专题02 全等三角形（期中复习课件）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学课件聚焦八年级上册全等三角形专题，涵盖概念、性质、判定、应用及角平分线性质与判定，通过期中考情分析导入，衔接必备知识，搭建从基础概念到性质判定再到重难题型的学习支架。 其亮点是以“破-重难题型”为核心，包含动态问题、辅助线添加等题型，如“一线三垂直”模型培养几何直观，实际测量方案发展应用意识。分层验收设计助力学生巩固提升，教师可借助系统题型落实数学思维与数学语言素养，提高教学效率。

专题02 全等三角形 八年级数学上学期 期中复习大串讲 人 教 版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 全等图形的识别 能准确描述三角形各部分名称，明确三角形的定义 基础必考点，常结合图形在小题中考查对概念的识别 全等三角形的性质 能根据角或边的特征，正确对三角形进行分类 高频考点，易因混淆分类标准而出错，多在选择题或填空题中出现 全等三角形的判定 掌握 “三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，并能运用此关系判断三条线段能否组成三角形、求线段的取值范围等 重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决三角形边长相关问题的基础 全等三角形的相关热考模型 理解并能灵活运用三角形内角和为180°，以及直角三角形两锐角互余等推论进行角度计算与证明 核心考点，贯穿三角形角度相关题目，在计算、证明题中高频出现 角平分线的性质与判定 能运用三角形外角性质进行角度的计算与推导 常与内角和定理结合考查，在几何证明与计算中应用广泛 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 全等三角形的概念 知识点01 全等形的概念： 能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质： 全等形的形状相同、大小相等. 【解读】 全等形只与它们的形状和大小有关，与它们的位置无关. 特征 ①形状相同. ②大小相等. ③对应边相等、对应角相等. ④周长、面积相等. 全等用符号“≌”， 读作“全等于” 全等三角形的概念 知识点01 全等三角形的概念 【补充】 1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的表示： △ABC≌△DEF A B C D E F 全等三角形的概念 知识点01 全等三角形的对应元素： 两个三角形全等， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边， 互相重合的角叫做对应角. 书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 补充 △ABC≌△DEF A B C D E F 常见的全等变换 平移变换 翻折变换 旋转变换 经过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 8 全等三角形的性质 知识点02 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形） 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. △ABC≌△DEF A B C D E F 全等三角形的判定 知识点03 1）边边边定理： 有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3）角边角定理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理： 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边： 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 判定两个三角形全等的思路： 证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法 全等三角形的判定 知识点03 1）应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小. 2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测最长度的线段的长，例如测最河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段. 其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等. 三角形全等的应用 知识点04 E ∟ 角平分线的性质与判定 知识点5 用符号语言表示为： ∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 1.角平分线的性质定理： 定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． O A B P D ∟ 性质：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为： ∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 2.角平分线的判定定理： 1 2 E ∟ O A B P D ∟ 1 2 图形 已知 条件 结论 两个定理是将题设(已知)和结论互换，因此在证明两个直角三角形全等时，应用的条件和所依据的定理是不同的. 角平分线的性质与判定 知识点5 【补充】 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. E ∟ O A B P D ∟ 1 2 3. 角平分线的性质定理与判定定理的联系与区别 角的平分线的性质 OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 E ∟ O A B P D ∟ 1 2 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 全等三角形概念 题型一 解｜题｜技｜巧 判断是否为全等图形，主要看这几个图形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 解： ， 与相对应， ， 与相对应， 全等三角形概念 题型一 D 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（    ） A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同 C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同 A 3．（24-25八年级上·江西上饶·期中）2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 解： A、不是全等形，则此项不符合题意； B、不是全等形，则此项不符合题意； C、是全等形，则此项符合题意； D、不是全等形，则此项不符合题意； 全等三角形概念 题型一 C 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ， 对应角是 ； (2)，对应边是 ， 对应角是 ； (3)，对应边是 ， 对应角是 ； (4)，对应边是 ， 对应角是 ． 全等三角形概念 题型一 解｜题｜技｜巧 利用全等三角形的性质求线段的长和角的度数关键是找出对应边和对应角，根据全等三角形的对应边、对应角相等来求解，同时常常结合三角形的内角和或外角的性质进行计算. 利用全等三角形的性质求解 题型二 5．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ， ， ， ， ， 利用全等三角形的性质求解 题型二 C 6．（21-22八年级上·贵州黔南·期末）如图，已知，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作交于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 利用全等三角形的性质求解 题型二 B 7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． （2）与的周长和： ． 利用全等三角形的性质求解 题型二 （1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴； 8．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为 ，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． （2）解：当时， 的形状为直角三角形， ∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 利用全等三角形的性质求解 题型二 直角三角形； （1）证明： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 8．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (3)探究：当为 _________度时，是等腰三角形． 利用全等三角形的性质求解 题型二 （3）解：∵是等边三角形 ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是等腰三角形， ∴当时， ，解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当为125或140或110度时， 是等腰三角形． 125或140或110． 解｜题｜技｜巧 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 添加条件使两个三角形全等 题型三 9．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 解：， ， A．添加可得， 可利用判定，故此选项不合题意； B．添加可利用判定， 故此选项不合题意； C．添加不能判定， 故此选项符合题意； D．添加可利用判定， 故此选项不合题意； 添加条件使两个三角形全等 题型三 C 10．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①； ②； ③； ④； 其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 解：①，，，可根据判定； ②，，，可根据判定； ③，，，可根据判定； ④，，，不能判定； 故选：． 添加条件使两个三角形全等 题型三 11．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，在和中，还需再添加一个条件才能使，则不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∵， ∴， A、当时，则， 而，， ∴， 故不符合题意； B、， 不能证明全等，符合题意； 添加条件使两个三角形全等 题型三 B C、，，， ∴，故不符合题意； D、，， ∴，故不符合题意； 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是上一点，交于点， ，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是 __________． 解:∵， ∴，而， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故答案为：或或（写出一个即可）． 添加条件使两个三角形全等 题型三 或或 13．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 解：不能．选择①， ， ， ， 在和中， 添加条件使两个三角形全等 题型三 ∵， ， ， ； 13．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 添加条件使两个三角形全等 题型三 选择②， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． （1）证明 在与中 添加条件使两个三角形全等 题型三 （2） 1）若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定； 若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定. 2）在全等三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法： SSA和AAA. 选用合适的方法证明三角形全等 题型四 【易错点】 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等腰中，，为外一点，连结、，在上取一点，连结、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． （1）证明：， ， ， ， ， ， 选用合适的方法证明三角形全等 题型四 在和中， ； 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等腰中，，为外一点，连结、，在上取一点，连结、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． （2）解：，， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， 选用合适的方法证明三角形全等 题型四 ， ， ． 16．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 选用合适的方法证明三角形全等 题型四 17．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：． 证明： ， ， ． 在和中， ， ， ． 选用合适的方法证明三角形全等 题型四 解｜题｜技｜巧 依据三角形全等的条件证明三角形全等从而得等边、等角，这类问题题目条件和结论一般都指向于同一对三角形，属于全等条件比较直接的类型，一次全等便可解决问题. 重难点一: 证一次全等 全等三角形性质与判定综合 题型五 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的高线，，交于点，且．(1)求证：；(2)若，，求的面积． （1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 全等三角形性质与判定综合 题型五 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． （1）证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 全等三角形性质与判定综合 题型五 (1)求证：；(2)若平分，，求的长． 20．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． 全等三角形性质与判定综合 题型五 (1)求证：；(2)若平分，，求的长． （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， 由（1）知，∴． 21．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ （1）证明：四边形是正方形， ，， 是延长线上一点， ． 在和中， ， ， ． 全等三角形性质与判定综合 题型五 21．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ 全等三角形性质与判定综合 题型五 2）解：成立，理由如下： ， ． 又， ． ， ． 在和中， ∵ ， ， ． 又， ． 解｜题｜技｜巧 重难点二 :证两次全等 这类问题题目条件和待求问题一般不是指向于同一对三角形，即由条件较容易得出的全等三角形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条件，于是证两次全等便可解决问题. 全等三角形性质与判定综合 题型五 22．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图， ，，，连接，，在上，作，交的延长线于． (1)试说明：； (2)求的度数； (3)试说明：． （1）解：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； 全等三角形性质与判定综合 题型五 22．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图， ，，，连接，，在上，作，交的延长线于． (1)试说明：； (2)求的度数； (3)试说明：． 全等三角形性质与判定综合 题型五 （2）∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 22．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图， ，，，连接，，在上，作，交的延长线于． (1)试说明：； (2)求的度数； (3)试说明：． 全等三角形性质与判定综合 题型五 （3）延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． G 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴ ， ∴． 23．（24-25八年级上·天津·期末）已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F， 求证：． （2）证明： 如图：过E作交于点G， ∴， 又∵， ∴， 全等三角形性质与判定综合 题型五 （1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． G 又∵为等边三角形， ， ∴， 23．（24-25八年级上·天津·期末）已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． （2）证明：如图：过E作交于点G， ∴， 又∵ ， ∴， 全等三角形性质与判定综合 题型五 G 又∵为等边三角形， ， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末） 【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 全等三角形性质与判定综合 题型五 （1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， 在与中， ∵， ∴≌； 全等三角形性质与判定综合 题型五 24．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末） 【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出 ______； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末） 【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 全等三角形性质与判定综合 题型五 在和中， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 全等三角形性质与判定综合 题型五 ， 即， ， ， 即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 25．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 证明：过点作于点， 过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质得， ， 由旋转的性质得 ， ， ， 即， 全等三角形性质与判定综合 题型五 又， ， ， ， ， ， 是的中点． 解｜题｜技｜巧 重难点三 :证明线段、角相等 由于全等三角形具有对应边、对应角相等的特性，因此在证明线段、角相等时，可以找出边，角所在的三角形，然后寻找条件证明这两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边、对应角相等. 全等三角形性质与判定综合 题型五 26．（23-24八年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点E在上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． （1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 全等三角形性质与判定综合 题型五 26．（23-24八年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点E在上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ． 全等三角形性质与判定综合 题型五 27．（21-22八年级上·全国·期中）如图所示，和都是等边三角形，且B、A、E在同一直线上，连接交于M，连接交于N，连接．求证： (1)；(2)． （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴； 全等三角形性质与判定综合 题型五 27．（21-22八年级上·全国·期中）如图所示，和都是等边三角形，且B、A、E在同一直线上，连接交于M，连接交于N，连接．求证： (1)；(2)． （2）证明：由（1）可知，， ∵， 又∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 全等三角形性质与判定综合 题型五 28．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：； （1）证明：， ， ， ， ， 全等三角形性质与判定综合 题型五 在和中， ， ， （2）解：， ， 在和中，， ， ， ． 28．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：； 全等三角形性质与判定综合 题型五 ， ， ． 28．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：； 全等三角形性质与判定综合 题型五 （3）证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 29．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且 垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． （1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴； 全等三角形性质与判定综合 题型五 （2）解：∵， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴． 解｜题｜技｜巧 重难点四 ：证线段的位置关系 全等三角形在几何题目中的应用,除了证明线段和角的相等关系外,还会涉及证明线段的位置关系一类的题目,这类题目常见的描述方式是;利用全等得到角或边的关系,通过等量代换找到平行或垂直的条件. 全等三角形性质与判定综合 题型五 30．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（不与点重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． （1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 全等三角形性质与判定综合 题型五 66 30．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（不与点重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． （2）证明：如图，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 全等三角形性质与判定综合 题型五 30．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（不与点重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． （3）解：，理由如下， 由（）知， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 全等三角形性质与判定综合 题型五 ∴， ∴， ∴， ∴． 68 31．（2014·山东泰安·一模）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． （1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， 全等三角形性质与判定综合 题型五 31．（2014·山东泰安·一模）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 全等三角形性质与判定综合 题型五 （2）解：，理由如下： 如图，设与于G， ∵， ， ，， ， 解｜题｜技｜巧 重难点五 ：【跨章节】多结论问题 对于全等三角形的多结论问题,应利用全等三角形的判定与性质对每一个结论逐一推导和证明 全等三角形性质与判定综合 题型五 33．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论： ①； ②是等边三角形； ③； ④； ⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 全等三角形性质与判定综合 题型五 D 34．（20-21八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 全等三角形性质与判定综合 题型五 B 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得 ， 在中由三角形外角的性质可得 ， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知， 故④不一定正确， 35．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点． ①； ②若，则 ； ③； ④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 全等三角形性质与判定综合 题型五 B 36．（24-25八年级上·全国·期末）如图，D为外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的是 ． 解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故②正确； 全等三角形性质与判定综合 题型五 ∵， ∴， 如图与交于点， 则， ∴ ， ∴， 故③正确； ∵，∴， 而， ∴与不平行， ∴， 故④错误． ①②③ 解｜题｜技｜巧 重难点六: 动点问题 全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题,通过动点在运动过程中引起的角度变化、线段长度变化,探究其中不变的量(角度、长度、形状等),在解题过程中,要善于抓住图形中的变与不变,以不变解决变. 全等三角形性质与判定综合 题型五 37．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 解：设点E运动的时间为， 如图，点E从点B出发沿射线方向运动， ∵为边上的高，∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴，解得； 全等三角形性质与判定综合 题型五 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动， 则， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当点E运动或时，， 7或3 38．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 解：设运动的时间是秒， （厘米）， 厘米， ， 当，时， ， ，，运动的时间相等， 的运动速度是2厘米秒； 当，时， ， 是中点， 厘米， 全等三角形性质与判定综合 题型五 ∵， ∴， ， ∴厘米/秒． 当点的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时 与全等． 故答案为：2或． 2或 39．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 全等三角形性质与判定综合 题型五 2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵，∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； 全等三角形性质与判定综合 题型五 （1）证明：如图， ∵是等边三角形∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中， 线段的长不发生变化，； 全等三角形性质与判定综合 题型五 (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． (3)当时，请直接写出的长． 全等三角形性质与判定综合 题型五 解｜题｜技｜巧 重难点七 :证线段存在的数量关系 1)证明两条线段相等时，若两条线段在一个三角形中，一般考虑利用“等角对等边”证明;若两条线段不在同一个三角形中，则一般利用全等三角形的判定与性质证明. 2)证明两条线段之和等于较长线段时，通常可借助截长补短法，构造全等三角形，将两条较短线段转化到一条线段上证明. 全等三角形性质与判定综合 题型五 40．（24-25八年级上·全国·期末）【问题引领】 （1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌． 他得出的正确结论是___________． 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． 全等三角形性质与判定综合 题型五 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌． 他得出的正确结论是___________． 【详解】解：问题1，如图1， 延长到点G．使．连接 ∵， ∴， ∴ ， 全等三角形性质与判定综合 题型五 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴， 即， ∵ ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 故他得到的正确结论是：； 问题2，问题1中结论仍然成立，如图2， 理由：延长到点G．使．连接， ∵ ，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴ 即， 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 即； 解：不成立，结论：，理由如下： 如图3，在上取一点G．使．连接， 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由． ∵ ，， ∴，即 ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴， 即， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴． 即． 41．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 全等三角形性质与判定综合 题型五 解：（1）、与之间满足的数量关系为： ； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． （2）①在等腰直角中， ，， ，             于点， 于点， ， ，               ，，         ；  在和中， ， ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得   【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 解｜题｜技｜巧 重难点八： 解决实际问题 根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题. 全等三角形性质与判定综合 题型五 43．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一、设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． (1)为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A．   B．    C．    D． (2)请用所学知识说明乙方案的合理性； 全等三角形性质与判定综合 题型五 （1）解：甲方案： 在与中， ， ∴， ∴， (1)为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A．   B．    C．    D． (2)请用所学知识说明乙方案的合理性； （2）解：乙方案： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． B 44．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量电线塔的距离． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量电线塔的距离？ 测量示意图 测量说明 小刚站在河边的A点处，他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步 全等三角形性质与判定综合 题型五 组内探究：由于河中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是某同学的测量方案： (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． 1）解：如图所示： 先画一条水平直线代表河边，在直线上 取点表示小刚最初的位置；从点向正前方画一条线段，按比例取步的长度确定点，表示树的位置； 再从点继续向正前方画线段，按比例 取一定长度(这里未明确后续行走步数对应的长度，不影响整体思路)，然后向左转画一条线段，当小刚走到电线塔、树与自己现处的位置成一条直线 时，确定终点位置； 成果展示：下面是某同学的测量方案： (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． （2）∵小刚站在河边的点处，向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处， ∴ 在和中， ， ， ， ∵当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他共走了140步， ∴从点到点走的步数， 成果展示：下面是某同学的测量方案： (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． 又∵小刚一步大约米， 米， 故小刚在点处时他与电线塔的距离为米． 45．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，即五边形，其中，，连结对角线 (1)与之间的数量关系为 ____________； （1）解：∵， ， ∴， ∴， 全等三角形性质与判定综合 题型五 (2)为保护田内农作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈栅栏，已知每米栅栏的建造成本是50元，则建造栅栏共需花费多少元？ (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为18克，则需要提前准备小麦种子____________千克． （2）解：如图，延长至点G，使，连接 ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， (2)为保护田内农作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈栅栏，已知每米栅栏的建造成本是50元，则建造栅栏共需花费多少元？ 在与中， ∴， ∴， ∴ ， 五边形的周长 ， （元）． 答：建造木栅栏共需花费12000元； （3）解：∵由（2）得， ∴， ∴ ， ∴需小麦种数量为： （千克）， 故答案为：32.4． (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为18克，则需要提前准备小麦种子____________千克． 32.4 解｜题｜技｜巧 通过添加辅助线求解 题型六 46．（2020·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H． （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 通过添加辅助线求解 题型六 46．（2020·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H． （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； 解：（1）证明： 在线段上截取， 连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 通过添加辅助线求解 题型六 ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）当点在线段延长线上时， 如图2： 在的延长线上截取，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵∴ （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 当点在线段延长线上时， 如图3：当点在线段延长线上时， 在线段上截取，连接， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴，， 且 ∴ ∴ ∵ ∴ 47．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 通过添加辅助线求解 题型六 C ； （3）延长到M，使， 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 49．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． （1）证明：延长、交于点， 是的角平分线， 交的延长线于点， ， 在和中， ， 通过添加辅助线求解 题型六 ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：作于点， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， 三角形的面积为． 49．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 通过添加辅助线求解 题型六 50．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习） （1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， 结合尺规作图的全等问题 题型七 ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2）， 理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， 50．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习） （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 结合尺规作图的全等问题 题型七 ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 51．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为． 每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点． 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上， 不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 结合尺规作图的全等问题 题型七 F （1）如图即为所求； （2）如图：即为所求 （3）如图：即为所求 52．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 结合尺规作图的全等问题 题型七 F （1）解：如图1， 即为所求 （2）解：如图2， 即为所求， （3）解：如图3， 即为所求 解｜题｜技｜巧 角平分线性质与判定综合 题型八 平分， 交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； 53．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． （1）证明：， 交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点 于点， 角平分线性质与判定综合 题型八 M ∟ N ∟ 115 （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 53．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 角平分线性质与判定综合 题型八 M ∟ N ∟ 54．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由 （1）证明：△与△都是等边三角形， ， ，， ， 在△与△中， ， ， ； 角平分线性质与判定综合 题型八 （2）解： ， ， ， ∴； ∴， 作， ∵，， ∴，∴平分， ∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐵𝑃𝐸=60° （3）解：， 证明：如图，在线段上截取，连接 ， ， 在△与△中， ， ， 54．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由 角平分线性质与判定综合 题型八 ，， ， △是等边三角形， ， ， 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练 1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积 （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 2．（20-21八年级下·山西太原·阶段练习）如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 期中基础通关练 证明：连接BD，如图， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴． 期中重难突破练 62．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，等腰三角形中，，，D是的中点，M是上的动点，N是上的动点．M点由B向C运动，同时，N点由C向A运动． (1)M点的运动速度为 /秒，t秒后，=_________cm（用含t的代数式表示） (2)M点的运动速度为 /秒，且N点的速度与M的速度相等，若t秒后，，问与全等吗？请说明理由，并求出t的值． (3) M点的运动速度为 /秒，若N点的速度与M点的速度不相等，当N的运动速度为多少时，能使与全等？ （1）解：由题意知，， ∴， 期中重难突破练 62．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，等腰三角形中，，，D是的中点，M是上的动点，N是上的动点．M点由B向C运动，同时，N点由C向A运动． (2)M点的运动速度为 /秒，且N点的速度与M的速度相等，若t秒后，，问与全等吗？请说明理由，并求出t的值． （2）解：与全等，理由如下： 由题意知，， ∵，∴， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即，解得，； 期中重难突破练 62．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，等腰三角形中，，，D是的中点，M是上的动点，N是上的动点．M点由B向C运动，同时，N点由C向A运动． (3) M点的运动速度为 /秒，若N点的速度与M点的速度不相等，当N的运动速度为多少时，能使与全等？ （3）解：由题意知，，， 设N的运动速度为秒，则， 由题意知，分，两种情况求解： 当时，，， ∴，， 解得，，， ∴N的运动速度为秒； 当时，，，（舍去）； ∴当N的运动速度为秒时，能使与全等． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $