22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)² k的图象和性质（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十二章 二次函数 22.1.3 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质 第3课时 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质 学习目标：1.会用描点法画出y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质并会应用. 3.理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系. 重点：掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用其解决问题. 难点：理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系. 自主学习 一、知识链接 1.分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况. (1)y=ax2； (2)y=ax2+k； (3)y=a(x－h)2. 2.请说出抛物线y=－2x2 的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？ 3.把y=－2x2的图象向上平移3个单位长度得到？向左平移2个单位长度得到？ 4.请猜测一下，二次函数y=－2(x+2)2+3的图象是否可以由y=－2x2的图象平移得到？你认为该如何平移呢？学完本课时你就会明白. 课堂探究 二、要点探究 探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质 典例精析 例1 画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 试一试 画出二次函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 要点归纳：二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质 当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最小值为k.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最大值为k.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小. 例2 对于二次函数y＝-2(x+1)2-4，下列说法正确的是( ) A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝1 C．图象的顶点坐标为(1，4) D．当x＜-1时，y随x的增大而增大 例3 已知抛物线y＝a(x-3)2+2经过点(1，-2)． （1）指出抛物线的对称轴； （2）求a的值； （3）若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． 探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2(a≠0)的关系 例4 怎样移动抛物线才可以得到抛物线？ 知识要点：二次函数y=ax2与y=a(x±h)2±k的关系 上下平移，常数项上加下减，其他不变；左右平移，自变量左加右减，其他不变.二次项系数a不变. 例5 将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=2(x-4)2-1 B．y=2(x+4)2+1 C．y=2(x-4)2+1 D．y=2(x+4)2-1 变式训练 将抛物线y＝5(x-1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝5(x+2)2+3 B．y＝5(x-4)2﹣1 C．y＝5(x-4)2+3 D．y＝5(x-3)2+4 例6 已知二次函数y＝a(x－1)2－k的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋k的大致图象是(　　) 例7 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长? 三、课堂小结 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质 图象特点 当a>0，开口向上；当a<0，开口向下. 对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k). 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减. 一般地，抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2的形状相同，位置不同. 当堂检测 1.完成下列表格. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2.抛物线y=－3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为 . 3.抛物线 y = 2x2 不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为__________________． 4.已知函数y＝-(x-4)2-1. (1)指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　 ，顶点坐标为　 　 ； (2)当x　 　 时，y随x的增大而减小； (3)怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝-(x-4)2-1. 5.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1) 求a的值； (2) 若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系． 参考答案 自主学习 知识链接 1.(1)对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为0），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为0），当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. （2）对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为k），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为k），当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. (3) 对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，0）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为0），当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为0），当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 2.开口方向向上；顶点坐标是( 0，0)；对称轴是直线 x = 0；y最大值= 0 3.把y=-2x2的图象向上平移3个单位,得到y=－2x2+3的图象，把y=-2x2的图象向左平移2个单位,得到y=－2(x+2)2的图象. 4.可以，将y=-2x2的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位（或向左平移2个单位，再向上平移3个单位）. 课堂探究 二、要点探究 探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质 典例精析 例1 列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=(x+1)2-1 -3 -1 -3 描点、连线如图①所示， 开口方向向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-1). 图① 图② 试一试 解：函数y=2(x+1)2-2图象如图②所示.开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2). 例2 D 例3 解：（1）由y＝a(x-3)2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3. （2） ∵抛物线y＝a(x-3)2+2经过点（1，-2），∴-2＝a（1-3）2+2，∴a＝-1. （3）∵y＝-(x-3)2+2，∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，∵点A(m，y1)，(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，∴y1＜y2． 探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系 例4 解：方法一：抛物线向下平移1个单位，再向左平移1个单位； 方法二：抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位； 例5 B 变式 C 例6 A 例7 解：如图建立直角坐标系，点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).∵这段抛物线经过点(3,0)，∴ 0=a(3－1)2＋3.解得a=.因此抛物线的解析式为y=(x－1)2＋3 (0≤x≤3).当x=0时，y=2.25. 答:水管长应为2.25m. 当堂检测 1.填表如下： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线x=-3 (-3，5) 向下 直线x=1 (1，-2) 向上 直线x=3 (3，7) 向下 直线x=2 (2，-6) 2. 3. 4.(1)向下 直线x=4 (4，-1) (2)＞4 （3）解：将抛物线y＝-x2向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度就可以得到抛物线y＝-(x-4)2-1． 5.解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1； (2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2； 方法二：∵抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1， 则当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于对称轴对称 ∴ ，化简，得 2m＋n＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $