3.7 二元一次方程组的应用（方案问题）教学设计 2025-2026学年湘教版（2024）数学七年级上册

教学设计 教学课题 3.7 二元一次方程组的应用（方案问题） 教学背景分析 从知识基础来看，学生在学习本节内容前，已经掌握了二元一次方程组的定义、解法（代入消元法、加减消元法），并且能运用方程表示简单的数量关系，比如通过方程解决 “已知两个数的和与差，求这两个数” 这类基础问题，这为学习方程组的实际应用奠定了知识根基。 但方案问题与基础计算题存在显著差异，它往往结合生活场景（如购物优惠方案、运输调配方案、生产计划方案等），包含多个相互关联的变量和复杂的约束条件。例如 “某商场推出两种购物卡，A 卡需充值 300 元，购物可享 8 折；B 卡无需充值，购物享 9.5 折，买多少金额的商品时两种卡花费相同”，这类问题需要学生先梳理 “充值金额”“折扣”“商品总价”“实际花费” 等多个量的关系，再提炼等量关系，这对学生的能力提出了更高要求。 教学目标 1. 能从购物、运输、生产等实际方案问题的文字描述中，准确筛选出关键信息（如单价、数量、总量、折扣、人数、座位数等），明确问题中的两个核心变量； 1. 能根据变量与常量之间的关系，找出两个等量关系（如 “总价 = 单价 × 数量”“总人数 = 每辆车座位数 × 租车数量 ± 剩余 / 缺少人数” 等），并规范列出二元一次方程组； 1. 能熟练运用代入消元法或加减消元法求解所列方程组，且能结合实际问题的背景，检验解的合理性（比如人数、车辆数、商品数量等必须为非负整数），最终确定符合题意的方案。 重难点 1. 引导学生从实际方案问题中精准提炼两个等量关系，并据此列出二元一次方程组。这是解决方案问题的核心环节，只有列出正确的方程组，后续的求解和方案确定才有意义。 1. 方案问题的本质是 “用数学模型解决实际问题”，而二元一次方程组是该类问题的核心模型。学生能否列出方程组，直接决定了问题能否解决；同时，“找等量关系” 是列方程的前提，也是连接实际问题与数学模型的桥梁，掌握这一技能，能为学生解决更复杂的实际问题（如三元一次方程组应用、不等式应用等）奠定基础。 5. 帮助学生突破 “从复杂实际情境中抽象出二元一次方程组模型” 的思维障碍，具体表现为：难以从大量文字信息中筛选出有效信息，容易被无关描述干扰；无法准确识别两个核心变量，常混淆变量与常量；找不到两个独立的等量关系，或列出的等量关系存在重复、矛盾。 6. 一方面，方案问题的文字描述通常较长，包含生活场景的细节描述（如 “商场周年庆”“学校研学活动” 等），这些非数学信息容易分散学生注意力，导致其忽略 “数量”“价格”“数量关系” 等核心数学元素；另一方面，学生的抽象思维能力尚未成熟，难以将实际生活中的 “做事逻辑”（如 “租车要考虑人数和座位数匹配”“购物要计算花费和优惠”）转化为 “数学逻辑”（如 “等量关系”“方程组”），缺乏 “数学建模” 的意识和方法。 教学活动设计 教学环节 时长预估 老师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 5 分钟 1. 展示生活案例：“某超市推出两种洗衣液购买方案，方案一：买 3 瓶送 1 瓶，共花 60 元；方案二：直接按单价购买，4 瓶花 68 元。哪种方案中单瓶洗衣液更便宜？”2. 提问：“要比较哪种方案更划算，需要先求什么？如何用已学知识解决？”3. 引出课题：二元一次方程组的应用（方案问题）。 1. 认真阅读案例，思考老师提出的问题；2. 小组简短讨论，尝试说出 “需要先求两种方案下洗衣液的单瓶价格”，部分学生尝试用方程表示数量关系；3. 明确本节课学习目标。 1. 用生活中常见的 “购物方案对比” 情境，激发学生学习兴趣，感受数学与生活的联系；2. 通过简单问题回顾 “用方程解决实际问题” 的思路，为后续学习铺垫；3. 自然引出课题，让学生明确学习方向。 二、新知探究 15 分钟 1. 呈现典型例题：“学校组织学生去植物园，现有两种租车方案。方案一：租 45 座客车，若租 5 辆，会有 10 人没座位；方案二：租 60 座客车，租 3 辆，还能多坐 5 人。求参加研学的学生总人数和两种客车的租金（注：45 座客车和 60 座客车的租金均为固定值，且 60 座客车单辆租金比 45 座多 200 元），哪种租车方案总租金更低？”2. 拆解分析步骤： （1）引导学生圈画关键信息：45 座客车、5 辆、10 人没座位；60 座客车、3 辆、多坐 5 人；60 座单辆租金比 45 座多 200 元。 （2）用表格梳理变量与已知量： 客车类型 单辆座位数 45 座 45 5 45×5 + 10 = 总人数 x 元 60 座 60 3 60×3 - 5 = 总人数 x + 200 元 （3）提问：“有几个未知量？能找到几个等量关系（注：y 表示总人数，x 表示 45 座单辆租金，z 表示 60 座单辆租金，后续补充 “方案一总租金 = 5x，方案二总租金 = 3z” 的对比）；3. 示范求解过程，强调 “检验解的合理性”（总人数、租金需为非负整数）；4. 引导学生对比两种方案总租金，确定最优方案。 1. 跟随老师思路，圈画例题中的关键信息；2. 观察老师制作的表格，理解如何梳理变量与已知量的关系；3. 小组讨论：“未知量是总人数、45 座租金、60 座租金，等量关系是‘方案一的总人数 = 方案二的总人数’‘60 座租金 = 45 座租金 + 200’”；4. 模仿老师的步骤，在练习本上列出方程组，尝试求解；5. 计算两种方案的总租金，判断哪种更优，并举手分享思路。 1. 通过生活中的 “租车方案” 例题，贴近学生认知，降低对复杂方案问题的畏惧感；2. 用表格梳理信息，将抽象的数量关系可视化，帮助学生突破 “筛选关键信息、区分变量与常量” 的难点；3. 老师分步示范，引导学生经历 “找等量关系 — 列方程组 — 求解 — 检验 — 对比方案” 的完整过程，落实 “将实际问题转化为数学模型” 的教学重点；4. 小组讨论环节培养学生的合作交流能力。 三、巩固练习 12 分钟 1. 布置分层练习题： （基础题）“某文具店卖两种笔记本，买 2 本 A 笔记本和 3 本 B 笔记本共花 34 元；买 3 本 A 笔记本和 1 本 B 笔记本共花 28 元。求 A、B 笔记本的单价。” （提升题）“某工厂生产甲、乙两种零件，生产 2 个甲零件和 1 个乙零件需 3 小时；生产 1 个甲零件和 3 个乙零件需 4 小时。若每天工作 8 小时，哪种零件单天产量更高（按每天生产一种零件计算）？”2. 巡视课堂，对解题困难的学生进行个别指导，重点关注 “是否能准确列出等量关系”；3. 挑选 2 名学生（分别完成基础题和提升题）上台板演，之后进行点评，纠正易错点（如等量关系列错、忘记检验）。 1. 自主选择练习题（基础题必做，提升题选做），独立在练习本上完成；2. 遇到困难时，可小声与同桌讨论，或举手向老师求助；3. 观察上台板演同学的解题过程，发现问题并举手补充；4. 对照老师的点评，修正自己的解题过程。 1. 基础题侧重巩固 “列方程组解决简单方案问题” 的核心技能，提升题侧重培养 “用方程组结果分析实际方案优劣” 的能力，兼顾不同层次学生的学习需求；2. 老师巡视指导，能及时发现学生的共性问题（如等量关系混淆），并通过点评板演纠正，强化正确解题思路；3. 让学生上台板演和补充，增强学生的参与感，培养表达能力。 四、总结提升 5 分钟 1. 提问：“今天学习的方案问题，解决时需要经历哪几个步骤？关键是什么？”2. 引导学生回顾：“读题圈关键信息 — 确定两个核心变量 — 找两个等量关系 — 列方程组求解 — 检验并分析方案”；3. 强调：“找等量关系是核心，可借助表格、线段图等工具梳理信息”。 1. 结合本节课的例题和练习，自主梳理解题步骤；2. 小组内互相补充，形成完整的解题流程；3. 举手分享自己的总结，如 “关键是找到两个不重复的等量关系，检验时要看看结果是否符合实际情况”。 1. 通过提问和引导，帮助学生梳理本节课的核心知识与方法，形成系统化的解题思路；2. 让学生自主总结，培养归纳概括能力，加深对 “数学建模” 过程的理解；3. 强调工具的使用，为后续解决更复杂的方案问题提供方法支撑。 五、作业布置 3 分钟 1. 基础作业：完成教材课后习题（2 道），如 “某书店两种会员卡方案，A 卡 10 元办卡，购书打 9 折；B 卡 20 元办卡，购书打 8 折。买多少元的书时，两种卡花费相同？”2. 拓展作业（选做）：“设计一道生活中的方案问题（如零食购买、文具采购等），并用二元一次方程组解决，下节课分享”；3. 说明作业要求：“写出完整解题步骤，包括找等量关系、列方程组、求解、检验和方案分析”。 1. 认真记录作业内容和要求；2. 对拓展作业有疑问的，举手向老师提问；3. 明确课后完成作业的时间和标准。 1. 基础作业帮助学生巩固本节课所学的核心技能，确保大部分学生能掌握 “列方程组解决方案问题” 的基本方法；2. 拓展作业鼓励学生主动发现生活中的数学问题，培养 “用数学眼光观察生活” 的意识和创新能力；3. 明确作业要求，引导学生养成规范解题的习惯，呼应 “严谨认真” 的情感态度目标。 学科网（北京）股份有限公司 $