重难点专题1.1由集合的关系求参数（高效培优专项训练）数学湘教版2019必修第一册

第 1 页 共 14 页 重难点专题 01 由集合的关系求参数 题型一：由包含关系求参数 题型二：由交集运算求参数 题型三：由并集运算求参数 题型四：由交并补运算求参数 题型五：由充要条件求参数 题型一：由包含关系求参数 由集合的关系求参数的方法：空集优先、分类讨论、列出约束条件、求解验证. 若是列举法表示的集合的包含关系，则由小范围集合的每一个元素都满足大范围集合的条件，列方程(不等 式)即可解出； 若是不等式的解集的包含关系，则用数形结合，借助数轴解； 特别注意：(1)是否有空集这种情况. (2)验证结论是否符合题意. 1-1.(24-25 高一下·辽宁朝阳·期末)已知集合  1,2,3A   ，集合  23,B m ．若 B A ，则实数m的取值集合 为( ) A． 1 B． 2 C． 1, 1 D． 2, 2 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意得 2 1m   或 2 2m  ，求出m即可. 【详解】已知集合  1,2,3A   ，集合  23,B m ．若 B A ，则 2 1m   或 2 2m  ， 而方程 2 1m   无解，方程 2 2m  的解为 2m   ， 经检验当 2m   时，满足集合中元素间的互异性，且 B A .故选：D. 1-2.(24-25 高二下·河南新乡·期末)已知集合  2 0A x x x m    ，  1B  ．若 B A ，则m  ( ) A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据 B A ，则1 1 0m   ，从而可求解. 【详解】因为 B A ，所以1 A ，即1 1 0m   ，解得 0m  ，故 A 正确.故选：A. 1-3.(24-25 高三上·福建泉州·期末)设集合  2 2,1, 2A a a   ，  0, 2B a  ，若 B A ，则 a  ( ) A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 第 2 页 共 14 页 【分析】由 2 2 0a a   求解并验证即可； 【详解】由题意可得： 2 2 0a a   ，解得： 2a  或 1a   ， 当 2a  时，  0,1,2A  ，  0,4B  ，不符合 B A 舍去， 当 1a   时，  0,1,2A  ，  0,1B  ，符合B A ， 故 1a   ，故选：D 1-4.(24-25 高一上·江苏泰州·期末)若{ , , } { 3, 2, 1,1,2,3}a b c     ，则 2 3a b c  的最大值为( ) A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题，要使 2 3a b c  取最大值，则 a取3，c取 3 ，b取 2 ，据此可得答案. 【详解】因{ , , } { 3, 2, 1,1,2,3}a b c     ，要使 2 3a b c  最大， 则 a取3，c取 3 ，b取 2 ，则 2 3 3 4 9 16a b c      .故选：C. 1-5.(23-24 高二下·河北承德·期末)已知集合  2 4 0A x x ax    ，且   1,m A m  ，则 am  ( ) A．8 或 20 B．8 或-20 C． 8 或 20 D． 8 或 20 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据互异性得到 1m  ，分A中只有 1 个元素和有 2 个元素两种情况，结合根的判别式和韦达定理得 到答案. 【详解】由题意得 1m  ， 若A中只有 1 个元素，则  A m ，且  2Δ 16 0a    ，解得 4a   ， 当 4a  时，    2 4 4 0 2A x x x     ，此时 4 2 8am    ， 当 4a   时，    2 4 4 0 2A x x x      ，此时  4 2 8am      ， 若A中有 2 个元素，则  1,A m ，则  2Δ 16 0a    ， 所以1,m为方程 2 4 0x ax   的两根，故1 , 4m a m   ， 解得 4, 5m a  ，满足  2Δ 16 0a    ，故 4 5 20am    ， 所以 8am  或 20.故选：A 1-6.(24-25 高二下·陕西汉中·期末)设集合  2 6 5 0 , { 1 }A x x x B x x a      ∣ ∣ ，若 A B ，则 a的取值范围 为( ) A． (1,5) B． (1,5] C． (5, ) D．[5, ) 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】通过解一元二次不等式化简集合A，结合包含关系即可求解参数范围. 【详解】因为  2 6 5 0 { 1 5}A x x x x x      ∣ ∣ ，且 A B , 所以 5a  .故选：D. 1-7.(24-25 高二下·甘肃白银·期末)设集合  2| 3 0, ZA x x x    ，   | 0B x x x a   ，且 A B ，则实数 a 的取值集合为( ) 第 3 页 共 14 页 A． 1,0 B． 1,0 C． 1,1 D． 1,0, 1 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系，判断集合中元素的关系，对参数分类讨论，求出参数可能的取值. 【详解】由题意得    2Z | 3 1,0,1A x x     . 当 0a  时，  0B  ， A B ； 当 0a  时，  0,B a ，由 A B ，可得 1a  或 1a   . 综上，实数 a的取值集合为 1,0, 1 .故选：D. 1-8.(24-25 高二下·河北·期末)已知集合  2 10A x x    ，非空集合  1 1B y m y m     ，若 B A ，则 实数m的取值范围为( ) A． 3m  B． 3m  C．0 3m  D．0 3m  【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的概念以及判断 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合  2 10A x x    ，非空集合  1 1B y m y m     ，且 B A ， 所以 1 1 1 2 1 10 m m m m           ，解得：0 3m  ．故选：C． 1-9.(24-25 高一下·河南焦作·阶段练习)已知集合  2| ( 2) 1M x x   ，非空集合 { |1 }N x x a   ，若 N M ， 则实数 a的取值范围为( ) A． (1, ) B．[3, ) C．[0,3] D．[1,3] 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题知  2| ( 2) 1 { |1 3}M x x x x      ， N M ，求实数 a的取值范围. 【详解】由题知  2| ( 2) 1 { |1 3}M x x x x      ，非空集合 { |1 }N x x a   ， 因为 N M ，所以1 3a  ， 故实数 a的取值范围为[1,3] .故选：D. 1-10.(24-25 高二下·重庆·期末)已知集合    | 3 , |A x x B x x m    ，若 A B ，则实数m的取值范围是( ) A．{ 3}m m ∣ B．{ 3}m m ∣ C．{ 3}m m ∣ D．{ 3}m m ∣ 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意结合包含关系分析求解即可. 【详解】因为集合    | 3 , |A x x B x x m    ，且 A B ， 可得 3m  ，所以实数m的取值范围是{ 3}m m ∣ .故选：D. 1-11.(2024·重庆渝中·模拟预测)已知集合  2 4 3 0 , { 1 }A x x x B x x a      ∣ ∣ ，且 A B ，则实数 a的取值 范围为( ) A．{ 1 3}a a ∣ B．{ 1 3}a a ∣ C． 3a a ∣ D．{ 3}a a ∣ 第 4 页 共 14 页 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】化简集合 A，根据子集关系列式运算得解. 【详解】由 2 4 3 0x x   ，解得1 3x  ，所以集合  1 3A x x   ， 又 A B ，所以 3a  .故选：C. 1-12.(多选)(24-25 高三上·辽宁·期末)已知集合  2 22, 8, 1A a a a      ，  7,2B a  ，若 B A ，则 a的值 可能是( ) A． 2 B． 1 C．1 D．3 【答案】AB【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由 B A ，列出等式 2 8 7a    或 2 1 7a a     ，求得 a，再逐个进行验证即可； 【详解】因为 B A ，所以 2 8 7a    或 2 1 7a a     ，解得 1a  或 1a   或 2a   或 3a  ． 当 1a  时，  2, 7, 1A     ，  7,2B   ，此时 B A ，则 1a  不符合题意． 当 1a   时，  2, 7, 3A     ，  7, 2B    ，此时 B A ，则 1a   符合题意． 当 2a   时，  2, 4, 7A     ，  7, 4B    ，此时 B A ，则 2a   符合题意． 当 3a  时，  2,1, 7A    ，  7,6B   ，此时，则 3a  不符合题意． 故选：AB 题型二：由交集运算求参数 2-1.(24-25 高三上·河北沧州·期末)已知集合  2,1,4A   ，集合  21,B a ，若 A B B ，则实数 a  ( ) A．2 B． 2 C． 2 D．0 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合的运算性质得出 B A ，再根据子集的性质和集合性质得出 2 4a  即可求出答案. 【详解】由 A B B 得到 B A ，由子集的性质可知  2 2,1,4a   ． 对于任意的实数 a， 2 0a  , 2a 不能等于 2 ，由集合元素的互异性， 2 1a  不成立， 故只能是 2 4a  ；求出 2a   .故选：C 2-2.(24-25 高一上·山东·期中)设集合  0,A a ，  1, 2,3 4B a a   ，若 A B A ，则 a  ( ) A．2 B．1 C． 4 3 D．-2 【答案】A【难度】0.94【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结 果求集合或参数 【分析】由 A B A 得 A B .易知 2a a  且 1a  不符合题意，则 3 4 0 2 a a a      ，解之即可求解. 【详解】由 A B A ，得 A B .若 1a  ，则 {0,1}, {1, 1, 1}A B    ，不符合题意； 又 2a a  ，所以 3 4 0 2 a a a      ，解得 2a  .故选：A 2-6.(24-25 高一上·福建厦门·阶段练习)设集合    1, 2 , 1 0, RA B x ax a      ，若 A B B ，则实数 a的 第 5 页 共 14 页 值有( )个 A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集的结果转化为子集关系，分类讨论求出 a即可得解. 【详解】因为 A B B ，所以B A ， 若 0a  ，由1 0 知 B ，满足 B A ； 若 0a  ，则   11 0, RB x ax a x x a             ， 由 B A 可知， 1 1 a   或 1 2 a    ，解得 1a   或 1 2 a  ， 综上， a的取值为 10, 1, 2  .故选：B. 2-7.(24-25 高一上·北京顺义·阶段练习)设集合  2 8 15 0A x x x    ，集合  1 0B x ax   ，若 A ∩ B = B， 则实数 a取值集合的真子集的个数为( ) A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算 【分析】解方程得集合 A，根据 A ∩ B = B得 B A ，结合包含关系求实数 a，即得结果. 【详解】    2| 8 15 0 3,5A x x x     ,因为 B A ， 当 B 时， 0a  ， 当 B  时，即 0a  时，令 1 0ax   ，解得 1x a  ， 则 1 3 a  或 1 5 a  ，则对应实数 a的值为 1 1, 3 5 ，则实数 a组成的集合的元素有 3 个， 所以实数 a组成的集合的真子集个数有 32 1 7  ，故选：C. 2-8.(多选)(24-25 高一下·湖南衡阳·期末)若集合  1,A n ，  2 , 2, 4B n ，且 A B   ，则 n的值可以是( ) A． 1 B．0 C．1 D．2 【答案】AB【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】由集合中元素的互异性以及交集的结果即可列式求解. 【详解】若集合  1,A n ，  2 , 2, 4B n ， 则由集合中元素的互异性可知， 2 21, 2, 4n n n   ，即 1, 2, 2, 2, 2n n n n n       ， 又 A B   ，则 2n n 或 2n  或 4n  或 2 1n  ，即 1,0,1,2,4n   ， 所以 n的值可以是 1,0,4 ，对比选项可知只有 AB 正确.故选：AB. 2-9.(多选)(24-25 高一上·江苏苏州·期末)设集合  2 4 0A x x   ，  2B x ax a  ，若  2 2A B x x     ， 则实数 a的值可能是( ) A． 2 B． 1 C．0 D．2 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参 第 6 页 共 14 页 数的一元二次不等式 【分析】根据题意分析可知 A B ，分类讨论结合包含关系求实数 a的取值范围. 【详解】因为    2 4 0 | 2 2A x x x x       ，且  2 2A B x x A      ，则 A B ， 对于  2B x ax a  ，则有：若 0a  ，则 B  R ，符合题意； 若 0a  ，则  B x x a  ，可得 2a  ； 若 0a  ，则  B x x a  ，可得 2a   ； 综上所述：实数 a的取值范围为      , 2 0 2,     ， 结合选项可知：ACD 正确，B 错误.故选：ACD. 题型三：由并集运算求参数 3-1.(2025·辽宁本溪·模拟预测)已知集合     | 2 3 0}, { | 2 0 ,A x x x B x ax       N 若 A B A ，则 a的取 值构成的集合为( ) A． 0 B． 0,1 C． 21, 3       D． 20,1, 3       【答案】D【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】通过 0a  和 0a  两类情况讨论即可. 【详解】由题得  2,3A  ，因为 A B A ，所以 B A . 当 0a  时， B ，满足 B A ； 当 0a  时， 2B a       ，因为 B A ，所以 2 2 a  或 2 3 a  ，解得 a 1 或 2 3 a  ， 综上 a的取值构成的集合为 20,1, 3       .故选：D. 3-2.(2025 高三·全国·专题练习)已知数集 ,A B满足：  1, 2A B  ，  1,2,3,4A B  ，若3 A ，则一定有( ) A． 4 A B． 4 A C．3 B D．3 B 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】由交集与并集的结果，则可得1, 2,3与集合的关系，可得答案. 【详解】因为  1,2 A B ，  1,2,3,4A B  ， 所以 4 A 且 4 B 或 4 B 且 4 A ，二者皆有可能，所以 A，B 错误； 由3 A ，所以3 B ，所以 C 正确，D 错误．故选：C． 3-3.(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知集合  1,A a ，  22,B a ，若 A B 中恰有三个元素，则由 a的取值组 成的集合为( ) A． 0 B． 1,2 C． 0,2 D． 0, 1,2 【答案】D【难度】0.94【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】 A B 中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可. 第 7 页 共 14 页 【详解】因为 A B 中恰有三个元素，所以 2a  或 2a a 或 21 a ， 结合集合中元素的互异性，解得 2a  或 0a  或 1a  (舍去)或 1a   .故选：D． 3-4.(2025·重庆九龙坡·三模)已知集合  2{ 0 }, 6 5 0M x x a N x x x      ∣ ∣ ，若 N M M ，则实数 a 的取值范围是( ) A． 5, B．  5, C． 3 ， D．  3, 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的 一元二次不等式 【分析】解不等式求得 N，由已知可得 N M ，进而可求实数 a 的取值范围. 【详解】由 2 6 5 0x x   ，可得   5 1 0x x   ，解得1 5x  ， 所以  1 5N x x  ∣ ，由N M M ，可得 N M ， 又 { 0 }M x x a  ∣ ，所以 5a  ， 所以实数 a 的取值范围是  5, .故选：A. 3-5.(24-25 高二下·重庆·期末)已知集合  2,3A ，   2 1 0B x x m x m     ，若  1,2,3A B  ，则所有满 足条件的实数 m组成的集合为( ) A． 2 B． 3 C． 2,3 D． 1,2,3 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】解方程先确定集合 B的元素，由  2,3A ，  1,2,3A B  ，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程  2 1 0x m x m    的两根为 1x  或 x m   2,3A  ，  1,2,3A B  . m 可能为1,2,3 (1) 1m  时，  1B  ，符合 (2) 2m  时，  1,2B  ，符合 (3) 3m  时，  1,3B  ，符合 综上，实数 m组成的集合为 1,2,3 ；故选：D 3-6.(24-25 高二下·吉林延边·阶段练习)  2 5A x x    ，  1 2 1B x m x m     ，若 A B A ，则实数m 的取值范围是( ) A．  ,3 B．  , 2 C． 3,3 D．  ,3 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】分析可知， B A ，分 B 、B  两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数m的不等 式；在第二种情况下，可得出关于实数m的不等式组，综合可得出实数m的取值范围. 【详解】因为  2 5A x x    ，  1 2 1B x m x m     ， A B A ，则 B A ， 若 B ，则 1 2 1m m   ，解得 2m  ； 第 8 页 共 14 页 若 B  且 B A ，则 1 2 1 1 2 2 1 5 m m m m           ，解得 2 3m  . 综上所述，实数m的取值范围是  ,3 .故选：A. 3-7.(2025·江西·三模)已知集合    2, 4 3 0A x x a B x x x     ∣ ∣ .若 A B A ，则 a的取值范围为( ) A．  ,1 B．  ,3 C． 1, D．  3, 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式求得集合 B，由已知可得 B A ，进而可求得 a的取值范围. 【详解】由 2 4 3 0x x   ，可得   3 1 0x x   ，解得1 3x  ，所以 { 1 3}B x x∣   ， 因为 A B A ，所以B A ，所以 1a  . 所以 a的取值范围为  ,1 .故选：A. 3-8.(2025·云南昭通·模拟预测)已知集合  2 2 0A x x x   ∣ ，集合  1,B a ．若  2,1,2A B   ，则实数 a 的值为( ) A． 2 B． 1 C．1 D．2 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】解方程求得集合 A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合    2 2 0 2,1A x x x     ∣ ，集合  1,B a ．由  2,1,2A B   ， 可知集合 B必须包含元素 2，即 2a  .故选：D 3-9.(2025·云南昆明·模拟预测)已知集合 A，B满足：  2N 2 0A x x    ， A B A ，则满足条件的集合 B的个数为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数、根据并集结果求集合或参数 【分析】先求出集合 A，再结合并集的定义，即可求解． 【详解】由题意有    2N 2 0 1A x x     ， 因为 A B A ，所以B A ，则满足条件的集合 B为， 1 ，共 2 个．故选：B. 3-10.(2025·全国·模拟预测)已知集合  2, 1,0,2A    ，集合 B满足  2| 4A B x x  Z ，则( ) A．1 B B．1 B C． 2 B  D． 2B 【答案】A【难度】0.94【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集的运算即可求解. 【详解】由于    2 4 2, 1,0| ,1, 2A B x x     Z ，  2, 1,0,2A    ， 故1 B ，故选：A 3-11.(2025·辽宁·模拟预测)已知集合 { | 4 }M x x a    ，  2| 4 3 0N x x x    ，且 { | 4 3}M N x x     ， 则 a的取值范围为( ) 第 9 页 共 14 页 A．[1,3] B． (1,3) C．[1,3) D． (1,3] 【答案】D【难度】0.94【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次 不等式 【分析】利用集合的并集运算，即可判断参数取值范围. 【详解】由已知解得：  2| 4 3 0N x x x     { |1 3}x x  ， 因为    | 4 3 , | 4 ,M N x x M x x a        所以 1 < � ≤ 3．故选：D． 题型四：由交并补运算求参数 4-1.(23-24 高三上·辽宁沈阳·期末)已知A，B均为集合  1,2,3,4,5U  的子集，  1,2,3A B  ，  1A B  ， ∁�� = 3,4,5 ，则 A ( ) A． 1 B． 1,3 C． 2,3 D． 1,2,3 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、根据补集运算 确定集合或参数 【分析】由∁�� = 3,4,5 ，先求出  1,2B  ，再由  1,2,3A B  ，  1A B  ，可得集合A . 【详解】A， B均为集合  1,2,3,4,5U  的子集，∁�� = 3,4,5 ，则  1,2B  ，  1,2,3A B  ，  1A B  ，则  1,3A  .故选：B 4-2.(2024·广东梅州·一模)已知集合  A x x a  ，  1 2B x x    ，A ∪ ∁UB = R，则 a的取值范围为( ) A．  , 1  B．  1,2 C． 1,2 D．  2, 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】求出∁��，根据并集结果得到答案. 【详解】∁�� = � � ≤− 1或 x ≥ 2 ，因为  A x x a  ，A ∪ ∁UB = R， 故 2a  ，则 a的取值范围为  2, .故选：D 4-3.(2016·江西新余·二模)设U R ，已知集合    | 1 , |A x x B x x a    ，且(∁UA) ∪ B = R，则实数 a的取 值范围是( ) A．  1, B．  ,1 C． 1, D．  ,1 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】由题设可得∁�� = � � < 1 ，根据已知集合的并集结果即可求 a的取值范围. 【详解】由题设，∁�� = � � < 1 ，又(∁UA) ∪ B = R，  |B x x a  ， ∴ 1a  .故选：D 4-4.(2025·新疆喀什·二模)已知集合  | 2A x x  ，  2 2 3 0B x x x    ，  C x x a  且 A ∪ (∁RB) ∪ C = R， 则实数 a的取值范围为( ) A．  1,  B．  ,3 C．  , 1  D．  ,3 第 10 页 共 14 页 【答案】B【难度】0.65【知识点】补集的概念及运算、交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参 数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解集合 B，再得到∁��，然后根据 A ∪ (∁RB) ∪ C = R，即可求解实数 a的取值范围. 【详解】因为  2 2 3 0B x x x    ，所以  1B x x   或 3x  ， 所以∁�� = � −1 < � < 3 ，所以 A ∪ (∁RB) = x x < 3 ， 因为 A ∪ (∁RB) ∪ C = R，所以 3a  ，所以实数 a的取值范围为  ,3 .故选：B . 4-5.(24-25 高一上·全国·课后作业)已知集合  1 2A x x   ，集合  B x x m  ，若 A ∩ (∁RB) = ∅，则m的 取值范围为( ) A． 1m≤ B． 2m  C． 1m  D． 2m≥ 【答案】A【难度】0.94【知识点】空集的概念以及判断、补集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合 或参数 【分析】根据 A ∩ (∁RB) = ∅求得m的取值范围. 【详解】因为集合  B x x m  ，所以∁RB = x x ≤ m ， 由于 A ∩ (∁RB) = ∅，所以 1m≤ .故选：A. 4-6.(22-23 高三上·山西·阶段练习)设集合 { 2A x x ∣ 或  4}, 1x B x a x a    ∣ ，若(∁RA) ∩ B = ∅，则 a的 取值范围是( ) A． 1a  或 4a  B． 1a  或 4a  C． 1a  D． 4a  【答案】B【难度】0.85【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】先求出∁��，根据(∁RA) ∩ B = ∅，可求得结果. 【详解】由集合 { 2A x x ∣ 或 4}x  ，得∁�� = � 2 ≤ � < 4 ，又集合  1B x a x a   ∣ 且(∁RA) ∩ B = ∅， 则 1a   2 或 4a  ，即 1a  或 4a  .故选：B. 4-7.(2015·宁夏银川·一模)集合  A x x a  ，  1 2B x x   且 A ∪ (∁RB) = R，则实数 a的取值范围是( ) A． 1a a  B． 1a a  C． 2a a  D． 2a a  【答案】C【难度】0.85【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据集合 B求得∁��，再根据题意即可求得参数的范围. 【详解】因为  1 2B x x   ，故可得∁�� = � � < 1或� ≥ 2 BRð ， 因为  A x x a  ，A ∪ (∁RB) = R，故可得 2a  .故选：C. 4-8.(22-23 高三上·广东·阶段练习)已知集合 A，B是 R 的子集，且 A ∩ (∁RB) = ∅．则下面选项中一定成立的 是( ) A． A B B． A B B C． A B A D． A B  R 【答案】A【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或 参数 【分析】根据 A ∩ (∁RB) = ∅，可得 A B ，再根据交集和并集的定义逐一判断即可. 第 11 页 共 14 页 【详解】解：因为 A ∩ (∁RB) = ∅，所以 B A ， 则 ,A B A A B B   ，故 A 正确，BC 错误，D不一定正确.故选：A. 4-9.(25-26 高一·全国·假期作业)对于非空数集M ，用  S M 表示M 中所有元素之和.若非空集合 1M ， 2M 满 足 1 2M M M 且 1 2M M  ，则称 1M ， 2M 为M 的一个划分.已知  2024, 11, 4,5,14,2025M     且 1M ， 2M 是M 的一个划分，则    1 2S M S M 的最大值为( ) A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、集合新定义 【分析】依题意可得    1 2 5S M S M  ，令  1S M a ，则    1 2 5S M S M a a    ，再分 5a  、0 5a  、 0a  三种情况讨论，分别求出    1 2S M S M 的值(范围)，即可得解. 【详解】因为  2024, 11, 4,5,14,2025M     ， 且    2024 11 4 5 14 2025 5         ，即    1 2 5S M S M  ， 令  1S M a ，则  2 5S M a  ，所以    1 2 5S M S M a a    ， 当 5a  时，      1 2 5 5S M S M a a     ； 当0 5a  时，      1 2 5 2 5 5S M S M a a a       ； 当 0a  时，      1 2 5 5S M S M a a       ； 为了使 5a  ，需将正数尽可能的分配给 1M ，负数分配给 2M ， 如  1 5,14,2025M  ，  2 2024, 11, 4M     ，此时  1 2044S M  ，  2 2039S M   ， 此时    1 2 5S M S M  ，所以    1 2S M S M 的最大值为5 .故选：C 4-10.(2025 高三·全国·专题练习)已知集合  2 0P x x a   ，  2 8xQ x  ，若  1 3P Q x x     ，则 a  ；若(∁RP) ∩ (∁R)中有且只有 2 个整数，则 a的取值范围为 ． 【答案】－2; 10,12 【难度】0.85【知识点】由交并补混合运算求参数 【分析】利用集合的交集运算即可求解参数，利用补集运算结合题意即可求参数范围． 【详解】由题可得 2 aP x x      ，  3Q x x  ． 因为  1 3P Q x x     ，所以 1 2 a   ，解得 2a   ； 因为∁�� = � � ≤ � 2 , ∁�� = � � > 3 ， 由(∁RP) ∩ (∁R)有且只有 2 个整数，可知这两个整数为 4 5，， 所以5 6 2 a   ，解得10 12a  ，所以实数 a的取值范围为 10,12 ．故答案为： 2 ； 10,12 . 4-11.(24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习)已知  | 1A x x   或 3x  ，  2 2|B x m x m     ，若(∁RA) ∩ B ≠ ∅， 则 m的取值范围是 . 第 12 页 共 14 页 【答案】 | 3 5m m   【难度】0.65【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】求出∁��，由(∁RA) ∩ B ≠ ∅建立不等式即可得解. 【详解】由  | 1A x x   或 3x  ，可得∁�� = −1,3 ， 因为(∁RA) ∩ B ≠ ∅，  2 2|B x m x m     ，所以3 2m  且 1 2m   ， 解得 3 5m   ，故答案为： | 3 5m m   4-12.(23-24 高一上·山东青岛·期中)集合  | 0A x x m   ，  1| 5B x x    ，全集 RU  ，且(∁UA) ∩ B ≠ ∅， 则实数 m的取值范围为 ； 【答案】 ( ,1) 【难度】0.85【知识点】交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】先根据题意得∁�� = � � <−� ，再根据(∁UA) ∩ B ≠ ∅求解即可得答案. 【详解】由已知得： { | }A x x m   ，则∁�� = � � <−� ， 因为  | 1 5B x x    ，且(∁UA) ∩ B ≠ ∅，如图： 则 1m   ，即 1m  ，则实数 m的取值范围为 ( ,1) .故答案为： ( ,1) 题型五：由充要条件求参数 由集合的关系求参数的方法：将充要条件转化为集合的包含关系，即可解决. 5-1.(24-25 高一上·广东肇庆·期末)已知    , 3A x x m B x x   ∣ ∣ ，若 x A 是 x B 的必要条件，则m的取 值范围是( ) A． 3m  B． 3m  C． 3m  D． 3m  【答案】B【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可. 【详解】 x A 是 x B 的必要条件， B A  ， 3m  .故选：B. 5-2.(24-25 高一上·福建莆田·期末)已知条件 2: 3 4 0p x x   ；条件   : 3 0q x m x m    ，若 p是 q的充分 不必要条件，则实数m的取值范围是( ) A．    , 7 1,     B．    , 7 1,     C．  7,1 D．  7,1 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的 一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】解不等式，根据条件得到真包含关系，从而得到不等式，求出答案. 【详解】 2: 3 4 0 4 1p x x x       ，设  4 1A x x    ，   : 3 0q x m x m     3x m  或 x m ，设  3B x x m   或 x m ， p是 q的充分不必要条件，故A是 B的真子集， 故 1m  或 3 4m    ，解得 1m  或 7m   ，故选：B 第 13 页 共 14 页 5-3.(24-25 高二下·山东烟台·期末)设集合  21,3,A a ，  1, 2B a  ，若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件， 则实数 a的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【详解】由题意可得 B A，令 2 3a   ，解得 1a  ，则 2 1a  ，不符合题意； 令 22a a  ，则   2 2 2 1 0a a a a      ，解得 2a  或 1 ， 当 1a   时， 2 1a  ，不符合题意，当 2a  时， 2 4a  . 综上可得： 2a  .故选：D. 5-4.(2025 高三·天津·专题练习)已知集合  2 4 3 0A x x x    ，  B x x m  ．若“x ∈ ∁RA”是“ x B ”的必要 不充分条件，则实数 m的取值范围是( )． A．  ,1 B． 1,3 C． 3,  D．  2,3 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、根据必要不充分条件求 参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式可得  1,3A  ，即可写出∁RA，由题意知 B≠⊂∁RA，即可根据集合之间的关系求得 m. 【详解】由   2 4 3 0 1 3 0x x x x       ，即  1,3A  ，故∁RA = ( −∞,1) ∪ (3, + ∞)． “x ∈ ∁RA”是“ x B ”的必要不充分条件 B≠⊂∁RA． 由    ,1 3,B    且    ,1 3,B    ，结合  B x x m  ，故 3m  .故选：C 5-5.(24-25 高一上·甘肃甘南·期末)已知集合  2 , 2, 3A a a   ，  2 2 3 0B x x x    ，且 B A ，则 a的值为 ( ) A．1 B． 1 C． 1 D．3 【答案】A【难度】0.85【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】求出集合 B，分析可知集合A中必含元素 3 、1，可得出关于实数 a的方程，结合集合A中的元素 满足互异性可得出实数 a的值. 【详解】因为    2 2 3 0 3,1B x x x      且B A ，所以 3 ,1A A   ， 所以 2 1a  或 2 1a   ，得 1a  或 1 ， 根据集合中元素的互异性可得 2 2 2 3 a a a        ，解得 1a   且 2a  且 5a   ，故 1a  .故选：A. 5-6.(24-25 高二下·湖北武汉·期末)已知 : 3p x   或 2, :x q x a  ，且 q是 p的充分不必要条件，则实数 a的取 值范围( ) A． 2a  B． 3a   C． 2a  D． 2a  【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 第 14 页 共 14 页 【详解】根据题意， : 3p A x x   或   2 , :x q B x x a   ， q是 p的充分不必要条件，所以 B A 且 B A ， 则 2a  .故选：D 5-7.(24-25 高二下·江苏南京·期末)设集合 {1,0,2 }M a ，  21,N a ，且 N M ，则实数 a的值是( ) A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知 2 1a  ； 令 2 0a  ，可得 0a  ，则 2 0a  ，不符合题意； 令 2 2a a ，分解因式可得  2 0a a   ，解得 0a  或 2， 当 2a  时， 2 4a  ，符合题意.故选：D. 5-8.(21-22 高一上·辽宁沈阳·期中)已知集合  1 5A x x   ，  3 .B x a x a     若  B A B  ，则 a的取 值范围为( ) A． 3 , 1 2       B． 3, 2       C．  , 1  D． 3 , 2       【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或 参数 【分析】由集合的包含关系可得 B A ，再分 B 与 B  时解不等式可得. 【详解】由条件得  B A B  ，又因为  A B B ，所以 A B B ，即有B A ． ①当 B ，有 3a a   ，解得： 3 2 a   ； ②当 B  ，有 3 1 3 5 a a a a         ，解得： 3 1 2 a    ． 综上，实数 a的取值范围为：  , 1  ．故选：C． 5-9.(多选)(24-25 高一上·江苏盐城·期末)集合  2 2 3 0A x x x    ，  B x x m  ，若“ x A ”是“ x B ”的充 分不必要条件，则m可以是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】由题可得A是 B的真子集，进而即得. 【详解】    2 2 3 0 1 3A x x x x x        ， 由“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，可得：A是 B的真子集， 所以 3m  ，故选：BCD 重难点专题01 由集合的关系求参数 题型一：由包含关系求参数 题型二：由交集运算求参数 题型三：由并集运算求参数 题型四：由交并补运算求参数 题型五：由充要条件求参数 题型一：由包含关系求参数 由集合的关系求参数的方法：空集优先、分类讨论、列出约束条件、求解验证. 若是列举法表示的集合的包含关系，则由小范围集合的每一个元素都满足大范围集合的条件，列方程(不等式)即可解出； 若是不等式的解集的包含关系，则用数形结合，借助数轴解； 特别注意：(1)是否有空集这种情况. (2)验证结论是否符合题意. 1-1.(24-25高一下·辽宁朝阳·期末)已知集合，集合．若，则实数的取值集合为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意得或，求出即可. 【详解】已知集合，集合．若，则或， 而方程无解，方程的解为， 经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且.故选：D. 1-2.(24-25高二下·河南新乡·期末)已知集合，．若，则(   ) A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据，则，从而可求解. 【详解】因为，所以，即，解得，故A正确.故选：A. 1-3.(24-25高三上·福建泉州·期末)设集合，，若，则(   ) A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由求解并验证即可； 【详解】由题意可得：，解得：或， 当时，，，不符合舍去， 当时，，，符合， 故 ，故选：D 1-4.(24-25高一上·江苏泰州·期末)若，则的最大值为(   ) A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则.故选：C. 1-5.(23-24高二下·河北承德·期末)已知集合，且，则(    ) A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据互异性得到，分中只有1个元素和有2个元素两种情况，结合根的判别式和韦达定理得到答案. 【详解】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20.故选：A 1-6.(24-25高二下·陕西汉中·期末)设集合，若，则a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】通过解一元二次不等式化简集合，结合包含关系即可求解参数范围. 【详解】因为，且, 所以.故选：D. 1-7.(24-25高二下·甘肃白银·期末)设集合，，且，则实数的取值集合为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系，判断集合中元素的关系，对参数分类讨论，求出参数可能的取值. 【详解】由题意得. 当时，，； 当时，，由，可得或. 综上，实数的取值集合为.故选：D. 1-8.(24-25高二下·河北·期末)已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的概念以及判断 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：．故选：C． 1-9.(24-25高一下·河南焦作·阶段练习)已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题知，，求实数的取值范围. 【详解】由题知，非空集合， 因为，所以， 故实数的取值范围为.故选：D. 1-10.(24-25高二下·重庆·期末)已知集合，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意结合包含关系分析求解即可. 【详解】因为集合，且， 可得，所以实数的取值范围是.故选：D. 1-11.(2024·重庆渝中·模拟预测)已知集合，且，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】化简集合A，根据子集关系列式运算得解. 【详解】由，解得，所以集合， 又，所以.故选：C. 1-12.(多选)(24-25高三上·辽宁·期末)已知集合，，若，则的值可能是(    ) A． B． C．1 D．3 【答案】AB【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 题型二：由交集运算求参数 2-1.(24-25高三上·河北沧州·期末)已知集合，集合，若，则实数(    ) A．2 B． C． D．0 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合的运算性质得出，再根据子集的性质和集合性质得出即可求出答案. 【详解】由得到，由子集的性质可知． 对于任意的实数，,不能等于，由集合元素的互异性，不成立， 故只能是；求出.故选：C 2-2.(24-25高一上·山东·期中)设集合，，若，则(   ) A．2 B．1 C． D．-2 【答案】A【难度】0.94【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】由得.易知且不符合题意，则，解之即可求解. 【详解】由，得.若，则，不符合题意； 又，所以，解得.故选：A 2-6.(24-25高一上·福建厦门·阶段练习)设集合，若，则实数的值有(   )个 A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集的结果转化为子集关系，分类讨论求出即可得解. 【详解】因为，所以， 若，由知，满足； 若，则， 由可知，或，解得或， 综上，的取值为.故选：B. 2-7.(24-25高一上·北京顺义·阶段练习)设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为(    ) A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算 【分析】解方程得集合A，根据得，结合包含关系求实数，即得结果. 【详解】,因为， 当时，， 当时，即时，令，解得， 则或，则对应实数的值为，则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有，故选：C. 2-8.(多选)(24-25高一下·湖南衡阳·期末)若集合，，且，则的值可以是(    ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】AB【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】由集合中元素的互异性以及交集的结果即可列式求解. 【详解】若集合，， 则由集合中元素的互异性可知，，即， 又，则或或或，即， 所以的值可以是，对比选项可知只有AB正确.故选：AB. 2-9.(多选)(24-25高一上·江苏苏州·期末)设集合，，若，则实数的值可能是(   ) A． B． C．0 D．2 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意分析可知，分类讨论结合包含关系求实数的取值范围. 【详解】因为，且，则， 对于，则有：若，则，符合题意； 若，则，可得； 若，则，可得； 综上所述：实数的取值范围为， 结合选项可知：ACD正确，B错误.故选：ACD. 题型三：由并集运算求参数 3-1.(2025·辽宁本溪·模拟预测)已知集合若，则a的取值构成的集合为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为.故选：D. 3-2.(2025高三·全国·专题练习)已知数集满足：，，若，则一定有(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】由交集与并集的结果，则可得与集合的关系，可得答案. 【详解】因为，， 所以且或且，二者皆有可能，所以A，B错误； 由，所以，所以C正确，D错误．故选：C． 3-3.(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可. 【详解】因为中恰有三个元素，所以或或， 结合集合中元素的互异性，解得或或(舍去)或.故选：D． 3-4.(2025·重庆九龙坡·三模)已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是.故选：A. 3-5.(24-25高二下·重庆·期末)已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，.可能为 (1)时，，符合 (2)时，，符合 (3)时，，符合 综上，实数m组成的集合为；故选：D 3-6.(24-25高二下·吉林延边·阶段练习)，，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是.故选：A. 3-7.(2025·江西·三模)已知集合.若，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式求得集合，由已知可得，进而可求得的取值范围. 【详解】由，可得，解得，所以， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为.故选：A. 3-8.(2025·云南昭通·模拟预测)已知集合，集合．若，则实数的值为(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由， 可知集合必须包含元素2，即.故选：D 3-9.(2025·云南昆明·模拟预测)已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为(    ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数、根据并集结果求集合或参数 【分析】先求出集合A，再结合并集的定义，即可求解． 【详解】由题意有， 因为，所以，则满足条件的集合B为，，共2个．故选：B. 3-10.(2025·全国·模拟预测)已知集合，集合B满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集的运算即可求解. 【详解】由于，， 故，故选：A 3-11.(2025·辽宁·模拟预测)已知集合，，且，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用集合的并集运算，即可判断参数取值范围. 【详解】由已知解得：， 因为 所以．故选：D． 题型四：由交并补运算求参数 4-1.(23-24高三上·辽宁沈阳·期末)已知，均为集合的子集， ，，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数 【分析】由，先求出，再由，，可得集合. 【详解】，均为集合的子集，，则， ，，则.故选：B 4-2.(2024·广东梅州·一模)已知集合，，，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】求出，根据并集结果得到答案. 【详解】，因为，， 故，则的取值范围为.故选：D 4-3.(2016·江西新余·二模)设，已知集合，且，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】由题设可得，根据已知集合的并集结果即可求的取值范围. 【详解】由题设，，又，， ∴.故选：D 4-4.(2025·新疆喀什·二模)已知集合，，且，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】补集的概念及运算、交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围. 【详解】因为，所以或， 所以，所以， 因为，所以，所以实数的取值范围为.故选：. 4-5.(24-25高一上·全国·课后作业)已知集合，集合，若，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】空集的概念以及判断、补集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合，所以， 由于，所以.故选：A. 4-6.(22-23高三上·山西·阶段练习)设集合或，若，则的取值范围是(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】先求出，根据，可求得结果. 【详解】由集合或，得，又集合且， 则2或，即或.故选：B. 4-7.(2015·宁夏银川·一模)集合，且，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据集合求得，再根据题意即可求得参数的范围. 【详解】因为，故可得或， 因为，，故可得.故选：C. 4-8.(22-23高三上·广东·阶段练习)已知集合A，B是R的子集，且．则下面选项中一定成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据，可得，再根据交集和并集的定义逐一判断即可. 【详解】解：因为，所以， 则，故A正确，BC错误，D不一定正确.故选：A. 4-9.(25-26高一·全国·假期作业)对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，是的一个划分，则的最大值为(   ) A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、集合新定义 【分析】依题意可得，令，则，再分、、三种情况讨论，分别求出的值(范围)，即可得解. 【详解】因为， 且，即， 令，则，所以， 当时，； 当时，； 当时，； 为了使，需将正数尽可能的分配给，负数分配给， 如，，此时，， 此时，所以的最大值为.故选：C 4-10.(2025高三·全国·专题练习)已知集合，，若，则 ；若中有且只有2个整数，则a的取值范围为 ． 【答案】－2;【难度】0.85【知识点】由交并补混合运算求参数 【分析】利用集合的交集运算即可求解参数，利用补集运算结合题意即可求参数范围． 【详解】由题可得，． 因为，所以，解得； 因为， 由有且只有2个整数，可知这两个整数为 所以，解得，所以实数a的取值范围为．故答案为：；. 4-11.(24-25高一上·四川绵阳·阶段练习)已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】【难度】0.65【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，，所以且， 解得，故答案为： 4-12.(23-24高一上·山东青岛·期中)集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】【难度】0.85【知识点】交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【详解】由已知得：，则， 因为，且，如图： 则，即，则实数m的取值范围为.故答案为： 题型五：由充要条件求参数 由集合的关系求参数的方法：将充要条件转化为集合的包含关系，即可解决. 5-1.(24-25高一上·广东肇庆·期末)已知，若是的必要条件，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【详解】是的必要条件，，.故选：B. 5-2.(24-25高一上·福建莆田·期末)已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】解不等式，根据条件得到真包含关系，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，设， 或，设或， 是的充分不必要条件，故是的真子集， 故或，解得或，故选：B 5-3.(24-25高二下·山东烟台·期末)设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为(   ) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：.故选：D. 5-4.(2025高三·天津·专题练习)已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(    )． A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式可得，即可写出，由题意知，即可根据集合之间的关系求得m. 【详解】由，即，故． “”是“”的必要不充分条件． 由且，结合，故.故选：C 5-5.(24-25高一上·甘肃甘南·期末)已知集合，，且，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且，所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故.故选：A. 5-6.(24-25高二下·湖北武汉·期末)已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件，所以且， 则.故选：D 5-7.(24-25高二下·江苏南京·期末)设集合，，且，则实数的值是(   ) A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知； 令，可得，则，不符合题意； 令，分解因式可得，解得或， 当时，，符合题意.故选：D. 5-8.(21-22高一上·辽宁沈阳·期中)已知集合，若，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】由集合的包含关系可得，再分与时解不等式可得. 【详解】由条件得，又因为，所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：．故选：C． 5-9.(多选)(24-25高一上·江苏盐城·期末)集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】由题可得是的真子集，进而即得. 【详解】， 由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集， 所以，故选：BCD 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 7 页 重难点专题 01 由集合的关系求参数 题型一：由包含关系求参数 题型二：由交集运算求参数 题型三：由并集运算求参数 题型四：由交并补运算求参数 题型五：由充要条件求参数 题型一：由包含关系求参数 由集合的关系求参数的方法：空集优先、分类讨论、列出约束条件、求解验证. 若是列举法表示的集合的包含关系，则由小范围集合的每一个元素都满足大范围集合的条件，列方程(不等 式)即可解出； 若是不等式的解集的包含关系，则用数形结合，借助数轴解； 特别注意：(1)是否有空集这种情况. (2)验证结论是否符合题意. 1-1.(24-25 高一下·辽宁朝阳·期末)已知集合  1,2,3A   ，集合  23,B m ．若 B A ，则实数m的取值集合 为( ) A． 1 B． 2 C． 1, 1 D． 2, 2 1-2.(24-25 高二下·河南新乡·期末)已知集合  2 0A x x x m    ，  1B  ．若 B A ，则m  ( ) A．0 B．1 C．2 D．-2 1-3.(24-25 高三上·福建泉州·期末)设集合  2 2,1, 2A a a   ，  0, 2B a  ，若 B A ，则 a  ( ) A．2 B．1 C．0 D．-1 1-4.(24-25 高一上·江苏泰州·期末)若{ , , } { 3, 2, 1,1,2,3}a b c     ，则 2 3a b c  的最大值为( ) A．12 B．13 C．16 D．18 1-5.(23-24 高二下·河北承德·期末)已知集合  2 4 0A x x ax    ，且   1,m A m  ，则 am  ( ) A．8 或 20 B．8 或-20 C． 8 或 20 D． 8 或 20 第 2 页 共 7 页 1-6.(24-25 高二下·陕西汉中·期末)设集合  2 6 5 0 , { 1 }A x x x B x x a      ∣ ∣ ，若 A B ，则 a的取值范围 为( ) A． (1,5) B． (1,5] C． (5, ) D．[5, ) 1-7.(24-25 高二下·甘肃白银·期末)设集合  2| 3 0, ZA x x x    ，   | 0B x x x a   ，且 A B ，则实数 a 的取值集合为( ) A． 1,0 B． 1,0 C． 1,1 D． 1,0, 1 1-8.(24-25 高二下·河北·期末)已知集合  2 10A x x    ，非空集合  1 1B y m y m     ，若 B A ，则 实数m的取值范围为( ) A． 3m  B． 3m  C．0 3m  D．0 3m  1-9.(24-25 高一下·河南焦作·阶段练习)已知集合  2| ( 2) 1M x x   ，非空集合 { |1 }N x x a   ，若 N M ， 则实数 a的取值范围为( ) A． (1, ) B．[3, ) C．[0,3] D．[1,3] 1-10.(24-25 高二下·重庆·期末)已知集合    | 3 , |A x x B x x m    ，若 A B ，则实数m的取值范围是( ) A．{ 3}m m ∣ B．{ 3}m m ∣ C．{ 3}m m ∣ D．{ 3}m m ∣ 1-11.(2024·重庆渝中·模拟预测)已知集合  2 4 3 0 , { 1 }A x x x B x x a      ∣ ∣ ，且 A B ，则实数 a的取值 范围为( ) A．{ 1 3}a a ∣ B．{ 1 3}a a ∣ C． 3a a ∣ D．{ 3}a a ∣ 1-12.(多选)(24-25 高三上·辽宁·期末)已知集合  2 22, 8, 1A a a a      ，  7,2B a  ，若 B A ，则 a的值 可能是( ) A． 2 B． 1 C．1 D．3 题型二：由交集运算求参数 2-1.(24-25 高三上·河北沧州·期末)已知集合  2,1,4A   ，集合  21,B a ，若 A B B ，则实数 a  ( ) A．2 B． 2 C． 2 D．0 2-2.(24-25 高一上·山东·期中)设集合  0,A a ，  1, 2,3 4B a a   ，若 A B A ，则 a  ( ) A．2 B．1 C． 4 3 D．-2 第 3 页 共 7 页 2-6.(24-25 高一上·福建厦门·阶段练习)设集合    1, 2 , 1 0, RA B x ax a      ，若 A B B ，则实数 a的 值有( )个 A．0 B．3 C．2 D．1 2-7.(24-25 高一上·北京顺义·阶段练习)设集合  2 8 15 0A x x x    ，集合  1 0B x ax   ，若 A ∩ B = B， 则实数 a取值集合的真子集的个数为( ) A．2 B．3 C．7 D．8 2-8.(多选)(24-25 高一下·湖南衡阳·期末)若集合  1,A n ，  2 , 2, 4B n ，且 A B   ，则 n的值可以是( ) A． 1 B．0 C．1 D．2 2-9.(多选)(24-25 高一上·江苏苏州·期末)设集合  2 4 0A x x   ，  2B x ax a  ，若  2 2A B x x     ， 则实数 a的值可能是( ) A． 2 B． 1 C．0 D．2 题型三：由并集运算求参数 3-1.(2025·辽宁本溪·模拟预测)已知集合     | 2 3 0}, { | 2 0 ,A x x x B x ax       N 若 A B A ，则 a的取 值构成的集合为( ) A． 0 B． 0,1 C． 21, 3       D． 20,1, 3       3-2.(2025 高三·全国·专题练习)已知数集 ,A B满足：  1, 2A B  ，  1,2,3,4A B  ，若3 A ，则一定有( ) A． 4 A B． 4 A C．3 B D．3 B 3-3.(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知集合  1,A a ，  22,B a ，若 A B 中恰有三个元素，则由 a的取值组 成的集合为( ) A． 0 B． 1,2 C． 0,2 D． 0, 1,2 3-4.(2025·重庆九龙坡·三模)已知集合  2{ 0 }, 6 5 0M x x a N x x x      ∣ ∣ ，若 N M M ，则实数 a 的取值范围是( ) A． 5, B．  5, C． 3 ， D．  3, 3-5.(24-25 高二下·重庆·期末)已知集合  2,3A ，   2 1 0B x x m x m     ，若  1,2,3A B  ，则所有满 第 4 页 共 7 页 足条件的实数 m组成的集合为( ) A． 2 B． 3 C． 2,3 D． 1,2,3 3-6.(24-25 高二下·吉林延边·阶段练习)  2 5A x x    ，  1 2 1B x m x m     ，若 A B A ，则实数m 的取值范围是( ) A．  ,3 B．  , 2 C． 3,3 D．  ,3 3-7.(2025·江西·三模)已知集合    2, 4 3 0A x x a B x x x     ∣ ∣ .若 A B A ，则 a的取值范围为( ) A．  ,1 B．  ,3 C． 1, D．  3, 3-8.(2025·云南昭通·模拟预测)已知集合  2 2 0A x x x   ∣ ，集合  1,B a ．若  2,1,2A B   ，则实数 a 的值为( ) A． 2 B． 1 C．1 D．2 3-9.(2025·云南昆明·模拟预测)已知集合 A，B满足：  2N 2 0A x x    ， A B A ，则满足条件的集合 B的个数为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 3-10.(2025·全国·模拟预测)已知集合  2, 1,0,2A    ，集合 B满足  2| 4A B x x  Z ，则( ) A．1 B B．1 B C． 2 B  D． 2B 3-11.(2025·辽宁·模拟预测)已知集合 { | 4 }M x x a    ，  2| 4 3 0N x x x    ，且 { | 4 3}M N x x     ， 则 a的取值范围为( ) A．[1,3] B． (1,3) C．[1,3) D． (1,3] 题型四：由交并补运算求参数 4-1.(23-24 高三上·辽宁沈阳·期末)已知A，B均为集合  1,2,3,4,5U  的子集，  1,2,3A B  ，  1A B  ， ∁�� = 3,4,5 ，则 A ( ) A． 1 B． 1,3 C． 2,3 D． 1,2,3 4-2.(2024·广东梅州·一模)已知集合  A x x a  ，  1 2B x x    ，A ∪ ∁UB = R，则 a的取值范围为( ) A．  , 1  B．  1,2 C． 1,2 D．  2, 第 5 页 共 7 页 4-3.(2016·江西新余·二模)设U R ，已知集合    | 1 , |A x x B x x a    ，且(∁UA) ∪ B = R，则实数 a的取 值范围是( ) A．  1, B．  ,1 C． 1, D．  ,1 4-4.(2025·新疆喀什·二模)已知集合  | 2A x x  ，  2 2 3 0B x x x    ，  C x x a  且 A ∪ (∁RB) ∪ C = R， 则实数 a的取值范围为( ) A．  1,  B．  ,3 C．  , 1  D．  ,3 4-5.(24-25 高一上·全国·课后作业)已知集合  1 2A x x   ，集合  B x x m  ，若 A ∩ (∁RB) = ∅，则m的 取值范围为( ) A． 1m≤ B． 2m  C． 1m  D． 2m≥ 4-6.(22-23 高三上·山西·阶段练习)设集合 { 2A x x ∣ 或  4}, 1x B x a x a    ∣ ，若(∁RA) ∩ B = ∅，则 a的 取值范围是( ) A． 1a  或 4a  B． 1a  或 4a  C． 1a  D． 4a  4-7.(2015·宁夏银川·一模)集合  A x x a  ，  1 2B x x   且 A ∪ (∁RB) = R，则实数 a的取值范围是( ) A． 1a a  B． 1a a  C． 2a a  D． 2a a  4-8.(22-23 高三上·广东·阶段练习)已知集合 A，B是 R 的子集，且 A ∩ (∁RB) = ∅．则下面选项中一定成立的 是( ) A． A B B． A B B C． A B A D． A B  R 4-9.(25-26 高一·全国·假期作业)对于非空数集M ，用  S M 表示M 中所有元素之和.若非空集合 1M ， 2M 满 足 1 2M M M 且 1 2M M   ，则称 1M ， 2M 为M 的一个划分.已知  2024, 11, 4,5,14,2025M     且 1M ， 2M 是M 的一个划分，则    1 2S M S M 的最大值为( ) A．2 B．3 C．5 D．6 4-10.(2025 高三·全国·专题练习)已知集合  2 0P x x a   ，  2 8xQ x  ，若  1 3P Q x x     ，则 a  ；若(∁RP) ∩ (∁R)中有且只有 2 个整数，则 a的取值范围为 ． 4-11.(24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习)已知  | 1A x x   或 3x  ，  2 2|B x m x m     ，若(∁RA) ∩ B ≠ ∅， 则 m的取值范围是 . 第 6 页 共 7 页 4-12.(23-24 高一上·山东青岛·期中)集合  | 0A x x m   ，  1| 5B x x    ，全集 RU  ，且(∁UA) ∩ B ≠ ∅， 则实数 m的取值范围为 ； 题型五：由充要条件求参数 由集合的关系求参数的方法：将充要条件转化为集合的包含关系，即可解决. 5-1.(24-25 高一上·广东肇庆·期末)已知    , 3A x x m B x x   ∣ ∣ ，若 x A 是 x B 的必要条件，则m的取 值范围是( ) A． 3m  B． 3m  C． 3m  D． 3m  5-2.(24-25 高一上·福建莆田·期末)已知条件 2: 3 4 0p x x   ；条件   : 3 0q x m x m    ，若 p是 q的充分 不必要条件，则实数m的取值范围是( ) A．    , 7 1,     B．    , 7 1,     C．  7,1 D．  7,1 5-3.(24-25 高二下·山东烟台·期末)设集合  21,3,A a ，  1, 2B a  ，若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件， 则实数 a的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 5-4.(2025 高三·天津·专题练习)已知集合  2 4 3 0A x x x    ，  B x x m  ．若“x ∈ ∁RA”是“ x B ”的必要 不充分条件，则实数 m的取值范围是( )． A．  ,1 B． 1,3 C． 3,  D．  2,3 5-5.(24-25 高一上·甘肃甘南·期末)已知集合  2 , 2, 3A a a   ，  2 2 3 0B x x x    ，且 B A ，则 a的值为 ( ) A．1 B． 1 C． 1 D．3 5-6.(24-25 高二下·湖北武汉·期末)已知 : 3p x   或 2, :x q x a  ，且 q是 p的充分不必要条件，则实数 a的取 值范围( ) A． 2a  B． 3a   C． 2a  D． 2a  5-7.(24-25 高二下·江苏南京·期末)设集合 {1,0,2 }M a ，  21,N a ，且 N M ，则实数 a的值是( ) A．－2 B．0 C．1 D．2 第 7 页 共 7 页 5-8.(21-22 高一上·辽宁沈阳·期中)已知集合  1 5A x x   ，  3 .B x a x a     若  B A B  ，则 a的取 值范围为( ) A． 3 , 1 2       B． 3, 2       C．  , 1  D． 3 , 2       5-9.(多选)(24-25 高一上·江苏盐城·期末)集合  2 2 3 0A x x x    ，  B x x m  ，若“ x A ”是“ x B ”的充 分不必要条件，则m可以是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 重难点专题01 由集合的关系求参数 题型一：由包含关系求参数 题型二：由交集运算求参数 题型三：由并集运算求参数 题型四：由交并补运算求参数 题型五：由充要条件求参数 题型一：由包含关系求参数 由集合的关系求参数的方法：空集优先、分类讨论、列出约束条件、求解验证. 若是列举法表示的集合的包含关系，则由小范围集合的每一个元素都满足大范围集合的条件，列方程(不等式)即可解出； 若是不等式的解集的包含关系，则用数形结合，借助数轴解； 特别注意：(1)是否有空集这种情况. (2)验证结论是否符合题意. 1-1.(24-25高一下·辽宁朝阳·期末)已知集合，集合．若，则实数的取值集合为(    ) A． B． C． D． 1-2.(24-25高二下·河南新乡·期末)已知集合，．若，则(   ) A．0 B．1 C．2 D．-2 1-3.(24-25高三上·福建泉州·期末)设集合，，若，则(   ) A．2 B．1 C．0 D．-1 1-4.(24-25高一上·江苏泰州·期末)若，则的最大值为(   ) A．12 B．13 C．16 D．18 1-5.(23-24高二下·河北承德·期末)已知集合，且，则(    ) A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 1-6.(24-25高二下·陕西汉中·期末)设集合，若，则a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 1-7.(24-25高二下·甘肃白银·期末)设集合，，且，则实数的取值集合为(   ) A． B． C． D． 1-8.(24-25高二下·河北·期末)已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为(   ) A． B． C． D． 1-9.(24-25高一下·河南焦作·阶段练习)已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为(   ) A． B． C． D． 1-10.(24-25高二下·重庆·期末)已知集合，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 1-11.(2024·重庆渝中·模拟预测)已知集合，且，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 1-12.(多选)(24-25高三上·辽宁·期末)已知集合，，若，则的值可能是(    ) A． B． C．1 D．3 题型二：由交集运算求参数 2-1.(24-25高三上·河北沧州·期末)已知集合，集合，若，则实数(    ) A．2 B． C． D．0 2-2.(24-25高一上·山东·期中)设集合，，若，则(   ) A．2 B．1 C． D．-2 2-6.(24-25高一上·福建厦门·阶段练习)设集合，若，则实数的值有(   )个 A．0 B．3 C．2 D．1 2-7.(24-25高一上·北京顺义·阶段练习)设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为(    ) A．2 B．3 C．7 D．8 2-8.(多选)(24-25高一下·湖南衡阳·期末)若集合，，且，则的值可以是(    ) A． B．0 C．1 D．2 2-9.(多选)(24-25高一上·江苏苏州·期末)设集合，，若，则实数的值可能是(   ) A． B． C．0 D．2 题型三：由并集运算求参数 3-1.(2025·辽宁本溪·模拟预测)已知集合若，则a的取值构成的集合为(    ) A． B． C． D． 3-2.(2025高三·全国·专题练习)已知数集满足：，，若，则一定有(    ) A． B． C． D． 3-3.(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为(    ) A． B． C． D． 3-4.(2025·重庆九龙坡·三模)已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是(   ) A． B． C． D． 3-5.(24-25高二下·重庆·期末)已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为(   ) A． B． C． D． 3-6.(24-25高二下·吉林延边·阶段练习)，，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3-7.(2025·江西·三模)已知集合.若，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 3-8.(2025·云南昭通·模拟预测)已知集合，集合．若，则实数的值为(    ) A． B． C．1 D．2 3-9.(2025·云南昆明·模拟预测)已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为(    ) A．1 B．2 C．4 D．8 3-10.(2025·全国·模拟预测)已知集合，集合B满足，则(    ) A． B． C． D． 3-11.(2025·辽宁·模拟预测)已知集合，，且，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 题型四：由交并补运算求参数 4-1.(23-24高三上·辽宁沈阳·期末)已知，均为集合的子集， ，，，则(     ) A． B． C． D． 4-2.(2024·广东梅州·一模)已知集合，，，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 4-3.(2016·江西新余·二模)设，已知集合，且，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4-4.(2025·新疆喀什·二模)已知集合，，且，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 4-5.(24-25高一上·全国·课后作业)已知集合，集合，若，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 4-6.(22-23高三上·山西·阶段练习)设集合或，若，则的取值范围是(    ) A．或 B．或 C． D． 4-7.(2015·宁夏银川·一模)集合，且，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4-8.(22-23高三上·广东·阶段练习)已知集合A，B是R的子集，且．则下面选项中一定成立的是(    ) A． B． C． D． 4-9.(25-26高一·全国·假期作业)对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，是的一个划分，则的最大值为(   ) A．2 B．3 C．5 D．6 4-10.(2025高三·全国·专题练习)已知集合，，若，则 ；若中有且只有2个整数，则a的取值范围为 ． 4-11.(24-25高一上·四川绵阳·阶段练习)已知或，，若，则m的取值范围是 . 4-12.(23-24高一上·山东青岛·期中)集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 题型五：由充要条件求参数 由集合的关系求参数的方法：将充要条件转化为集合的包含关系，即可解决. 5-1.(24-25高一上·广东肇庆·期末)已知，若是的必要条件，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5-2.(24-25高一上·福建莆田·期末)已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5-3.(24-25高二下·山东烟台·期末)设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为(   ) A．－1 B．0 C．1 D．2 5-4.(2025高三·天津·专题练习)已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(    )． A． B． C． D． 5-5.(24-25高一上·甘肃甘南·期末)已知集合，，且，则的值为(    ) A． B． C． D． 5-6.(24-25高二下·湖北武汉·期末)已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围(    ) A． B． C． D． 5-7.(24-25高二下·江苏南京·期末)设集合，，且，则实数的值是(   ) A．－2 B．0 C．1 D．2 5-8.(21-22高一上·辽宁沈阳·期中)已知集合，若，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 5-9.(多选)(24-25高一上·江苏盐城·期末)集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$