专题05 实数重难点题型汇编（十一大高频题型五大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新教材）

专题05 实数重难点题型汇编 【题型01：平方根、算术平方根与立方根的概念】...............................................................1 【题型02：利用平方根/立方根解方程】...............................................................................2 【题型03：平方根、算术平方根与立方根有关综合运算】...................................................5 【题型04：与算术平方根有关的规律探索题】......................................................................8 【题型05：与立方根有关的规律探索】...................................................................................11 【题型06：无理数的概念】....................................................................................................16 【题型07：无理数大小估算】................................................................................................17 【题型08：无理数整数部分的有关计算】.............................................................................18 【题型09：实数的性质】........................................................................................................21 【题型10：实数与数轴】........................................................................................................21 【题型11：程序设计与实数的运算】......................................................................................24 【题型01：平方根、算术平方根与立方根的概念】 1．36的算术平方根是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：36的算术平方根是6． 故选：B． 2．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的定义是解题关键．根据题意可知的算术平方根是3，从而得到，即可求出的值． 【详解】解：∵，即表示的算术平方根是3， ∴， ∴， 故选：B． 3．下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 即一个非负数的平方根为，据此即可判断． 【详解】解：“9的平方根是”可表示为：， 故选：B． 4．立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，注意正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．根据开立方的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的有，0，1． 故选：A． 5．已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握求一个数的立方根． 根据立方根的定义，先求出实数的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意得，实数的立方根是，即，故， ∴， ∴， 故选：D． 【题型02：利用平方根/立方根解方程】 1．求下列各式中的x： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）先移项，将方程变形为，，再利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 解得． （2）解： ． 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运用平方根解方程，立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用平方根进行解方程，即可作答． （2）方程两边同时乘，再运用立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴或； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 4．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根与立方根的定义，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根；如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． （1）依据平方根的定义，即可得到的值； （2）依据立方根的定义，即可得到的值． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 5．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴ 解得： 【题型03：平方根、算术平方根与立方根有关综合运算】 1．已知的平方根是，的算术平方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． （1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是2． ∴，， 解得，； （2）解：当，时，， 而16的平方根为， ∴的平方根为． 2．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 3．一个正数的两个平方根分别是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． （1）根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为相反数，则有，解方程得，由即可求解； （2）根据立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个平方根分别是， ， ， 这个正数为． ∴； （2）解：，， ， 的立方根为． 4．已知的平方根是，的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的和的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）由平方根的定义和列方程的定义可求得，从而可求得a、b的值； （2）把a、b的值代入求得代数式的值，最后再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的算术平方根为5． 【题型04：与算术平方根有关的规律探索题】 1．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 2．【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 【答案】(1)正方形的面积为5，边长为 (2)10 【分析】本题主要考查求一个数的算出平方根以及图形拼接中面积守恒的规律，解题的关键在于理解图形拼接前后总面积不变； （1）通过已知小正方形的数量计算总面积，再根据面积公式求边长； （2）需要根据第一问的规律推导出值即可； 【详解】（1）解：由题和图可知∶一个小正方形的面积是1，所以5个小正方形的面积和为5， 即大正方的面积为5， ∵边长边长面积， ∴边长， 故拼成的正方形的面积为5和边长为； （2）解：根据大正方形的面积为，每个小正方形的面积为1， ∴共需要10个小正方形； 故答案：10． 3．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【分析】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）根据规律即可得出答案； （3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 4．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解； （1）根据已知可得，即可求解； （2）①根据关系得 ，即可求解； ②根据关系得 ，即可求解； （3）可得面积为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：① ； ② ； （3）解：由题意得 ， 答：这个长方形的面积为. 【题型05：与立方根有关的规律探索】 1．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 2．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解： ，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 3．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【题型06：无理数的概念】 1．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是无理数的识别，根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，再逐一分析判断即可. 【详解】解：无理数，也称为无限不循环小数. 是整数，是分数，是整数，它们都是有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数. 故选：D 2．在实数，0，，，，，（相邻的两个2之间依次多1个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0，，都是整数，是无限循环小数，都是有理数，是分数，是有理数， 无理数有，，（两个2之间依次多1个，共3个． 故选：C． 3．在，，1.010010001…，，，，这6个数中，无理数共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，1.010010001…，，，，这6个数中，无理数有在，1.010010001…，，共3个； 故选B． 【题型07：无理数大小估算】 1．若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 利用夹逼法估算的大小，即可作答． 【详解】解：， ， 在和之间， 故选：C． 2．已知介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的取值范围，解题的关键是掌握无理数取值范围的方法． 先求出的取值范围，再求的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴ 即， 故选：C． 3．估计的值在（ ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】B 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出的范围是解题的关键． 由可知，然后可估计的取值范围． 【详解】解：， ． ． 故选：B． 【题型08：无理数整数部分的有关计算】 1．是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查求无理数的整数部分和小数部分，理解并掌握无理数的估算方法是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例求出，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的小数部分， 的小数部分， ∴． 2．阅读材料，回答以下问题： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ，， 即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． (1)利用材料一中的方法，的小数部分是__________； (2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ，即， 的整数部分是5， 的小数部分是， 故答案为：； （2）解：面积为145的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． ． 【题型09：实数的性质】 1．实数的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，熟练掌握实数的性质是解题关键．根据实数的性质：负实数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：实数的绝对值是， 故答案为：． 2．的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据正数的绝对值是它本身，可得一个正数的绝对值． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 3． ，的相反数 ，的平方根 【答案】 3 【分析】本题考查实数的性质，立方根，算术平方根和平方根，根据绝对的意义，相反数的定义，立方根，算术平方根和平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：，的相反数是3，的平方根是； 故答案为：． 【题型10：实数与数轴】 1．如图，为原点，，，以点圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，利用数形结合的思想解答，根据圆的性质即可得，进而求出的值． 【详解】解：∵以点为圆心，为半径画弧， ∴， ∵，， ∴， ∵交数轴负半轴于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 2．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解． 【详解】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 3．如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和数轴上两点间的距离，明确实数与数轴的关系、求出是关键． 先根据数轴上两点间的距离得到，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：因为、对应的实数分别为和1， 所以， 因为， 所以， 所以，即点所对应的数为； 故答案为：． 4．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】(1)， (2)①，画图见解析；②画图见解析 【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数． （2）①根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图形即可；②从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移4个单位，用同样的方法得到点N． 【详解】（1）解：由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：， （2）解：①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 【题型11：程序设计与实数的运算】 1．某数值转换器的程序如图所示，当输入的x为16时，输出的y为（   ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的知识，注意理解程序的内容和熟练应用算术平方根的计算是关键．将已知的值输入程序，取算术平方根后看是否为无理数，如果是无理数则输出该值，如果是有理数则再次输入取算术平方根，直到输入进去的数的算术平方根为无理数为止，即可求解． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数； 继续返回，的算术平方根为，是有理数； 继续返回，的算术平方根为，是无理数，则输出，即输入的为． 故选：D ． 2．下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的计算、无理数、程序图等知识点，读懂程序框图的走向是解题关键． 依据转换器流程，先求出的立方根是，是有理数；取立方根为是无理数直接输出． 【详解】解：当输入时，由的立方根是，是有理数； 当时，由的立方根是是无理数， 所以输出y的值是． 故选：C． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 符合题意，可以输出， ∴， 故选：B． 1．计算的算术平方根为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义，先计算的值，再计算4的算术平方根即可解题． 【详解】解：， 故选：B． 2．估计实数的值，它的所在范围是（    ） A．在5与6之间 B．在6与7之间 C．在7与8之间 D．在8与9之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，估算得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：C． 3．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，先计算出结果，再根据平方根概念即可求出结果． 【详解】解：∵，16的平方根为， ∴的平方根为． 故答案为：． 4．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，把的值代入操作步骤计算即可求出输出结果． 【详解】解：把代入运算程序得：． 故答案为：． 5．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． (1)填空：的整数部分的值为________； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)12.21 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； （2）解：面积为149的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数重难点题型汇编 【题型01：平方根、算术平方根与立方根的概念】...............................................................1 【题型02：利用平方根/立方根解方程】...............................................................................2 【题型03：平方根、算术平方根与立方根有关综合运算】...................................................3 【题型04：与算术平方根有关的规律探索题】......................................................................4 【题型05：与立方根有关的规律探索】...................................................................................6 【题型06：无理数的概念】....................................................................................................7 【题型07：无理数大小估算】................................................................................................7 【题型08：无理数整数部分的有关计算】.............................................................................8 【题型09：实数的性质】........................................................................................................8 【题型10：实数与数轴】........................................................................................................9 【题型11：程序设计与实数的运算】......................................................................................10 【题型01：平方根、算术平方根与立方根的概念】 1．36的算术平方根是（   ） A． B．6 C． D． 2．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 3．下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 4．立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 5．已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 【题型02：利用平方根/立方根解方程】 1．求下列各式中的x： (1) (2) 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 3．解方程 (1) (2) 4．解方程 (1)； (2)． 5．求下列各式中的值： (1) (2) 【题型03：平方根、算术平方根与立方根有关综合运算】 1．已知的平方根是，的算术平方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 2．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 3．一个正数的两个平方根分别是． (1)求的值； (2)求的立方根． 4．已知的平方根是，的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的和的算术平方根． 【题型04：与算术平方根有关的规律探索题】 1．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 2．【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 3．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 4．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【题型05：与立方根有关的规律探索】 1．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 2．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 3．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【题型06：无理数的概念】 1．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 2．在实数，0，，，，，（相邻的两个2之间依次多1个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在，，1.010010001…，，，，这6个数中，无理数共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型07：无理数大小估算】 1．若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．已知介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．估计的值在（ ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【题型08：无理数整数部分的有关计算】 1．是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 2．阅读材料，回答以下问题： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ，， 即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． (1)利用材料一中的方法，的小数部分是__________； (2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【题型09：实数的性质】 1．实数的绝对值是 ． 2．的相反数是 ，绝对值是 ． 3． ，的相反数 ，的平方根 【题型10：实数与数轴】 1．如图，为原点，，，以点圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 2．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 3．如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为 ． 4．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【题型11：程序设计与实数的运算】 1．某数值转换器的程序如图所示，当输入的x为16时，输出的y为（   ） A．8 B．4 C．2 D． 2．下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 1．计算的算术平方根为（    ） A． B．2 C．4 D． 2．估计实数的值，它的所在范围是（    ） A．在5与6之间 B．在6与7之间 C．在7与8之间 D．在8与9之间 3．的平方根是 ． 4．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为 ． 5．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． (1)填空：的整数部分的值为________； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $