3.7 二元一次方程组的应用（行程问题）教学设计 2025-2026学年湘教版（2024）数学七年级上册

教学设计 教学课题 3.7 二元一次方程组的应用（行程问题） 教学背景分析 从知识基础来看，学生在学习本节内容前，已掌握行程问题的基本公式 “路程 = 速度 × 时间”，并能运用一元一次方程解决简单的单物体运动问题（如 “一辆车以一定速度行驶，已知路程和时间，求速度”），同时也学会了二元一次方程组的定义与解法（代入消元法、加减消元法），这为用方程组解决复杂行程问题奠定了基础。 但行程问题中的 “多物体运动”（如两车相遇、两人追及）与单物体运动存在明显差异：这类问题往往涉及两个运动主体，包含 “速度”“时间”“路程” 三个量的相互关联，且存在 “相遇时路程和为总距离”“追及时路程差为初始距离” 等特殊数量关系。例如 “甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，3 小时后相遇，已知 A、B 两地相距 360 千米，甲车速度比乙车快 20 千米 / 时，求两车速度”，这类问题需要同时表示两个物体的速度、时间、路程关系，仅用一元一次方程会导致变量设定复杂，而二元一次方程组能更清晰地梳理关系，这对学生的 “多变量分析能力” 提出了新要求。 教学目标 1. 能从行程问题的文字描述中，准确识别运动主体（如两车、两人）的 “速度”“时间”“路程” 三个量，明确需要求解的未知量（通常为两个核心量，如两车速度、两人行驶时间）； 1. 能根据运动状态（相向而行、同向而行、同地出发不同时等），结合行程公式，找出两个独立的等量关系（如 “相遇时：甲车路程 + 乙车路程 = 总距离”“追及时：快车路程 - 慢车路程 = 初始距离”）； 1. 能根据等量关系规范列出二元一次方程组，熟练运用代入消元法或加减消元法求解，且能结合实际意义检验解的合理性（如速度为非负数、时间与运动过程匹配），最终解决行程问题。 重难点 1. 引导学生根据行程问题中的运动状态（相遇、追及等），结合 “路程 = 速度 × 时间” 公式，准确提炼两个等量关系，并据此列出二元一次方程组。 1. 行程问题的本质是 “用数学模型表示运动过程中的数量关系”，而二元一次方程组是该类问题的核心模型。能否列出正确的方程组，直接决定问题能否解决；同时，“找等量关系” 是连接 “实际运动过程” 与 “数学模型” 的关键桥梁，掌握这一技能，能为后续解决 “工程问题”“利润问题” 等其他实际问题奠定基础。 1. 教学中通过 “实例示范”（教师结合具体相遇问题，用线段图演示如何从运动过程中找 “路程和” 等量关系）、“工具辅助”（提供 “运动主体、速度、时间、路程” 的表格模板，让学生填写已知量和未知量，直观发现数量关系）、“分层练习”（从 “同时出发、相向而行” 的简单相遇问题，过渡到 “不同时出发、同向而行” 的复杂追及问题），帮助学生掌握列方程组的方法。 教学活动设计 教学环节 时长预估 老师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 5 分钟 1. 展示生活场景图片（如两车相向而行、学生跑步追及），提问：“日常生活中，我们常遇到走路、乘车等出行场景，比如小明和小红从家同时出发去学校，经过多久会相遇？这类问题该如何用数学方法解决？”2. 回顾旧知：“之前我们学过行程问题的基本公式是什么？用一元一次方程能解决简单行程问题，那遇到两个未知量的复杂行程问题该怎么办？”3. 引出课题：二元一次方程组的应用（行程问题）。 1. 观察图片，结合生活经验思考老师提出的问题；2. 集体回答 “路程 = 速度 × 时间”，并尝试举例说明一元一次方程解决的简单行程问题；3. 明确本节课学习目标，对用二元一次方程组解决行程问题产生好奇。 1. 用生活中熟悉的行程场景激发学生兴趣，让学生感受数学与生活的紧密联系；2. 回顾旧知，为新知识学习做好铺垫，同时通过问题引导学生思考，自然引出本节课课题；3. 激发学生的求知欲，为后续教学奠定良好氛围。 二、新知探究 18 分钟 1. 呈现典型相遇问题例题：“A、B 两地相距 480 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，4 小时后相遇。已知甲车每小时比乙车多行驶 20 千米，求甲、乙两车的速度。”2. 引导学生分析： （1）让学生找出题目中的关键信息（总路程、时间、两车速度关系），并提问：“题目中有几个未知量？分别是什么？” （2）带领学生画线段图，在线段图上标注 A、B 两地距离，甲、乙两车的出发地点、行驶方向和相遇点，直观呈现 “甲车行驶路程 + 乙车行驶路程 = 总路程” 这一等量关系； （3）结合行程公式，引导学生梳理第二个等量关系 “甲车速度 - 乙车速度 = 20 千米 / 时”；3. 示范列方程组：设甲车速度为 x 千米 / 时，乙车速度为 y 千米 / 时，列出讲解求解过程（代入消元法或加减消元法），强调求解后要检验结果是否符合实际意义；4. 呈现追及问题例题：“甲、乙两人在同一条笔直公路上跑步，甲在前，速度为 12 千米 / 时，乙在后，速度为 18 千米 / 时，两人相距 6 千米。若两人同时出发，乙多久能追上甲？”5. 让学生模仿相遇问题的分析方法，自主画线段图，小组讨论找出等量关系，尝试列方程组求解，老师巡视指导，之后请小组代表分享思路和结果。 1. 认真读题，圈画关键信息，回答 “有两个未知量，分别是甲、乙两车的速度”；2. 跟随老师一起画线段图，理解相遇问题中路程和与总路程的关系；3. 结合老师的引导，明确两个等量关系，在练习本上模仿列出方程组，尝试求解，并检查结果是否合理；4. 针对追及问题，自主画线段图，小组内讨论交流，分析 “乙行驶路程 - 甲行驶路程 = 初始距离” 这一等量关系，列出方程组并求解；5. 小组代表上台分享解题思路和过程，其他同学认真倾听，提出疑问或补充。 1. 选择典型的相遇和追及问题作为例题，覆盖行程问题的核心类型，帮助学生掌握基础解题方法；2. 通过画线段图，将抽象的行程问题直观化，降低学生理解难度，突破 “从运动状态中提炼等量关系” 的难点；3. 老师示范与学生自主探究相结合，既让学生掌握规范的解题步骤，又培养学生的自主学习和合作交流能力；4. 强调检验结果，培养学生严谨的数学学习态度。 三、巩固练习 12 分钟 1. 布置分层练习题： （基础题）“甲、乙两队分别从两端同时修一条公路，8 天修完，公路总长 1200 米。已知甲队每天修 70 米，求乙队每天修多少米？” （提升题）“小明骑自行车从家去公园，速度为 15 千米 / 时，出发 1 小时后，爸爸骑摩托车从家出发追赶小明，摩托车速度为 45 千米 / 时。爸爸出发后多久能追上小明？此时小明已经行驶了多少千米？”2. 巡视课堂，对解题有困难的学生进行单独辅导，重点关注学生是否能正确画线段图、找出等量关系；3. 收集学生的解题结果，挑选不同层次学生的答案进行展示，组织学生互评，纠正错误思路和解题步骤。 1. 自主选择练习题，基础题必做，提升题选做，独立完成解题过程，包括画线段图、找等量关系、列方程组、求解和检验；2. 遇到问题时，先独立思考，若仍无法解决，可向同桌请教或举手询问老师；3. 观看展示的答案，对比自己的解题过程，发现问题并进行修改，积极参与互评，发表自己的看法。 1. 分层练习题兼顾不同层次学生的学习需求，基础题巩固相遇问题的解题方法，提升题强化追及问题的分析能力，让每个学生都能获得成就感；2. 老师巡视辅导，及时解决学生的个性化问题，确保教学效果；3. 通过学生互评，培养学生的批判性思维和表达能力，同时让学生在交流中加深对知识点的理解。 四、总结提升 5 分钟 1. 提问：“通过本节课的学习，我们用二元一次方程组解决了行程问题，大家回顾一下，解决这类问题的步骤是什么？关键在于什么？”2. 引导学生总结：“读题找关键信息 — 画线段图分析运动过程 — 确定未知量 — 找等量关系 — 列方程组求解 — 检验结果”，强调 “画线段图和找等量关系是解决行程问题的关键”；3. 对比相遇问题和追及问题的异同，让学生明确 “相遇问题核心是路程和，追及问题核心是路程差”。 1. 结合例题和练习，自主梳理解题步骤，在脑海中回顾整个解题过程；2. 小组内互相交流，补充完善解题步骤，举手分享自己的总结；3. 认真倾听老师对相遇和追及问题异同的分析，做好笔记，加深对两种题型的理解。 1. 引导学生自主总结，培养学生的归纳概括能力，让学生形成系统化的解题思路；2. 强调关键步骤和核心知识点，帮助学生抓住重点，便于后续复习和应用；3. 对比两种题型，让学生构建清晰的知识框架，避免混淆。 五、作业布置 5 分钟 1. 基础作业：完成教材课后相关练习题（2 - 3 道，包含相遇和追及问题），要求写出完整解题过程，包括线段图、等量关系、方程组、求解和检验；2. 拓展作业（选做）：“设计一道生活中的行程问题（如家人外出旅游的乘车问题、同学跑步比赛的追及问题等），并用二元一次方程组解决，下节课与同学们分享”；3. 提醒学生作业书写要规范，遇到问题可在班级学习群请教老师或同学。 1. 认真记录作业内容和要求，明确基础作业和拓展作业的区别；2. 对拓展作业的设计思路进行简单思考，若有疑问及时向老师提问；3. 规划好完成作业的时间，确保按时、按质完成。 1. 基础作业帮助学生巩固本节课所学知识和解题方法，强化基本技能；2. 拓展作业培养学生的创新思维和知识应用能力，让学生从 “被动解题” 转变为 “主动编题”，加深对行程问题的理解；3. 提醒学生规范书写和及时请教，培养学生良好的学习习惯。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $