专题04 指数与对数（期中复习讲义）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题04 指数与对数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 根式化简求值 能对根式化简 基础考点，常出现在选择题，填空题 分数指数幂与根式的互化 会对根式、分数指数幂进行互化 基础考点，常出现在选择题，填空题 指数与对数的相互转化 掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。 基础考点，常出现在选择题，填空题 对数运算 能根据对数运算公式正确运算 基础考点，常出现在选择题，填空题，解答题 知识点01 根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点02 分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点03 无理指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点04 对数概念 对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 知识点05 指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点06 对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点07 对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点08 对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 题型一 根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【典例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 题型二 分数指数幂化简求值 解｜题｜技｜巧 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 【典例1】（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【变式1】（1）化简：． （2）已知，求． 【变式2】（1）求值：； （2）已知，求值：. 题型三 指数式与对数式相互转化 解｜题｜技｜巧 当且， 【典例1】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】求下列各式中x的值： (1)； (2). 【变式2】将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 题型四 对数运算 解｜题｜技｜巧 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【典例1】算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【变式1】（1）已知，求的值． （2）计算： 【变式2】计算下列式子 (1) (2) 题型五 换底公式 解｜题｜技｜巧 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【典例1】（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【变式1】化简或计算下列各式： (1) (2)已知，用a，b表示 【变式2】已知为正数，， (1)求； (2)若，求的值 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（   ） A．3 B．2 C． D． 2．已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 3．已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（    ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：） A．130天 B．149天 C．120天 D．155天 7．（多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．求值： ． 10．若，则 ． 11．（1）已知，求的值； （2）计算：． 12．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 13．求值： (1)； (2)； (3)． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 2．设为正实数，且，记的最大值和最小值分别为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．噪声污染问题越来越受到重视．声压级（Sound pressure level）是描述声音强度的物理量，基于声音的压力变化来测量，单位为分贝，定义声压级为，其中常数是听觉下限阈值，是实际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不超过40，声音超过70会有损神经，设声压级为40时对应的声波压强为，声压级为70时对应的声波压强为，则 ．（结果精确到0.1） 4．设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ． 5．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（1）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答： 由，可得，所以，即，解得，或，所以或.由于或均满足，故的值为1或4. 该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）. （2）计算：. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数与对数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 根式化简求值 能对根式化简 基础考点，常出现在选择题，填空题 分数指数幂与根式的互化 会对根式、分数指数幂进行互化 基础考点，常出现在选择题，填空题 指数与对数的相互转化 掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。 基础考点，常出现在选择题，填空题 对数运算 能根据对数运算公式正确运算 基础考点，常出现在选择题，填空题，解答题 知识点01 根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点02 分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点03 无理指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点04 对数概念 对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 知识点05 指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点06 对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点07 对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点08 对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 题型一 根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【典例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 【变式2】（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将分式方程化为整式方程，结合解一元二次不等式求得x的范围，根据根式的化简可得答案. 【详解】由题意知，即，即， 故或， 则 ， 故选：AC 题型二 分数指数幂化简求值 解｜题｜技｜巧 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 【典例1】（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【详解】（1）; （2）； （3）. 【变式1】（1）化简：． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得结果. （2）由可得，，从而计算出的值. 【详解】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 【变式2】（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的转化和分数指数幂的运算公式化简计算即得； （2）由条件等式求得和，再代入计算即得. 【详解】（1） ； （2）由两边取平方，，即得， 再两边取平方，可得，即得. 故. 题型三 指数式与对数式相互转化 解｜题｜技｜巧 当且， 【典例1】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 【变式1】求下列各式中x的值： (1)； (2). 【答案】(1)16 (2)2 【分析】（1）将对数式化成指数式计算即得； （2）将对数式化成指数式后，结合的范围即可解得. 【详解】（1）由可得，； （2）由可得，，因且，故. 【变式2】将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （2）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （3）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （4）根据对数的定义化对数式为指数式即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 题型四 对数运算 解｜题｜技｜巧 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【典例1】算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17. 【分析】（1）（2）（3）（4）应用对数的运算性质及指对数的关系化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）. 【变式1】（1）已知，求的值． （2）计算： 【答案】（1）1∶2或3∶1；（2）． 【分析】（1）根据给定条件，利用对数运算法则求解. （2）根据题意，利用对数的运算法则、对数恒等式，进行化简求值即可． 【详解】（1）由，得， 则，整理得， 因此或，所以或. （2） . 【变式2】计算下列式子 (1) (2) 【答案】(1) (2)640 【分析】（1）利用对数运算的运算法则、对数恒等式化简求解可得； （2）以“5”为底与以“2”为底分两组分别进行同底数幂运算化简，然后再利用指数、对数运算性质及对数恒等式求值可得. 【详解】（1） ． （2）由，， 且，， 则 . 题型五 换底公式 解｜题｜技｜巧 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【典例1】（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 【变式1】化简或计算下列各式： (1) (2)已知，用a，b表示 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简求解即可； （2）利用对数运算法则及换底公式计算化简即可. 【详解】（1）； （2） ， 又，所以 【变式2】已知为正数，， (1)求； (2)若，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据指数与对数互化，表示出，，，再结合对数运算可得解； （2）根据指对运算可得，结合条件可求得，再由与关系求得答案. 【详解】（1），均为正数， 设 ，， ，，， ，又， . （2），，， ，，， ， 又，解得， 由（1）知，，， . 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】． 故选：D. 2．已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据换底公式和对数运算公式即可求解. 【详解】由可得，由可得， 所以. 故选：B 3．已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式代入运算得解. 【详解】由题知，所以，， 故，解得． 故选：A. 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，代入，求出或，分两种情况，结合，求出，的值，得到答案. 【详解】显然且，且， 设，代入，可得：， 即，解得：或． 若，则，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以； 若，则，即，又因为，所以，则， 故，解得，故，故. 故选： 5．已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（    ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：） A．130天 B．149天 C．120天 D．155天 【答案】B 【分析】根据题意列出方程两边取对数，利用给出的数据解方程即可. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的20倍， 则， . 故选：B 7．（多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据对数的运算依次判断选项即可. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：BCD. 8．（多选）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用指数幂的运算性质，以及分数指数幂与根式的互化即可判断. 【详解】由；；； ，显然ABC不正确. 故选：ABC 9．求值： ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算求解. 【详解】 . 故答案为： 10．若，则 ． 【答案】/ 【分析】先由立方差公式化简，再代入已知计算. 【详解】已知，则， 将所求式进行化简，， 则． 故答案为：. 11．（1）已知，求的值； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对平方求得的值，再平方求得的值，从而可得结果； （2）由对数的运算性质化简可得结果. 【详解】（1）由，得，则， 两边平方得，所以． （2）． 12．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 13．求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解； 方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解； （3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． （3）原式． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】将原方程变形为，根据题意结合韦达定理求出，，进而求解方程即可. 【详解】原方程两边同时乘以，可变形为， ∵甲写错了b，得到两根为及，∴， 又∵乙写错了常数c，得到两根为及64，∴， ∴原方程为，即， ∴或，∴或8. 故选：C. 【点睛】对数方程的常见题型的求解思路 2．设为正实数，且，记的最大值和最小值分别为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧得，解得，即可求得，然后利用对数运算求解即可. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当时，即或时，等号成立， 即，解得， 所以的最大值；最小值； 所以. 故选：C． 3．噪声污染问题越来越受到重视．声压级（Sound pressure level）是描述声音强度的物理量，基于声音的压力变化来测量，单位为分贝，定义声压级为，其中常数是听觉下限阈值，是实际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不超过40，声音超过70会有损神经，设声压级为40时对应的声波压强为，声压级为70时对应的声波压强为，则 ．（结果精确到0.1） 【答案】 【分析】根据题意可得，，再利用指对互化即可求出. 【详解】由题意可知，，， 则，，则. 故答案为： 4．设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定定义，利用根式的性质求解即得. 【详解】由，得；由，得，则； 由，得，则；由，得，则， 而，， 所以的取值范围是. 故答案为： 5．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）两边取对数，结合对数运算法则计算出答案； （2）先得到，进而求出，求出答案； （3）先根据真数大于0，得到，由对数运算法则得到，得到答案； （4）由题意知且，令，得到方程，解得或，故或． 【详解】（1）由，两边取常用对数得，则， 解得． （2）由，得，得，故方程的根是． （3）由真数大于0，得解得， 由原方程得， 所以， 所以，即， 整理得，解得或（舍去），故方程的根是． （4）由题意知且，令，易知，则， 整理得，解得或，所以或， 故或． 6．（1）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答： 由，可得，所以，即，解得，或，所以或.由于或均满足，故的值为1或4. 该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）. （2）计算：. 【答案】（1）不正确，答案见解析；（2）2.09 【分析】（1）据对数函数的性质，列不等式组得出，利用对数的性质化简原方程，结合已知范围，可得的值； （2）结合对数的概念，利用指数运算性质化简求值. 【详解】（1）不正确，理由如下： 由已知可得，，即， 则可化简为， 等价于，即，解得，或， 所以（舍）或.故的值为4. （2） . 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，然后运用对数的运算性质分别判断出和的符号即可. 【详解】由对数的性质得：， 所以 因为 所以，即 因为 所以，即 综上： 故选：B 【点睛】作差法是比较大小的常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质. 2．（多选）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式、指对数的运算性质依次判断各项的正误. 【详解】，当时等号成立，A错误； ，当时等号成立，B正确； ，当时等号成立，C正确； ，当时等号成立，D正确. 故选：BCD 3．（多选）已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令，根据对数的运算性质可判断AB，利用作商法可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】令，则，，，. A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； C选项：，故；，故；从而，故C正确； D选项：由A知，则，故D正确. 故选：ACD. 4．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $