3.7 二元一次方程组的应用（古代问题）教学设计 2025-2026学年湘教版（2024）数学七年级上册

教学设计 教学课题 3.7 二元一次方程组的应用（古代问题） 教学背景分析 从知识基础来看，学生在学习本节内容前，已熟练掌握二元一次方程组的定义与解法（代入消元法、加减消元法），能运用方程组解决 “行程”“和差倍分” 等现代生活场景的实际问题，具备从文字描述中提取等量关系、建立数学模型的初步能力；同时，学生在语文学习中积累了一定的古文阅读基础，能理解简单古文的字面含义（如 “今有鸡兔同笼”“上禾三秉，中禾二秉” 等短句），这为学习以古文为载体的古代数学问题奠定了知识与能力双重基础。 但古代数学问题与现代应用问题存在显著差异：其一，表述载体为古文，常包含古代特有的术语（如 “秉”“雉”“足”“亩” 等，分别对应 “捆”“鸡”“脚”“田地面积”），且语句简练、语序与现代汉语不同（如 “上禾三秉，共实三十九斗”，意为 “3 捆上等稻子，总共收获 39 斗粮食”），需要先完成 “古文翻译” 才能提取数学信息；其二，问题场景为古代生活，涉及农耕（分稻、量田）、交易（买布、换钱）、畜禽养殖（鸡兔同笼）等场景，学生因缺乏相关生活经验，难以快速理解场景中的数量关系；其三，核心数学关系隐藏较深，古代问题往往通过 “总数量”“总重量”“总价值” 等整体描述呈现关系，需结合现代数学思维拆解（如 “鸡兔同笼” 中 “头数” 对应 “总只数”，“脚数” 对应 “总脚数”，需转化为 “鸡的只数 + 兔的只数 = 总头数”“鸡的脚数 + 兔的脚数 = 总脚数”）。例如 “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，这类问题需先翻译古文，再梳理 “头”“足” 与 “鸡兔只数” 的关系，对学生的 “古文转译 + 数学建模双重能力” 提出了新要求。 教学目标 1. 能准确识别古代数学问题中的核心术语（如 “雉”“兔”“秉”“斗”“足” 等），结合上下文翻译古文表述，将古代问题转化为现代汉语描述的数学问题； 1. 能从翻译后的问题中，梳理古代生活场景对应的现代数学关系（如 “畜禽养殖” 对应 “和差倍分关系”，“农耕分产” 对应 “总量 = 单位量 × 数量”，“交易买物” 对应 “总价值 = 单价 × 数量”）； 1. 能根据梳理的关系，提炼出两个独立的等量关系（如 “鸡兔同笼” 中 “鸡数 + 兔数 = 总头数”“2× 鸡数 + 4× 兔数 = 总脚数”），规范列出二元一次方程组，熟练求解并检验结果（确保结果为非负整数，符合古代问题的实际场景，如 “只数”“捆数” 为整数），最终解决古代数学问题。 重难点 1. 引导学生完成 “古文翻译 — 场景关联 — 等量关系提炼” 的转化过程，准确提取古代问题中的两个独立等量关系，据此列出二元一次方程组。 1. 古代问题的本质是 “以古文为载体的二元一次方程组应用”，核心难点虽在 “古文转译”，但最终目标仍是通过方程组解决问题，因此 “提炼等量关系、列出方程组” 是教学的核心落脚点；同时，“古今转化” 是连接古代问题与现代数学工具的关键，只有掌握 “从古文描述中找总数量、总价值等关系” 的方法，才能将古代问题转化为熟悉的数学模型，这一技能不仅适用于古代问题，还能提升学生 “从复杂文字中提取数学信息” 的通用能力。 1. 教学中通过 “经典问题拆解”（以 “鸡兔同笼” 为例，逐句翻译古文，标注 “头”“足” 对应的数学量，再关联 “只数” 与 “脚数” 的关系）、“古今对应工具”（提供 “古代术语词典” 和 “场景 - 模型对应表”，如 “畜禽问题→和差倍分模型”“交易问题→总价模型”）、“分层练习”（从 “单一场景、简单术语” 的问题，如 “鸡兔同笼”，过渡到 “复杂场景、多个术语” 的问题，如 “农耕分产”），帮助学生掌握 “转译 — 建模 — 列方程” 的完整流程。 教学活动设计 教学环节 时长预估 老师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 5 分钟 1. 展示《孙子算经》书影和 “鸡兔同笼” 插画，提问：“我国古代数学著作中记载了一个有趣的问题：‘今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？’大家知道‘雉’‘足’是什么意思吗？能猜猜鸡和兔各有多少只吗？”2. 引导学生解读简单术语：“雉” 是鸡，“足” 是脚，“头” 是鸡和兔的头，初步翻译古文；3. 引出课题：二元一次方程组的应用（古代问题），说明本节课将学习用数学方法解决古代经典数学问题。 1. 观察图片，对古代数学著作产生好奇，尝试猜测 “雉是鸡，足是脚”，用凑数法尝试解题（如假设鸡 20 只、兔 15 只，计算脚数 20×2+15×4=100，接近 94）；2. 跟随老师翻译古文前半部分，理解 “35 个头” 是鸡和兔总只数，“94 只脚” 是总脚数；3. 明确学习目标，对用数学方法解决古代问题产生探索欲。 1. 用经典 “鸡兔同笼” 问题和古籍插画营造文化氛围，激发学生兴趣，感受古代数学魅力；2. 初步引导术语翻译，降低后续学习难度，为新知探究铺垫；3. 自然引出课题，让学生明确学习方向，聚焦 “古文转译 + 数学解题”。 二、新知探究 18 分钟 1. 突破古文术语与场景理解： （1）展示 “秉”“斗”“雉”“匹” 等古代术语的实物图片（如捆稻的 “秉”、量粮的 “斗”、鸡的 “雉”、布匹的 “匹”），讲解含义：“秉” 是捆，“斗” 是量粮单位，“匹” 是布的单位； （2）呈现简单古代问题：“今有布二匹，值钱一百六十，问每匹布值钱几何？” 引导学生翻译：“现在有 2 匹布，总共值 160 文钱，求每匹布值多少钱”，用 “总价 ÷ 数量” 计算得每匹 80 文；2. 探究 “鸡兔同笼” 完整解题： （1）逐句翻译问题：“今有鸡兔同笼，上有 35 个头，下有 94 只脚，求鸡和兔各有多少只”，用 “古今对应表” 梳理： 古代表述 现代含义 雉兔同笼 鸡和兔在同一个笼子里 鸡 x 只，兔 y 只 上有三十五头 上面有 35 个头 鸡头数 + 兔头数 = 35 下有九十四足 下面有 94 只脚 鸡脚数 + 兔脚数 = 94 （2）引导用 “假设法” 推导：假设全是鸡，35 只鸡有 70 只脚，比实际少 24 只脚；每把 1 只鸡换成兔，增加 2 只脚，需换 12 只兔，得兔 12 只、鸡 23 只，验证 “12+23=35 头，12×4+23×2=94 足”；3. 探究农耕类古代问题： （1）呈现问题：“今有上禾三秉，共实三十九斗，问上禾一秉实几何？”（简化为 “3 捆上等稻子，总共收获 39 斗粮食，求每捆上等稻子产多少斗粮食”）； （2）让学生小组合作翻译古文，用 “单位产量 = 总产量 ÷ 数量” 计算得每捆 13 斗，理解 “秉”“斗” 的实际意义。 1. 观察实物图片，直观理解古代术语含义，记录 “秉 = 捆、斗 = 量粮单位” 等对应关系；2. 翻译简单布币问题，快速计算出每匹布 80 文，体会 “古代问题可转化为现代数学计算”；3. 填写 “鸡兔同笼” 对应表，清晰梳理 “头、足” 与 “鸡兔只数” 的关系，通过假设法逐步调整，找到正确答案，验证结果符合题意；4. 小组合作翻译农耕问题，明确 “3 秉 = 3 捆，39 斗 = 总产量”，用除法计算出每捆 13 斗，感受古代农耕场景中的数学关系。 1. 用实物图片降低古代术语理解难度，通过简单布币问题让学生建立 “古文翻译 — 现代计算” 的信心；2. “古今对应表” 将抽象的古文表述转化为直观的数学量，帮助学生突破 “古文转译” 难点；3. 用 “假设法” 代替方程组，让学生聚焦 “数量关系匹配”，体会古代问题的核心数学逻辑与现代一致；4. 小组合作培养协作能力，通过农耕问题拓展场景理解，让学生适应不同类型的古代问题。 三、巩固练习 12 分钟 1. 布置分层练习题： （基础题）“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。（简化为‘5 头牛和 2 只羊共值 10 两金，2 头牛和 5 只羊共值 8 两金，假设每头牛、每只羊价值相同，尝试用假设法推测牛和羊每只各值多少两金’）”； （提升题）“今有一人一日为牡瓦三十八枚，一人一日为牝瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牡瓦、牝瓦各半，问成瓦几何？”（简化为 “1 人 1 天能做 38 片牡瓦或 76 片牝瓦，现在让 1 人 1 天做瓦，牡瓦和牝瓦数量相同，求一共能做多少片瓦”）；2. 巡视课堂，对 “古文翻译困难”“场景理解模糊” 的学生提供 “术语小词典” 和 “场景类比提示”（如将 “牡瓦、牝瓦” 类比为 “两种不同的瓦片”）；3. 挑选 2 名学生分享解题思路，引导其他学生补充纠错，强调 “翻译准确是解题的前提”。 1. 选择练习题，基础题必做，提升题选做，先用 “术语小词典” 翻译古文；2. 基础题中，通过假设 “1 头牛值 2 两金”，计算 5×2+2 羊 = 10，得羊 0 两（不合理），调整为牛 1.6 两（改为整数假设：牛 1 两，5×1+2 羊 = 10→羊 2.5 两，再验证 2×1+5×2.5=14.5≠8，逐步逼近合理值）；3. 提升题中，理解 “牡瓦、牝瓦各半” 是数量相同，设做 x 片牡瓦和 x 片牝瓦，用时 x/38 + x/76 =1 天，调整得 x=25（近似整数，验证 25/38 +25/76≈1），总瓦数 50 片；4. 认真倾听同学分享，发现 “翻译时误将‘直金’理解为‘重量’” 等错误，举手纠正。 1. 基础题巩固 “多量古代问题” 的翻译与假设法应用，提升题拓展 “工作效率类古代问题”，兼顾不同层次学生；2. “术语小词典” 和 “场景类比” 为学生提供工具支持，帮助突破理解障碍；3. 学生分享和纠错环节，强化 “古文翻译准确性” 的重要性，培养批判性思维和表达能力。 四、总结提升 5 分钟 1. 提问：“解决古代数学问题，我们需要经历哪些步骤？核心是什么？和现代数学问题有什么联系？”2. 引导学生总结： （1）步骤：翻译古文（解读术语 + 调整语序）→ 转化为现代数学问题 → 用数学方法（如假设法、除法、加法等）求解 → 验证结果； （2）核心：准确翻译古文，找到古代场景对应的现代数学关系； （3）联系：古代问题和现代问题的核心数学关系一致，只是表述和场景不同；3. 补充古代数学成就：“《九章算术》《孙子算经》等著作记载了大量这类问题，体现了我国古代数学家的智慧，数学是跨越古今的通用语言。” 1. 结合例题和练习，自主梳理解题步骤，小组内互相补充；2. 齐声回答 “步骤是翻译→转化→求解→验证，核心是古文翻译和找数学关系”，理解 “古代问题和现代问题本质相同”；3. 倾听古代数学成就介绍，为我国古代数学智慧感到自豪，增强文化自信。 1. 引导学生自主总结，培养归纳概括能力，将零散的解题思路系统化；2. 强调 “古文翻译” 和 “数学关系转化” 的核心地位，帮助学生抓住解题关键，突破重难点；3. 渗透古代数学文化，增强学生的民族文化自信，呼应情感态度与价值观目标。 五、作业布置 5 分钟 1. 基础作业：完成教材课后古代数学练习题（2 道，如 “今有兔走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行几步及之？” 简化为 “兔子跑 100 步，狗追了 250 步，还差 30 步没追上。如果狗不停止，再跑多少步能追上兔子”），要求先翻译古文，再用数学方法求解；2. 拓展作业（选做）：“查阅《孙子算经》或《九章算术》中的一个简单古代数学问题，翻译并尝试用今天学到的方法解决，下节课分享你的发现”；3. 提醒学生作业中要写清 “古文翻译过程”“现代数学转化”“求解步骤”，确保翻译准确、结果合理。 1. 认真记录作业内容和要求，明确基础作业和拓展作业的区别；2. 对拓展作业感兴趣，计划课后查阅《孙子算经》，寻找简单的古代数学问题；3. 承诺按要求完成作业，重点关注 “古文翻译的准确性” 和 “结果的合理性”。 1. 基础作业巩固本节课核心方法，强化 “古文翻译 — 数学转化 — 求解” 的完整流程；2. 拓展作业鼓励学生自主探索古代数学典籍，加深对古代数学文化的理解，培养自主学习能力；3. 强调作业规范，培养学生认真、细致的学习习惯，呼应 “准确翻译、合理验证” 的教学重点。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $