专题01 集合（期中复习讲义）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题01 集合（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 元素与集合的关系 了解“属于”关系的意义；能根据元素与集合的关系求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 集合元素的互异性 能回代检验参数，是否满足集合元素的互异性 基础考点，常出现在选择题，填空题 列举法与描述法 能正确认清描述法集合元素代表 基础考点，常出现在选择题，填空题 两个集合的关系 能判断两个集合的包含关系；能根据集合间的包含关系求参数 重难必考点，常出现选择题，解答题 集合间的运算 能正确运算集合的并，交、补进行运算； 能根据结合并、交、补混合运算结果求参数 重难必考点，常出现选择题，解答题 知识点01 元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 知识点02 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03 真子集含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点04 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 知识点05交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. ·示例： 知识点06 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 题型一 判断元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 如果是集合的元素，就说属于，记作 . 如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 易｜错｜点｜拨 注意不要和包含关系弄混淆 【典例1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 题型二 根据元素与集合关系求参数 解｜题｜技｜巧 如果是集合的元素，就说属于，记作 . 如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 易｜错｜点｜拨 解题时注意将参数回代集合检验集合元素是否满足互异性 【典例1】设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【变式1】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【变式2】已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 题型三 集合元素互异性的应用 解｜题｜技｜巧 互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. 易｜错｜点｜拨 解题时注意将参数回代集合检验集合元素是否满足互异性 【典例1】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【变式1】（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【变式2】已知，则 . 题型四 列举法与描述法 解｜题｜技｜巧 一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 易｜错｜点｜拨 描述法一定要注意集合元素代表是谁，认清元素代表，不要与共同特征混淆 【典例1】集合，用列举法可以表示为 【变式1】集合用列举法可表示为 . 【变式2】若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 题型五根据集合元素个数求参数 解｜题｜技｜巧 常用判别法，判断二次函数根的个数 易｜错｜点｜拨 注意最高项系数含参，特别注意讨论参数为0 【典例1】已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【变式1】若集合的子集只有两个，则实数 ． 【变式2】已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 题型六 判断两个集合包含关系 解｜题｜技｜巧 对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) 易｜错｜点｜拨 包含关系，属于（不属于）关系，注意区别 【典例1】已知， ， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设集合，，则、之间的关系为 ． 【变式2】若集合，，，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 题型七 子集，真子集问题 解｜题｜技｜巧 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 【典例1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）满足的集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】已知集合，集合，集合的子集个数记为，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 题型八根据集合包含关系求参数 解｜题｜技｜巧 （1）韦恩图法；（2）最高频方法：数轴法 易｜错｜点｜拨 子集关系，优先考虑空集 【典例1】已知全集集合，． (1)求，； (2)若求实数的取值范围. 【变式1】已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【变式2】已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 题型九 并、交、补运算 解｜题｜技｜巧 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】设集合，U为整数集，（    ） A．B．C． D． 【变式2】若集合，，，则（    ） A． B． C． D． 题型十根据集合并、交、补关系求参数 解｜题｜技｜巧 （1）转化为集合包含关系． （2）画数轴 易｜错｜点｜拨 注意空集优先考虑 【典例1】已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【变式1】设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式2】已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 题型十一容斥原理 解｜题｜技｜巧 （1）一般地，对任意两个有限集, 进一步的： （2）借助韦恩图 【典例1】一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【变式1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【变式2】（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 期中基础通关练（测试时间：75分钟） 1．设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 5．已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 6．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A．3 B．9 C．19 D．14 7．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 8．（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 9．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 10．设，若，则实数的取值为 . 11．对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 12．已知集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 13．若集合. (1)若，写出的子集； (2)若，求实数的取值范围. 14．已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 4．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 5．对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 6．已知集合满足以下条件：①；②若，则. (1)求证：集合至少有3个元素； (2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 3．（2025·河北保定·一模）已知集合，定义集合，，若，记为集合S中元素的个数，则的最大值为 . 4．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 元素与集合的关系 了解“属于”关系的意义；能根据元素与集合的关系求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 集合元素的互异性 能回代检验参数，是否满足集合元素的互异性 基础考点，常出现在选择题，填空题 列举法与描述法 能正确认清描述法集合元素代表 基础考点，常出现在选择题，填空题 两个集合的关系 能判断两个集合的包含关系；能根据集合间的包含关系求参数 重难必考点，常出现选择题，解答题 集合间的运算 能正确运算集合的并，交、补进行运算； 能根据结合并、交、补混合运算结果求参数 重难必考点，常出现选择题，解答题 知识点01 元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 知识点02 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03 真子集含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点04 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 知识点05交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. ·示例： 知识点06 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 题型一 判断元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 如果是集合的元素，就说属于，记作 . 如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 易｜错｜点｜拨 注意不要和包含关系弄混淆 【典例1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 【变式1】集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 【变式2】给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 题型二 根据元素与集合关系求参数 解｜题｜技｜巧 如果是集合的元素，就说属于，记作 . 如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 易｜错｜点｜拨 解题时注意将参数回代集合检验集合元素是否满足互异性 【典例1】设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】(1)两个； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 【变式1】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 【变式2】已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 【答案】 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 题型三 集合元素互异性的应用 解｜题｜技｜巧 互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. 易｜错｜点｜拨 解题时注意将参数回代集合检验集合元素是否满足互异性 【典例1】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 【变式1】（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 【变式2】已知，则 . 【答案】 【分析】分别解方程和求得的值，再结合元素互异性即可求解. 【详解】因为，所以或， 解得：或， 当时，，不满足元素的互异性，所以不成立， 当时，集合为，所以符合题意， 故答案为：. 题型四 列举法与描述法 解｜题｜技｜巧 一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 易｜错｜点｜拨 描述法一定要注意集合元素代表是谁，认清元素代表，不要与共同特征混淆 【典例1】集合，用列举法可以表示为 【答案】 【分析】利用中元素满足的条件可知，可以取，分别对其进行验证看是否符合题意即可. 【详解】根据集合中的可知可以取； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 即符合题意的的值可以取， 对应的值依次是， 所以可得集合列举法可以表示为. 故答案为： 【变式1】集合用列举法可表示为 . 【答案】{1，2，4，8} 【解析】根据集合的描述法即可求解. 【详解】因为集合， 故x-1为8的正约数，即x-1的值可以为1，2，4，8， 所以x可以为2，3，5，9,相应的y值为8,4,2,1 故用列举法表示集合为{1，2，4，8}. 故答案为：{1，2，4，8} 【点睛】本题主要考查了集合的列举法、描述法表示，考查了表示法的转化，属于中档题. 【变式2】若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 题型五根据集合元素个数求参数 解｜题｜技｜巧 常用判别法，判断二次函数根的个数 易｜错｜点｜拨 注意最高项系数含参，特别注意讨论参数为0 【典例1】已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 【变式1】若集合的子集只有两个，则实数 ． 【答案】0或 【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可． 【详解】的子集只有两个，有一个元素， ①时，，满足题意； ②时，，解得， 或． 故答案为：0或． 【变式2】已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 题型六 判断两个集合包含关系 解｜题｜技｜巧 对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) 易｜错｜点｜拨 包含关系，属于（不属于）关系，注意区别 【典例1】已知， ， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合特征相关表达式变形，可得集合间关系，即可得答案. 【详解】， ，故； 当时，，当时，，则. 故选：B． 【变式1】设集合，，则、之间的关系为 ． 【答案】 【分析】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解. 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， 又因为集合中的元素是的整数倍， 所以N. 故答案为：. 【变式2】若集合，，，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将集合中的元素表示为，和即可得结果. 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合间的包含关系的判断，考查集合的包含关系等基础知识，属于基础题. 题型七 子集，真子集问题 解｜题｜技｜巧 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 【典例1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）满足的集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意得集合的个数与的子集的个数相等，由此计算可得． 【详解】，所以集合的个数与的子集的个数相等，个数为. 故选：C． 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解. 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 【变式2】已知集合，集合，集合的子集个数记为，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出集合即可求得结果. 【详解】依题意，是6的正约数，而6的正约数为1，2，3，6，又， 因此，所以集合的子集个数. 故选：C 题型八根据集合包含关系求参数 解｜题｜技｜巧 （1）韦恩图法；（2）最高频方法：数轴法 易｜错｜点｜拨 子集关系，优先考虑空集 【典例1】已知全集集合，． (1)求，； (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1)；或. (2) 【分析】（1）利用集合的运算求解即可； （2）利用集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）集合， ,且全集 或， 或. （2）, 若 当时，; 当时，，解得； 综上得，实数的取值范围是 【变式1】已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式2】已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据补集和集合相等的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）由， 得或， 因为，或， 所以，解得； （2）当时，，解得， 当时，由， 得或，解得或， 综上，的取值范围为或． 题型九 并、交、补运算 解｜题｜技｜巧 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合化简，然后结合交集的运算，即可得到结果. 【详解】由题可得：，所以， 故选：C 【变式1】设集合，U为整数集，（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】由整数可分成被3整除、被3除余1和被3除余2，再结合补、并运算即可求解. 【详解】因为整数集，， 所以． 故选：A． 【变式2】若集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用补集运算和并集运算直接得到结果. 【详解】由，，则， 又，所以. 故选：D 题型十根据集合并、交、补关系求参数 解｜题｜技｜巧 （1）转化为集合包含关系． （2）画数轴 易｜错｜点｜拨 注意空集优先考虑 【典例1】已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）根据并集，补集和交集的概念进行求解； （2）求出，根据并集结果得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，， 故， 或，或， 故或； （2），则，解得， 或，， 要想，需满足，解得， 综上，的取值范围是. 【变式1】设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用子集概念来确定参数满足的条件即可求解； （2）利用分类讨论，子集有可能是空集和非空集，然后进行列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 【变式2】已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分和两种情况进行讨论即可； （3）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，∴，解得． （2）． 由， 若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得（不成立，舍去），或， 综上，或． （3）由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 题型十一容斥原理 解｜题｜技｜巧 （1）一般地，对任意两个有限集, 进一步的： （2）借助韦恩图 【典例1】一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 【变式1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 【变式2】（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 故选：AB 期中基础通关练（测试时间：75分钟） 1． 设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由，可得，即可得答案. 【详解】因，，由集合互异性可得. 则. 故选：A 2． 设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的描述，应用集合的交运算求集合即可. 【详解】由. 故选：D 3．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图得阴影部分为，即可求解； 【详解】由图可知，阴影部分为， 故选：A 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据交集概念计算即可. 【详解】先求出集合，得到，则. 故选：C. 5． 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】， 由，，，，， 作出图，如图所示，    由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：D 6．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A．3 B．9 C．19 D．14 【答案】C 【分析】利用文氏图，列式求解. 【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得： ，解得，所以只参加一项比赛的有人， 故选：C． 7．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确，例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若，则， 故，⑤正确. ①②③⑤正确. 故选：C. 8．（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 9．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用因式分解求三次方程的根化简集合，再利用集合关系即可判断. 【详解】对于A，方程，因式分解得， 解得或，所以，满足，故A正确； 对于B，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故B正确； 对于C，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，故C错误； 对于D，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故D正确； 故选：ABD. 10．设，若，则实数的取值为 . 【答案】 【分析】解二次方程化简集合，即可根据分别求解. 【详解】， 由，可得，故， 当时，， 当时，， 当时，， 故实数的取值为. 故答案为：. 11．对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【详解】，，． 故答案为：或 12．已知集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集，补集，交集运算即可； （2）分和两种情况进行讨论得解. 【详解】（1）当时，， ， 或，； （2）若，则当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 13．若集合. (1)若，写出的子集； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）化简集合，求出，根据子集的概念可写出的所有子集. （2）根据条件确定集合的包含关系，再分类讨论可求的取值范围. 【详解】（1）当时，. ∵ ∴. ∴其子集为：，共8个（）. （2）∵，∴. 分为两种情况： 当时，符合题意，此时，解得：； 当时，则或或： 若或，则，解得：，此时，符合题意； 若，则有，解得：无解. 综上所述，实数的取值范围为. 14．已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合中元素与集合的关系列不等式关系即可得的取值集合； （2）根据集合运算关系列不等式关系即可得实数的取值范围. 【详解】（1）若，则，解得， 所以的取值集合为； （2）若，则，则，即， 则或， 要满足，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到集合的关系，作出集合的图，由图对各个选项进行判断. 【详解】因为，所以，如图： 对于选项A，由题意知是的真子集，故，故A不正确； 对于选项B，由是的真子集且都不是空集知，，，故B正确； 对于选项C，由是的真子集知，，故C不正确． 对于选项D，由是的真子集，故，故D不正确． 故选：B 3．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【分析】由集合的交并补运算即可得出答案. 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 4．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 5．对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合的个子集，分为与，其中，，且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，即可求解. 【详解】根据题意，的“小和数”为， 集合共有11个元素，则一共有个子集， 对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，， 且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”， 这样的子集对共有个， 其中当时，，则子集对有， 则的“大和数”为. 故答案为：； 6．已知集合满足以下条件：①；②若，则. (1)求证：集合至少有3个元素； (2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由已知条件可得，时，有且，所以集合至少有3个元素 （2）当无意义时，可得，，故属于集合的两个元素是. 【详解】（1）证明：由，得， 则， 则， 周而复始，故由题意易得集合至少有3个元素. （2）当时，无意义，故； 令，解得， 即当时，， 故. 故属于集合的两个元素是. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可. 【详解】对于①，设集合，显然，符合性质一， 同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； 对于②，根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述正确； 对于③，设， 若，一定有，， 因为、都是“群”， 所以，， 因此，若，所以，，，故本叙述正确. 故选：C. 【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键. 3．（2025·河北保定·一模）已知集合，定义集合，，若，记为集合S中元素的个数，则的最大值为 . 【答案】67 【分析】利用不等式性质求出中元素个数不大于，再由特例可得的最大值. 【详解】设满足题意，其中， 则， ，而，于是， 由，得， 而中最小的元素为0，最大的元素为，则， 因此，解得，设， 则，， 由，得，即，于是的最小值为34， 则当时，中元素最多，即时满足题意， 所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：组合最值问题，往往先根据题设条件得到范围，在给出实例说明等号可取即得最值. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $