上册 第二章 1 认识一元二次方程-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

数学 九年级上册（北师大版） CD,∠ADC=90°，AE'=CE.∠ACB=90,AC=BC=4,D是AB的中点，DE'=号BC=2,AB=4V2,2≤ DE<2V2(点E与点E'重合时取等号).4≤S边形m=DEP<8.∴.当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的 面积最小，该最小值为4. 9.AC=BD(答案不唯一）10.A I山.B提示：在AB的延长线上裁取H=BC,连接FH,DH,则G=H,OM=号DR 由勾股定理，得DH=0OM+PG-号(DF4FG).由三角形三边关系，得DH≤DP.FH.-DF+ H的最小值为10.OM+号FG的最小值为5. 12.解：(1)四边形BPC0为平行四边形.理由：四边形ABCD为平行四边形， 0C-01=2AC,0B=0D=BD:以点B,C为圆心，号AC,号BD长为半径面孤， 2 两弧交于点P,.OB=CP,BP=OC..四边形BPC0为平行四边形.(2)当AC⊥BD, (Q AC=BD时，四边形BPC0为正方形.AC=BD,0B=D,0C=号AC0B=0C AC⊥BD,∴∠BOC=90°.四边形BPCO为平行四边形..四边形BPCO为正方形. 13.解：(1)如图1，延长FG,交AC于点H,:四边形ABCD和四边形BEFG 图2 是正方形，BC=CD=AD,FG=BG,CD∥AE,FG∥AE,∠CGH=∠BGF=∠DCB=90°. ∠ACD=45°，CD∥FG.∴.∠CHG=∠ACD=∠ACB=45°，∠CDP=∠HFP.CG=GH.∴.CG+ BG=GH+FG,即BC=FH..CD=FH..'.△CDP≌△HFP(ASA)..DP=FP.(2)△APE 是等腰直角三角形.理由：如图2，延长EG,交AD的延长线于点M,设DF和EG交 于点Q.四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠ABC=∠BAD=∠GBE=∠BEF= 90°，AD=AB=BC,BG=BE=EF,AD∥BC∥EF,∠M=∠BEG=45°..AM=AE.:AM- AD=AE-AB.DM=BE=EFAD∥EF,.∠M=∠GEF,∠MDQ=∠EFQ.∴.△DQM≌ △FQE(ASA)..DQ=FQ..点Q和点P重合，即EG与DF的交点P恰好也是DF的 中点.∠ABC=90°，AB=BC,∴.∠BAC=45°.∠BEG=45°，∴∠APE=90°，AP-EP∴ △APE是等腰直角三角形.(3)△APE仍然是等腰直角三角形.理由：如图3，延长 EP至点Q,使PQ=PE,连接DQ,延长DA和FE,交于点N,DP=PF,∠DPQ= ∠EPF,PQ=PE,.△PDQ≌△PFE(SAS)..DQ=EF,∠PQD=∠PEF.QD∥NF. ∠N+∠ADQ=180°.四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴.∠BAN=∠DAB=90°， ∠BEN=∠BEF=90°，AB=AD,BE=EF∴.∠N+∠ABE=36O°-∠BAN-∠BEN=180°，DQ= BE..∠ABE=∠ADQ..△ADQ≌△ABE(SAS).∴AE=AQ,∠DAQ=∠BAE..∠BAE+ 图3 第13题答图 ∠BMQ=∠DAQ+∠BAQ=∠B1D=0,即∠Q1E=0.AP1E0,AP=PE=2E0. △APE是等腰直角三角形. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程（第1课时） 1.3x2-5x-6=03x2-5x-62.x+2x(+2)=2283.k≠-24.C5.D6.C7.2x2+3.x-5=023-5; 4x2-6=-040-6;x2-5x+10=01-510 8.解：若方程是一元二次方程，则二次项系数(k+3)(k-1)≠0，即k≠-3，k≠1，·.当k≠-3，飞≠1时，方程 是一元二次方程. 9.解：设三边长分别为x,x+1,x+2,则x2+(x+1)2=(x+2)2,x2-2x-3=0. 10.解：设四周未铺地毯的留空宽度为xm,则(20-2x)(15-2x)-×20x15,整理得22-35+75=-0. 11.解：设每个标准间涨价为x元，则宾馆每晚出租(50-0.2x)个标准间，可列出(50-0.2x)(120+x)=6600. 整理得x2-130x+3000=0. 参考答案与提示 12.200(1+x)2-40113.A 1认识一元二次方程（第2课时） 1.42-13-84C5A6B 7.解：x++1+x+2+x+3=x(x+3),整理得x2-x-6-0.可利用列表方法估算出x=3,则四个数为3,4,5,6. 8.解：由题意知，商品的单价为(50+x)元，则每个的利润是[(50+x)-40]元，销售量是(500-10x)个， 由题意，可得方程[(50+x)-40](500-10x)=8000.整理得x2-40x+300=0.利用列表法估算出=10. 9.310.-411.B 2用配方法求解一元二次方程（第1课时）】 1)422)93(3)3664)空号5)6子(6)号号2.A3.B4D 5解：(0-14，-1，=3(2)+211，=-24Vm,2-V(3)+32华，=1， =-4(4)(x-6)2=64,x=14,x2=-2(5)(x-V3)2=2,x=V3+V2,x2=V3-V2(6)2-5x+1=0 2头，=2T5T 2 2 6.B7.D8.C 9.解：解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3.∴.最小整数解为-2.将a=-2代入方程x2+2ax+a+1=0,得x2 4x-1=0.配方，得(x-2)2=5.两边开平方，得x-2=±V5.解得x=2+V5,x2=2-V5. 2用配方法求解一元二次方程（第2课时）】 1.D 2解：)k片智，52)2月子，Y,3-Y(3)0月 想，=-号，1（④）方程变形，得2-3-1-0，配方后得子尸号+子尺则=圣±Y平，即 49 ￥亚.=￥平5)+号-，y2.=5五6V5+V月则 3 x=V3±2y6,即=3V52V6,=3V32V6 3 3.解：设三个连续整数中间的一个数为x,则另外两个数分别为(x-1),(+1).依题意，得x(x-1)+x(x+1)+ (x+1)(x-1)=431.化简方程得，3x2-432.解得x=12,=-12.三个连续整数为11,12,13或-13，-12，-11. 4.解：设这两年平均每年的生产总值的增长率为x,得5800x(1+x)2-6500.解这个方程得x≈0.059，x=-2.059. 今年的生产总值大于前年的生产总值，∴=-2.059<0不合题意，舍去.∴≈0.059=5.9%. 5.(1)x=1或x=4.(2)x=-1或x=6. 6.解：（1)1-2提示：原式=x2-2x+1-1-1=(x-1)2-2.(x-1)2≥0，.x2-2x-1≥-2..当x=1时，代数式 x2-2x-1有最小值，最小值是-2.(2)原式=2(x244x)+12=2(x2+4x+4-4)+12=2[(x+2)2-4]+12=2(x+2)2-8+12=2(x+ 2)2+4.(x+2)2≥0,2x2+8x+12≥4.∴.当x=-2时，代数式22+8x+12有最小值，最小值是4.(3)原式=(4x2 4xy+y2)+(x2+6x+9)+16=(2x-y)2+(x+3)2+16.(2x-y)2≥0，(x+3)2≥0,5x2-4xy+y2+6x+25≥16..当x=-3,y=-6 时，代数式5x2-4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值是16.(4)S>S2.理由如下：S=(2a+5)(3a+2)=6a2+19a+10, S2=5a(a+5)=5a+25a,..S1-S2=-6a+10=(a-3)2+1>0.∴.S>S2. 3用公式法求解一元二次方程（第1课时）】 1.3-42-82.n2-4mn+4m2[或(n-2m)2]有两个实数根3.(1)原方程没有实数根.(2)原方程有 两个不相等实数根.(3)原方程有两个不相等实数根.(4)原方程有两个相等实数根. 4.解：不正确，b=-7,c=-2,=7+V7万，=7-V乃 6 6 5.（)6,-22)号（3)=-2，号4）月，6=号（5)=V2(6)x= 24y位，x=2-Y6面 3 3 6.2.8或-2，-8 21口数学 九年级上册（北师大版） 第二章 元二次方程 知识网铬 定义→ar2+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0) 当b2-4ac>0时，方程有两个不等实根 根的判别式 当b2-4ac=0时，方程有两个相等实根 当b2-4ac<0时，方程无实根 近似解→逼近法 一元二次方程 解方程方法 配方法 精确解 公式法 因式分解法 方程根(k,与方程系数a,b,c)的关系一x+x=-名，& 应用 1认识一元二次方程（第1课时） 自主导学Q、典例精析 例题下列方程一定是一元二次方程的是() A.3x42-1=0 B.5x2-6y-3=0 C.ax2-x+2=0 D.3x2-2x-1=0 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数 的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数.用这 四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案. 【解答】D 【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是不是一元二次方程，首先要 看是不是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2. 26 一元二次方程 第二章 基础巩固达标闯关 1.方程(3x+1)(x-2)-4=0的一般形式是 它的二次项是 一次 项是 常数项是 2.两个连续的偶数的积是228，如果设较小的一个偶数为x,则另一个偶数可以表示为 根据题意可列出方程为 3.若方程(k+2)x2-7x-9=0是关于x的一元二次方程，则k满足 4.已知下列方程：(3x-2)(+5-2,22++4-0,3+=1,+2-1=y+1,2-7=0,4=, z+2z=-3,其中一元二次方程的个数为（) A.2 B.3 C.4 D.5 5.关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 () A.0 B.±3 C.3 D.-3 6.某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次降价的 百分率为x,则下列方程中正确的是() A.55(1+x)2=35 B.35(1+x)2=55 C.55(1-x)2=35 D.35(1-x)2=55 7.将下面表格中的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项、一次项的系 数和常数项. 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x=5-2x2 (2x-1)2+4x=7 分t1=30-241 能力提升睡综合拓展 8.关于x的方程(k+3)(k-1)x2+(k-1)x+5=0.飞为何值时，方程是一元二次方程？ ⑦ 口数学 九年级上册（北师大版） 9.一个直角三角形的三条边的长是三个连续自然数，如果设这个三角形最短的边长为 x,请列出关于x的方程，并将方程整理为一般形式。 10.有一间长20m、宽15m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室 面积的】，四周未铺地毯的留空宽度相同，求留空的宽度.（只要求列出方程，并将方程 整理为一般形式) 11.某宾馆有50个标准间，每个标准间收费120元时可全部租出.为了尽可能降低消耗， 同时又增加收入，宾馆决定提高标准间的出租价格，若每个标准间每晚涨价0元，每晚减 少2个标准间租出.宾馆若每晚收入6600元，那么每个标准间应涨价多少元？这时每晚出 租多少个标准间？（只要求列出方程，并将方程整理为一般形式） 中考链接©真题演练 12.(2024·重庆)重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安 全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两 个季度安全运行架次的平均增长率为x,根据题意，可列方程为 13.(2022·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：六贯二百一十钱， 遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.其大意为：现请人代买一批椽，这批椽 的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等 于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程 是() A.3(x-1)x=6210 B.3(x-1)=6210 C.(3x-1)x=6210 D.3x=6210 28 一元二次方程 第二章 认识一元二次方程（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题用14m长的铁丝围成一个面积为10m的矩形，求矩形的两边长 (1)设矩形一边长为xm,则矩形的另一边长为 1m. (2)根据题意，可得方程为 (3)x的值小于0吗？可能大于7吗？可能等于6吗？ (4)请你用估算方法求矩形的两边长， 【分析】(1)矩形的长和宽的和为7，一边长为xm,则另一边长为(7-x)m.(2)由 面积公式可列方程.(3)根据x的实际意义以及方程解的定义可判断.(4)通过列表求近似 值的方法求方程的解。 【解答】(1)(7-x)(2)x(7-x)=10 (3)矩形的长和宽的和为7，所以x不可能小于0，也不可能大于7 当x=6时，方程左边=x(7-x)=6×1=6,方程右边=10. .左边≠右边，.x的值不可能等于6. (4) 2 3 x2-7x+10 4 0 -2 -2 0 .∴x的两个值为2和5，即矩形的两边长分别为2m和5m. 【点拨】本题考查列一元二次方程以及估算一元二次方程的解.在估算一元二次方程的解 时，应先将方程化为一般式并确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未 知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果小于0，把另一个值代入方程使得左 边的计算结果大于0，那么方程的解就在这两个值之间，这种方法通常称为“夹逼法”. 基础巩固达标闯关 -s多 1.已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为-3，则p= 2.若=1是一元二次方程x2-2x-c=0的一个解，则c3= 3.一元二次方程(m+1)x2-2mx=1的一个根是-2，则m= 4.如果x=4是一元二次方程x2-3x=a2的一个根，则常数a的值是( A.2 B.-2 C.±2 D.±4 5.如果一元二次方程x2+ax+b=0有一个根为-2，那么2a-b的值为( A.正数 B.负数 C.非正数 D.0 29 口数学 九年级上册（北师大版） 6.已知方程x24bx+a=0有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为1的是() A.a-b B.b-a C.a+b D.ab 7.有四个连续的正整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积.如果设 最小的数为x,请列出关于x的方程，并用估算的方法求这四个数 能力提升坤综合拓展 8.某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.商场管理部门发 现这种商品销售情况很好，于是决定适当涨价.经市场调查，这种商品每涨价1元，其销售 量就减少10个.如果商场想将这种商品涨价x元后，得到8000元的利润，请你列出关于x 的方程，并用估算的方法求出商场应涨价多少元. 中考链接©真题演练 卡多多多 9.(2024.深圳)一元二次方程x2-4x+A=0的一个解为x=1,则A= 10.(2024·南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根，则(m+5)(m-1)的值为 11.(2022·遂宁）已知m为方程x2+3x-2022=0的根，那么m3+2m2-2025m+2022的值 为() A.-2022 B.0 C.2022 D.4044 30