3.7　二元一次方程组的应用 同步练 2025-2026学年 湘教版（2024）七年级数学上册

3.7　二元一次方程组的应用 第1课时　二元一次方程组的应用(1)　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2024衡阳衡南县期中)某中学初一年级某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学,花了184元购买甲、乙两种奖品共 20件.其中甲种奖品每件8元,乙种奖品每件6元.若设购买甲种奖品x件,乙种奖品y件,则所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 2.“阅读与人文滋养内心”,某校开展阅读经典活动.小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页,小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页.若小明平均每天阅读 x页,小颖平均每天阅读y页,则下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3.(跨学科融合)有甲、乙两种铜和银的合金,甲种合金含银25%,乙种合金含银37.5%.现在要熔制含银30%的合金100 kg,则甲合金应取 kg,乙合金应取 kg.  4.甲、乙两地相距20 km,A从甲地向乙地方向前进,同时B从乙地向甲地方向前进,两小时后二人在途中相遇,相遇后A就返回甲地,B仍向甲地前进,A回到甲地时,B离甲地还有2 km,则A的速度为 km/h,B的速度为 km/h.  5.一架飞机从B市逆风飞往A市的速度为240 km/h,从A市顺风飞往B市需4 h,已知从A市至B市航线长1 200 km.求飞机的平均速度和风速. 6.(2023安徽)根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整:甲地上涨10%,乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元,调整后甲地比乙地少1元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价. 7.(数学文化)《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”,书中记载:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问:人与车各几何?其大意是:若3人坐一辆车,则两辆车是空的;若2人坐一辆车,则9人需要步行,问:人与车各多少?设有x辆车,共y人,小明根据题意列出方程组小亮根据题意列出一元一次方程3(x-2)=2x+9,则下列说法正确的是( ) A.小明正确,小亮错误 B.小明错误,小亮正确 C.小明,小亮都正确 D.小明,小亮都错误 8.已知一个两位数,它的十位上的数字与个位上的数字之和是3.若颠倒个位数字与十位数字的位置,得到的新数比原数小9,求这个两位数是 .  9.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨,准备做萝卜排骨汤. 妈妈:“今天买这两样菜共花了45元,上月买相同质量的这两样菜只要36元”; 爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%,排骨的单价上涨了20%”; 小明:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?” 请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:元). 10.(模型观念)某运输公司有A,B两种货车,3辆A种货车与2辆B种货车一次可以运货90 t,5辆A种货车与4辆B种货车一次可以运货160 t. (1)问1辆A种货车和1辆B种货车一次可以分别运货多少吨? (2)目前有190 t货物需要运输,该运输公司计划安排A,B两种货车将全部货物一次运完(A,B两种货车均满载),其中每辆A种货车一次运货花费500元,每辆B种货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案,并指出哪种运输方案费用最少. 第2课时　二元一次方程组的应用(2)　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2024株洲攸县期中)某校举办“新时代好少年,强国有我”的读书节活动,推动全校读书风潮.七年级(1)班借此开展借书共享活动,甲对乙说:“若你的藏书给我一本,我的藏书数量是你藏书数量的2倍”;乙对甲说:“若你的藏书给我一本,你我藏书的数量就相同了”.设甲藏书x本,乙藏书y本,根据题意可列方程组为( ) A. B. C. D. 2.五一小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为( ) A.30 B.26 C.24 D.22 3.已知代数式ax+b的有关信息如下表,则表中m的值为( ) x -2 -1 3 ax+b -3 -1 m A.4 B.5 C.6 D.7 4.某公园“六一”期间举行特优读书游园活动,成人票和儿童票均有较大折扣.张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动.王斌也想去,就去打听张凯、李利买门票花了多少钱.张凯说他家去了3个大人和4个小孩,共花了38元钱;李利说他家去了4个大人和 2个小孩,共花了44元钱.王斌家计划去 3个大人和2个小孩,请你帮他计算一下,需准备 元钱买门票.  5.某城市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为3 km,超过3 km的部分按每千米另收费.甲说:“我乘这种出租车走了11 km,付了17元”;乙说:“我乘这种出租车走了23 km,付了35元”;丙说:“我乘这种出租车走了16 km”.则丙的车费共花了 元.  6.对于多项式kx+3b,当x=1时,多项式的值为1;当x=2时,多项式的值为-4.求kb的值. 解:根据题意,得 解得 则kb=(-5)2=25, 故kb的值为25. 7.小明从家中骑自行车去海边,先下山后走平路,他以每小时12 km的速度下山,又以每小时9 km的速度通过平路,到达海边共用 55 min;他回来时以每小时8 km的速度通过平路,然后以每小时 4 km的速度上山,回到家共用1.5 h.则他家到海边有多远? 8.如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形,则图中阴影部分的面积为( ) A.33 B.76 C.264 D.340 9.(2024永州冷水滩区期中)对有序数对(m,n)定义“f运算”: f(m,n)=(am+bn,am-bn),其中a,b为常数,f运算的结果是一个有序数对.如:当a=1,b=1时,f(-2,3)=(1,-5).若f(3,-2)=(7,-1),则ab2的值是( ) A.2 B.-1 C.4 D.-3 10.为了保护环境,某公交公司决定购买A,B两种型号的全新混合动力公交车共10辆,其中A种型号每辆价格为a万元,每年节省油量为2.4万升;B种型号每辆价格为 b万元,每年节省油量为2.2万升.经调查,购买一辆A型车比购买一辆B型车多20万元,购买2辆A型车比购买3辆B型车少60万元. (1)求出a和b; (2)若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油,求购买这批混合动力公交车需要多少万元? 11.(模型观念)某工厂承接了一批纸箱加工任务,用如图(1)所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图(2)所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱.(加工时接缝材料不计) (1)若该厂购进正方形纸板1 000张,长方形纸板2 000张.问竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个,恰好能将购进的纸板全部用完; (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸板50张,长方形纸板a张,全部加工成上述两种纸箱,长方形纸板张数在120～136之间,且不包含120,试求在这一天加工两种纸箱时,a的所有可能值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.7　二元一次方程组的应用 第1课时　二元一次方程组的应用(1)　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2024衡阳衡南县期中)某中学初一年级某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学,花了184元购买甲、乙两种奖品共 20件.其中甲种奖品每件8元,乙种奖品每件6元.若设购买甲种奖品x件,乙种奖品y件,则所列方程组正确的是(B) A. B. C. D. 2.“阅读与人文滋养内心”,某校开展阅读经典活动.小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页,小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页.若小明平均每天阅读 x页,小颖平均每天阅读y页,则下列方程组正确的是(C) A. B. C. D. 3.(跨学科融合)有甲、乙两种铜和银的合金,甲种合金含银25%,乙种合金含银37.5%.现在要熔制含银30%的合金100 kg,则甲合金应取　60　kg,乙合金应取　40　kg.  4.甲、乙两地相距20 km,A从甲地向乙地方向前进,同时B从乙地向甲地方向前进,两小时后二人在途中相遇,相遇后A就返回甲地,B仍向甲地前进,A回到甲地时,B离甲地还有2 km,则A的速度为 　5.5　km/h,B的速度为　4.5　km/h.  5.一架飞机从B市逆风飞往A市的速度为240 km/h,从A市顺风飞往B市需4 h,已知从A市至B市航线长1 200 km.求飞机的平均速度和风速. 解:设飞机的平均速度为x km/h,风速为 y km/h. 根据题意,得 解这个方程组,得 答:飞机的平均速度为270 km/h,风速为30 km/h. 6.(2023安徽)根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整:甲地上涨10%,乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元,调整后甲地比乙地少1元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价. 解:设调整前甲地该商品的销售单价为x元,乙地该商品的销售单价为y元, 根据题意,得 解得 答:调整前甲地该商品的销售单价为40元,乙地该商品的销售单价为50元. 7.(数学文化)《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”,书中记载:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问:人与车各几何?其大意是:若3人坐一辆车,则两辆车是空的;若2人坐一辆车,则9人需要步行,问:人与车各多少?设有x辆车,共y人,小明根据题意列出方程组小亮根据题意列出一元一次方程3(x-2)=2x+9,则下列说法正确的是(C) A.小明正确,小亮错误 B.小明错误,小亮正确 C.小明,小亮都正确 D.小明,小亮都错误 8.已知一个两位数,它的十位上的数字与个位上的数字之和是3.若颠倒个位数字与十位数字的位置,得到的新数比原数小9,求这个两位数是　21　.  9.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨,准备做萝卜排骨汤. 妈妈:“今天买这两样菜共花了45元,上月买相同质量的这两样菜只要36元”; 爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%,排骨的单价上涨了20%”; 小明:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?” 请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:元). 解:设上月萝卜的单价是x元,排骨的单价是 y元, 则 解这个方程组,得 这天萝卜的单价是(1+50%)x=(1+50%)×2=3(元); 这天排骨的单价是(1+20%)y=(1+20%)×15=18(元). 所以这天萝卜的单价是3元,排骨的单价是 18元. 10.(模型观念)某运输公司有A,B两种货车,3辆A种货车与2辆B种货车一次可以运货90 t,5辆A种货车与4辆B种货车一次可以运货160 t. (1)问1辆A种货车和1辆B种货车一次可以分别运货多少吨? (2)目前有190 t货物需要运输,该运输公司计划安排A,B两种货车将全部货物一次运完(A,B两种货车均满载),其中每辆A种货车一次运货花费500元,每辆B种货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案,并指出哪种运输方案费用最少. 解:(1)设1辆A种货车一次可以运货x t,1辆B种货车一次可以运货y t. 根据题意,得 解这个方程组,得 答:1辆A种货车一次可以运货20 t,1辆B种货车一次可以运货 15 t. (2)设安排A种货车m辆,B种货车n辆. 根据题意,得20m+15n=190, 即4m+3n=38. 因为m,n均为正整数, 所以正整数解为 所以符合题意的运输方案有三种: ①A种货车2辆,B种货车10辆,费用为2×500+10×400=5 000(元); ②A种货车5辆,B种货车6辆,费用为5×500+6×400=4 900(元); ③A种货车8辆,B种货车2辆,费用为8×500+2×400=4 800(元). 因为4 800<4 900<5 000, 所以安排A种货车8辆,B种货车2辆时费用最少. 第2课时　二元一次方程组的应用(2)　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2024株洲攸县期中)某校举办“新时代好少年,强国有我”的读书节活动,推动全校读书风潮.七年级(1)班借此开展借书共享活动,甲对乙说:“若你的藏书给我一本,我的藏书数量是你藏书数量的2倍”;乙对甲说:“若你的藏书给我一本,你我藏书的数量就相同了”.设甲藏书x本,乙藏书y本,根据题意可列方程组为(B) A. B. C. D. 2.五一小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为(B) A.30 B.26 C.24 D.22 3.已知代数式ax+b的有关信息如下表,则表中m的值为(D) x -2 -1 3 ax+b -3 -1 m A.4 B.5 C.6 D.7 4.某公园“六一”期间举行特优读书游园活动,成人票和儿童票均有较大折扣.张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动.王斌也想去,就去打听张凯、李利买门票花了多少钱.张凯说他家去了3个大人和4个小孩,共花了38元钱;李利说他家去了4个大人和 2个小孩,共花了44元钱.王斌家计划去 3个大人和2个小孩,请你帮他计算一下,需准备　34　元钱买门票.  5.某城市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为3 km,超过3 km的部分按每千米另收费.甲说:“我乘这种出租车走了11 km,付了17元”;乙说:“我乘这种出租车走了23 km,付了35元”;丙说:“我乘这种出租车走了16 km”.则丙的车费共花了　24.5　元.  6.对于多项式kx+3b,当x=1时,多项式的值为1;当x=2时,多项式的值为-4.求kb的值. 解:根据题意,得 解得 则kb=(-5)2=25, 故kb的值为25. 7.小明从家中骑自行车去海边,先下山后走平路,他以每小时12 km的速度下山,又以每小时9 km的速度通过平路,到达海边共用 55 min;他回来时以每小时8 km的速度通过平路,然后以每小时 4 km的速度上山,回到家共用1.5 h.则他家到海边有多远? 解:设山路有x km,平路有y km, 根据题意,得 解这个方程组,得 则3+6=9(km), 所以他家到海边共有9 km. 8.如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形,则图中阴影部分的面积为(B) A.33 B.76 C.264 D.340 9.(2024永州冷水滩区期中)对有序数对(m,n)定义“f运算”: f(m,n)=(am+bn,am-bn),其中a,b为常数,f运算的结果是一个有序数对.如:当a=1,b=1时,f(-2,3)=(1,-5).若f(3,-2)=(7,-1),则ab2的值是(C) A.2 B.-1 C.4 D.-3 10.为了保护环境,某公交公司决定购买A,B两种型号的全新混合动力公交车共10辆,其中A种型号每辆价格为a万元,每年节省油量为2.4万升;B种型号每辆价格为 b万元,每年节省油量为2.2万升.经调查,购买一辆A型车比购买一辆B型车多20万元,购买2辆A型车比购买3辆B型车少60万元. (1)求出a和b; (2)若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油,求购买这批混合动力公交车需要多少万元? 解:(1)根据题意,得 解得 (2)设A型车购买x辆,B型车购买y辆,根据题意, 得 解得 所以120×2+100×8=1 040(万元). 答:购买这批混合动力公交车需要1 040万元. 11.(模型观念)某工厂承接了一批纸箱加工任务,用如图(1)所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图(2)所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱.(加工时接缝材料不计) (1)若该厂购进正方形纸板1 000张,长方形纸板2 000张.问竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个,恰好能将购进的纸板全部用完; (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸板50张,长方形纸板a张,全部加工成上述两种纸箱,长方形纸板张数在120～136之间,且不包含120,试求在这一天加工两种纸箱时,a的所有可能值. 解:(1)设加工竖式纸箱x个,加工横式纸箱y个,根据题意,得 解得 答:加工竖式纸箱200个,加工横式纸箱400个,恰好能将购进的纸板全部用完. (2)设加工竖式纸箱m个,加工横式纸箱n个, 根据题意,得 ①×4-②,得5n=200-a, 所以n=40-. 因为n,a为正整数,所以a为5的倍数. 又因为a在120～136之间且不包含120, 所以满足条件的a为125,130,135. 学科网（北京）股份有限公司 $$