第1章 三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新教材）

第1章 三角形 【考点1】三角形三边关系 【考点2】利用三角形中线求长度和面积 【考点3】与三角形的角平分线、中线和高综合计算 【考点4】全等图形的定义 【考点5】全等三角形的性质 【考点6】全等三角形的判定 【考点7】全等三角形的判定与性质综合 【考点8】全等三角形的应用 【考点9】角平分线的性质 【考点10】角平分线的判定与性质综合 【考点11】线段垂直平分线的性质及应用 【考点12】线段垂直平分线和角平分线的作图 【考点13】等腰三角形的性质 【考点14】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【考点15】含30°角的直角三角形的性质 【考点16】直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半 【考点17】等腰三角形的性和判定综合 知识点1： 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点2：三角形的重要线段 知识点3： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点4： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点5 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点 6 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点7：角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 知识点8 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点9： 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点10：等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3. 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点11：含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点12：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【考点1】三角形三边关系 1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若一个三角形两边的长分别为5和10，则这个三角形第三边的长可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（    ） A．15 B．16 C．19 D．25 【考点2】利用三角形中线求长度和面积 1．等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 2．已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 ． 4．如图，把三角形的边延长到D，使为的3倍，把边延长到E，使为的2倍，把边延长到F，使等于．已知的面积是1，则的面积为 ． 【考点3】与三角形的角平分线、中线和高综合计算 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知分别是的高和角平分线，． (1)，求； (2)若，求的长． 3．如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为D，E，F． (1)与是否相等，请说明理由； (2)连接，若的周长是30，且，求的面积． 【考点4】全等图形的定义 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 【考点5】全等三角形的性质 1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（    ） A．60° B．54° C．56° D．66° 2．如图，点在上，与相交于点，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 4．如图，点在线段上，，则求三角形的面积为（   ） A． B．8 C． D．9 【考点6】全等三角形的判定 1．如图，与相交于点O，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，在上，，，要得到，需要添加的一个条件是 ． 3．如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 4．如图，，连结，试着判断与的关系，并证明你的结论． 【考点7】全等三角形的判定与性质综合 1．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 2．如图，在和中，与共线，，，，求证：． 3．如图，是线段上的一点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于点，且． (1)求证：． (2)点C为上一点，连接，若，，，求的长． 4．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：BD＝CE； （2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．    【考点8】全等三角形的应用 1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 2．工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 【考点9】角平分线的性质 1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2.如图，在中，，平分，，的面积为，则的值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．15 3．如图，在中，点O在的平分线上，连接，作于点D．若，，则的面积是（   ） A．48 B．36 C．24 D．20 4．如图，，是的中点，平分，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，的平分线交于点O，连接，过点O作，的面积是16，周长是8，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点10】角平分线的判定与性质综合 1．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 2．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 3．如图，与都是等边三角形，若与相交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：平分． 4．如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)猜想、与的关系，并说明理由． 【考点11】线段垂直平分线的性质及应用 1．如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，分别交、于点、，连接，若，则的周长为（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 3．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（    ） A．三条高线的交点B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 4．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【考点12】线段垂直平分线和角平分线的作图 1．如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 2．如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【考点13】等腰三角形的性质 1．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 2．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（   ） A．46° B．48° C．56° D．58° 3．中，平分，平分，经过点，与相交于点，且．，．求的周长等于 ． 4．如图所示，是等边三角形，，，则的周长为 ． 【考点14】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点15】含30°角的直角三角形的性质 3．如图，在中，交于点，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．如图所示，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点16】直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半 1．如图，在中，，，点是的中点，则（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 【考点17】等腰三角形的性和判定综合 1．如图，已知等边三角形中，，的平分线相交于点O，，，分别交于点D，E． 求证： (1)是等边三角形； (2)． 2．如图，与都是等边三角形，点，分别在，上，，与交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：． 3．如图，，，，，垂足为F． (1)求证：； (2)求证：． 4．如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形； (3)连接，若，求的长． 5．如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 【考点1】三角形三边关系 【考点2】利用三角形中线求长度和面积 【考点3】与三角形的角平分线、中线和高综合计算 【考点4】全等图形的定义 【考点5】全等三角形的性质 【考点6】全等三角形的判定 【考点7】全等三角形的判定与性质综合 【考点8】全等三角形的应用 【考点9】角平分线的性质 【考点10】角平分线的判定与性质综合 【考点11】线段垂直平分线的性质及应用 【考点12】线段垂直平分线和角平分线的作图 【考点13】等腰三角形的性质 【考点14】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【考点15】含30°角的直角三角形的性质 【考点16】直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半 【考点17】等腰三角形的性和判定综合 知识点1： 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点2：三角形的重要线段 知识点3： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点4： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点5 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点 6 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点7：角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 知识点8 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点9： 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点10：等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3. 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点11：含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点12：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【考点1】三角形三边关系 1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误； B、，不能组成三角形，故此选项错误； C、，不能组成三角形，故此选项错误； D、，能组成三角形，故此选项正确； 故选：D． 2．若一个三角形两边的长分别为5和10，则这个三角形第三边的长可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．设第三边的长为x，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边可得，再解不等式组即可． 【详解】解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系得： ， ． 故选：A． 3．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（    ） A．15 B．16 C．19 D．25 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长． 【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12． 由于第三边的长为偶数， 则a可以为4或6或8或10． ∴三角形的周长是 5+7+4=16或5+7+6=18或5+7+8=20或5+7+10=22． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 【考点2】利用三角形中线求长度和面积 1．等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得： 或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立； 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立． 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 2．已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线， 根据中线的定义可知，进而得出，则此题可解. 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴. 同理，. 故选：A. 3．如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为8， ， ， ， ， ． 故答案为：9 【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4．如图，把三角形的边延长到D，使为的3倍，把边延长到E，使为的2倍，把边延长到F，使等于．已知的面积是1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与中线有关的面积问题，三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形，以及，得，因为，所以，再结合面积之间关系列式代入数值化简，得，即可作答． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 则 ∵，的面积是1， ∴ ∴ 解得． 故答案为： 【考点3】与三角形的角平分线、中线和高综合计算 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 无法证明，故C错误． 故选：C． 2．如图，已知分别是的高和角平分线，． (1)，求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高． （1）根据角平分线及高线的定义，求出和的度数，据此可解决问题； （2）利用面积法即可解决问题． 【详解】（1）解：，是的角平分线， ， 是的高， ， ， ； （2）解：， ， 又，且， ， 即， 解得， 的长为． 3．如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为D，E，F． (1)与是否相等，请说明理由； (2)连接，若的周长是30，且，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)60 【分析】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理，即可解答； （2）根据已知可得，然后根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可解答 【详解】（1）解：， 理由：平分，，， ， 平分，，， ， ； （2）解：的周长是30， ， ， 的面积的面积的面积的面积 ， 的面积为60． 【考点4】全等图形的定义 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2．下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质．直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案． 【详解】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意； B、两个长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； C、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； D、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意； 故选：D． 【考点5】全等三角形的性质 1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（    ） A．60° B．54° C．56° D．66° 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是关键．根据三角形内角和定理可得的度数，再根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】如图，，， ， 在中，边和边夹角为， 在中，边和边夹角为， 又两个三角形全等， ． 故选：D． 2．如图，点在上，与相交于点，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，得到，根据平角的定义可求，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出，，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，点在线段上，，则求三角形的面积为（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差可得，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴三角形的面积为． 故选：A 【考点6】全等三角形的判定 1．如图，与相交于点O，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定：判定一般三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，需熟练掌握． 要用“”判定，根据已知条件，则要有． 【详解】解：∵，， ∴用“”判定，要补充． 故选：D． 2．如图，点，在上，，，要得到，需要添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 全等三角形的判定定理有，，，，根据以上定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 又， 需要添加一个条件可以是，则， 添加条件，则， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 【答案】（或者） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据直角三角形全等的判定定理“”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故若要用“”证明，则需要添加的一个条件是（或者）， 故答案为：（或者）． 4．如图，，连结，试着判断与的关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．正确掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定定理和性质定理,是解题的关键． 证明得到，延长交于D，交于C，则，即可证得． 【详解】解：．证明： ∵， ∴． ∴． ∴． 延长交于D，交于C，则． ∴． ∴． 【考点7】全等三角形的判定与性质综合 1．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 2．如图，在和中，与共线，，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，由平行线的性质得，，由可判定，即可得证． 【详解】证明：，， ，， ， ， ， （）， ． 3．如图，是线段上的一点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于点，且． (1)求证：． (2)点C为上一点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定证明，再运用全等三角形的性质即可证得结论； （2）由证得，根据全等三角形的判定证明，则有、即，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：BD＝CE； （2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．    【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质可得出BD＝CE； （2）由全等三角形的性质及三角形内角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性质求出∠DAE＝20°，则可求出答案． 【详解】解：（1）证明∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）∵△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠C＝40°， ∵∠E＝80°， ∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠E， ∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点8】全等三角形的应用 1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形， 本题考查了全等三角形的判定方法：， 要求学生要对常用的几种方法熟练掌握 【详解】解：第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的； 第①块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃. 故选A． 2．工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图，可知：，结合，利用证明，即可． 【详解】解：由题意，可知：， 又∵， ∴， ∴，即：射线即是的平分线； 故依据为； 故选B． 【考点9】角平分线的性质 1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：C． 2.如图，在中，，平分，，的面积为，则的值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质定理，过D作于E，根据角平分线的性质定理得到，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， 故选：C． 3．如图，在中，点O在的平分线上，连接，作于点D．若，，则的面积是（   ） A．48 B．36 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点O作于点H，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点H， ∵点O在的平分线上， ∴平分， ∵，，，， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 4．如图，，是的中点，平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵，平分，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，的平分线交于点O，连接，过点O作，的面积是16，周长是8，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．过点O作于点F，根据角平分线的性质可得，再由以及的周长是8，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点F， ∵分别为的角平分线，，， ∴， ∴， ∵的面积是16， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是8， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【考点10】角平分线的判定与性质综合 1．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据其性质得出，再根据角平分线的判定进行证明即可； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中，， ， ， 平分； （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 2．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 3．如图，与都是等边三角形，若与相交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据与都是等边三角形，证明，进而可求的度数； （2）连接，作，于点，，根据，可得，根据全等三角形的面积相等，底相等，可得高相等，再根据角平分线的判定即可得结论． 【详解】（1）解：与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：连接，作，于点，，如图所示： ， ，， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形面积公式及角平分线的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质． 4．如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)猜想、与的关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点11】线段垂直平分线的性质及应用 1．如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，分别交、于点、，连接，若，则的周长为（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得垂直平分，则，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 3．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（    ） A．三条高线的交点B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的应用．根据“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵体育公园到三个村庄的距离都相等， ∴体育公园应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 4．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 【考点12】线段垂直平分线和角平分线的作图 1．如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【答案】见解析，分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置 【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以发射塔在线段AB的垂直平分线上，再利用尺规作线段AB的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以发射塔在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案. 【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置． 【点睛】本题考查的是利用尺规作角的平分线，作线段的垂直平分线，理解题意，再确定作图目的是解题的关键. 2．如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 【考点13】等腰三角形的性质 1．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 2．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（   ） A．46° B．48° C．56° D．58° 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，旋转之后图形完全不变是解题的关键．根据旋转的性质，来求解的度数． 【详解】解：将绕着点顺时针旋转后，得到， ，， ， ， 故选：． 3．中，平分，平分，经过点，与相交于点，且．，．求的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义和平行线的性质可得，，即得，，进而得到的周长，代入已知计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 故答案为： 4．如图所示，是等边三角形，，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握三线合一是解题的关键．根据三线合一（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合 ）的性质和等边三角形的性质来求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴为中点，即． ∵， ∴； ∵等边三角形三边相等，即， ∴的周长为． 故答案为：12． 【考点14】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 2．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 【考点15】含30°角的直角三角形的性质 3．如图，在中，交于点，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据角的直角三角形的性质得到，再由即可求解． 【详解】解： ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图所示，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，先计算得出，由等角对等边可得，再由直角三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【考点16】直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半 1．如图，在中，，，点是的中点，则（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵，，点是的中点， ∴， 故选D． 2．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得长解答即可． 【详解】解：连接， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， 故答案为：． 【考点17】等腰三角形的性和判定综合 1．如图，已知等边三角形中，，的平分线相交于点O，，，分别交于点D，E． 求证： (1)是等边三角形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，等角对等边的性质，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键， （1）利用等边三角形的判定定理即可得证； （2）利用角平分线定理和平行线的性质可得，，再根据是等边三角形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，． 由（1）知是等边三角形， ∴． 2．如图，与都是等边三角形，点，分别在，上，，与交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题关键． （1）根据等边三角形的性质证得，则，利用三角形外角性质可求，进而可计算出的度数； （2）延长至点，使，证明为等边三角形，得到，，证得，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：延长至点，使，如图， ， 为等边三角形， ，， 是等边三角形，   ，， ， 在和中， ， ， ， 而， ． 3．如图，，，，，垂足为F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）过点A作，垂足为G，由可得，则，那么平分，由角平分线性质定理得到，再由等腰三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：过点A作，垂足为G， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由可得，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质及可得，进而可得，则可求解； （2）利用可证得，进而可得，再根据等边三角形的判定即可证结论； （3）连接，可得，进而可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． 在和中， ， ， ， ． （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． ， 是等边三角形． （3）连接，如图： ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． 5．如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是中点， ； （2）解：由(1)知： 在和 中， ， , ，，， ． 6．已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积不变．见解析 (3)仍为等腰直角三角形．见解析 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大． （1）连接，可通过证和全等来求本题的结论． （2）可将四边形的面积分成和的面积和求解，由（1）证得和全等，因此四边形的面积可转化为的面积，由此得证． （3）与（1）题的思路和解法一样． 【详解】（1）证明：连接 ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形； （2）解：四边形面积不变． 理由：∵由（1）可知， ∴， 而， ∵D为的中点， ∴， ∵面积不变， ∴不会发生变化； （3）解：仍为等腰直角三角形． 理由：连接， ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 16 学科网（北京）股份有限公司 $