精品解析：辽宁省大连市第八中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期高二年级期中考试数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求直线的斜率，再根据斜率求直线的倾斜角. 【详解】直线可化为， 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C 2. 已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 由直线平面，得，则，即，所以. 故选：C 3. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 5. 已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】取点关于直线对称点，设， 则，解得，即， 则， 当且仅当、、三点共线时取等. 故选：D. 6. 已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】讨论焦点所在坐标轴求出，进而确定求出离心率. 【详解】因为椭圆的焦距等于，所以， 若椭圆焦点在轴，则，解得，所以； 若椭圆焦点在轴，则，解得，所以. 所以其离心率为或， 故选：A. 7. 如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理表示，再结合空间向量数量积的运算性质求即可. 【详解】因为，，，所以. 又，所以. 因为，，，，， 由， 所以. 所以. 故选：B 8. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，所求范围为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知直线和直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两直线平行求的值，可判断AB的正误；根据两直线垂直求的值，可判断CD的真假. 【详解】由或. 故A正确，B错误； 由. 故CD正确. 故选：ACD 10. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴、轴和原点对称 B. 当时，曲线围成的区域内（含边界）共含有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C. 当时，曲线围成的区域面积大于 D. 当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，对称点满足的方程与原方程关系判断；对于B，求出的范围，由确定整点；对于C，与圆比较判断；对于D，距离最大的两点必对称，计算关于原点对称的两点的距离最值判断. 【详解】对于A：将换为，方程变为，与原方程一致， 故曲线关于轴对称； 将换为，方程变为，与原方程一致， 故曲线关于轴对称； 将换为，且将换为，方程变为，与原方程一致， 故曲线关于原点对称，故A正确； 对于B：当时，曲线方程为，区域内的整点满足. 由，解得， 当时，满足的整数值为，对应整点为， 当时，满足的整数值为，对应整点为， 当时，满足的整数值为，对应整点为， 所以曲线围成的区域内（含边界）共含有个整点，B错误； 对于C：当时，曲线方程为，我们将其与圆（面积为）比较， 由得，所以， 对于，，所以，即曲线围成的区域包含圆围成的区域， 同时，曲线在时与圆一致；在时也与圆一致，但中间部分更“宽”， 因此其面积大于，C正确； 对于D：当时，曲线方程为，因为曲线关于轴、轴和原点对称， 所以距离取得最大值的两点必对称. 当两点关于原点对称时，设一点为，则其对称点为， 两点距离，最大值为， 故D错误； 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（ ） A. 的长度的最大值为 B. 若平面，则 C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据两点间距离公式、线面垂直的性质、正方体截面的性质，结合空间向量夹角公式、基本不等式逐一判断即可. 【详解】A：建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，当时，的长度的最大值为， 此时点与点重合，故A选项正确； B：，设平面的法向量为， ，， 所以有，可取， 当平面时，则有，则有， 即，，， 显然，故B选项正确； C：双向延长，分别交、于点，连接，分别交于点，如图所示，截面是五边形， 显然， 由平面几何知识可知， 因为，所以， 得，同理，可得， 于是，， ，， 所以平面截正方体所得截面的周长为，因此C选项不正确； D：由上可知平面的法向量为，， 直线与平面所成角的正弦值为， 因为， 所以有，当且仅当时取等号， 于是有，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值最大为，因此D选项正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 已知一个圆与轴相切，其圆心在射线上，且被直线截得弦长为，则此圆的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，可得圆的半径为，根据弦长列式，可求的值，从而确定圆的方程. 【详解】因为圆心在射线上，所以可设圆心为，， 又因为圆与轴相切，所以圆的半径为，. 所以圆的方程为. 因为圆被直线截得弦长为， 所以，又，所以. 所以所求圆的方程为：. 故答案为： 13. 在四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点，则直线与平面的距离为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，证明直线到平面的距离即长度，再求结论. 【详解】因为底面，且底面为矩形，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，设， 则，所以， 所以， 因为点是棱的中点，且，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面， 因为四边形为矩形，所以， 又平面，所以平面， 所以到平面的距离即点到平面的距离，即的长度， ，即所求距离为， 故答案为：. 14. 若为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为2. 因为 . 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，若的面积是，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，即可求解； （2）分直线的斜率为0和不为0的两种情况，当直线的斜率不为0时，设，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长和面积，即可求解. 【小问1详解】 由题意：， 所以. 又因为， 所以， 故椭圆的方程为 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程组，得， ，， ， ， 直线的方程为或， 即直线的方程为或. 16. 如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）求多面体的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）； （2）用异面直线的空间向量求法求解； （3）假设存在，由面面垂直的向量判定方法列式求解. 【小问1详解】 因为，即，又， 平面， 所以平面平面， 所以. 又平面， 所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则. 所以，设平面的法向量， 由， 令，得， 设平面即平面的法向量， 由， 得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 17. 已知三条直线：，且与间的距离是， （1）求的值； （2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由两平行线间的距离公式求解； （2）设存在点，由条件②、③分别得到点满足的直线方程，求两者交点判断. 【小问1详解】 与间的距离为， 即 ； 【小问2详解】 假设存在，设点，由条件②知，点在与平行的直线上，且 或 或， 由条件③知， ， 即或， 因为点在第一象限， （舍）， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③. 18. 如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动. （1）当为线段的中点时， ①求证：； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）设，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）①以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，， 因为分别是棱的中点，所以， 当为线段的中点时，则， ①因为，，所以，即； ②； （2）. 【解析】 【分析】（1）以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角． （2）由题设，设直线与平面所成的角为，由向量坐标法用表示出，设，设，由导数法求得范围. 【小问1详解】 ①略 ②因为，，设平面的一个法向量为， 由，，得，取，则， 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 则， 因为为锐角，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【小问2详解】 因为在线段上，且（）， 所以，可得，则， 因为，设平面的一个法向量为， 由，得，取，则， 设直线与平面所成的角为 则， 因为，所以，设，则， 所以，设，则， 设，可得的取值范围为， 所以的取值范围为， 即直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为. 19. 彭塞列定理是解析几何中与曲线的切线有关的著名定理．当曲线是圆时，有如下结论：C1和C2是两个圆（C2内含于C1），过C1上一点P0作C2的切线，交C1于另一点P1，再过P1作C2的另一条切线，交C1于另一点P2；如此反复，得到C1上的一系列点Pi（i = 0，1，2，…）．如果有自然数n≥3，使得Pn = P0，则对于C1上任一点Q0，按上述方式得到Q1，Q2，…，Qn，也有Qn = Q0．下面分别是n = 3和n = 4的图示． 已知圆C1：x2 + y2 = 4，C2：．解答下列问题： （1）在C1上取点作圆C2的两条切线，与C1分别交于A，B两点．判断直线AB与圆C2的位置关系并证明； （2）取C1上的点Q（x0，y0）作圆C2的两条切线，且两切线互相垂直． （i）求出满足条件的点Q的坐标； （ii）若两切线与圆C1分别交于点M，N，猜想直线MN与圆C2的位置关系，并运用彭塞列定理进行说明． 【答案】（1）直线AB与圆相切，证明见解析 （2）（i）点Q坐标为（）；（ii）直线MN与圆C1相切，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出过点圆C2的两条切线，从而可得A，B两点，判断圆C2直线AB的位置关系； （2）（i） 【小问1详解】 直线AB与圆C2相切，证明如下： 易知PA斜率存在，设为k，则直线PA的方程为． 因为直线PA与圆C2相切，所以有圆心C2到直线PA距离， 即 ，解得， 不妨取（负值为切线PB的斜率）， 联立 ， 消去y可得 一个解2为点P的横坐标，另一个解为点A的横坐标， 则点A坐标为 ， 易知点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为， 则直线AB的方程为， C2到直线AB的距离为，所以直线AB与圆相切； 【小问2详解】 （i）显然两条切线斜率均存在， 不妨设其中一条切线斜率为QM斜率为k，则QN斜率为． 直线QM的方程为：． 因为QM与圆C2相切，所以有① 由直线QN与圆C2相切，同理可得 ② 由①②可得 ， 当，即③ 将③代入①， 有 ， 解得，此时点Q（）； 当，同理可得，与1）相同． 综上，点Q坐标为（）； （ii）因为（1）中过圆C1上的点作圆C2的两条切线PA，PB， 而直线AB也与圆C2相切． 由彭塞列定理可知，过圆C1上任意点R作圆C2的两条切线，与圆C1分别交于S，T， 则有直线ST与圆C2相切． 特殊地，过点Q作圆C2的两条切线与C1分别交于M，N两点，有直线MN与圆C1相切． 【点睛】关键点点睛：本题的关键就是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高二年级期中考试数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 3. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 7. 如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知直线和直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴、轴和原点对称 B. 当时，曲线围成的区域内（含边界）共含有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C. 当时，曲线围成的区域面积大于 D. 当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（ ） A. 的长度的最大值为 B. 若平面，则 C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 已知一个圆与轴相切，其圆心在射线上，且被直线截得弦长为，则此圆的方程为___________. 13. 在四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点，则直线与平面的距离为___________. 14. 若为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，若的面积是，求直线的方程. 16. 如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）求多面体的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知三条直线：，且与间的距离是， （1）求的值； （2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由 18. 如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动. （1）当为线段的中点时， ①求证：； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）设，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 19. 彭塞列定理是解析几何中与曲线的切线有关的著名定理．当曲线是圆时，有如下结论：C1和C2是两个圆（C2内含于C1），过C1上一点P0作C2的切线，交C1于另一点P1，再过P1作C2的另一条切线，交C1于另一点P2；如此反复，得到C1上的一系列点Pi（i = 0，1，2，…）．如果有自然数n≥3，使得Pn = P0，则对于C1上任一点Q0，按上述方式得到Q1，Q2，…，Qn，也有Qn = Q0．下面分别是n = 3和n = 4的图示． 已知圆C1：x2 + y2 = 4，C2：．解答下列问题： （1）在C1上取点作圆C2的两条切线，与C1分别交于A，B两点．判断直线AB与圆C2的位置关系并证明； （2）取C1上的点Q（x0，y0）作圆C2的两条切线，且两切线互相垂直． （i）求出满足条件的点Q的坐标； （ii）若两切线与圆C1分别交于点M，N，猜想直线MN与圆C2的位置关系，并运用彭塞列定理进行说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $