3.7 二元一次方程组的应用（和差倍分问题）教学设计 2025-2026学年湘教版（2024）数学七年级上册

教学设计 教学课题 3.7 二元一次方程组的应用（和差倍分问题） 教学背景分析 从知识基础来看，学生在学习本节内容前，已熟练掌握二元一次方程组的定义与解法（代入消元法、加减消元法），能运用方程组解决 “行程”“销售” 等实际问题，具备用数学模型表示数量关系的初步能力；同时，学生在小学阶段已接触过简单的 “和差”“倍分” 问题（如 “甲、乙两数和为 20，差为 6，求两数”“甲是乙的 3 倍，两数和为 16，求两数”），并用一元一次方程解决过此类问题，且在生活中积累了大量与 “数量比较” 相关的经验（如比较水果数量、书本页数、零花钱金额等），这为学习用二元一次方程组解决和差倍分问题奠定了知识与生活双重基础。 但和差倍分问题与其他应用问题存在显著差异，其核心是围绕 “和（两个量的总和）、差（两个量的差值）、倍（一个量是另一个量的几倍）、分（一个量是另一个量的几分之几，此处规避分数，聚焦‘部分与整体’关系，如‘甲占总数的一半’‘乙是甲的一半’） ” 四种数量关系展开，且常出现 “和差结合”“和倍结合”“差倍结合” 等复合场景。例如 “某果园收获苹果和梨共 120 筐，苹果的筐数比梨的 2 倍少 15 筐，求苹果和梨各多少筐”，这类问题需要同时处理 “和” 与 “倍” 两种关系，仅用一元一次方程会导致变量设定繁琐，而二元一次方程组能通过设两个未知量，更清晰地梳理多重数量关系，这对学生的 “多重数量关系综合梳理能力” 提出了新要求。 教学目标 1. 能准确识别和差倍分问题的四种核心数量关系：和（总量 = 量 1 + 量 2）、差（大量 - 小量 = 差值）、倍（大量 = 小量 × 倍数）、分（部分量 = 整体量 × 比例，此处用 “一半”“三分之一” 等整数比例表述，规避分数） ，明确各关系的数学表达形式； 1. 能根据问题描述，清晰区分 “单一关系”（如仅和、仅倍）与 “复合关系”（如和倍、差倍、和差结合），掌握 “设两个未知量（通常为两个关联量）” 的方法，将文字描述转化为数学等式； 1. 能从和差倍分问题中提炼两个独立的等量关系（如 “和关系 + 倍关系”“差关系 + 和关系”），规范列出二元一次方程组，熟练求解并检验结果（确保结果为非负整数，符合实际数量场景），最终解决问题。 重难点 1. 引导学生准确识别和差倍分问题中的 “和、差、倍、分” 数量关系，从问题描述中提炼两个独立的等量关系（如 “和 + 倍”“差 + 倍”），据此列出二元一次方程组。 1. 和差倍分问题的本质是 “用数学模型表示多个量之间的关联关系”，而 “准确提炼等量关系” 是连接文字描述与数学模型的关键桥梁；只有掌握 “从和、差、倍、分中拆分独立关系” 的方法，才能建立有效的方程组，这是解决此类问题的基础，也为后续学习更复杂的 “多量复合关系” 问题（如结合行程、工程的和差倍分问题）奠定能力。 5. 帮助学生突破 “处理复合数量关系（如和倍、差倍结合）及分关系（部分与整体） ” 的思维障碍，具体表现为：面对 “甲比乙的 3 倍少 4，且甲、乙之差为 14” 这类复合问题时，无法拆分出 “倍 - 少” 与 “差” 两个独立等量关系，误将关系混淆（如写成 “3 乙 - 甲 = 4” 与 “甲 - 乙 = 14” 却无法关联）；对 “部分与整体” 的分关系（如 “一班人数是二班的一半，两个班与三班共 60 人，三班人数是二班的 1 倍”），难以理清 “部分量” 与 “整体量” 的层级关系，导致等量关系遗漏。 教学活动设计 教学环节 时长预估 老师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 5 分钟 1. 展示生活场景图片（水果摊的苹果和梨、书架上的科技书和故事书、班级里的男生和女生），提问：“水果摊有苹果和梨共 50 斤，苹果比梨多 10 斤，大家能算出苹果和梨各多少斤吗？”2. 回顾旧知：“小学时我们用算术法或一元一次方程解决过这类问题，今天我们用更简洁的方法 —— 二元一次方程组来解决，先想想这类问题的核心是什么？”3. 引出课题：二元一次方程组的应用（和差倍分问题），说明本节课将学习梳理 “和、差、倍、分” 关系并解决问题。 1. 结合生活经验尝试计算，如 “梨 20 斤，苹果 30 斤，20+30=50，30-20=10”，初步感受和差关系；2. 思考并回答 “核心是找两个量之间的和、差、倍数等关系”，回忆一元一次方程的解题思路；3. 明确本节课学习目标，对用方程组解决和差倍分问题产生兴趣。 1. 用生活化场景激发兴趣，让学生感受和差倍分问题的实用性；2. 回顾旧知搭建知识桥梁，引导学生聚焦 “数量关系” 这一核心，自然导入课题；3. 调动学生探索欲，为新知学习做好铺垫。 二、新知探究 18 分钟 1. 探究单一关系（和、差、倍）： （1）呈现三个简单案例： ① 和关系：“甲、乙两数总和为 40”； ② 差关系：“甲数比乙数大 8”； ③ 倍关系：“甲数是乙数的 2 倍”； （2）提问：“每个案例中，两个量的关系如何描述？若设甲数为 x，乙数为 y，怎么用文字表述两者的联系？” 引导学生用 “x+y=40”“x-y=8”“x=2y” 的文字逻辑（不写方程）梳理关系；2. 探究复合关系（和倍结合）： （1）呈现案例：“学校饲养小组养的鸡和鸭共 60 只，鸡的数量是鸭的 3 倍，求鸡和鸭各多少只”； （2）引导学生用 “数量关系梳理表” 梳理： 未知量 和关系（总数） 鸡（x 只） x+y=60 x=3y 鸭（y 只） - - （3）引导学生用 “假设法” 推导：假设鸭为 10 只，鸡为 30 只，总数 40 只（不够 60）；假设鸭为 15 只，鸡为 45 只，总数 60 只（刚好匹配），验证 “45 是 15 的 3 倍” 符合题意；3. 探究复合关系（差倍结合）： （1）呈现案例：“超市里的矿泉水比可乐多 24 瓶，矿泉水的数量是可乐的 4 倍，求矿泉水和可乐各多少瓶”； （2）让学生小组合作填写梳理表，用 “假设法” 推导结果（如假设可乐 8 瓶，矿泉水 32 瓶，32-8=24，符合差关系）；4. 探究分关系（部分与整体）： （1）呈现案例：“一班和二班共有学生 80 人，一班人数是二班的一半，求两个班各有多少人”； （2）用线段图演示：画一条线段表示二班人数，画半条线段表示一班人数，两条线段总长 80 人，引导学生理解 “二班人数 = 2× 一班人数”“一班人数 + 二班人数 = 80”，推导得一班 27 人？（调整为 “总数 90 人”，使结果为整数：一班 30 人，二班 60 人）。 1. 针对单一关系案例，用文字逻辑梳理：“和关系是两数相加得 40，差关系是大数减小数得 8，倍关系是大数等于小数乘倍数”，初步掌握关系描述方法；2. 针对和倍案例，填写梳理表，通过多次假设调整，找到 “鸭 15 只、鸡 45 只” 的正确答案，理解 “和关系与倍关系需同时满足”；3. 小组合作解决差倍案例，填写表格后，通过 “假设可乐 6 瓶，矿泉水 24 瓶（差 18，不够 24）；假设可乐 8 瓶，矿泉水 32 瓶（差 24，符合）” 得出结果，分享推导思路；4. 观察线段图，理解 “一半” 对应的倍关系（二班是一班的 2 倍），通过 “30+60=90” 验证总数，掌握分关系的梳理方法。 1. 从单一关系入手，降低学习难度，让学生先掌握基础的数量关系描述，为复合关系铺垫；2. “数量关系梳理表” 将抽象的复合关系直观化，帮助学生清晰区分 “和”“倍” 等不同关系，突破 “关系混淆” 的难点；3. “假设法” 代替方程组，让学生聚焦 “数量关系匹配”，体会 “两个关系需同时满足” 的核心思路，为后续列方程组打基础；4. 线段图将 “分关系” 可视化，帮助学生理解 “部分与整体” 的层级，纠正 “分关系理解模糊” 的问题。 三、巩固练习 12 分钟 1. 布置分层练习题： （基础题）“和差结合：小明和小红共有零花钱 50 元，小明比小红多 10 元，求两人各有多少零花钱”； （提升题）“和分结合：一个长方形周长是 60 厘米，长是宽的 2 倍（分关系：宽是长的一半），求长方形的长和宽”；2. 巡视课堂，对 “关系梳理错误”“假设法思路混乱” 的学生进行个别指导，提供空白梳理表模板；3. 挑选 2 名学生（分别完成基础题和提升题）分享解题思路，引导其他学生补充纠错，强调 “两个关系需同时验证”（如基础题 “30+20=50，30-20=10”）。 1. 自主选择练习题，基础题必做，提升题选做，用梳理表梳理关系；2. 基础题中，通过 “假设小红 20 元，小明 30 元” 满足两个关系，得出答案；3. 提升题中，先明确 “周长 = 2×（长 + 宽）”，再通过 “假设宽 10 厘米，长 20 厘米，周长 60 厘米” 得出答案；4. 认真倾听同学分享，发现 “提升题中误将周长当‘长 + 宽’” 等错误，举手纠正。 1. 基础题巩固 “和差结合” 的基本方法，提升题强化 “和分结合 + 公式（周长）” 的综合应用，兼顾不同层次学生；2. 提供表格模板帮助梳理思路，针对性指导解决共性问题（如关系混淆、公式遗忘），确保学习效果；3. 学生分享和纠错环节，培养表达能力和批判性思维，强化 “双关系验证” 的意识。 四、总结提升 5 分钟 1. 提问：“解决和差倍分问题，核心是什么？用到了什么工具？解题步骤有哪些？”2. 引导学生总结： （1）核心：准确识别 “和、差、倍、分” 四种数量关系，确保两个关系独立且同时满足； （2）工具：数量关系梳理表、线段图； （3）步骤：设两个未知量→梳理和 / 差 / 倍 / 分关系→用假设法匹配关系→验证结果；3. 对比和差倍分问题与其他应用问题：“和行程问题‘抓公式’、销售问题‘抓核心量’一样，和差倍分问题要‘抓数量关系’，都是通过梳理关系解决问题”。 1. 结合例题和练习，自主梳理总结，小组内互相补充；2. 齐声回答核心和工具，举手分享解题步骤，如 “先想两个量有什么关系，再用表格记下来，慢慢试出符合两个关系的数”；3. 认真倾听对比分析，理解不同应用问题的共性解题思路。 1. 引导学生自主总结，培养归纳概括能力，将零散知识系统化，便于后续复习应用；2. 强调 “双关系同时满足” 这一核心，帮助学生抓住解题关键，突破重难点；3. 对比不同问题，培养知识迁移能力，让学生形成 “抓核心关系 + 用工具梳理” 的通用思路。 五、作业布置 5 分钟 1. 基础作业：完成教材课后习题（2 道），如 “和倍问题：图书馆里的童话书和漫画书共 72 本，童话书是漫画书的 2 倍，求两种书各多少本”，要求用数量关系梳理表梳理；2. 拓展作业（选做）：“观察生活中的和差倍分场景（如家里的水果数量、玩具数量等），设计一道包含‘和’与‘倍’关系的问题，用今天学到的方法解决，下节课分享”；3. 提醒学生作业中要写清 “梳理表”“假设推导过程”“验证步骤”，确保结果符合实际数量（非负整数）。 1. 认真记录作业内容和要求，明确基础作业和拓展作业的区别；2. 对拓展作业感兴趣，计划观察家里的苹果和橘子数量，构思题目；3. 承诺按要求完成作业，重点关注 “关系梳理” 和 “结果验证”。 1. 基础作业巩固本节课核心知识和方法，强化 “梳理表” 的使用，确保学生掌握基本技能；2. 拓展作业让学生从 “被动解题” 转变为 “主动编题”，结合生活实际，加深对和差倍分关系的理解，培养应用能力和创新思维；3. 强调作业规范，培养学生认真、细致的学习习惯，呼应 “验证结果” 的教学重点。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $