22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学导学案围绕二次函数y=ax²的图象和性质展开，引导学生理解抛物线概念，掌握其开口方向、对称轴、顶点及增减性等性质。通过知识链接复习二次函数定义和一般形式，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接已有函数学习经验。 资料通过合作探究画图象、议一议归纳性质，结合例习题分层设计，如比较函数值的直接代入法、性质判断法和草图法。培养学生的几何直观和推理意识，让学生在动手操作与逻辑分析中掌握知识，提升数学思维能力。

第二十二章 二次函数 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 学习目标：1.正确理解抛物线的有关概念. 2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点. 3.掌握二次函数y=ax2的图象和性质，并会应用. 重点：正确理解抛物线的有关概念. 难点：1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点. 2.掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用其解决问题. 自主学习 一、知识链接 1.什么叫二次函数？ 2.二次函数的一般形式是什么？怎么判断一个函数是不是二次函数？ 课堂探究 二、要点探究 探究点1：二次函数y=ax2 (a＞0)的图象和性质 合作探究 画出二次函数y=x2的图象. 要点归纳：二次函数y=x2的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线y=x2. 议一议 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 问题 观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？ 例2 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象． 思考 (1) 函数，的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ (2) 当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ 知识要点：对于抛物线 y = ax2 (a＞0)，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，即 | a |越大，抛物线的开口越小. 探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质 合作探究 在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象． 思考 (1) 观察函数，，的图象，考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？ (2) 当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ 要点归纳：对于抛物线 y = ax2 (a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，即 | a |越大，抛物线的开口越小. 问题 观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？ 交流讨论：抛物线y=ax2与y=－ax2(a＞0)的关系是什么？ 练一练 1.函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ； 2.函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的 最 点； 3.函数的图象的开口 ，对称轴是 ， 顶点是 ，顶点是抛物线的最 点； 4.函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 例3 已知二次函数y=x2． (1) 判断点A(2，4)在二次函数图象上吗？ (2) 请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标； (3) 点B、C在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？ 例4 已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式. 练一练：已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= . 例5 已知二次函数y＝ax2. (1) 若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”) (2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”) (3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________. 方法总结：二次函数y＝ax2中比较函数值的大小的方法： ① 直接代入法:将x的值分别代入函数解析式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例5(1); ②性质判断法:结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例5(2)； ③草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例5(3). 二次函数y＝ax2的图象及性质 画法 描点法→在对称轴两侧对称取点 图象 抛物线→轴对称图形 性质 1.开口方向及大小； 2.对称轴； 3.顶点坐标； 4.增减性 三、课堂小结 当堂检测 1.函数y=5x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 . 2.函数y=－3x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧， y随x的增大而 ，在对称轴的右侧， y随x的增大而 . 3.如右图，观察函数y=(k－1)x2的图象，则k的取值范围是 . 4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点. （1） （2） （3） （4） 5.若抛物线y=ax2(a≠0)过点(－1，2)，则 (1) a的值是 ； (2) 对称轴是 ，开口 ； (3) 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点.抛物线在x轴的 方(除顶点外)； (4) 若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1 y2. 6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围． 7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 能力提升 如图，此二次函数y＝2x2的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． 参考答案 自主学习 知识链接 1.形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数. 2.一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数的解析式是整式，化简后自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0. 课堂探究 二、要点探究 探究点1：二次函数y=ax2 (a＞0)的图象和性质 典例精析 例1 解：列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 描点，连线，如图所示. 议一议 答案不唯一. 如：1. 二次函数y=x2 的图象是一条抛物线； 2.图象开口向上； 3.图象关于 y 轴对称； 4. 顶点( 0 ，0 )； 5.图象有最低点． 问题：从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 例2 解：列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 描点、连线，如图所示： 思考 （1） 共同点是开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点也是抛物线的最 低点；不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小 （2）当 a＞0 时，a 越大，开口越小. 知识要点 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0），抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，即 | a |越大，抛物线 y = ax 2 的开口越小. 探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质 合作探究 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=-x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … 描点、连线，如图所示： 思考 （1）共同点是开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越小，抛物线的开口越小. （2）当a＜0时，a越小，抛物线开口越小. 知识要点 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0），抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，即 | a | 越大，抛物线y = ax 2的开口越小. 问题：从二次函数y = -x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 交流讨论：二次项系数互为相反数，开口方向相反，开口大小相同，它们关于x轴对称. 练一练 1.向上 y轴 （0,0） 2.向下 y轴 （0,0） 高 3.向上 y轴 （0,0） 低 4.向下 y轴 （0,0） 例3 解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上； （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4）； （3）由(2) 可知，B(2，−4) ，C (−2，4). 当x=－2时，y=x2=4，所以点C在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=－x2=－4，所以点B在二次函数y=－x2的图象上． 例4 解: 依题意有由①得:m>－1，解②得:m1=－2，m2=1 .∴ m=1，此时，二次函数的解析式为 y=2x2. 练一练 2 例5 （1）< （2）＜ （3）y1＞y2＞y3 当堂检测 1.向上 y轴 （0,0） 减小 增大 2.向下 y轴 （0,0） 增大 减小 3.k＞1 4.（1）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）. （2）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）. （3）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）. （4）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）. 5.（1）2 （2）y轴 向上 （3）（0,0） 低 上 （4）＞ 6.解：∵二次函数y=x2，∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0． 7.解：联立 解得或∴A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝×4×4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 能力提升 解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8. 即BC=8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且图中y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $