则( ) A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 【答案】C【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【详解】由，得或，则当时，，故是假命题， 又因为：.故选：C 【即学即练6-2】(23-24高一上·北京海淀·阶段练习)已知命题：“”， 命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足，可知实数的取值范围是，故选：A 题型01 集合的概念及表示 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 【典例1-1】(24-25高一上·广东清远·阶段练习)给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合；②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合；④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是( ) A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误；故选：D. 【典例1-2】(24-25高一上·湖南长沙·阶段练习)下列说法正确的是( ) A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，”很喜欢”没有明确的标准，不符合集合确定性，不能组成一个集合，故A错误； 对于B，联合国安理会常任理事国有明确标准，符合集合确定性，能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误；故选：B. 【典例1-3】(24-25高一上·安徽亳州·阶段练习)2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是( ) A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【答案】D【难度】0.85【知识点】判断元素能否构成集合【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】根据集合元素的确定性可以判断A，B，C正确； 对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 【变式1-1】(24-25高一上·山东德州·阶段练习)下列元素的全体能构成集合的是( ) A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断元素能否构成集合【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误； B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误； C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确； D选项，精确度未确定的情况下，的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误.故选：C 【变式1-2】(多选)(24-25高一上·福建泉州·阶段练习)下面四个说法中正确的是( ) A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 【答案】AB【难度】0.94【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合 【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误； 对于D，表示以为元素的集合，故D错误．故选：AB． 【变式1-3】(多选)(24-25高一上·湖南·阶段练习)下列对象能构成集合的有( ) A．接近于2025的所有正整数 B．小于的实数 C．未来10年内的房价趋势 D．点与点 【答案】BD【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的确定性判断各项是否能构成集合即可. 【详解】对于A，接近于2025所有正整数的标准不明确，不能构成集合． 对于B，小于的实数是确定的，能构成集合． 对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合． 对于D，点与点是两个不同的点，是确定的，能构成集合．故选：BD 【变式1-4】(多选)(24-25高一上·江西·阶段练习)下列各组对象能构成集合的有( ) A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A正确， 对于B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B正确， 对于C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C错误， 对于D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D正确.故选：ABD 【变式1-5】(24-25高一上·上海·随堂练习)下列各组对象能组成一个有限集的有 ．(填序号) (1)小于100的自然数；(2)等腰直角三角形的全体；(3)平面内到坐标原点距离为1的所有点； (4)方程的实数根；(5)高一(1)班喜欢数学的全体同学． 【答案】(1)(4)【难度】0.94【知识点】列举法表示集合、判断元素能否构成集合 【分析】根据有限集的定义逐一可以判断 【详解】对于(1)，小于100的自然数，可以一一列举，0，1，2，3，...，99，故(1)为有限集； 对于(2)，等腰直角三角形有无限多个，故(2)不是有限集； 对于(3)，在平面直角坐标系内，单位圆上的所有点到原点的距离都为1，所以到坐标原点距离为1的点有无穷多个，故(3)不是有限集； 对于(4)，的实数根为或，共两个，故(4)为有限集； 对于(5)，到底有多喜欢算喜欢，无法定论，故元素不确定，故(5)不是集合；故答案为：(1)(4). 题型02 元素与集合的关系 【典例2-1】(25-26高一上·全国·课后作业)集合，则下列表示正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】， 所以，，故A，C，D错误，B正确.故选：B 【典例2-2】(25-26高一上·全国·课前预习)已知集合，，则集合中的元素个数为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C【难度】0.65【知识点】判断元素与集合的关系、列举法求集合中元素的个数 【分析】已知集合，根据，讨论得出，从而得出集合中的元素个数. 【详解】因为集合，又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7．故选：C. 【典例2-3】(23-24高一上·安徽安庆·阶段练习)设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有( ) 个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D【难度】0.65【知识点】列举法表示集合、判断元素能否构成集合 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，.设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个.故选：D 【变式2-1】(25-26高一上·全国·单元测试)已知集合，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用、描述法表示集合 【分析】验证各选项可得答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于BC，，B，C错误； 对于D，因为，且，D正确.故选：D 【变式2-2】(24-25高一上·全国·课前预习)集合为非零常数，则下列不正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，．故选：A 【变式2-3】(23-24高一下·江西·阶段练习)若集合，，则中所有元素的和为( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为.故选：B. 【变式2-4】(24-25高一上·上海浦东新·阶段练习)已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为( ) (1)，(2)，(3) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D【难度】0.65【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】(1)根据条件得，，故；(2)，故；(3)分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，(1)正确； ，，由②得，故，(2)正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又，由②得，由③得， 由②得，(3)正确.故选：D 【变式2-5】(25-26高一上·福建龙岩·开学考试)若，则 . 【答案】【难度】0.65【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【详解】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，.故答案为： 题型03 集合间的基本关系 1、两种方法： (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系； (2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系 2、一个关键：关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系 3、根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论(必须优先考虑空集的情况)，做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 【典例3-1】(24-25高一上·天津·阶段练习)下列说法中正确的是( ) ①空集与表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为；④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C【难度】0.94【知识点】列举法表示集合、集合元素互异性的应用、判断是否为同一集合、描述法表示集合【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误.故选：C. 【典例3-2】(25-26高一上·全国·单元测试)给出下列四个结论：①；②R；③；④． 其中正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.94【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】是有理数，所以，①正确；是实数，所以，②错误； 中含有元素0，所以不是空集，③错误；自然数集真包含于整数集，所以，④正确． 综上，正确结论的个数为2．故选：B. 【典例3-3】(多选)(24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习)对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是( ) A．如果，那么 B．若，对于任意的，则 C．如果，，那么 D．，使 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【分析】对于A：令，，可知对任意，均有，所以，即可判断A；说明，即可判断B；设，则，进而分析判断C；利用特殊值判断D. 【详解】对于A：令，，则， 即对任意，均有，所以，故A正确； 对于B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：，但是，故B错误； 对于C：因为，，设， 则， 因为，则，所以，故C正确； 对于D：因为，，即，所以，使，故D正确.故选：ACD 【变式3-1】(2025高一上·湖南岳阳·专题练习)下列不是同一集合的是(　　) A．且 B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断是否为同一集合、判断两个集合是否相等 【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断. 【详解】对于A，由，得，∴且，故A不正确； 对于B，，∴，故B不正确； 对于C，集合是数集，是点集，∴，故C正确； 对于D，∴，故D不正确.故选：C. 【变式3-2】(24-25高一上·重庆·阶段练习)下列命题中正确的( ) A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用、判断是否为同一集合 【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可. 【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误.故选：C. 【变式3-3】(24-25高一上·湖北十堰·阶段练习)若集合，，，则A，B，C之间的关系是( ) A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】将每个集合中的元素表达式统一为分母为 6 的形式，研究分子即可判断. 【详解】对于集合 A：，其中 ，因此，. 分子集合为 ，即所有除以 6 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 B：，其中 .因此，， 分子集合为 .化简：，令 ， 则 ，即所有除以3 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 C：，其中 .因此，. 分子集合为 ，即所有除以 3 余 1 的整数. 和 都表示除以3 余 1 的整数集合，因此 。由于分母相同(均为 6)，所以 ； 是除以 6 余 1 的整数集合， 因为，所以除以6 余 1 的数一定除以3 余 1， 但除以3 余 1 的数不一定除以6 余 1，所以且.故选：B 【变式3-4】(多选)(23-24高一上·江苏常州·阶段练习)下列各组中表示不同集合的是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.故选：ABD. 【变式3-5】(25-26高一上·北京·开学考试)若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 (填序号)． 【答案】①②③④⑥⑦.【难度】0.85【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断、判断两个集合的包含关系【分析】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解. 【详解】，所以，又，若作为一个元素并不在A中，故①正确；③，④正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，所以②，⑥正确， 又，所以⑤错误，显然⑦正确，故答案为：①②③④⑥⑦. 题型04 子集个数问题 【典例4-1】(24-25高一上·安徽蚌埠·期中)集合的子集个数为( ) A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D【难度】0.94【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为.故选：D. 【典例4-2】(25-26高一上·河南信阳·开学考试)已知集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为( ) A． B． C． D．或 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】由子集个数,判断出集合A中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可. 【详解】由集合有且仅有2个子集，可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有2个相等的实数解，即，解得， 所以实数的取值集合为，故选：B. 【典例4-3】(25-26高一上·全国·课前预习)已知集合满足，则不同的集合的个数为 ． 【答案】4【难度】0.85【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】根据集合的包含关系列举出集合，即可得解. 【详解】由题知中必然含有元素，1，可能含有元素，2， 所以可能为，共4个．故答案为：4 【变式4-1】(25-26高一上·全国·课后作业)已知集合，则集合的非空真子集的个数为( ) A．4 B．8 C．14 D．15 【答案】C【难度】0.94【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】根据集合的性质，依次求出集合，即可求得答案. 【详解】由 又由，可得，即. 故的非空真子集的个数为.故选：C. 【变式4-2】(25-26高一上·全国·单元测试)已知集合，则集合的子集个数为( ) A．16 B．15 C．4 D．8 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】根据题意先求集合，进而得集合元素个数，利用子集个数公式即可求解. 【详解】因为，， 所以或或或， 故， 即集合中含有4个元素，所以集合的子集个数为．故选：A. 【变式4-3】(2025高三·全国·专题练习)已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为( ) A．1 B．3 C．4 D．不确定 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据判别式判断集合中元素个数，进而确定集合非空子集个数. 【详解】由，则集合有2个元素， 所以的非空子集个数为个.故选：B 【变式4-4】(2025高二上·北京·学业考试)已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C【难度】0.65【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值. 【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，.故的最大值为7.故选：C 【变式4-5】(25-26高一上·湖北武汉·开学考试)定义集合的运算： 已知集合，则． 若集合，则集合的真子集个数的可能取值是 ． 【答案】3或7【难度】0.65【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 因为集合中有个元素，则集合有个子集，有个真子集， 此时集合中有两个元素，其真子集个数为. 当且时，，此时集合的真子集个数为.故答案为：或 题型05 由集合的关系求参数及其范围 【典例5-1】(2025高一上·北京·专题练习)已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 .故选：C. 【典例5-2】(2025高一·全国·专题练习)若集合，，且，则实数的值可以是( ) ． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【答案】C【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】因为，所以．逐一令解方程，注意检验元素的互异性即可. 【详解】因为，所以． 当时，集合不满足集合元素的互异性； 当时，或(舍去)，即，此时，，满足； 当时，或， 当时，，，满足， 当时，，，满足． 所以或或．故选：C． 【典例5-3】(24-25高二下·浙江杭州·期末)已知集合，，若，则实数的值为( ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或，解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意.故选：D. 【变式5-1】(2025高一·全国·专题练习)已知集合，，且，则实数的取值范围为( ) A． B．或 C． D．或 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据，列不等式组，求解即可. 【详解】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 【变式5-2】(24-25高二下·天津滨海新·期中)已知集合，且，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为，故选： C. 【变式5-3】(24-25高二下·北京·期中)已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是( ) A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D【难度】0.65【知识点】抽屉原理、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设B中的最大元素为2025， 将其余元素分组，，..，，共1012组， 若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾. 所以B中元素不能多于1013个. 所以当时，B中元素个数最多为.故选：D 【变式5-4】(多选)(23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习)已知集合，若，则的可能取值为( ) A． B． C．0 D． 【答案】AC【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，分类讨论即可求解； 【详解】，因为， 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时；故选：AC 【变式5-5】(2025高一·全国·专题练习)已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意知对任意，恒成立，设集合，则，进行求解． 【详解】由题意知对任意，恒成立．设集合，则． (ⅰ)当时，，符合题意； (ⅱ)当时，要使，需满足，解得． 综上所述，的取值范围为．故答案为： 题型06 集合的基本运算 1、集合基本运算的方法技巧 2、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观 对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图； 对连续的数集间的运算，常利用数轴进行； 对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解． 这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用． 3、集合运算中参数问题的求解策略 集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍. 具体步骤如下：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验． 【典例6-1】(25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习)若集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算 【分析】依次将集合A中的四个元素，代入不等式检验，若不等式成立，则说明该元素属于集合B，从而说明该元素是中的元素；否则，该元素就不是中的元素. 【详解】因为，所以不属于集合B； 因为，所以； 因为，所以； 因为，所以. 所以，.故选：D. 【典例6-2】(24-25高一下·贵州遵义·阶段练习)设全集，集合，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】公式法解绝对值不等式、并集的概念及运算 【分析】解不等式求出集合B，再根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， 结合全集，集合，得，故选：B 【典例6-3】(25-26高三上·湖南长沙·阶段练习)已知集合，，则整数集可以表示为( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】分析得真包含于，真包含于，结合韦恩图求解即可. 【详解】由， ，则真包含于，真包含于， 如图可知，，，，.故选：C. 【变式6-1】(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)设集合，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得，所以，又， 所以，故选：B 【变式6-2】(23-24高一上·北京海淀·阶段练习)设集合，若，则实数的值为( ) A． B．2 C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据交集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】先由互异性求出，再分类、两种情况讨论即可. 【详解】由互异性可知，，则， 因，则， 若，则，则，不符合题意； 若，则，则，符合题意，故.故选：C 【变式6-3】(2025·安徽·模拟预测)已知全集，集合，则的子集个数为(　　) A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C【难度】0.85【知识点】补集的概念及运算、判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】根据补集的运算和子集的概念求解. 【详解】因为，则， 所以的子集个数为.故选：C. 【变式6-4】(25-26高一上·上海·开学考试)已知集合，集合，则集合的子集数为 ． 【答案】1【难度】0.85【知识点】交集的概念及运算、判断元素与集合的关系、判断集合的子集(真子集)的个数【分析】根据给定条件，利用代入验证求出即可. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 因此，所以集合的子集数为1.故答案为：1 【变式6-5】(25-26高一上·全国·课前预习)已知集合，集合满足且，写出一个符合条件的集合 ． 【答案】(答案不唯一)【难度】0.65【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】根据交集及并集得出集合情况即可求解集合. 【详解】因为，所以，故集合中必有1，2，3这三个元素， 因为，所以，故集合中可能含有元素4或5或6， 所以集合.故答案为： 题型07 韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 【典例7-1】(多选)(24-25高一上·江西赣州·阶段练习)已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A． B． C． D． 【答案】AC【难度】0.94【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据图验证B，C，D选项，再解出集合，利用交集补集定义判断A选项. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，故C正确，B，D错误； 因为，，所以，故A正确.故选：AC. 【典例7-2】(2025高三·全国·专题练习)某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有( ) A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A【难度】0.65【知识点】容斥原理的应用【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人．故选：A. 【典例7-3】(24-25高一上·湖北荆州·阶段练习)下列表示集合和关系的图中正确的是( ) A．   B．   C．   D．   【答案】A【难度】0.85【知识点】交集的概念及运算、列举法表示集合、利用Venn图求集合 【分析】首先化简集合、，求出，即可判断. 【详解】因为， 由，即或，解得，，，， 所以，所以，且不包含于，不包含于， 故图中正确的是A.故选：A 【变式7-1】(2025·安徽合肥·三模)已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为( )    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B【难度】0.85【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据题意，得到阴影部分表示的集合为，结合集合运算法则，即可求解. 【详解】由题意得，图中阴影部分表示的集合为， 因为集合，可得， 所以阴影部分所示集合的元素个数为个.故选：B． 【变式7-2】(25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习)《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一(1)班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为( ) A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C【难度】0.85【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人.故选：C 【变式7-3】(24-25高一上·福建福州·期中)设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为，所以或，所以， 所以图中阴影部分表示的集合为.故选：A. 【变式7-4】(多选)(24-25高一上·云南昆明·期中)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则( ) A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC【难度】0.65【知识点】容斥原理的应用 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学， 是参加羽毛球的同学，则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 【变式7-5】(24-25高一上·河北石家庄·阶段练习)某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 【答案】2【难度】0.65【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数. 【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则，且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人，故答案为：2. 题型08 集合的新定义问题 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 【典例8-1】(23-24高一上·江苏盐城·阶段练习)设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是( ) A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C【难度】0.4【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. (1)当时，，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； (2)当时，，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； (3)当时，，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，.故选：C. 【典例8-2】(24-25高一下·湖北黄石·阶段练习)当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B【难度】0.65【知识点】集合新定义【分析】根据新定义，逐项判断分析即可. 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④.故选：B. 【典例8-3】(24-25高一上·上海·开学考试)设集合是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集” 【答案】【难度】0.4【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】先证明中只有5个元素，再根据的性质、的性质可得，，根据的性质可得，从而可得. 【详解】设中元素为， 若，则由题设有且， 而中只有4个运算，故不成立，故. 又因为，且，故， 且， 故，故且， ， 故且， 故，所以故， 所以，，因为，故，而， 故，故即，故. 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于集合中新定义问题，可根据定义得到集合元素具有的性质，再结合大小关系判断进一步探究不同元素具有的等量关系. 【变式8-1】(24-25高一上·山东烟台·期中)若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为( ) A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D【难度】0.65【知识点】集合新定义、判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； (1)若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； (2)若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； (3)若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； (4)若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组.故选：D. 【变式8-2】(24-25高一上·广东珠海·阶段练习)若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义、判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果. 【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即.故选：B 【变式8-3】(23-24高一上·山西大同·期中)用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则( ) A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合新定义 【分析】先分析中有1个或者3个元素，即方程有一个根或者三个根，分析方程的根的情况，可得到可取的值，即可得答案. 【详解】集合，， 根据集合的新定义知：中有1个或者3个元素， 当中有1个元素时，有一个解，可得； 当中有3个元素时，易知，有三个解， 其中的两个为：， 当有一个解时，令，可得； 当有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件， 此时，显然不等于0， 所以或，解得或， 综上所述，设实数a的所有可能取值为， 所以构成集合S元素个数为5，即.故选：C 【变式8-4】(多选)(24-25高一上·河南·阶段练习)已知非空集合，，定义且，且，则下列结论一定正确的是( ) A． B． C．当时 D．当时， 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】集合新定义、判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的新定义及集合交并补运算判断各选项． 【详解】选项A，由且，得，A错； 选项B，设，则且，因此且或者且， 即或，则，因此， 反之，若，则或，即且或者且， 于是且，因此， 所以，B正确； 选项C，，则， 所以当时，，又，， 所以对任意的，则或，从而，所以，C正确； 选项D，若，则对任意，有或， 又，所以或，所以，所以，同理，所以， 所以，从而，D正确，故选：BCD． 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题方法是正确理解新定义，把两个新定义运算与集合交集运算与并集运算进行联系，把新运算转化为元素与集合的关系，从而达到解题目的． 【变式8-5】(23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试)已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ． 【答案】5;2023【难度】0.4【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】第一问：由所给定义得到集合，从而得到；第二问：由集合中元素确定集合中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得． 【详解】第一问：因为，所以，所以， 第二问：因为， 易知集合中任意两个元素的和最小值是，最大值是， 且对任意，，都存在，，使得， 所以，由，解得．故答案为：； 题型09 充要条件的判断 判断充要条件需注意的三点 (1)要分清条件与结论分别是什么； (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断； (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明． 【典例9-1】(24-25高一下·广东汕头·阶段练习)“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解不含参数的一元一次不等式、判断命题的必要不充分条件【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可 【详解】由或，， 若或成立，则不一定成立，故充分性不成立， 若成立，则或一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B. 【典例9-2】(2025·重庆·模拟预测)若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、既不充分也不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则，则A是D的既不充分也不必要条件.故选：D. 【典例9-3】(24-25高一上·四川自贡·阶段练习)已知集合，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65【知识点】判断两个集合的包含关系、充要条件的证明 【分析】通过，得，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件.故选：C. 【变式9-1】(2025高一上·上海·专题练习)毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.94【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件．故选：B. 【变式9-2】(24-25高一上·广东深圳·期末)设集合则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.85【知识点】充要条件的证明、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【详解】若，则，所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意，则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立，则“”是“”的充要条件.故选：C. 【变式9-3】(2025高一·全国·专题练习)如果，是实数，那么“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件． 【详解】当时，满足，而，则充分性不成立； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则，则必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B 【变式9-4】(多选)(24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习)已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 【答案】AD【难度】0.65【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件.故选：AD. 【变式9-5】(24-25高一上·全国·课堂例题)下列命题中，p是q的充分条件的是 ． ①p：，q：；②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 【答案】③【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件定义判断各个选项即可. 【详解】①,则或，不能推出.∴p不是q的充分条件．     ② ∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③则 ∴方程无实根，∴p是q的充分条件．故答案为：③. 题型10 由充要条件求参数范围 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； ②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 【典例10-1】(25-26高一上·全国·课后作业)已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据题意得出，分类讨论a的取值范围，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为是的必要条件，所以， ①当时，，满足； ②当时，，由，得，解得，故； ③当时，，由，得，解得，故； 综上所述，实数的范围是，故答案为： 【典例10-2】(2024高三·全国·专题练习)若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据绝对值的定义求解不等式，利用充分条件的定义建立不等式组，可得答案. 【详解】由不等式，可得(不合题意)， 要使得是的一个充分条件，则，解得.故选：D. 【典例10-3】(2022·福建宁德·模拟预测)已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】,【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解. 【详解】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故；所以(等号不能同时成立)，可得， 即实数的取值范围是,．故答案为：,． 【变式10-1】(2025高一·全国·专题练习)若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】解含绝对值不等式，根据充分不必要条件得到集合之间的包含关系，再列式求解参数范围即可. 【详解】不等式，即，因此解集为， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 有(等号不同时成立)，解得，经验证，符合题意.故答案为：. 【变式10-2】(24-25高一上·广东广州·期中)已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于，可得.故选：D 【变式10-3】(24-25高一上·山东泰安·阶段练习)已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是，故选：A. 【变式10-4】(24-25高一上·天津西青·阶段练习)已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】通过集合关系即可求解. 【详解】由是成立的一个充分不必要条件，可知：，所以，解得， 所以实数的取值范围是，故答案为： 【变式10-5】(23-24高一上·福建·期中)已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为，则.故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 题型11 全称命题与特称命题 1.全称命题与特称命题真假判断 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 2.含有一个量词的命题的否定 (1)命题p：∀x∈M，p(x)；其否定：p：∃x0∈M，p(x0) (2)命题p：∀x∈M，p(x)；其否定：p：∀x∈M，p(x). 3.全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； (2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 【典例11-1】(23-24高一上·北京海淀·阶段练习)已知命题，则为( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】C【难度】0.94【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】为，.故选：C. 【典例11-2】(25-26高一上·全国·课后作业)若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小，所以小于当时的最小值时， 恒成立，则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以．故选：A. 【典例11-3】(2023高一·全国·专题练习)已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】先判断命题的真假性，然后根据全称命题，特称命题的真假性求参数. 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故，故答案为： 【变式11-1】(25-26高一上·广东广州·开学考试)命题，的否定是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可. 【详解】因为全称存在命题的否定是存在量词命题，并否定结论， 所以命题，的否定是，．故选：A 【变式11-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列命题的否定既是全称量词命题又是真命题的是( ) A．所有的矩形都是正方形 B．是偶数 C． D．存在一个整数不是质数 【答案】C【难度】0.85【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据各项描述判断命题的类型并写出对应的否定命题，进而判断真假，即可得. 【详解】A，B：原命题均为全称量词命题，其否定是存在量词命题，不符合题意； C：原命题为存在量词命题，否定是，是全称量词命题， 又，故为真命题，符合题意； D：原命题为存在量词命题，否定是所有整数都是质数，是假命题，不符合题意．故选：C 【变式11-3】(24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末)命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】由“，”为真命题，从而得，即可求解. 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确.故选：A. 【变式11-4】(多选)(2025·河北·三模)已知集合，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】交并补混合运算 【分析】通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误. 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确.故选：BCD. 【变式11-5】(24-25高一上·河南·期末)若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数 【分析】根据原命题的否定是真命题，令，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令，所以， 解得，即m的取值范围是.故答案为：. 一、单选题 1.(2024高一上·全国·专题练习)下列说法中正确的是( ) A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B【难度】0.94【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系、判断是否为同一集合 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.故选：B. 2.(25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)已知命题p：，，则是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】C【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】全称量词命题，的否定为：，． 【详解】命题：，的否定为：，．故选：C 3.(2025高一·全国·专题练习)我们定义一种新运算“”：对于两个集合A和B，规定，其中和分别表示集合A和B在全集下的补集，已知全集，集合，集合，则等于( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】集合新定义、交并补混合运算 【分析】先求出和，再求相关集合的交集和并集，利用定义新运算求解即可. 【详解】由已知可得， 所以，则.故选：A. 4.(24-25高一上·广东广州·阶段练习)有以下说法： ①“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的必要不充分条件 ③“”是“”的充分不必要条件；④“”是“”的充要条件 其中正确的说法为( ) A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】D【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据交集定义判断①；根据充分条件和必要条件的定义逐一判断②③④即可得答案. 【详解】对于①，由交集定义可知，若，则必有，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，若，则或， 反之，若，则必有， 所以“”是“”的必要不充分条件，②正确； 对于③，必有，反之，若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，③正确； 对于④，若，则， 反之，因为同号，所以若，则必有，即， 所以“”是“”的充要条件，④正确.故选：D 5.(24-25高一下·云南临沧·期末)设全集，集合，则中元素的个数为(  ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【难度】0.65【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据题意解不等式，推导出x的取值范围，确定全集U，再根据给定集合进行补集运算求解. 【详解】根据题给条件：可知，所以；即. 集合；则，元素个数为4.故选：B. 6.(24-25高一上·广东广州·期中)已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据题意可得⫋，根据必要不充分条件的概念可得结果. 【详解】∵4与10的最小公倍数为20， ∴是4与10的公倍数， ∵，∴⫋，即由得不到，由能得到， 故是的必要不充分条件.故选：B. 7.(23-24高一上·北京海淀·阶段练习)已知集合满足：()； (b)，若且，则；(c)，若且，则． 给出下列四个结论：①若集合中有最大数，则集合中没有最小数； ②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数； ③，使得； ④，存在无理数，使得． 其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.4【知识点】交集的概念及运算、判断元素与集合的关系、集合新定义、并集的概念及运算【分析】依题意可判断集合中的元素都小于集合中的元素，据此可判断各结论正误，从而得出选项. 【详解】由所给条件，可知集合中的元素都小于集合中的元素， 若集合的元素有最大数，则必然存在一个有理数，使得，； ，，则没有最小数，故①正确； 若集合的元素没有最大数，则必然存在一个数，使得，； 如果是有理数，则，且，，则有最小数为； 如果是无理数，则，且，，则没有最小数，故②正确； 假设存在且，由，若且，则， 取，，则，但，与矛盾. 故对任意，都有， 故③错误； 由③知，，可得，而两个不等的有理数之间必存在无理数， 所以存在无理数，使得，故④正确.故选：C 8.(24-25高一下·湖南·期中)置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组()，且S中所有数之和为2025，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】集合新定义 【分析】根据“间距置换”的定义，讨论的大小关系，并结合，求得，即可求解. 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得， 所以，，即，则，可得； 若，同理可得.故选：A． 二、多选题 9.(24-25高一上·广东中山·阶段练习)的一个必要条件是( ) A． B． C． D． 【答案】AD【难度】0.85【知识点】必要条件 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集，故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集，故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求.故选：AD. 10.(24-25高一上·山东泰安·期中)下列命题为真命题的是(   ) A．是的必要不充分条件； B．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为； C．若集合有且仅有一个元素，则实数； D．已知，则的取值范围是． 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、判断命题的必要不充分条件、利用不等式求值或取值范围 【分析】对于A，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于B，根据充分不必要条件的定义求解判断，对于C，分和两种情况求解判断，根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于A，若，则满足，而不成立，所以不能推出， 而当时，因为在上为增函数，所以，所以， 所以是的必要不充分条件，所以A正确， 对于B，因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，即的取值范围为，所以B正确， 对于C，当时，，得，则集合中只有一个元素， 当时，因为有且仅有一个元素，所以，得， 综上，或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确.故选：ABD 11.(24-25高一下·云南曲靖·期末)已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则( ) A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】集合新定义 【分析】利用定义易判断A，利用定义计算可判断BC；设奇数，利用构造法证明即可判断D. 【详解】对于A，因为均只有一个元素，即元素之和为1，2，3，4，互不相等，故A错误； 对于B，若为奇数，那么2k能被4整除，因为能被4整除， 所以2k必须能被4整除，因此为偶数，故B正确； 对于C，若为偶数，那么能被整除，于是必然是整数， 这与为偶数矛盾，所以不为“可分集”，故C正确； 对于D，对于显然成立，不妨设奇数，下面给出一种构造： 由于，则前组为 ， ， 后组为 ，因此对于任意的奇数均为“可分集”，故D正确.故选：BCD. 三、填空题 12.(25-26高一上·全国·课后作业)设集合.若，则 . 【答案】【难度】0.85【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为.故答案为：. 13.(24-25高一上·上海·阶段练习)已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 (取值范围用区间表示). 【答案】【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】是的必要条件可得，分类讨论，根据子集概念求解即可. 【详解】设， 若是的必要条件，则, (1)当时，即，此时，成立； (2)当时，即，若，此时，解得，又，故无解. 综上，.故答案为： 14.(24-25高一上·上海宝山·阶段练习)已知，，，记，，若，则集合为 . 【答案】或或【难度】0.4【知识点】集合新定义 【分析】由得到，进而得知与只能相差，由此求得. 【详解】因为，所以，，即，， 因为，所以由，，知与可能相差， 又因为，，所以与可能相差， 那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或,故答案为：或或 【点睛】思路点睛：解决集合新定义问题，要合理利用集合的性质，正确理解新定义，剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识. 四、解答题 15.(24-25高一上·全国·课前预习)已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值；(2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或(2)或(3)【难度】0.85【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】(1)分和进行求解；(2)中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； (3)中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】(1)当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． (2)中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合(1)知，当或时中至多有一个元素． (3)中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 16.(25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习)已知集合． (1)若，求实数的值；(2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 【答案】(1)(2)或(3)或【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】(1)是方程的根，代入即可求a； (2)分和两种情况进行讨论即可； (3)由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【详解】(1)∵，∴，解得． (2)． 由，若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得(不成立，舍去)，或， 综上，或． (3)由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 17.(2025高一上·全国·专题练习)已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】(1)由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； (2)由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【详解】(1)由，可得，因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，.故实数的取值范围为． (2)由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得，故实数的取值范围是． 18.(24-25高一上·上海浦东新·阶段练习)集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合(2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1)(2)【难度】0.4【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、必要条件【分析】(1)两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. (2)找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【详解】(1)化简得，所以或，所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意；故. (2)若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由(1)可知，当时，； ②当时，，解得或，显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由(1)可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去；综上所述： 19.(24-25高一上·云南昭通·期末)集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定：， (1)若集合，直接写出集合(请写出计算过程)； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)1348【难度】0.15 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义【分析】(1)根据集合的定义，即可求解； (2)首先写出集合，再根据，推理集合中元素的对应关系，即可证明；(3)根据，，以及，再由不等式的关系得到的取值范围，即可证明. 【详解】(1)根据题意，由,则，； (2)由于集合，且， 所以中也只包含四个元素，即， 于是，剩下的， 由于；所以， 注意到，于是； (3)设满足题意，其中， 则，， ，， ，中最小的元素为，最大的元素为， ，，， 实际上当时满足题意， 证明如下：设， 则， 依题意有，即， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $