第24章《圆》中的重点与难点题型专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第24章《圆》中的重点与难点题型专项训练 重点一 圆的相关性质 1．（2023•天宁区模拟）如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，则∠BAC的度数是（　　） A．50° B．30° C．25° D．20° 2．（2023•白山模拟）△ABC与⊙O交于D、E、C、B，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠AED的度数（　　） A．60° B．40° C．80° D．100° 3．（2022秋•兰山区校级期中）如图所示，在⊙O中，，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024•海曙区校级自主招生）如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB＝60°，D是的中点，则　 ． 5．（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G． （1）求证：CF＝CG； （2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB． 重点2 垂径定理及其推论 6．（2023秋•沂南县期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，AB与CD相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到CD⊥AB的有（　　） A．AM＝BM B．OM＝CM C． D． 7．（2023•蒙阴县三模）已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，则OP＝（　　） A． B． C． D．3 8．（2025•汉台区二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 9．（2023春•庐江县月考）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD⊥AB于点E，连接BD，若BD＝CD，则AE的长是 　 ． 10．（2023秋•香洲区校级期中）如图，已知⊙O中弦AB＝8，点P是上一动点，连接AP，BP，过点O作OC⊥PA于点C，OD⊥PB于点D，连接CD． （1）若点P运动到的中点，此时点P到弦AB的距离为2，求⊙O的半径； （2）在点P运动过程中，线段CD的长是否发生改变？如果不变，求出线段CD的长；如果改变，请说明理由． 重点三 切线的性质与判定 11．（2024•福山区模拟）如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 12．（2024•鄄城县一模）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）如图①，若∠P＝35°，连OC，求∠BOC的度数； （2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线． 13．（2023•宿豫区三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径． 14．（2022秋•青山区校级月考）△ABC中，∠C＝30°，AB＝3，则△ABC外接圆半径长为 　 ． 重点4 内心与外心 15．（2022秋•中山市期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，点O是△ABC的内心，则∠BOC＝　 度． 16．（2024•镇江一模）如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EAD＝∠CAD．试证明： （1）OA所在的直线经过点I； （2）点D是IE的中点． 重点5 正多边形与圆 17．（2024•五华区校级模拟）已知，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若四边形AOEF的面积为，则⊙O的半径等于（　　） A．1 B．2 C． D． 18．（2023•泸县校级模拟）已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形边心距为 　 ． 19．（2025•洮南市模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　） A．36° B．60° C．65° D．72° 重点6 弧长与扇形面积 20．（2023•濮阳县模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，分别交BC，AC于点E，D，则图中阴影部分的周长是 　 　 ． 21．（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为 　 ． 难点1 隐圆问题 1．（2024•西藏）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为　 　． 2．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　 ． 难点2 多解问题 3．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 　 ． 4．（2024秋•凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与⊙O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是 　 　． 难点3 动态问题 5．（2022秋•金华期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．2 B．10 C．2或10 D．6或8 6．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． （1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； （2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章《圆》中的重点与难点题型专项训练 重点一 圆的相关性质 1．（2023•天宁区模拟）如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，则∠BAC的度数是（　　） A．50° B．30° C．25° D．20° 【思路引领】先利用平行线的性质可得∠COB＝∠OBA＝40°，然后再利用圆周角定理，进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB∥OC，∠OBA＝40°， ∴∠COB＝∠OBA＝40°， ∴∠BAC∠COB＝20°， 故选：D． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 2．（2023•白山模拟）△ABC与⊙O交于D、E、C、B，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠AED的度数（　　） A．60° B．40° C．80° D．100° 【思路引领】先利用圆内接四边形的性质得到∠BDE＝120°，然后根据三角形外角性质求∠AED的度数． 【解答】解：∵∠C+∠BDE＝180°， ∴∠BDE＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BDE＝∠A+∠AED， ∴∠AED＝120°﹣40°＝80°． 故选：C． 【总结提升】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．（2022秋•兰山区校级期中）如图所示，在⊙O中，，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引领】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【解答】解：∵在⊙O中，， ∴AB＝CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∵弧AC＝弧BD，故④正确； ∴AC＝BD，故②正确； ∴③∠AOC＝∠BOD，故③正确． 故选：D． 【总结提升】本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 4．（2024•海曙区校级自主招生）如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB＝60°，D是的中点，则　　 ． 【思路引领】根据对顶角的性质，求出∠APC，从而求出∠CAD，由圆心角、弧、弦的关系求出∠BAD，从而求出∠ABC，进而求出． 【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠DPB＝60°， ∴∠APC＝∠DPB＝60°， ∴∠CAD＝90°﹣∠APC＝30°， ∵D是的中点， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BAC＝∠CAD+∠BAD＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°， ∴． 故答案为：． 【总结提升】本题考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 5．（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G． （1）求证：CF＝CG； （2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB． 【思路引领】（1）连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得∠CEA＝90°，从而可得∠FAE+∠AFE＝90°，然后根据已知可得，从而可得∠CAG＝∠FAE，进而可得∠AGC＝∠AFE，最后根据对顶角相等可得∠AFE＝∠CFG，从而可得∠AGC＝∠CFG，进而根据等角对等边即可解答； （2）连接AC，CD，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得∠AFC＝∠CGD，然后根据SAS证明△AFC≌△DGC，从而可得AC＝CD，进而可得，最后根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠DAB，从而可得GA＝GB，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答， 【解答】证明：（1）连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAG+∠AGC＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴∠FAE+∠AFE＝90°， ∵D为弧BC的中点， ∴， ∴∠CAG＝∠FAE， ∴∠AGC＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠CFG， ∴∠AGC＝∠CFG， ∴CF＝CG； （2）连接AC，CD， ∵∠CFG＝∠CGF， ∴180°﹣∠CFG＝180°﹣∠CGF， ∴∠AFC＝∠CGD， ∵CF＝CG，AF＝CD， ∴△AFC≌△DGC（SAS）， ∴AC＝CD， ∴， ∵， ∴， ∴∠ABC＝∠DAB， ∴GA＝GB， ∵OA＝OB， ∴GO⊥AB． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 重点2 垂径定理及其推论 6．（2023秋•沂南县期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，AB与CD相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到CD⊥AB的有（　　） A．AM＝BM B．OM＝CM C． D． 【思路引领】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”即可得答案． 【解答】解：A．∵AM＝BM，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦， ∴AB⊥CD，故A不符合题意； B．根据OM＝CM无法判断CD⊥AB，故B符合题意； C．∵AC＝BC，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦， ∴AB⊥CD，故C不符合题意； D．∵AD＝BD，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦， ∴AB⊥CD，故D不符合题意． 故选：B． 【总结提升】本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理． 7．（2023•蒙阴县三模）已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，则OP＝（　　） A． B． C． D．3 【思路引领】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB， 则OB＝5， ∵PA＝2，PB＝4， ∴AB＝PA+PB＝6， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝3， ∴PC＝PB﹣BC＝1， 在Rt△OBC中，根据勾股定理得： OC2＝OB2﹣BC2＝52﹣32＝16， 在Rt△OPC中，根据勾股定理得： OP， 故选：C． 【总结提升】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理． 8．（2025•汉台区二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【思路引领】连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F．利用垂径定理，勾股定理求出OE，EF，再求出FG可得结论． 【解答】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F． ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD， ∵AC＝BD， ∴四边形ACDB是平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDB是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm， ∵OG⊥CD， ∴OG⊥AB， ∴AE＝EB＝8cm， ∴OE6（cm）， ∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm）， ∵EG＝AC＝BD＝5cm， ∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm）， ∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm， 故选：D． 【总结提升】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 9．（2023春•庐江县月考）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD⊥AB于点E，连接BD，若BD＝CD，则AE的长是 　3　 ． 【思路引领】连接BC，OC，AC，如图，先根据垂径定理得到CE＝DE，则可判断△BCD为等边三角形，所以∠D＝60°，利用圆周角定理得到∠A＝∠D＝60°，再证明△OCA为等边三角形， 然后根据等边三角形的性质得到AEOA． 【解答】解：连接BC，OC，AC，如图， ∵直径AB＝12， ∴OA＝6， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE， 即AB垂直平分CD， ∴BC＝BD， ∵BD＝CD， ∴△BCD为等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴∠A＝∠D＝60°， ∵OA＝OC， ∴△OCA为等边三角形， ∵CE⊥OA， ∴OE＝AEOA＝3． 故答案为：3． 【总结提升】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等边三角形的判定与性质． 10．（2023秋•香洲区校级期中）如图，已知⊙O中弦AB＝8，点P是上一动点，连接AP，BP，过点O作OC⊥PA于点C，OD⊥PB于点D，连接CD． （1）若点P运动到的中点，此时点P到弦AB的距离为2，求⊙O的半径； （2）在点P运动过程中，线段CD的长是否发生改变？如果不变，求出线段CD的长；如果改变，请说明理由． 【思路引领】（1）连接OA，连接OP交AB于点H，设⊙O的半径为x，在Rt△OAH中，利用勾股定理即可求解； （2）利用垂径定理求得PC＝AC，PD＝BD，再利用三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：（1）连接OA，连接OP交AB于点H，设⊙O的半径为x， ∵点P是的中点， ∴OP⊥AB， ∴， 由题意得PH＝2，则OH＝x﹣2， 在Rt△OAH中，AO2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣2）2+42， 解得x＝5，即⊙O的半径为5； （2）线段CD的长不变，且CD＝4，理由如下： ∵OC⊥PA，OD⊥PB， ∴PC＝AC，PD＝BD， ∴CD是△PAB是中位线， ∴． 【总结提升】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 重点三 切线的性质与判定 11．（2021•福山区模拟）如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【思路引领】连接OB，根据切线的性质以及圆的性质即可求出答案． 【解答】解：连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝20°， ∴∠DBC＝70°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠ODA＝∠BDC＝70°， ∴∠OCB＝40°， 故选：C． 【总结提升】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定与性质，本题属于基础题型． 12．（2024•鄄城县一模）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）如图①，若∠P＝35°，连OC，求∠BOC的度数； （2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线． 【思路引领】（1）连接OC．由AP是⊙O的切线，推出∠PAB＝90°，求出∠B，再利用等腰三角形的性质即可解决问题； （2）如图②中，连接OC，OD，AC．由△ODC≌△ODA（SSS），推出∠OCD＝∠OAD＝90°即可解决问题； 【解答】解：（1）如图①中，连接OC． ∵PA是⊙O的切线， ∴PA⊥AB， ∴∠PAB＝90°， ∵∠P＝35°， ∴∠B＝55°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣55°﹣55°＝70°． （2）如图②中，连接OC，OD，AC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ACP＝90°， ∵AD＝DP， ∴DC＝DA＝DB， ∵OA＝OC，OD＝OD， ∴△ODC≌△ODA（SSS）， ∴∠OCD＝∠OAD＝90°， ∴OC⊥CD， ∴DC是⊙O的切线． 【总结提升】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13．（2023•宿豫区三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径． 【思路引领】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠1+∠5＝90°得到∠2+∠3＝90°，得∠OEC＝90°，于是得到结论； （2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，由OE2+CE2＝OC2得到关于r 的方程，即可求出半径． 【解答】解：（1）如图，连接OE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠1+∠5＝90°． ∵CE＝BC， ∴∠1＝∠2． ∵OE＝OD， ∴∠3＝∠4． 又∵∠4＝∠5， ∴∠3＝∠5， ∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°， ∴OE⊥CE． ∵OE是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线． （2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2， BC＝CE＝4． 设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2， 在Rt△OEC中，∠OEC＝90°， ∴OE2+CE2＝OC2， ∴r2+42＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴⊙O的半径为3． 【总结提升】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． 14．（2022秋•青山区校级月考）△ABC中，∠C＝30°，AB＝3，则△ABC外接圆半径长为 　3　 ． 【思路引领】根据题意作出图象，利用圆周角定理求出∠AOB＝2∠C＝60°，再根据等边三角形的性质求出△ABC的外接圆半径OA． 【解答】解：如图，设△ABC的外接圆为⊙O，连接OA、OB， ∵∠C＝30°， ∴根据圆周角定理可知∠AOB＝2∠C＝60°， ∵OB＝OA， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝3， ∴△ABC的外接圆半径是3． 故答案为：3． 【总结提升】本题主要考查三角形的外接圆、圆周角定理、等边三角形的判定和性质，属于综合题型，解题的关键是证明△AOB是等边三角形． 重点4 内心与外心 15．（2022秋•中山市期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，点O是△ABC的内心，则∠BOC＝　117　 度． 【思路引领】根据∠A＝54°，求出∠ABC+∠ACB，再根据点O是△ABC的内心，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可． 【解答】解：∵∠A＝54°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°， ∵点O是△ABC的内心， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝63°， ∴∠BOC＝180°﹣63°＝117°． 故答案为：117． 【总结提升】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 、。16．（2024•镇江一模）如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EAD＝∠CAD．试证明： （1）OA所在的直线经过点I； （2）点D是IE的中点． 【思路引领】（1）连接OA、OB、OC、AI，可证明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，则AO平分∠BAC，再由点I是△ABC的内心，证明AI平分∠BAC，所以AO与AI在同一条直线上，即可证明OA所在的直线经过点I； （2）连接OD，推导出∠OAD∠AOD＝90°，则∠OAD+∠ABD＝90°，再证明∠ABD＝∠EAD，则∠IAE＝∠OAD+∠EAD＝90°，再推导出∠DIA＝∠DAI，则ID＝AD，由∠DIA+∠E＝90°，∠DAI+∠DAE＝90°，证明∠E＝∠DAE，则ED＝AD，所以ID＝ED，即可证明点D是IE的中点． 【解答】证明：（1）连接OA、OB、OC、AI， ∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AO平分∠BAC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∴AO与AI在同一条直线上， ∴OA所在的直线经过点I． （2）连接OD，则OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴2∠OAD+∠AOD＝180°， ∴∠OAD∠AOD＝90°， ∵∠ABD∠AOD， ∴∠OAD+∠ABD＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD＝∠CAD，∠EAD＝∠CAD， ∴∠ABD＝∠EAD， ∴∠IAE＝∠OAD+∠EAD＝90°， ∵∠DIA＝∠ABD+∠BAO＝∠CAD+∠CAO＝∠DAI， ∴ID＝AD， ∵∠DIA+∠E＝90°，∠DAI+∠DAE＝90°， ∴∠E＝∠DAE， ∴ED＝AD， ∴ID＝ED， ∴点D是IE的中点． 【总结提升】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 重点5 正多边形与圆 17．（2024•五华区校级模拟）已知，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若四边形AOEF的面积为，则⊙O的半径等于（　　） A．1 B．2 C． D． 【思路引领】连接OF，AE，相交G，则△AOF，△EOF均为等边三角形，进而可证四边形AOEF是菱形，求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【解答】解：连接OF，AE，相交点G， ∵，正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴∠AOF＝∠EOF＝60°， ∵OE＝OF＝OA， ∴△AOF，△EOF均为等边三角形， ∴OE＝OF＝OA＝AF＝EF， ∴四边形AOEF是菱形， ∴AE⊥OF，AG＝GE， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴OF＝2（负值舍去）． 故选：B． 【总结提升】本题考查的是正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 18．（2023•泸县校级模拟）已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形边心距为 　　 ． 【思路引领】首先根据题意画出图形，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，由含30°角的直角三角形的性质得出OD即可． 【解答】解：如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°， ∵∠BOC360°＝120°， ∵OB＝OC＝1， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴ODOB， 故答案为：． 【总结提升】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 19．（2025•洮南市模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　） A．36° B．60° C．65° D．72° 【思路引领】连接OA，OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OA，OC， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠AOC2＝144°， ∴∠APC∠AOC＝72°， 故选：D． 【总结提升】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 重点6 弧长与扇形面积 20．（2023•濮阳县模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，分别交BC，AC于点E，D，则图中阴影部分的周长是 　3+π　 ． 【思路引领】连接AE，可知△ABE为等边三角形，利用弧长公式即可求解． 【解答】解：如图，连接AE， 在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3， ∴∠B＝60°， ∵AB＝AE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝60°，BE＝AB＝3， ∴弧BE的长度为π， ∴图中阴影部分的周长是：3+π． 故答案为：3+π． 【总结提升】本题考查含30度角的直角三角形的性质和弧长的计算，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为 　9　 ． 【思路引领】连接OD，OC，利用扇形DOB的面积加上△OCD的面积，减去△DOB的面积，可求解． 【解答】解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，则：OD＝OC＝OB； ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝30°，AB＝12， ∴， ∵BC＝CD，为半圆， ∴， ∵OD＝OC＝OB， ∴，△COD为等边三角形， ∴CD12＝6， ∴S△OCD6×69， ∴S阴影＝9． 故答案为：9． 【总结提升】本题考查求阴影部分的面积，同时考查了圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理．熟练掌握割补法，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积，是解题的关键． 难点1 隐圆问题 1．（2024•西藏）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为　8　． 【思路引领】如图所示点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，根据折叠的性质可知BE＝EF＝5，即可求出CF． 【解答】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小， 根据折叠的性质，△EBP≌△EFP， ∴EF⊥PF，EB＝EF， ∵E是AB边的中点，AB＝10， ∴AE＝EF＝5， ∵AD＝BC＝12， ∴CE13， ∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8． 故答案为：8． 【总结提升】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 2．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　　． 【思路引领】根据∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，OB＝OA，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的长为，最后CD最小值为OC﹣OD． 【解答】解：如图所示． ∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O（因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧），连接OC， 当O、D、C三点共线时，CD的值最小． ∵∠ADB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴AO＝BO＝sin45°×AB． ∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于点E， ∴△OBE为等腰直角三角形． ∴OE＝BE＝sin45°•OB＝1， ∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2， 在Rt△OEC中， OC． 当O、D、C三点共线时， CD最小为CD＝OC﹣OD． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维．解题关键在于确定出点D的运动轨迹为一段优弧． 难点2 多解问题 3．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 　4或2　． 【思路引领】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可． 【解答】解：连接OA， ∵OM：OC＝3：5， 设OC＝5x，OM＝3x， 则OD＝OC＝5x， ∵CD＝10， ∴OM＝3，OA＝OC＝5， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BMAB， 在Rt△OAM中，OA＝5， AM， 当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8， 在Rt△ACM中，AC； 当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2， 在Rt△ACM中，AC． 综上所述，AC的长为4或2． 故答案为：4或2． 【总结提升】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 4．（2021秋•凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与⊙O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是 　65°或115°　． 【思路引领】此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点． （1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时，根据AB，AC与⊙O相切，结合已知条件，在△ABC中，即可得出圆心角∠COB的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出∠BP1C的度数； （2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时，根据⊙O的内接四边形的性质，即可得出∠BP2C的度数． 【解答】解：分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点， （1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时： ∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点 ∴OC⊥AC，OB⊥AB， ∵∠A＝50°， ∴在△ABC中，∠COB＝130°， ∵在⊙O中，∠BP1C为圆周角， ∴∠BP1C＝65°， （2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时 ∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形， ∵∠BP1C＝65°， ∴∠BP2C＝115° 故答案为：65°或115°． 【总结提升】本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用． 难点3 动态问题 5．（2022秋•金华期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．2 B．10 C．2或10 D．6或8 【思路引领】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得． 【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧． ∴P1E⊥CD， 又∵∠AOD＝30°，r＝2cm， 在△OEP1中OP1＝4cm， 又∵OP＝6cm， ∴P1P＝2cm， ∴圆P到达圆P1需要时间为：2÷1＝2（秒）， ∴⊙P与直线CD相切时，时间为2秒， 当点P在点O的右侧时，同法可得t＝10秒， 故选：C． 【总结提升】本题考查了切线的判定和性质，从切线入手从而解得． 6．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． （1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； （2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值． 【思路引领】（1）通过判定△MEO为等边三角形，然后根据弧长公式求解； （2）通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解． 【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M， 当t＝2.5时，BE＝2.5， ∵EF＝10， ∴OEEF＝5， ∴OB＝2.5， ∴EB＝OB， 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴ME＝MO， 又∵MO＝EO， ∴ME＝EO＝MO， ∴△MOE是等边三角形， ∴∠EOM＝60°， ∴， 即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为； （2）连接GO，HO， ∵∠GOH＝90°， ∴∠AOG+∠BOH＝90°， ∵∠AGO+∠AOG＝90°， ∴∠AGO＝∠BOH， 在△AGO和△OBH中， ， ∴△AGO≌△BOH（AAS）， ∴OB＝AG＝t﹣5， ∵AB＝7， ∴AE＝t﹣7， ∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t， 在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2， ∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52， 解得：t1＝8，t2＝9， 即t的值为8或9． 【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $