上册 第二章 2 用配方法求解一元二次方程-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 用配方法求解一元二次方程（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 用配方法解一元二次方程x2-8x-1=0. 【分析】根据配方法解题步骤即可求解. 【解答】方程变形，得x2-8x=1. 两边都加上42，得x2-8x+16=17,即(x-4)2=17. 两边开平方，得x-4=V17或x-4=-V17.所以x=4+V17,x2=4-V17】 【点拨】此题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 基础巩固飞达标闯关 - 1.填上适当的数，使下列等式成立 (1)x2+4x+( )=(x+ )； (2)x2+6x+( )=(x+ )2； (3)x2-12x+( )=(x- (4)x2-5x+( )=(x- 5)+号 )=(x+ )2; 6)2专+( ）=(x )2 2.把方程x2-8x+3=0转化成(x+m)2=n的形式为（) A.(x-4)2=13 B.(x-4)2=19 C.(x+4)2=19 D.(x+4)2=13 3.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9 4.能转化为+分-的形式的方程是〔） A+4+4-0B+4+1-0 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 5.用配方法解下列方程： (1)x2-2x-3=0: (2)x2+4x-7=0: ① 口数学 九年级上册（北师大版） (3)x2+3x-4=0: (4)）x2-12x-28=0; (5)x2-2V3x+1=0: (6)(x-3)(x-2)=5. 中考链接©真题演练 6.(2024.德州)把多项式x2-3x+4进行配方，结果为() A.(x-3)2-5 Bx3+cx子+ 2 D*3子 7.(2024·东营)用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0,将它转化为(x+A)2=B的形 式，则AB的值为() A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 8.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则这个三角形 的周长为（) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 9.(2021·荆州)已知：a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请用配方法解关 于x的方程x2+2ax+a+1=0. ② 一元二次方程 第二章 用配方法求解一元二次方程（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题用配方法解一元二次方程2x2=6x+9. 【分析】先将方程二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，然后配方为(x+m)2= n的形式，最后再用开平方法求方程的解。 【解答】移项，得2x2-6x=9.方程两边除以2，得2-3x= 2 配方，得3+3经号，即召 4 两边开平方，得±，即3y武号=3y 2 2 所以=3+3V3 2 ,=3-3V3 2 【点拨】本题考查用配方法解二次项系数不等于1的一元二次方程，将方程二次项系数 变为1，并将方程配方成(x+m)=n的形式是解题的关键 基础巩固()达标闯关 1.用配方法解方程3x2-6x+1=0,则方程可变形为() A(g-3片3 B.3x-1023 C.(3x-1)2=1 D.(-13 2.用配方法解下列方程： (1)3x2-16x+5=0: (2）2x2-6x+3=0; (3)）5x2-2=3x; (4) 2-0： 3 (5)0.3y2+y+0.1=0: (6)3x2-6V3x+1=0. 33 口数学 九年级上册（北师大版） 能力提升琳综合拓展 3.三个连续整数两两相乘，再把它们的积相加后得431，求这三个数. 4.某大型企业2022年的生产总值（即所生产的产品的总价值）为5800万元，2024年 的生产总值为6500万元，求这两年平均每年的生产总值的增长率.（保留到0.1%） 5.已知y=-x2+5x-4. (1)当x取何值时，y=0? (2)当y=-10时，x的值是多少？ 函 一元二次方程 第二章 6.【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及d2-2ab+b2叫作完全平方式” 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出 现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫作配方法，配方法是一种重 要的解决问题的数学方法 例如：求当a取何值时，代数式a+6a+8有最小值？最小值是多少？ 解：a2+6a+8=d+6a+32-32+8=(a+3)2-1. 因为(a+3)2≥0，所以a+6a+8≥-1，所以当a=-3时，代数式a+6a+8有最小值，最小 值是-1. 【问题解决】 利用配方法解决下列问题： (1)当x= 时，代数式x2-2x-1有最小值，最小值为 (2)当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？ 【拓展提高】 (3)当x,y取何值时，代数式5x2-4xy+y2+6x+25取得最小值？最小值为多少？ (4)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5,3a+2,面积为S1;如图所示的第二个长 方形边长分别是5a,a+5,面积为S.试比较S,与S2的大小，并说明理由， 3a+2 50 2a+5 S2 a+5 第6题图 35参考答案与提示 12.200(1+x)2-40113.A 1认识一元二次方程（第2课时） 1.42-13-84C5A6B 7.解：x++1+x+2+x+3=x(x+3),整理得x2-x-6-0.可利用列表方法估算出x=3,则四个数为3,4,5,6. 8.解：由题意知，商品的单价为(50+x)元，则每个的利润是[(50+x)-40]元，销售量是(500-10x)个， 由题意，可得方程[(50+x)-40](500-10x)=8000.整理得x2-40x+300=0.利用列表法估算出=10. 9.310.-411.B 2用配方法求解一元二次方程（第1课时）】 1)422)93(3)3664)空号5)6子(6)号号2.A3.B4D 5解：(0-14，-1，=3(2)+211，=-24Vm,2-V(3)+32华，=1， =-4(4)(x-6)2=64,x=14,x2=-2(5)(x-V3)2=2,x=V3+V2,x2=V3-V2(6)2-5x+1=0 2头，=2T5T 2 2 6.B7.D8.C 9.解：解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3.∴.最小整数解为-2.将a=-2代入方程x2+2ax+a+1=0,得x2 4x-1=0.配方，得(x-2)2=5.两边开平方，得x-2=±V5.解得x=2+V5,x2=2-V5. 2用配方法求解一元二次方程（第2课时）】 1.D 2解：)k片智，52)2月子，Y,3-Y(3)0月 想，=-号，1（④）方程变形，得2-3-1-0，配方后得子尸号+子尺则=圣±Y平，即 49 ￥亚.=￥平5)+号-，y2.=5五6V5+V月则 3 x=V3±2y6,即=3V52V6,=3V32V6 3 3.解：设三个连续整数中间的一个数为x,则另外两个数分别为(x-1),(+1).依题意，得x(x-1)+x(x+1)+ (x+1)(x-1)=431.化简方程得，3x2-432.解得x=12,=-12.三个连续整数为11,12,13或-13，-12，-11. 4.解：设这两年平均每年的生产总值的增长率为x,得5800x(1+x)2-6500.解这个方程得x≈0.059，x=-2.059. 今年的生产总值大于前年的生产总值，∴=-2.059<0不合题意，舍去.∴≈0.059=5.9%. 5.(1)x=1或x=4.(2)x=-1或x=6. 6.解：（1)1-2提示：原式=x2-2x+1-1-1=(x-1)2-2.(x-1)2≥0，.x2-2x-1≥-2..当x=1时，代数式 x2-2x-1有最小值，最小值是-2.(2)原式=2(x244x)+12=2(x2+4x+4-4)+12=2[(x+2)2-4]+12=2(x+2)2-8+12=2(x+ 2)2+4.(x+2)2≥0,2x2+8x+12≥4.∴.当x=-2时，代数式22+8x+12有最小值，最小值是4.(3)原式=(4x2 4xy+y2)+(x2+6x+9)+16=(2x-y)2+(x+3)2+16.(2x-y)2≥0，(x+3)2≥0,5x2-4xy+y2+6x+25≥16..当x=-3,y=-6 时，代数式5x2-4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值是16.(4)S>S2.理由如下：S=(2a+5)(3a+2)=6a2+19a+10, S2=5a(a+5)=5a+25a,..S1-S2=-6a+10=(a-3)2+1>0.∴.S>S2. 3用公式法求解一元二次方程（第1课时）】 1.3-42-82.n2-4mn+4m2[或(n-2m)2]有两个实数根3.(1)原方程没有实数根.(2)原方程有 两个不相等实数根.(3)原方程有两个不相等实数根.(4)原方程有两个相等实数根. 4.解：不正确，b=-7,c=-2,=7+V7万，=7-V乃 6 6 5.（)6,-22)号（3)=-2，号4）月，6=号（5)=V2(6)x= 24y位，x=2-Y6面 3 3 6.2.8或-2，-8 21