专题03 不等式（期中复习讲义）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题03 不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的性质 会利用不等式性质比较大小；能用作差法，作商法比较大小 基础考点，常出现在选择题，填空题 基本不等式 能辨析基本不等式的正确使用； 能利用基本不等式求和、积最值 基础考点，常出现在选择题，填空题 基本不等式技巧 能运用凑配法，换元法，消去法，“1”的妙用等技巧，巧妙利用基本不等式解决最值问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 一元二次不等式 会求不含参数的一元二次不等式； 会分类讨论含参的一元二次不等式； 基础考点，常出现在选择题 四个二次的关系 能熟练转化二次函数，二次不等式，二次方程，图象直接的关系 基础考点，常出现在选择题 知识点01 不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点02 基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 知识点03 基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点04 四个二次的关系 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点05 解分式不等式 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 题型一 数、式比较大小 解｜题｜技｜巧 （1）不等式性质（2）作差法（最常用方法）（3）作商法 易｜错｜点｜拨 使用不等式性质注意左右两边同乘以一个负数，不等号方向改变 【典例1】（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【变式1】完成如下三个小题并写出必要过程 (1)设，，比较的大小． (2)已知，求证：； (3)已知，设；，比较与的大小． 【变式2】设、均为正实数，试比较和的大小． 题型二 利用不等式求值或者取值范围 解｜题｜技｜巧 不等式同向相加原则 【典例1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东惠州·期中）已知，，则的取值范围是 . 【变式2】已知且，则的取值范围是 ． 题型三 基本不等式的理解 解｜题｜技｜巧 特别注意“一正”，“三相等”两个条件是否满足 易｜错｜点｜拨 多选题中特别注意是否满足“一正”“三相等” 【典例1】（多选）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 【变式1】（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 题型四 基本不等式（凑配法） 解｜题｜技｜巧 形如：此时需将“”看作一个整体，则需要进行凑配 【典例1】已知，则的最小值为 ． 【变式1】已知，则的最小值为 ． 【变式2】若，则，的最大值为 ． 题型五 基本不等式（“1”的妙用） 解｜题｜技｜巧 ①形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 ②形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 【典例1】已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为 【变式1】已知，且，则的最小值为 . 【变式2】若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 . 题型六 基本不等式（商式型） 解｜题｜技｜巧 ①形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ②形如，可以通过换元，再分子分母同时除以，进而转化为对勾型 【典例1】函数的值域是 ． 【变式1】已知，则函数的最小值是 ． 【变式2】函数的最小值为 . 题型七 基本不等式（消元法） 解｜题｜技｜巧 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 形如：，可转化为，再带入目标中求最值 【典例1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【变式1】（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【变式2】（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 题型八 基本不等式（换元法） 解｜题｜技｜巧 （1） 单换元 （2） 双换元 【典例1】（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，，且，则m的最小值为 . 题型九 解含参的一元二次不等式 解｜题｜技｜巧 （1）最高项系数含参从最高项系数等于0开始讨论 形如：因式分解后得到，讨论时从是否为零开始讨论： ① ② （2）两根大小不确定从两根相等开始讨论 形如：因式分解后得到，讨论时从两根相等开始讨论 ① ② ③ 易｜错｜点｜拨 注意不要遗漏讨论的情况 【典例1】（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 【变式1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【变式2】（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 题型十 一元二次不等式恒成立与能成立问题 解｜题｜技｜巧 ①判别法 ②实根分布法 ③变量分离法 【典例1】（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【变式1】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【变式2】若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 2．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 3．已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 4．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 8．（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 9．已知 ， ，则 的最小值为 . 10．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则 ． 11．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 12．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 5．已知函数． (1)当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. (2)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. (3)，，若时，有，求的最小值. 期中综合拓展练（测试时间：40分钟） 1．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 3．（24-25高一上·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，求正整数的最小值. 5．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的性质 会利用不等式性质比较大小；能用作差法，作商法比较大小 基础考点，常出现在选择题，填空题 基本不等式 能辨析基本不等式的正确使用； 能利用基本不等式求和、积最值 基础考点，常出现在选择题，填空题 基本不等式技巧 能运用凑配法，换元法，消去法，“1”的妙用等技巧，巧妙利用基本不等式解决最值问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 一元二次不等式 会求不含参数的一元二次不等式； 会分类讨论含参的一元二次不等式； 基础考点，常出现在选择题 四个二次的关系 能熟练转化二次函数，二次不等式，二次方程，图象直接的关系 基础考点，常出现在选择题 知识点01 不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点02 基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 知识点03 基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点04 四个二次的关系 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点05 解分式不等式 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 题型一 数、式比较大小 解｜题｜技｜巧 （1）不等式性质（2）作差法（最常用方法）（3）作商法 易｜错｜点｜拨 使用不等式性质注意左右两边同乘以一个负数，不等号方向改变 【典例1】（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小； （2）利用作差法，即可证明． 【详解】（1） ； 因为，所以，， 所以， 所以； （2）证明：， 因为且，， 所以； 又因为，所以，则， 又， 所以，即． 【变式1】完成如下三个小题并写出必要过程 (1)设，，比较的大小． (2)已知，求证：； (3)已知，设；，比较与的大小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由作差法得到，即可比较； （2）由则，由同向不等式的可加性可得； （3）由作差法得到，即可比较. 【详解】（1）因为， . （2）因为，所以，由同向不等式的可加性可得. （3）因为，，，所以， 所以. 【变式2】设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法，再充分变形化简，结合条件，分类讨论，即可求出结果. 【详解】∵ 又，，∴． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． 题型二 利用不等式求值或者取值范围 解｜题｜技｜巧 不等式同向相加原则 【典例1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，再根据不等式性质即可求解. 【详解】设，所以解得 所以， 又，所以，则. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·广东惠州·期中）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质，可得结果. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 即，即. 故答案为：. 【变式2】已知且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，求出，结合不等式性质可求结论. 【详解】设，则， 所以， 故，， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型三 基本不等式的理解 解｜题｜技｜巧 特别注意“一正”，“三相等”两个条件是否满足 易｜错｜点｜拨 多选题中特别注意是否满足“一正”“三相等” 【典例1】（多选）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 【答案】AD 【分析】根据“一正，二定，三相等”即可作出判断. 【详解】对于A，由于，所以，当时等号成立正确； 对于B，正具备，但不为定值，故错误；对于C，当且仅当时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正，二定，三相等都具备，故正确. 故选：AD 【变式1】（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由正定等条件可判断. 【详解】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立. 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 【变式2】（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题. 【详解】解：对于A，恒成立， 则，都有，A选项正确； 对于B，当时，， （当且仅当时取等号）， ，，使得，B选项正确； 对于，当时，，C选项错误； 对于 D，当时，，令, 在上单调递增， ， 则的最小值不是4，D选项错误； 故选：AB. 题型四 基本不等式（凑配法） 解｜题｜技｜巧 形如：此时需将“”看作一个整体，则需要进行凑配 【典例1】已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3 【变式1】已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为5. 故答案为：5. 【变式2】若，则，的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 故，当且仅当， 即时取等号，所以的最大值为． 故答案为：． 题型五 基本不等式（“1”的妙用） 解｜题｜技｜巧 ①形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 ②形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 【典例1】已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为 【答案】 / 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，故， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 由于，，故， 则， 当且仅当时，即时取到等号，故的最小值为. 故答案为：；. 【变式1】已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用“1”的变形技巧，由基本不等式得最小值. 【详解】因为，且 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 【变式2】若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可得范围. 【详解】由两个正实数x，y满足，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 题型六 基本不等式（商式型） 解｜题｜技｜巧 ①形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ②形如，可以通过换元，再分子分母同时除以，进而转化为对勾型 【典例1】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 【变式1】已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 【变式2】函数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 题型七 基本不等式（消元法） 解｜题｜技｜巧 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 形如：，可转化为，再带入目标中求最值 【典例1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 题型八 基本不等式（换元法） 解｜题｜技｜巧 （1） 单换元 （2） 双换元 【典例1】（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式1】已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用换元法，设，用表示出目标式，结合函数单调性可求答案. 【详解】设，又，且． 所以，当且仅当“”时取等号． 则， 故选：B． 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，，且，则m的最小值为 . 【答案】9 【分析】将所给条件式变形，结合基本不等式得关于的不等式，求解即可. 【详解】由，得，即. 因为，所以， 当且仅当时，取等号， 令，则，解得或（舍去）， 即，当且仅当时，取等号， 故的最小值是9. 故答案为：9． 题型九 解含参的一元二次不等式 解｜题｜技｜巧 （1）最高项系数含参从最高项系数等于0开始讨论 形如：因式分解后得到，讨论时从是否为零开始讨论： ① ② （2）两根大小不确定从两根相等开始讨论 形如：因式分解后得到，讨论时从两根相等开始讨论 ① ② ③ 易｜错｜点｜拨 注意不要遗漏讨论的情况 【典例1】（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【分析】（1）根据题意得，求解即可； （2）不等式等价于，对分类讨论求不等式解集. 【详解】（1）根据题意，恒成立， 显然当时，不成立， 则，解得； （2）， 当时，，则， 当时，令，则，或，此时，∴或， 当时，即时，， 当，即时，， 当时，即时，， 综上所述:当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，； 当时，解集为. 【变式1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式2】（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可得解； （2），对分类讨论即可得解. 【详解】（1）若，，则，即， 而，故的解集为； （2）若，则， （i）当时，，解得， （ii）当时，解不等式得，， （iii）当时，解不等式得，或， （iv）当时，解不等式得，或， （v）当时，解不等式得，或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型十 一元二次不等式恒成立与能成立问题 解｜题｜技｜巧 ①判别法 ②实根分布法 ③变量分离法 【典例1】（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）二次项含参数，需对是否为0进行讨论．（2）方法一：由题意函数在时的最小值大于或等于0，对对称轴位置进行分类讨论即可求解；方法二：分离参数即可求解. 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 故答案为：（1），（2）. 【变式1】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：C 2．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 3．已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 4．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解. 【详解】实数，则， 当且仅当时等号成立， 由恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 5．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 故选：D. 6．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过的妙用凑成积为定值，再利用基本不等式求解. 【详解】，， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为. 故选：B 7．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】分， ， ， ， 五种情况讨论，分别结合一次或二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 8．（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【分析】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 9．已知 ， ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 10．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则 ． 【答案】 【分析】由一元二次方程有实数根可得，结合韦达定理可求答案. 【详解】设是一元二次方程的两个实数根， 则，解得，所以， 所以12，解得或， 又，所以． 故答案为： 11．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 【答案】(1)最小值为4，此时； (2)； (3). 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用基本不等式求出最值. （3）利用一元二次不等式的解集，结合韦达定理求出参数值. 【详解】（1），，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为4，此时. （2），，即，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. （3）由不等式的解集为， 得且和3是方程的两个实根， 因此，解得， 所以. 12．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论和时，恒成立的条件，然后求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可. 【详解】，，且a，b为正数， 当且仅当，即时， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：D 2．设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用基本不等式，用表示式子的最小值，再令该最小值不大于9，求的取值范围即可. 【详解】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C 3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入得，由构造，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得，即， 因为，所以， 于是， 又， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 4．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出方程的根后可得不等式的解； （2）就、、分类讨论后可得不等式的解； （3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 5．已知函数． (1)当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. (2)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. (3)，，若时，有，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3)4 【分析】（1）分和，根据方程只有1解求的值. （2）先根据已知不等式的解集求的值，再解一元二次不等式. （3）确定的关系，利用基本不等式求的最小值. 【详解】（1）问题转化为：方程有且只有1解，求实数的值. 当时，方程可化为：.方程有且只有1解； 当时，方程有且只有1解，所以. 综上可知：或. 所以实数的集合为：. （2）因为关于的不等式的解集为， 所以. 所以不等式即为：， 所以或. 所以所求不等式的解集为：或. （3）由题意：，即. 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为：4. 期中综合拓展练（测试时间：40分钟） 1．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【详解】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高一上·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 4．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，即可求解； （2）作差可得，再根据定义可知结论成立； （3）结合（2）中的结论，可得，满足条件，再说明当时，不恒成立，可得出的最小值. 【详解】（1）由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和． （2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； （3）若正整数满足条件，在时恒成立， 由（2）中的结论可知，时，满足条件， 若，由于，即, 所以时，对不恒成立， 因此的最小值为4039． 5．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $