专题04 等腰三角形重难点题型汇编（八大模型高频题型三大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新教材）

专题04 等腰三角形重难点题型汇编 【题型1 腰和底不明时需分类】............................................................................................1 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】.....................................................................................1 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】.....................................................................................2 【题型4 等腰三角形个数的讨论】.......................................................................................2 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】..............................................................................3 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】..............................................................................6 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】.....................................................9 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】......................................................12 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．若等腰三角形的一边长是10，另一边长是8，则它的周长是（   ） A．28 B．26 C．18 D．26或28 2．一个等腰三角形的两边长分别是7和15，则它的周长为（　　） A．37 B．29 C．22 D．29或37 3．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的第三边是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．若等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（    ）. A． B． C． D．或 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 1．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 2．已知等腰三角形的一个角为，则其底角为（    ） A． B． C． D．或 3．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 1．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（   ） A． B．或 C．或 D．或或 2．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（    ） A．15°或75° B．15° C．75° D．15°或30° 3．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于 ． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 1．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 3．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 4．如图，在中，，，在直线或上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有 ．    【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 2．如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 3．如图，在中，，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为___________（用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值 (3)当将分成的两部分的面积比为时，求的值 (4)当点与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 4．在中，，点在边上，点在上，连接，． 【计算发现】 （1）如图1，当点在边（不与点，重合）上运动时，且点在边上时． ①若，，则______，______． 【猜想验证】 ②猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展思考】 （2）如图2，当点在边（不与点，重合）上运动，点在边所在的直线上时，若，求的度数． 5．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 6．如图，在中，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______（用含t的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值：______． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 1．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 2．如图，在中，，点M，N分别是，边上的动点．点M从点B运动到点C，点N从点C运动到点A，已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为，当为直角三角形时，求t的值． 3．如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长； (2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值； ②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 5．如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，按图中箭头指向沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动． (1)点M，N运动几秒时，M，N两点重合？ (2)点M，N运动几秒时，可得到等边三角形？ 6．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当为直角三角形时，求的值． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 1．【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 2．阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 3．【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；    【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；    【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 1．在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 3．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，运动方向如图，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为秒． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？ (4)当点M、N在边上运动时，连接，直接写出t值，使以为底边的三角形是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形重难点题型汇编 【题型1 腰和底不明时需分类】............................................................................................1 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】.....................................................................................3 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】.....................................................................................4 【题型4 等腰三角形个数的讨论】.......................................................................................7 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】..............................................................................10 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】..............................................................................21 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】....................................................32 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】......................................................43 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．若等腰三角形的一边长是10，另一边长是8，则它的周长是（   ） A．28 B．26 C．18 D．26或28 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得等腰三角形边长可以是10，10，8或10，8，8， 两种情况都符合三角形三边关系， 所以周长是28或26． 故选：D． 2．一个等腰三角形的两边长分别是7和15，则它的周长为（　　） A．37 B．29 C．22 D．29或37 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，根据题意进行分类讨论，检验是否符合三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：①若7为腰长，15为底边长，由，则三角形不存在； ②若15为腰长，7为底边长，则符合三角形的两边之和大于第三边， ∴三角形的周长为， 故选：A． 3．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的第三边是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 分当为底边时，第三边长为和当为底边时，第三边长为两种情况，分类进行讨论即可． 【详解】解：当为底边时，第三边长为， 因为，故不能构成三角形； 当为底边时，第三边长为， 因为，故能构成三角形， 所以第三边长为， 故选：． 4．若等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（    ）. A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意可知题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形． 【详解】解：当13cm是腰时，13+713，符合三角形三边关系，此时周长为； 当7cm是腰时，7+713，符合三角形三边关系，此时周长为． 故它的周长为或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形三边关系的运用，注意掌握没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 1．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 2．已知等腰三角形的一个角为，则其底角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】等腰三角形的一个角为，这个角有可能是底角，也有可能是顶角，分类讨论并计算即可． 【详解】解：（1）当顶角是时，底角的度数为： （2）当底角是时，另一个底角的度数为，此时顶角为： 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键． 3．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据有一个内角为的等腰三角形为等边三角形，以及等边三角形的每一个内角都为，即可得出结果． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴该等腰三角形为等边三角形， ∴该三角形的三个内角的度数均为， ∴这个等腰三角形的顶角为； 故答案为： 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 1．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（   ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，分是钝角三角形和是锐角三角形两种情况，根据一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】解：设在等腰中，， 如图所示，当是钝角三角形时， 当时，如图所示，取中点E，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当时，同理可得， ∴； 如图所示，当为锐角三角形时， 当时，同理可得； 当时，同理可得，此时，，不符合题意； 综上所述，该等腰三角形的顶角的度数为或或， 故选：D． 2．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（    ） A．15°或75° B．15° C．75° D．15°或30° 【答案】A 【分析】本题中只说明是等腰三角形没有指明是锐角三角形还是钝角三角形，所以应该分两情况进行分析． 【详解】解：（1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图， BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=AB， 根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°； （2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=AB， 根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，底角为15°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 3．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图（1）， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图（2）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，它的顶角度数为：或． 故答案为：或． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 1．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意分腰长和底边两种情况分类讨论． 【详解】解：如下图， 分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个， 故选：D． 3．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰三角形底边；②为等腰三角形一条腰． 【详解】如图： ①为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 4．如图，在中，，，在直线或上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有 ．    【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定；分三种情况分别画出图形，如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案． 【详解】解：如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有    以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 ， 以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形有， 其中是等边三角形， ∴符合条件的点的个数有6个， 故答案为：6． 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)25；110 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出即可； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意，分当时；当时；当时．进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：25，110； （2）解：当时，，理由如下： ，，， ， ， ∴当时， ， ； （3）解：， ， 当是等腰三角形时，分情况讨论： 当时，有， ， 点E和点C重合，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ， ∴； 当时，有， ， , 综上所述：的度数为或． 3．如图，在中，，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为___________（用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值 (3)当将分成的两部分的面积比为时，求的值 (4)当点与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)的值为或2.4或3.6或5.6． 【分析】题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）观察图形用即可列式来求解； （2）当时，表示出，即可列式求解； （3）当将分成的两部分的面积比为，则点P在上，分两种情况：当时；当时；分别求解即可； （4）先求出周长的一半，再利用当点在上时，或，此时；当点在上时，或，此时；当点在上时，或，此时，分别求解即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒，， ； 故答案为：； （2）解：是以为腰的等腰三角形时， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵当将分成的两部分的面积比为， ∴点P在上， 分两种情况：当时； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； 当时； ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； 综上，当将分成的两部分的面积比为时，或． （4）解：，，，， 的周长为， 点与顶点连接的线段将的周长分为的两部分时，每一部分的周长为或， 当点在上时，或，此时，    或， 或（舍去）； 当点在上时，或，此时，    或， 或； 当点在上时，或，此时，    或， （舍去）或； 综上所述，的值为或2.4或3.6或5.6． 4．在中，，点在边上，点在上，连接，． 【计算发现】 （1）如图1，当点在边（不与点，重合）上运动时，且点在边上时． ①若，，则______，______． 【猜想验证】 ②猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展思考】 （2）如图2，当点在边（不与点，重合）上运动，点在边所在的直线上时，若，求的度数． 【答案】（1）①；②，理由见解析（2）的值为或 【分析】（1）①先求出，利用角的和差及三角形外角性质求出结论； ②如图1在线段上，由题意知，，，；，，可知与也即与的关系； （2）分情况讨论，如图2所示：有情况①点在点下方，情况②点在点上方，求解方法同（1）；具体分析见详解． 【详解】解：（1）①， ，， ， ， ②； 理由如下：如图令，， 由题意知，， ，， ， ， ． （2）如图2， 情况①，， ， ． 情况② 时， ， ，，， ， ， ， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是将各角度建立联系．易错点与难点在于分情况讨论． 5．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又 ，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 6．如图，在中，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______（用含t的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值：______． 【答案】(1) (2)不能 (3)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用t表示出即可求得； （2）当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在上，，如图， 而，， ∴，， ∵把的周长平分， ∴， 解得：，不符合题意舍去， ∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分； （3）解：①当，如图1所示，    则， ∵， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当，如图2所示，    则， ∴， 综上所述：当t为11秒或12秒时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：11或12． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 1．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)当第秒或第秒时，为直角三角形 【分析】（）利用等边三角形的性质可知，，结合即可得证； （）由知，再利用三角形外角的性质可证得； （）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴，， 又由条件得， 在和中 ， ∴． （2）的大小不变，， 理由如下： 由（）知， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． （3）由题意知， ①当时， ∵， ∴，得，解得； ②当时， ∵， ∴，得，解得； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 【点评】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识． 2．如图，在中，，点M，N分别是，边上的动点．点M从点B运动到点C，点N从点C运动到点A，已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为，当为直角三角形时，求t的值． 【答案】当运动时间为或时，为直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，从而可得，再分两种情况：当；当；分别利用直角三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ． ∵为直角三角形， 或． ①设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得； ②设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得． 又， ∴经检验，，符合题意． 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 3．如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积存在最大值，； (3)能，的值为4或16 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）利用等边三角形证明，由可证明； （2）证明，要使最大，则需要最小，则可得出答案； （3）分两种情况，①当时，②当时，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ； （2）解：的面积存在最大值， 由（1）得， ， 又， ， 若最大，则需要最小， 当时，CD的长最小，最小， ； （3）解：当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，如图， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ． 综上，当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为4或． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长； (2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值； ②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或 【分析】（）由可得，再根据直角三角形的性质求出即可； （）设点的坐标为，由等边三角形的性质可得，进而列出方程即可求解； （）①由题意可得，，即得，分和两种情况，根据直角三角形的性质列出方程解答即可求解；②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等边三角形和等腰三角形的性质分别列出方程解答即可； 本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，等边三角形的性质和判断，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设点的坐标为， ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：； （3）解：①由题意可得，，， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 当时，则， ∴， 即， 解得； 综上，当是直角三角形时，的值为或； ②当点在线段上时， ∵是等腰三角形时，， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，， ∵是等腰三角形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 5．如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，按图中箭头指向沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动． (1)点M，N运动几秒时，M，N两点重合？ (2)点M，N运动几秒时，可得到等边三角形？ 【答案】(1)12秒 (2)4秒 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，利用方程的思想解决动点问题是本题的关键． （1）设点M，N运动时，M，N两点重合，由点N运动路程=点M运动路程间的路程，列出方程，即可求x的值； （2）设点M，N运动时，可得到等边三角形，由等边三角形的性质可得可列方程，计算求出t的值； 【详解】（1）解：设点M，N运动时，M，N两点重合．则 ， 解得． 即点M，N运动时，M，N两点重合． （2）解：由题可知是等边三角形，由(1)可知当点M在边上，点N在边上，且时， 是等边三角形． 设点M，N运动时，可得到等边三角形，则 ， ． ∵是等边三角形， ∴， 解得， ∴点M，N运动时，可得到等边三角形． 6．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)的度数为 (2)不变化，理由见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质即可证明，则有，即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）分两种情况考虑：；；根据含30度直角三角形的性质建立方程即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∴ ， 即的度数为； （2）解：不变化，理由如下： 是等边三角形， ，， ； ， ， 即， 在和中，， ， ； ∵， ， ； （3）解：根据题意得，，， ， ①当时， ， ， ，即， 解得，， ②当时， ， ， ，即， 解得，， 综上可得，的值为或． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 1．【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）120 【分析】（1）如图①：延长，使，先证明得到，，进而证得，再证明得到，进而可证得结论； （2）如图②：在上截取，连接，先由为等腰直角三角形可得，再证明可得，再证明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图③：先证明得到，；结合已知得到，证明得到，进而可得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，延长，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：数量关系：，理由如下： 如图②：在上截取，连接， 为等边三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ． 是的平分线， ， ∴是等边三角形， ； （3）解：如图③，在上截取， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，； ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质、定理是解题的关键． 2．阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)FC＝CD+CE 【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论； （2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECG＝60°， ∴△CEG是等边三角形， ∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°， ∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ， ∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF， ∴CD＝CG+DG＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GDAB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键． 3．【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；    【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；    【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=，证明见详解. 【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB； （2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论． 【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，    ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠ACD=180°， 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA=DE=DC+CE=DC+DB， 即DA=DC+DB； （2）证明：在AC上截取CM=CD，    ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°， ∴∠AMD=120°， ∵∠ADE=60°， ∴∠ADE=∠MDC， ∴∠ADM=∠EDC， ∵直线a∥AB， ∴∠ACE=∠BAC=60°， ∴∠DCE=120°=∠AMD， 在△ADM和△EDC中， ∴△ADM≌△EDC(ASA)， ∴AM=EC， ∴CA=CM+AM=CD+CE； 即CD+CE=CA. （3）∠EAF=； 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，    ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵AB=AD， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE=∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∴∠EAF=. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①同意，理由见解析；②3 (3)1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），过程见解析 （3）的长为3或6 【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出，求出，求出即可； （2）过作交于，求出等边三角形，证和全等，求出即可； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】解：∵点是等边的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，点在的延长线上时，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三线合一，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解解题的关键． 1．在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置． 【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，； ②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，； ③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， ∴符合条件的点C共7个， 故选：D．    【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用分类讨论的思想是解答此题的关键． 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数． 【详解】 解：①若是锐角三角形， 在中，设，于D， ∴，， ∴顶角； ②若是钝角三角形， 在中，设，于D，，， 则， ∴顶角 所以等腰三角形顶角的度数是或． 故答案为：或． 3．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，运动方向如图，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为秒． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？ (4)当点M、N在边上运动时，连接，直接写出t值，使以为底边的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)点运动6秒后重合 (2)当点运动2秒时，是等边三角形 (3)当或或或时，是直角三角形 (4)当点M、N运动8秒时，是等腰三角形 【分析】此题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，解一元一次方程． （1）由点N运动路程点M运动路程间的路程，列出方程求解，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论； （3）分四种情况，由直角三角形的性质，可列方程求解，即可得出结论； （4）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设点、运动秒后重合， 则， 解得， ∴点、运动6秒后重合； （2）解：设点、运动秒后，是等边三角形， ∵等边， ∴， 如图，，， 当时，是等边三角形， 即 ， 解得， ∴当点、运动2秒时，是等边三角形； （3）解：设点运动秒后，是直角三角形， ∵等边， ∴， ①如图2：，， 则有， 解得； ②如图3：，，则有， 解得； ③如图4：点N运动到中点时， 是直角三角形此时点运动，则有， 解得； ④如图4：点运动到中点时，，即， 解得：， 此时点运动，与点重合； 综上所述，当或或或时，是直角三角形； （4）解：如图 设点、运动秒 则， 假设是等腰三角形且MN是它的底边 则， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得 ∴当点、运动8秒时，是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $