专题14 二元一次方程组参数问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14二元一次方程组参数问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据整数解求参数 类型二、根据解的情况求参数 类型三、根据解的关系求参数 压轴专练 典例详解 类型一、根据整数解求参数 x+2y-6=0 例1.已知关于x,y的方程组 x-2y+mx+5=0,若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为 A.-1 B.1 C.3 D.-3 x-2y=0的解为正整数，则所有满足条件的整数m之和是」 2x+my=15 变式1-1.关于x,y的二元一次方程组 x=m-1 变式1-2.已知关于x,y的方程组 x+y=26的解满 x-y=a =3n+2'其中m,都是实数，且m-”=5.若 a,b均为正整数，则符合条件的整数的个数为() A.3 B.5 C.7 D.9 1/6 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式13.已知：方程组 x-2y=3张-的解中，x是非负数，y是正数.求所有满足题意的整数的和。 x+y=2k+3 变式1-4.已知关于x,y的方程组 x+2y=3 x-2y+mx=-5 (1)请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解， (2)若该方程组的解也满足方程x+y=2,求m的值. 类型二、根据解的情况求参数 例2.若关于x,y方程组 x-y=2 4x+-1有无数组解，则a与b的值分别是（) A.a=4,b=-1 B.a=4,b=1 C.a=2,b=1 D.=8,b=- 变式2-1.关于x,y的方程组 x+ay-1=0 bx-2y-1=0有无数组解，则a+b=一 2/6 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2-2.若关于x,y的方程组 x+ay+1=0 bx-2y+1=0 有无数组解，则√(ab)2=一 变式23.要使方程组 3x-12=3 少有正整数解，则整数a有—个。 x=2y 变式2-4.若关于x,y的二元一次方程组 mx+y=3 5x+3y=15 的解是整数，则满足条件的整数m的和是一 变式2-5.已知关于x,y的方程组 4x-y=5,和{ 3x+y=9 ax+by =-1" 3ar+4hy=18的解相同，求a,b的值. 3/6 而学科网·上好课 上好每一堂课 类型三、根据解的关系求参数 例3.若关于x、y的方程组 3y-2x=3a-2的解满足x+3y=7,则a等于() 5x-2a=3-6y A.3 B.4 C.-3 D.-4 [3x-2y=5 变式31.已知关于y的二元一次方程组4红-3m2引)=13的解y互为相反数，则m的值为（） A.1 B.-5 c.5 D.14 变式42.若关于x、y的方程组 2x+3y=33x-2y=11 ax-by=-5 x-@-1有相同的解，则(a+b的值为() 和 A.-1 B.0 C.1 D.2025 3x-y=5, 2x+3y=-4, 变式43.若关于x,y的二元一次方程组 。n与方程组 4ar+5by=-22 -y=8”有相同的解，则a+b的值 为一 4/6 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 压轴专练 x+2y=2k 1.若关于x,y的二元一次方程组 4r-y=5认的解满足x-y=1,则k的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 [3x-y=4k-5 2.若方程组 的解中x+y=2024,则k等于() 2x+6y=k A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 4x+3y=2k+2 3.若方程组 的解x、y的值互为相反数，则k的值为() 2x+y=k A.2 B.3 C.-2 D.-1 5x-2m=7y-3 4.若关于x、y的方程组 的解满足x-y=9,则m等于() 3y-2x=3m-2 A.3 B.-1 C.-3 D.2 3x+2y=m+3 5.若方程组 2x-y=2m-1 的解互为相反数，则=一 6.关于x,y的方程组 x-y=1-3m 2x+y=8-3m 下列说法正确的是 (填序号). ①x,y,m的和为定值： ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数. [3x-y=5 7.己知关于x、y的方程组 4r+=-2和 2x+3y=4 有相同的解，求： ax-by=8 (1)它们相同的解； (2)(-a的值. 5/6 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x+(n+1y=n+2 8.关于x,y的方程组 (n是常数). x-2y+mx=-5 (1)当n=1时，直接写出第一个方程x+2y=3的所有非负整数解： (2)当n=1时，该方程组的解也满足x+y=2,求m; (3)当n=3时，如果方程组也有整数解，求整数m. 9.已知关于x的方程组 2x-3y=3的解和 2ax+3by=3 的解相同.求a-b的值. ax+by=-1 3x+2y=11 10.已知关于x,y的方程组 Tr+26y与6x+a-y=3有相同的解. x-y=3 (1)请求出这个相同的解： (2)求a,b的值. 6/6 专题14 二元一次方程组参数问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据整数解求参数 类型二、根据解的情况求参数 类型三、根据解的关系求参数 压轴专练 类型一、根据整数解求参数 例1．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D． 【答案】AD 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， ①②得， 解得， 为整数，为整数， ， 的值为或． 故选：AD． 变式1-1．关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 变式1-2．已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解含参二元一次方程组，先求出方程组的解为，求出、的表达式，由得出、等式，求出正整数解，即可求解；能熟练求解含参二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：解方程组得： ， ， 解得：， ， ， 整理得：， ，均为正整数， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 的值为、、，共个； 故选：A． 变式1-3．已知：方程组的解中，是非负数，是正数．求所有满足题意的整数的和． 【答案】6 【分析】将当成常数，解二元一次方程组组，根据题意得，求出的范围即可得到答案． 【详解】解：解该方程组得 ，∵ ， ∴，解该不等式组得 ， 又∵k为整数 ，∴k =0，1，2，3， 则所有整数的和为0+1+2+3 = 6． 【点睛】本题考查含参二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法，读懂题意，根据要求正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 变式1-4．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)，；(2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 类型二、根据解的情况求参数 例2．若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可． 【详解】解∶ ，得， ∵方程组有无数组解， ∴，， ∴，， 故选∶D． 变式2-1．关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，由题意可①②得，然后问题可求解．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，． ∴ 故答案为：． 变式2-2．若关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数和算术平方根，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键． 根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解， ∴方程和方程是同一个方程， ∴， ∴， 故答案为：2． 变式2-3．要使方程组有正整数解，则整数有 个． 【答案】4 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 即方程组的解是， ∵方程组有正整数解， ∴或2或4或8， 解得：或或或，即整数有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 变式2-4．若关于x，y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的整数的和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．先求出二元一次方程组的解，根据解为整数，求出的值，再进行计算即可．熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 【详解】解：解，得：， ∵解是整数，也是整数， ∴， ∴， 当时，，当时，，满足题意， ∴满足条件的整数的和为； 故答案为：． 变式2-5．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】；7 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出的解，再代入，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组， ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴， 把代入方程组， 得， 同理解得：， ∴的值为，的值为7． 类型三、根据解的关系求参数 例3．若关于、的方程组的解满足，则等于（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，以及代数式求值，将两方程相加得到，然后代入求解即可． 【详解】解：， 整理得：， 得：，即 ， ， 解得：， 故选：B． 变式3-1．已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到，得到，求得，再得到，进一步计算即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y互为相反数， ∴∴， ∴，∴，解得， 故选：C． 变式4-2．若关于、的方程组和有相同的解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：联立方程：， 得：， 得：， 得：，解得：， 把代入得，解得：， 因此，方程组的解为， 将代入得， ， 得：， ∴， ∴， 故选：． 变式4-3．若关于的二元一次方程组与方程组有相同的解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组，是解题的关键． 联立不含a与b的方程，组成方程组，求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】联立得：， 得：，解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为， 把代入得：，即， 得：，解得：， 把代入④得：， ∴， 故答案为：5 1．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，利用整体思想求解是解题的关键． 将两式作差，得到，易得，再结合即可解答． 【详解】解：， 由得，即， ∵ ∴。 故选A． 2．若方程组的解中，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题通过将方程组中的两个方程相加，消去参数，得到的表达式，再结合已知条件，直接求解的值； 【详解】解：原方程组为： 将方程和方程相加，得： 整理得： 两边同时除以5，得到： 已知，代入上式得： 解得： 因此，的值为， 故选：B； 3．若方程组的解、的值互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，方程组的解、的互为相反数，即．将此关系代入方程组，解关于k的方程即可． 本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用方程组的解法，本题属于基础题型． 【详解】解： ∵、的值互为相反数，∴， 将代入②，得：，解得， ∴， 将，代入①，得： ， ，解得， 因此，k的值为． 故选：C． 4．若关于x、y的方程组的解满足，则m等于（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，利用加减消元法可得，再由得到，解方程即可得到答案． 【详解】解： 整理得：， 得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．若方程组的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据方程组的解互为相反数，得到，代入方程组计算即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：，即， 代入方程组得：， 整理得， 可得， 解得：． 故答案为：． 6．关于x，y的方程组，下列说法正确的是 （填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 先按照解二元一次方程组的一般步骤，解方程组，求出x，y，再求出，从而判断①的正误；根据①中求出的，x为整数，判断是否为整数，再判断m，y是否为整数，从而判断②的正误；根据①中求出的，y为整数，判断m，x是否为整数，从而判断③的正误即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ， 把代入①得： ， ， ， ①的说法正确； ，x为整数， 为整数， 当时，也是整数， 当x为整数时，m和y不一定为整数， ②的说法错误； ，y为整数， 为整数， 为整数， ， 也是整数， ③的说法正确； 综上可知：说法正确的是①③， 故答案为：①③． 7．已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得． （2）解：∵也是方程的解， ∴， 解得， ∴． 8．关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【答案】(1)， (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． （1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解； （2）先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （3）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； （2）∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （3）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组有整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 9．已知关于的方程组的解和的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力． 根据题意可得方程组的解和的解相同，求出方程组的解，再代入得到关于a，b的方程组，即可求解． 【详解】解：∵方程组的解和的解相同， ∴方程组的解和的解相同， 解方程组得：，把代入得：，解得：， ∴． 10．已知关于，的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求，的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）联立两方程组中不含a，b的方程求出相同的解即可； （2）把求出的解代入剩下的方程中，再联立方程组求出a与b的值即可． 【详解】（1）根据题意，得：， 解得：； （2）将代入方程组，得：， 解得：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $