专题03 二次函数综与一元二次方程及实际应用十题型（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期人教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二次函数与一元二次方程及实际应用 题型一二次函数综合-线段周长问题 题型六实际问题与二次函数-图形问题 题型二二次函数综合-面积问题 题型七实际问题与二次函数拱桥问题 题型三抛物线与坐标轴交点问题 二次函数 题型八实际问题与二次函数-销售问题 题型四根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型九实际问题与二次函数投球问题 题型五二次函数图像与不等式 题型十实际问题与二次函数-其他问题 目目 题型01 二次函数综合--一线段周长问题 1.(24-25九上江西南昌期中)如图，己知抛物线y=-x2+x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 点B的坐标为(3,0)， (1)求m的值及抛物线的顶点坐标， (2)点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标. y,1 A B 2.(24-25九上江西赣州上犹县·期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线L:y=x2-2x-3与x轴交 于A,B两点（点A在点B的左侧），与V轴交于点C,点P是直线BC下方的抛物线上一动点， 1/18 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 VA A D 备用图 (1)求线段AB的长： (2)过P点作V轴的平行线交直线BC于点E,求线段PE的最大值； (3)在直线BC找一点Q,使得△Q0C为等腰三角形，直接写出Q点坐标. 3.(24-25九上江西新余分宜县期中)如图，已知抛物线y=x2+bx+3（a≠0)与x轴交于点A(1,0) 和点B(-3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不 存在，请说明理由。 (3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形？若存在，请 直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 4.(24-25九上·江西宜春期中)已知，如图抛物线y=x2+bx+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B 两点，点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0)，OC=30B, 2/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA (1)求抛物线的解析式. (2)点M是抛物线对称轴1上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标. (3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值. 目目 题型02 二次函数综合--一面积问题 1.(24-25九上·江西新余分宜县·期中)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个 交点坐标为A(-1,0),另一交点为B,与y轴的交点坐标为C(0,3). 3 A -10 (1)求出b,c的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求出顶点D的坐标以及S△BcD面积； 2.(24-25九上·江西宜春袁州区宜阳新区四校期中)如图，抛物线y=x2+x十n与x轴交于A,B两点， 与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A-4,0),C0,-2): (1)求抛物线的函数表达式； 3/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时，四 边形CDAF的面积最大？求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标. 3.(24-25九上江西南昌县莲塘第四中学期中)如图，抛物线y=x2+bx十C与x轴交于A,B两点（点A在 点B左边)，与V轴交于点C.直线y=x-3经过B,C两点，点P是抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式： (2)当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值； (3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A,连接AC,AF,当△FAC是直角三角形时，直接 写出点F的坐标 4.(24-25九上·江西九江第三中学期中如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+5与x轴相交 于点A和点B(5,0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,点D与点A关于y轴对称，E为该抛物线上 一点，连接AC,CD,DE,BE D (1)求该抛物线的解析式. (2)若△BDE的面积与△ACD的面积相等，请直接写出点E的横坐标. (3)当点E在第一象限时，连接CE,设△ECD的面积为S,求S的最大值. 目目 题型03 抛物线与坐标轴交点问题 4/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25九上江西南昌·期中)抛物线y=2x2+3与y轴的交点是( ) A.(0,5) B.(0,3) C.0,2 D.(2,1) 2.(2425九上江西赣州期中)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1，-2)，抛物线与y轴的交点位于x轴 上方.以下结论正确的是() A.a<0 B.c<0 C.a-b+c=-2D.b2-4ac=0 3.(2425九上江西赣州于都县·期中)抛物线y=x2+4x+6与y轴交于点P,则点P的坐标为 4.(24-25九上江西南昌县莲塘第四中学·期中)已知二次函数y=(k-1)x2+2x-1的图象与坐标轴有三 个交点，则k的取值范围是 5.(24-25九上江西南昌期中)若二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两 点，则京十京的值为一 6.(24-25九上江西南昌期中)如图抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0), B (1)求抛物线的表达式及C点坐标； (2)当y>0时，求x的取值范围. 7.(24-25九上江西南昌南昌县期中)已知抛物线y=x2-(m+2)X+2m-1. (1)求证：不论m取何值，该抛物线与x轴总有两个公共点； (2)若该抛物线与y轴交于点(0,3)，求当y>0时，x的取值范围. 目目 题型04 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 1.(24-25九上江西上饶期中)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2)，且与x轴 交点的横坐标分别为x1,x2,其中-2<X1<-1,0<X2<1,顶点纵坐标大于2.下列结论：① abc>0;②b2+8a>4ac;③a十c<1;④若m,n(m<n)是方程ax2+bx+c=-x的两个根，则 m<-1,n>0.其中正确的结论有（) 5/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(24-25九上江西宜春·期中)二次函数y=ax2+bx的图象如图，若关于x的一元二次方程ax2+bx=m 有实数根，则m的取值范围为 -3-- 3.(24-25九上·江西南昌·期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1, 甲：abc>0: 乙：方程ax2+bx+c=-2有两个不等实数根； 丙：3a+c>0; 丁：当x≥0时，抛物线y=ax2+bx+c既有最大值，也有最小值. 则以上正确的是 4.(24-25九上江西南昌县莲塘第四中学期中)已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象 回答下列问题： 6/18 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)求方程ax2=-bx-c的解； (2)如果方程ax2+bx十c十m=0无实数根，求m的取值范围. 目目 题型05 二次函数图像与不等式 1.(24-25九上·江西新余期中)如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1), 则不等式ax2>bx+c的解集是 0 2.(24-25九上江西南昌县期中如图，抛物线y=ax2+k与直线y=mx+n交于A-3,p),B(1,9)两点， 则不等式mx十n>ax2+k的解集为 A 3.(24-25九上江西赣州章贡区·期中)己知抛物线C:y=x2+bx十c的部分图象如图所示，顶点A(2,1) ,与x轴右侧交于点B(3,0). 7/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求抛物线的解析式； (2)当y>0时，请观察函数图象，直接写出x的取值范围. 4.(24-25九上江西赣州·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x+c的图象经过点 C(0,-3),与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)· 0 (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)根据图象直接写出当y>0时，自变量x的取值范围. 5.(2425九上江西新余期中)如图，二次函数y=(x+2)+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上， 且与点C关于抛物线的对称轴对称，己知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及 点B (1)求二次函数和点B的坐标 (2)根据图象，写出满足(x+2)+m≥kx+b的x的取值范围。 8/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 目目 题型06 实际问题与二次函数-一-图形问题 1.(24-25九上江西赣州章贡区·期中)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱 笆围成.己知篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为x(m) 44441415 A B (1)则BC= m(用含x的代数式表示)，矩形ABCD的面积S= m2(用含x的代数式表示)； (2)当x为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值， 2.(24-25九上江西南昌·期中)如图，用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m·设 这个菜园垂直于墙的一边长为xm,菜园的面积为S(单位：m2)· 18m 墙 菜园 (I)求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围， (2)填空：垂直于墙的一边长为m时，这个菜园的面积最大？最大面积为 m2. 3.(24-25九上·江西南昌·期中)如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分） 围成一个矩形围栏ABCD,且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米. B 1米 1米 (I)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长； 9/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； (3)矩形围栏ABCD面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏BC的长；不存在请说明理由. 4.(24-25九上江西南昌心远中学·期中)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，正方形ABCD的边长 是方程.2-8x+16=0的根.点P从点B出发，沿BC-CD向点D运动，同时点Q从点E出发，沿 EB-BC向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度.当点P运动到点 D时，P,Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒(t>0),△AQP的面积为S. D (1)通过取点、测量，得到了S与t的几组值，如下表： 0 1 3 4 0 8 n 8 请直接写出m= (2)请直接写出S关于t的函数解析式； (3)△AQP的面积是△BQP的面积2倍时，求线段AQ的长. 5.(24-25九上·江西赣州期中)如图1，在矩形ABCD中，己知AB=8,点E是AD的中点.动点P从点A出 发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线 B-C-D运动，当一个点到达点D时，另一点也随之停止运动.连接PQ,EQ,设动点P运动的时间为t秒， △EPQ的面积为S,图2中的曲线是动点Q在线段CD上时S与t的函数图象 木S B O 6 3 AP E (1) 图1 图2 10/18 · 专题02 二次函数与一元二次方程及实际应用 1．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），地 城 题型01 二次函数综合---线段周长问题 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）. 【详解】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3， 解得：m=2， ∴y=+2x+3=， ∴顶点坐标为：（1，4）． （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）． 2．(24-25九上·江西赣州上犹县·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求线段的长； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)线段的最大值为 (3)点坐标为或或或 【详解】（1）解：在中， 令得， 或， ，， ； （2）解：如图，当时，， ∴，   点是直线下方的抛物线上一动点， 设，， 设直线的解析式为， ，， 直线的解析式为． 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， 当时，有最大值为． 线段的最大值为． （3）解：①， ， ， 当点与点重合时，满足为等腰三角形， ； ②当时，过点作于点，如图， ，， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ， ． ；    ③当时，过点作于点，如图，   ， ，． ， ， ， ； 当时，过点作于点，如图，   ， ． ∴， ， ， ， ∴． 综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或． 3．(24-25九上·江西新余分宜县·期中)如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或或或 【详解】（1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 4．(24-25九上·江西宜春·期中)已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为将点，代入得， 解得，则，当时，， 故当的值最小时，点； （3）解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图， 设点，则点，得， ， ∵， ∴当时，， 1．(24-25九上·江西新余分宜县·期中)已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，另一交点为B，与y轴的交点坐标为．地 城 题型02 二次函数综合---面积问题 (1)求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求出顶点D的坐标以及面积； 【答案】(1)，； (2)， 【详解】（1）解：将与代入二次函数解析式得， 解得：， 二次函数解析式为：； （2）解：作轴于M，如图所示： ∵， ∴顶点， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴，． ∵顶点 ，，， ∴，，， ∴， ∴． 2．(24-25九上·江西宜春袁州区宜阳新区四校·期中)如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1) (2)点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得，， ∴抛物线的关系式为； （2）当时，， 解得，或，则， 由题意知，二次函数的对称轴为直线， ∴，如图， 设直线的函数表达式为 将、点坐标代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则，， 由题意知，， ∴， ∵， ∴当时，即点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为． 3．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点为直线上一点，作点关于轴的对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为 (3)当是直角三角形时，或 【详解】（1）对于直线，令则， ， 令则， ， ， 将点，坐标代入抛物线，得 ， ， 抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G， 设，则)， ， ， 当时，的值最大，最大值为； （3）解：对应， 当时，，解得： ∴， ∵是关于轴的对称点 ∴， 如图所示， 设， ∵，， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或，则 当时， ∴ 解得：，则 综上所述，当是直角三角形时，或． 4．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，． (1)求该抛物线的解析式． (2)若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标． (3)当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点和点， ，解得， 该抛物线的解析式为． （2）解：， 令，即， 解得，， 点的坐标为． 令，得， 即， ∴； 点与点关于轴对称， 点的坐标为， ∴， ∴； 由题意知，，其中h为的边上的高，， ∴，即点E的纵坐标为， ∴或， 解前一方程得：，解后一方程得：； 即点的横坐标为或； （3）解：由（2）知，； 设点的坐标为． 设直线的解析式为． 由点，的坐标可知， 解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴，交于点． 当时，， 点的坐标为， ， 则， 当时，的值最大，且最大值为， 故的最大值为． 地 城 题型03 抛物线与坐标轴交点问题 1．(24-25九上·江西南昌·期中)抛物线与轴的交点是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当x=0时，y=2×0+3=3，所以交点是（0，3）． 故选B． 2．(24-25九上·江西赣州·期中)抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 3．(24-25九上·江西赣州于都县·期中)抛物线与y轴交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线与y轴交于点， 令， ， 点的坐标为， 故答案为： ． 4．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)已知二次函数 的图象与坐标轴有三个交点，则k 的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：∵二次函数 的图象与坐标轴有三个交点，与轴的交点是， ∴二次函数与轴有2个交点， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 5．(24-25九上·江西南昌·期中)若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为 ． 【答案】﹣4 【详解】设y=0，则，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即，，∴， ∴ ，故答案为． 6．(24-25九上·江西南昌·期中)如图抛物线经过点，， (1)求抛物线的表达式及C点坐标； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为， ∴当时，． 7．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)已知抛物线． (1)求证：不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若该抛物线与轴交于点，求当时，的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）证明：当时，得：， ∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根， 即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； （2）解：∵该抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴该函数的图像与轴的交点坐标为、， 又∵抛物线的二次项系数， ∴图像开口向上， ∴当时，的取值范围为或． 1．(24-25九上·江西上饶·期中)如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于2．下列结论：①；②；③；④若，是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ）地 城 题型04 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故③正确； 由，知， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故④正确， 综上可知：①②③④正确，共个， 故选：D． 2．(24-25九上·江西宜春·期中)二次函数的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：方程有实数根，相当于与有交点， 由图象可得：． 故答案为：． 3．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，抛物线的对称轴是直线， 甲：； 乙：方程有两个不等实数根； 丙：； 丁：当时，抛物线既有最大值，也有最小值． 则以上正确的是 【答案】乙、丙 【详解】解：由图象可知，，， ， 故甲结论错误； 根据图象判断，当时，对应的值有两个， 方程有两个不等实数根； 故乙结论正确； 抛物线的对称轴是直线， ，即， 令，则， 由图象可知当时，即， 故丙结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的对称轴是直线， 当时，抛物线有最大值，没有最小值， 故丁结论错误． 故答案为：乙、丙 4．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求方程的解； (2)如果方程无实数根，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：观察函数图象可知，图象与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， 将方程变形为，即的图象与轴的交点坐标， 由图象可知方程的解为，， ∴方程的解为，； （2）观察函数图象可知，的图象与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴的图象的顶点坐标为， ∵方程无实数根， 则由图象可得， ∴， ∴的取值范围为． 1．(24-25九上·江西新余·期中)如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2,4），B（1,1），则不等式ax2＞bx+c的解集是 .地 城 题型05 二次函数图像与不等式 【答案】x＜-2或x＞1 【详解】如图所示： ∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为， ∴二次函数图象在一次函数图象上方时，即不等式的解集为：或． 故答案为：或． 2．(24-25九上·江西南昌县·期中)如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【详解】解：根据函数图象可得直线在抛物线上时， 即的解集为， 故答案为：． 3．(24-25九上·江西赣州章贡区·期中)已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，请观察函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴即; （2）解：当时，， 因式分解，得， ． 抛物线与轴的交点分别为，， 由图象得，当时，． 4．(24-25九上·江西赣州·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），；（2）或． 【详解】解：（1）将代入得， ， ， ， 顶点坐标为； （2）令得， 解得，， ，， 当时，自变量的取值范围是或． 5．(24-25九上·江西新余·期中)如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数和点的坐标； （2）根据图象，写出满足的的取值范围． 【答案】（1），点坐标；（2）或 【详解】解：（1）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴点坐标， ∵对称轴，、关于对称轴对称， ∴点坐标， （2）由图象可知，满足的的取值范围为或． 地 城 题型06 实际问题与二次函数---图形问题 1．(24-25九上·江西赣州章贡区·期中)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成．已知篱笆长80m．设垂直于墙的边长为． (1)则________m（用含的代数式表示），矩形的面积________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴米，米， ∴米． ∴， 故答案为：，； （2）解：∵且， ∴， ， 有最大值， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为． 2．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设这个菜园垂直于墙的一边长为，菜园的面积为S（单位：）． (1)求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)填空：垂直于墙的一边长为_________时，这个菜园的面积最大？最大面积为_________． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：若垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴矩形的面积， 由题意得，解得 自变量x的取值范围为：． ∴S与x的函数解析式． （2）解：， ∵， ∴当时，面积最大，最大面积为； 即垂直于墙的一边长为时，这个菜园的面积最大，最大面积为． 故答案为：，． 3．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． (1)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； (3)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 【答案】(1)10米 (2)不可能，理由见解析 (3)存在， 【详解】（1）解：∵设栅栏长为x米 ∴， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （2）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）解：设矩形围栏面积为S 根据题意得， ∴ ∴ ∵ ∴当时，即米时，S有最大值． 4．(24-25九上·江西南昌心远中学·期中)如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程．的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒的面积为S． (1)通过取点、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 s 0 m 8 n 8 请直接写出_______，________； (2)请直接写出关于的函数解析式； (3)的面积是的面积2倍时，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：， 解得： ， 正方形的边长为4， 为的中点， ， 当时，如图，点在上，点在上，且， 则，即； 当时，如图，点在上，点在上， ∵，， ∴， 则 ，即； （2）解：当时，， ， 当时， ， ， ， 综上． ； （3）解：当时， 如图2， ， 的面积 解得：或 (舍去)． 当 时， 当时， 如图3，， 的面积 解得：或 (舍去)． 当时， 综上所述：的面积是 的面积2倍时，线段长为或． 5．(24-25九上·江西赣州·期中)如图，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． (1) 填空： ①____________； ②当时，直接写出与的函数解析式为____________． (2)经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)在整个运动过程中，若存在某个时刻，，，使得的值相等． ①求出的取值范围； ②当时，求的值． 【答案】(1)①；② (2)， (3)①；② 【详解】（1）解：①由图可得时，点在点处， ∴， 故答案为：， ②∵点是的中点， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动， ∴， ∴当点在上运动时，点在上运动， ∵，的高为， ∴当时，， 故答案为：； （2）解：如图，当点在线段上运动时， ，， 此时， ∴， 自变量的取值范围为； （3）解：由（）（）得， ①如图，， 对于，当时，， ∵， ∴当时， ； ②， ， ∴， 解得：或（舍去）， 把，代入得： ． 地 城 题型07 实际问题与二次函数---拱桥问题 1．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 故选：B． 2．(24-25九上·江西宜春·期中)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加 m． 【答案】 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y经过AB中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为（2，0）， ∴通过以上条件可设顶点式， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：, ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：   ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度当然是增加了米， 故答案为：． 3．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)在中国河北省赵县有一座闻名遐迩的古桥——赵州桥，它是世界上现存年代最久远、保存最完整的巨大石拱桥之一，被誉为“中国第一古桥”．赵州桥是中国古代桥梁建筑的杰出典范，尤其是那道横断面呈抛物线型的大拱，仿佛在穿越时空向世人诉说着古老东方的智慧与辉煌．站在赵州桥上，我们观测到桥下的水面宽度恰好为，拱桥最高点 离水面的距离为，则当水位上升时，水面的宽度为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点 在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 当水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 4．(24-25九上·江西上饶·期中)如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)能通过该隧道，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； 抛物线的解析式为：． （2）解：这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 5．(24-25九上·江西赣州·期中)如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 【答案】(1)； (2)这些木板最高可堆放米 【详解】（1）解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得B点坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的函数关系式为； （2）解：当时，， ∵， ∴木板最高可堆放(米)． 6．(24-25九上·江西南昌·期中)如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示：    （3）解： 中， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 地 城 题型08 实际问题与二次函数---销售问题 1．(24-25九上·江西赣州上犹县·期中)某超市以每袋140元的价格购进一批香米，当每袋香米售价为180元时，每天可售出60袋．为了扩大销售，超市决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每袋香米降价1元，那么超市每天就可以多售出5袋． (1)当每袋香米售价下降多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； (2)求每袋香米售价定为多少元时，每天销售香米所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)当袋香米售价下降16元或12元时，每天的销售利润恰好能达到3360元 (2)每袋香米售价定为166元时，最大值为3380元 【详解】（1）解：设每袋香米售价下降元，则每袋香米售价为元，每天能售出袋， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：当袋香米售价下降16元或12元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）解：设香米每袋下降元，则香米每袋售价为元，每天能售出袋，每天销售香米所获得的利润用表示， 则 ， ， 当时，即每袋香米售价定为166元时，有最大值，最大值为3380元． 2．(24-25九上·江西南昌第二十八中学教育集团·期中)安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，原计划以每千克60元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式． (2)若该商贸公司要想获利最大，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】(1) (2)若该商贸公司要想获利最大，则这种干果每千克应降价5元 【详解】（1）解：设一次函数解析式为： 当，；当，， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：设总利润为元，由题意，得 ， ，当时，． 答：若该商贸公司要想获利最大，则这种干果每千克应降价5元． 3．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)某主播销售一种商品，已知这种商品的成本价为20元/个，规定销售价格不低于成本价，且不高于成本价的2倍，通过前几天的销售发现，该商品每天的销售量（单位：个）与销售价格（单位：元/个）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表： /（元/个） … 23 25 28 110 /个 … 540 500 440 … (1)求出关于的函数关系式，并直接写出的取值范围． (2)求销售该商品每天的最大利润． 【答案】(1) (2)销售该商品每天的最大利润为4500元 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为． 将，代入上式， 得，解得， ． （2）解：设销售该商品每天的利润为元． 由题意得． ，， 当时，取得最大值，且最大值为4500． 答：销售该商品每天的最大利润为4500元． 4．(24-25九上·江西南昌·期中)某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个． (1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元； (2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元； (3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)每个书包降价6元 (3)当降价4元时利润最大，最大利润为320元 【详解】（1）解：若每个书包降价元，则可多卖个，每个盈利元； 故答案为：，； （2）设每个书包降价元，可盈利300元， 则， 解得：（舍去），， 每个书包降价6元； （3）设每个书包降价元，最大利润为元， 则 ， ， 当时，有最大值，最大值为320； 答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元． 5．(24-25九上·江西宜春·期中)成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售 (1)商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？ (2)商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？ 【答案】(1)销售单价应定为40元 (2)当销售单价应定为元，销售总利润最大 【详解】（1）解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵商场决定尽快减少库存， ∴， ∴， 答：销售单价应定为40元； （2）解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为2450， ∴， ∴当销售单价应定为元，销售总利润最大． 6．(24-25九上·江西南昌·期中)大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】(1)；自变量的取值范围为，且x为整数 (2)每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元 (3)每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：， 其中自变量取值范围为，且x为整数； 答：与的函数关系式为，自变量的取值范围为，且x为整数； （2）解：， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当，且x为整数时， ∴当时，最大值（元）， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元； （3）解：由题意得：， 整理得：， 解得：； ∵，且x为整数， ∴， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元． 7．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)南昌某机械制造企业专攻精密零件市场，旗下拥有两条生产线，分别用于批量生产型和型零件．这家工厂每月固定产出总量为万件，产品一经上市便被抢购一空，显示出极强的市场需求．型零件因其高精度与复杂工艺，单件生产成本高达元人民币，但凭借卓越性能与品牌影响力，每件可以元的价格售出．相比之下，型零件虽在技术含量上略逊一筹，成本仅为元，却同样受到市场的欢迎，以元的单价热销．设生产零件万件．所获总利润万元． (1)写出与的函数解析式； (2)如果每月投入的总成本不超过万元，应该怎样安排，零件的产量，才能使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？ (3)该厂在销售中发现：某月零件售价每提高元，零件销量会减少万件，零件售价不变，不管生产多少都能卖出，在（）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高零件的售价，并重新调整，零件的生产数量，求零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)生产甲零件万件，生产乙零件万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是万元； (3)甲零件售价提高元时，可获总利润最大，最大总利润是万元 【详解】（1）解：依题意， （2）解：由题意得，， 解得， ∵，， ∴随增大而增大， ∴当时，最大，最大值为， ∴， ∴生产甲零件万件，生产乙零件万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是万元； （3）解：设甲零件的售价提高元，总利润为万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，最大，最大为， ∴甲零件售价提高元时，可获总利润最大，最大总利润是万元． 1．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：地 城 题型09 实际问题与二次函数---投球问题 (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 【答案】(1) (2)小球M能飞过这棵树 【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点O， ， 解得， ， 即抛物线的解析式为； （2）解： B点的横坐标为2，B点在斜坡上， B点的纵坐标为， 树高为4，树与y轴平行， 树的顶点的纵坐标为：， 将代入，得：， ， 小球M能飞过这棵树． 2．(24-25九上·江西南昌·期中)某校足球队在一次训练中，一球员从高2.4米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系， (1)求出抛物线的函数解析式； (2)当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； 【答案】(1) (2)足球能射入球门，理由见解析 【详解】（1）解：∵当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米． ∴设抛物线的函数解析式 将代入中，得 ，解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：足球能射入球门，理由如下： 当时， ∵ ∴足球能射入球门． 3．(24-25九上·江西赣州·期中)小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示． (1)根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式． (2)若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分． 【答案】(1) (2)小明此次试投的成绩能达到满分，理由见解析 【详解】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点A， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）令，即， 解得或（舍去）， ， ， 所以，小明此次试投的成绩能达到满分． 4．(24-25九上·江西宜春第三中学·期中)如图1是一名男生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分．该男生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得满分，理由见详解 【详解】（1）解：抛出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处， ∴抛物线的顶点坐标为，且图象过， 设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴关于的函数表达式为：； （2）解：该男生在此项考试中得满分，理由如下， 二次函数解析式为：， 令时，， 解得，， ∴二次函数与轴的两个交点分别为，， 根据图示可得，抛出时起点处高度为，即， ∴负值舍去， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为， ∵， ∴该男生在此项考试中得满分． 地 城 题型10 实际问题与二次函数---其他问题 1．(24-25九上·江西赣州·期中)生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（    ） A．14 B． C．240 D．44 【答案】C 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵在最适宜温度时，酶的活性最强， ∴当温度最适宜时，该种酶的活性值为240， 故选：C． 2．(24-25九上·江西宜春·期中)如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即的长）为 米．      【答案】48 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，    ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）， 故答案为：48． 3．(24-25九上·江西赣州·期中)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．    (1)求和的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)； (2)水面的直径为 (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【详解】（1）由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． （2）当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． （3）锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 4．(24-25九上·江西宜春·期中)如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】(1) (2)能 【详解】（1）解：∵发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米， ∴设石块运行的函数关系式为，由图象可知，抛物线过点， 把代入，得：， 解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∵， ∴能飞越防御墙． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $